精品解析：福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高二数学试题

2025—2026学年第二学期期中测试 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】 . 2. 已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ， 代入公式得：. 3. 函数的图象在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，， 由，得切线的斜率为：， 则切线方程为：，得． 4. 在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 5. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，在不恒大于等于零，也不恒小于等于零，而，可求解. 【详解】函数，则， 当时，， 因为函数在区间上不单调， 则在不恒大于等于零，也不恒小于等于零， 所以. 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 8. 曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的术语，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为.若点为圆上一动点，为直线上一动点，设为两点的曼哈顿距离的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线l恒过定点，画出图形，对分类讨论并借助导数求出其取值范围即可作答. 【详解】直线恒过定点， 由点到直线的距离为， 得， 故直线与圆相离. 当直线的斜率满足时，作出一条轴截距为负数的直线平行于直线， 如图所示. 要使得最小，应位于切点处，作轴交直线于点， 过作直线于点， 当位于点的左方时，， 当位于点的右方时，同理也有，于是有. 设直线与圆相切，则有， 即切线的横截距为，而直线的横截距为， ， 在上单调递减，. 综上，，故B正确. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上有解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定选项的正误 【详解】A选项，，定义域为， ，令，解得， 当时，，∴函数在上单调递增， 当时，，∴函数在上单调递减， ∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对； B选项，∵时，，，， 当时，，如图所示： ∴函数有且只有唯一一个零点，故B错； C选项，∵当时，为单调递减函数，∴， ∵，所以，故C对； D选项，若在上有解，即在上有解， 由上可知函数在上单调递减，所以， 于是有，故D对. 11. 如图，在长方形中，，点是所在边和上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得重合，重合，重合，重合，得到六面体，其直观图如图所示，则（ ） A. 该六面体的表面积为3 B. 点到平面的距离为 C. 二面角的余弦值为 D. 该六面体内能装下的最大的球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据翻折得到六面体各边长，可知该六面体由两个全等的三棱锥和构成，结合翻折前后面面积不变，可直接计算出表面积；对于B，先证明平面，再利用等体积法即可求出点到平面的距离；对于C，以为原点建立空间直角坐标系，根据对称性得到点的坐标，再通过向量法求出平面与平面的法向量，进而计算二面角的余弦值；对于D，利用六面体的体积和表面积，通过等体积法求出内切球半径，进而计算其体积． 【详解】根据题意，在六面体中，，， 故此六面体由两个全等的三棱锥，构成， 表面积，故A正确． 又，，同理可得，， 又平面，平面，， ，设点到平面的距离为， ，，故B正确． 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 连接交平面于点，则，，， 又为等边三角形，且六面体关于平面对称， ，，则，， 易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，不妨取，则， ，又二面角的平面角为钝角， ∴二面角的余弦值为，故C错误． 该六面体内能装下的最大的球为其内切球，设半径为， 六面体的表面积， ，解得，所以球的体积为， 即该六面体内能装下的最大的球的体积为，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，则，可得，可得. 13. 如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【解析】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 14. 若对任意的恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知化简，再构造函数应用单调性列式，最后参数分离，应用导函数得出函数单调性得出最值即可求解. 【详解】依题意得对任意的恒成立， 令， 因为在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立， 令，则. 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 故，所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数及极值列出方程组求参数，再检验即可； （2）利用导数求出函数单调性，由单调性求函数值域即可. 【小问1详解】 由求导得， 因为在处取得极值， 所以，解得 经验证，在处取得极值，符合题意. 故. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，所以当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 因为， 且，所以， 故在区间上的值域为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，. （1）若上有一点，满足，证明：平面平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接. ， . 又平面平面， . 平面， 平面平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求解平面与平面的法向量，最后应用面面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 由， 可得. 设平面的法向量为， 则 ，取，得. 设平面的法向量为， 则 令，得. 设平面与平面的夹角为， ， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 17. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. （1）建立关于的函数，并求的最大值； （2）在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由长方体体积公式得到，求导确定单调性即可求解； （2）由体积得到，进而得到表面积，求导确定单调区间，即可求解. 【小问1详解】 ∵底边长为，高为， . ， ， 令，即，解得（舍去. 当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 可得. 【小问2详解】 盒子的表面积， 由，得，即， 代入表面积公式得，则. 令，得，即，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，表面积最小. 18. 如图，在长方体中，. （1）若点在底面内，且平面，求点的轨迹长度； （2）若平面截长方体所得的截面交于点，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，已知点在侧面内，且，当直线与平面所成角的正弦值最大时，试探究点的位置. 【答案】（1） （2） （3）点为上靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）应用空间向量法求出法向量，进而因为线面平行列式计算求解； （2）先设，应用四点共面得出参数，再计算边长得出四边形面积即可； （3）先设，再应用线面角正弦公式计算即可求出参数. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则取，则， 即. 因为平面，所以， 取的中点，连接，则点的轨迹是线段，. 【小问2详解】 连接，设，得， 由于四点共面，可设， 即，解得所以， 此时，因为，所以，又， 所以四边形是菱形，又， 所以四边形的面积. 【小问3详解】 ，设， 则 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值， 则当，即时，直线与平面所成角的正弦值最大，此时点为上靠近点的三等分点. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）设函数. （i）当时，证明：. （ii）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （i）证明：当时，. 令，则在上单调递减， 且， 故，即. 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减. ， ，且在上单调递减， ， . （ii） 【解析】 【分析】（1）求导后对参数进行分类讨论（与），解导函数不等式确定单调区间； （2）（i）采用“隐零点”技巧：求导后二阶分析确定极值点存在但不可解，利用零点方程进行代换化简最大值表达式，最后结合隐零点所在区间和函数单调性放缩完成证明；（ii）方法一：将零点问题转化为直线与函数图像的交点问题，通过求导分析的单调性与极限值确定参数范围；方法二：讨论原函数单调性，利用极值点方程消去参数，将最大值表示为关于极值点的函数，再通过其单调性解不等式求得结果； 【小问1详解】 . ①当时，恒成立，又， ，故在上单调递增. ②当时，令，得，易得当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （i）略 （ii）（方法一），令，得. 令，则， 化简得. 令，则在上单调递减，又， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 又，当时，， ， 与有两个交点的充要条件是， 的取值范围为. （方法二）（最大值分析，极值代换） 依题意得， . 当时，恒成立，在上单调递增，至多一个零点. 当时，令，得， 解得正根为. 此时在上单调递增，在上单调递减，. 由，得，代入得 令，则在上单调递增，且， ，即， 整理得，解得， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中测试 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的术语，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为.若点为圆上一动点，为直线上一动点，设为两点的曼哈顿距离的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上有解，则 11. 如图，在长方形中，，点是所在边和上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得重合，重合，重合，重合，得到六面体，其直观图如图所示，则（ ） A. 该六面体的表面积为3 B. 点到平面的距离为 C. 二面角的余弦值为 D. 该六面体内能装下的最大的球的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则______. 13. 如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 14. 若对任意的恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域. 16. 如图，在四棱锥中，底面，. （1）若上有一点，满足，证明：平面平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. （1）建立关于的函数，并求的最大值； （2）在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 18. 如图，在长方体中，. （1）若点在底面内，且平面，求点的轨迹长度； （2）若平面截长方体所得的截面交于点，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，已知点在侧面内，且，当直线与平面所成角的正弦值最大时，试探究点的位置. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）设函数. （i）当时，证明：. （ii）若有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $