5.2 分式的运算 教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 分式与分式方程 北师大版(2024) 5.2 分式的运算 一、教学目标 1.经历类比异分母分数加减法探究异分母分式加减法法则的过程，理解通分的意义，能确定几个分式的最简公分母，掌握分式通分的方法. 2.能运用异分母分式的加减法法则，完成异分母分式的加减运算，会将运算结果化为最简分式，能解决相关的实际问题. 3.体会“将异分母分式转化为同分母分式”的转化思想，提升分式运算能力与分析推理能力. 二、教学重点及难点 重点：掌握异分母分式加减法法则，会确定最简公分母并进行通分，能规范完成异分母分式的加减运算. 难点：理解通分的本质，准确确定多项式分母的最简公分母；灵活运用异分母分式加减法法则解决含多项式、实际情境的综合问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：分式的通分和最简公分母. 教师提问：我们已经熟练掌握了同分母分式的加减法运算，那大家还记得异分母分数是如何进行加减运算的吗？请计算下列式子并写出异分母分数加减法法则. ___________，___________. 【学生活动】学生独立回忆异分母分数加减法法则，用文字语言完整表述，并通过计算验证；同桌之间互相补充、纠错，完善对法则的理解. 学生回答： 异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数，再按照同分母分数加减法法则计算. ，. 教师提问：你认为异分母的分式应该如何加减？比如，应该怎样计算？ 在计算时，小颖和小亮两位同学的做法如下． （1）你能明白他们是怎么做的吗？每一步变形的依据是什么？ （2）对比这两种做法，你认为哪种更简便？为什么？ 教师点拨：把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题. 但他俩的具体做法不同. 对于两人的做法进行具体分析. 【学生活动】学生独立观察两个算式，分析每一步的运算逻辑，明确小颖是将分母化为4a2，小亮是化为4a；小组内交流讨论两种做法的优劣. 教师讲解分式的通分和最简公分母： 分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 最简公分母：为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母． 【探究新知】 探究：异分母分式加减法. 教师提问：我们通过计算异分母分数的加减，回顾了“先通分、再加减”的方法． 结合刚才的探究，大家思考：根据分式的基本性质，异分母的分式能不能像异分母分数那样转化成同分母分式呢？怎样计算能够更简便？ 【师生活动】学生独立思考，结合分式的基本性质，类比分数通分的思路，小组内交流讨论，尝试用自己的语言描述异分母分式的运算方法； 教师根据学生的回答，顺势引出知识点，引导学生完善表述，共同归纳法则． 教师讲解：与异分母的分数加减法法则类似，异分母的分式加减法法则是： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 这一法则可以用式子表示为：． 设计意图：通过对比辨析两种不同的通分结果，让学生在直观对比中深刻理解最简公分母的意义，自主建构异分母分式加减法法则，培养观察、比较与归纳概括能力． 【课堂互动】 教师提问：通分是异分母分式加减的关键，那我们该如何快速确定几个分式的最简公分母？它与分数的最小公倍数有何联系与区别？ 【学生活动】学生结合分数通分经验，小组讨论总结确定最简公分母的方法，尝试用文字语言归纳． 答案预设： 最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中，最小的那个数．在分式通分中，系数部分就需要取各分母系数的最小公倍数，以此确定公分母的系数，确保通分后计算最简便． 教师引导学生归纳确定最简公分母的步骤： 系数：取各分母系数的最小公倍数； 因式：取所有出现的字母或因式； 指数：取相同字母或因式的最高次幂． 教师点拨：所有分母必须是公分母的其中一个因数． 【典型例题】 例5 计算： 教师拓展：异分母分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母分式转化为同分母分式； （2）加减：写成分母不变、分子相加减的形式； （3）合并：若分子有括号，则先去括号、再合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式. 例6. 小刚家和小丽家到学校的路程都是 3 km，其中小丽骑车走的是平路，速度 2v km/h．小刚骑车需要走 1 km 的上坡路、2 km 的下坡路，在上坡路上的速度为 v km/h，在下坡路上的速度为 3v km/h．那么： （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间． 解：（1）小刚从家到学校需要(h). （2）小丽从家到学校需要h. 因为，所以小丽在路上花费的时间少. 小丽在路上花费的时间比小刚少(h). 设计意图：通过由浅入深的分层例题，巩固异分母分式加减法则，从单项式分母到多项式分母，再到因式分解与通分的综合运用，帮助学生掌握最简公分母的确定方法，规范运算步骤，突破符号处理、结果化简等易错点；结合行程实际问题，将分式运算与生活情境结合，让学生体会数学的应用价值，提升分析与解决问题的能力. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 2.最简公分母：为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母． 3.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算． 这一法则可以用式子表示为：． 学科网（北京）股份有限公司 $