精品解析：福建省龙岩市一级校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 6. 给出下列四个图象： 函数大的大致图象的可以是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 7. 给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数在上单调递减，则实数的值可能为（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B. 若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C. 若动点满足，则的最小值是 D. 若动点在上，点在上，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与事件相互独立，且，，则______ 13. 如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 14. 已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）证明：平面PBF． （2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值． 16. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值； （2）若，求的极值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，，且分别为的中点． （1）证明：． （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． （1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 19. 已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”． （1）已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值． （2）证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”． （3）已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】由导数的定义可得， . 故选：D 2. 已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数运算公式和运算法则逐一计算判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，， ， 由条件概率公式可得. 故选：C. 6. 给出下列四个图象： 函数大的大致图象的可以是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分成，，三种情况识别函数的图象得出结果. 【详解】当时，是一个指数函数，在R上单调递减，所以②正确，①错误； 当时，由，即，解得，函数与轴交于两点，显然四个图象都不相符； 当时，，所以③不相符；由，方程的，当时，，有两个不等的实根，则函数两个极值点，当时，，当时，，所以④相符. 故选：C. 7. 给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由，结合独立事件概率公式可知④正确. 【详解】对于①，若互斥，则，又， ，不相互独立，①正确； 对于②，，； 扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”， 则，，， 满足，但不是对立事件，②错误； 对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”， 则，，，，， 满足，此时， 事件不相互独立，③错误； 对于④，，事件与互斥，， 又，， 即，事件相互独立，④正确. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查对立事件、独立事件的判断，解题基本思路是能够结合和事件和积事件的定义，利用独立事件概率公式依次验证选项中的事件是否为独立事件. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造辅助函数，并通过两边取对数再求导得到的单调性，利用单调性比较函数值的大小即可. 【详解】令，取自然对数得，令 令，得 若，单调递增，单调递增； 若，单调递减，单调递减， 因为，所以，而，，所以； 因为，所以，而，，所以 故. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数在上单调递减，则实数的值可能为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数的取值范围可得结论. 【详解】根据题意可得函数的定义域为， 又， 若函数在上单调递减，可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以， 根据对勾函数性质可得在上单调递增， 当时，当时，所以， 所以， 结合选择可知B、C、D符合题意. 故选：BCD 10. 已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由事件的关系，结合概率运算，可得AB的正误；由条件概率与全概率公式，建立方程，可得答案. 【详解】对于A，由，则与互斥，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，则，即与相互独立， 所以，故C正确； 对于D，由，且，， 可得，即， 解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B. 若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C. 若动点满足，则的最小值是 D. 若动点在上，点在上，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例，当运动到点时，此时不垂直于；B采用延长线法可构造截面；C由可知动点的轨迹是球，在平面内找出球心，即可计算半径，则问题转化为与球上的点间的距离的最小值；D以为原点建系，求异面直线和的距离即可. 【详解】对于选项A，当运动到点时，易知不垂直于， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于选项B，如图，设， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形即截面， 由题意得为等腰直角三角形，则， 由，得，则，， 所以，， 同理可得，， 因为分别为的中点， 所以，则截面周长为，故B正确； 对于选项C，由，得平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆， 空间中点的轨迹是球面，球心在直线上， 由得；得， 则半径，， 则， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设且， 因， 则， 则，令，则， 所以异面直线AC和的距离为， 因的最小值即异面直线和的距离， 故的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与事件相互独立，且，，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式求出，再由公式可求得结果. 【详解】因为事件、是相互独立的，则， 所以，. 故答案为：. 13. 如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，同构可得，构建，令，分析可知与有2个不同的交点，利用导数分析的单调性和最值，结合的图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，则，可得， 构建，可得， 令，注意到且，则在内单调递增， 可知与有2个不同的交点， 对于函数， 令，则，解得；令，则，解得； 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于时，趋近于0， 可得的图象如图所示： 由图象可知：，则且，可得且， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）证明：平面PBF． （2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取PB的中点G，连接EG，GF． ，G分别是PA，PB的中点，，且． ，且，，, 四边形EGFD为平行四边形， ．又平面PBF，平面PBF，平面PBF； （2） 【解析】 【分析】（1）取PB的中点G，由、得四边形EGFD为平行四边形，再由线面平行判定定理可得答案； （2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBF的法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向 建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． 设平面PBF的法向量为，则， 取，则，所以， 则， 直线PD与平面PBF所成角的正弦值为． 16. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值； （2）若，求的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出参数值. （2）把代入，利用导数求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，求导得， 则，由切线与直线相互垂直，得，所以. 【小问2详解】 当时，的定义域为， 则，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，，且分别为的中点． （1）证明：． （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先作辅助线构造平行四边形，利用中位线定理得到且，结合已知且，推出且，从而得出四边形是平行四边形，得到， 再证明线面垂直得到，再根据面面垂直性质定理，得到平面，最后得出结论. （2）由（1）知平面．作辅助线，求证平面，得到与平面所成的角为，即．求出．，再建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量坐标，结合向量夹角余弦公式计算即可. 【小问1详解】 如图，取的中点M，连接 因为E为PC的中点，所以，． 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 因为，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知平面．取AB的中点G，连接，则， 所以平面，所以与平面所成的角为，即． 又因为，所以． 又因为，所以． 以G为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，取，则． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面所成的锐二面角为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18. 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． （1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求出甲得0~3分的概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率. 【小问1详解】 由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件， 甲在一轮比赛中得（）分为事件， 则， ， ∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为. 【小问2详解】 由题意及（1）得 设甲在一轮比赛中获胜为事件， ∵， ， ， ， ∴ ， ∴甲在每轮比赛中获胜的概率为. 【小问3详解】 由题意，（1）及（2）得， ，， ，， 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件， ∴ ∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为. 19. 已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”． （1）已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值． （2）证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”． （3）已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析，的最小值是 （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值； （2）通过放缩得，再记，则，则得到，即证明原命题； （3）根据陪伴函数的定义得，通过合理变形并整体求导得，则故．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到其范围. 【小问1详解】 假设是的＂—陪伴函数＂， 则， 即， 则． 因为且，所以，则， 因此，因此是的＂－䧄伴函数＂，且的最小值是． 【小问2详解】 已知， ， . 记，则． 记，则， 即， 因此是的＂M—陪伴函数＂， 即在同一给定闭区间上的函数是函数的＂M－陪伴函数＂． 【小问3详解】 由题知， 即，不妨假设， 则， 则，且， 所以函数单调递增，函数单调递减， 所以， 则．又， 所以， 故． 令，则， 令，易知在上单调递减， 则，所以， 则在上单调递减，则， 因此． 令，则． 令，易知在上单调递减，且， 则，即． 当时，，即，则在上单调递增； 当时，，即，则在上单调递减． 所以． 由，得，则， 因此． 又，所以， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $