专题07 探索规律（压轴题必刷练&二轮复习 学霸秘籍）江苏专用-2026年小升初数学二轮复习真题汇编专题培优练

**基本信息** 专为江苏小升初数学二轮复习设计，精选本省13市近两年名校真题与优质模拟题，聚焦探索规律高频压轴题型，覆盖几何、计算、方程等核心难点，每道题配完整解析，助力突破高分瓶颈。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|9|数字规律（如1,8,27...）、图形点阵规律|结合本地名校真题，基础规律识别| |填空题|7|图形剪切分段、黑白砖数量规律|梯度设计，从具体到抽象| |解答题|11|算式规律应用（如平方差）、方格数字排列|综合实践情境，真题命题趋势关联|

2026年小升初数学二轮复习之压轴题必刷练真题汇编专题练•江苏专用 专题07 探索规律『压轴题必刷练&二轮复习 学霸秘籍』 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 专题说明 资料简介 本专题专为江苏小升初数学备考打造，题目精选江苏省13市近两年各大名校小升初真题与优质模拟题，聚焦高频压轴题型，精准贴合本地考情与命题趋势。 复习内容覆盖几何综合、行程工程、整数小数分数百分数的计算与应用、方程解题等等核心难点，摒弃低效题海，针对性突破小升初数学高分瓶颈。每道题都配有完整清晰的解析思路，从审题切入点、解题步骤推导到方法总结，层层拆解，手把手教会学生梳理解题逻辑、掌握解题技巧。 通过专项训练，全面提升学生逻辑解题能力与精准运算能力，帮助学生攻克数学难题短板，熟练应对小升初各类复杂压轴题型，夯实数学核心素养，从容备战小升初考试，轻松拿下数学高分。 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 学霸秘籍 压轴必刷 一、选择题 1．下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【思路引导】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【规范解答】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 2．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】用倒推法解决问题，每个数恰好等于它前面两个数之和。第7个数＋第8个数＝第9个数，第8个数和第9个数分别是81和131，则第7个数＝131－81＝50；第6个数＋第5个数＝第7个数，这样一个一个数往前面推。直至找出第一个数即可。 【规范解答】根据分析： 第7个数：131－81＝50 第6个数：81－50＝31 第5个数：50－31＝19 第4个数：31－19＝12 第3个数：19－12＝7 第2个数：12－7＝5 第1个数：7－5＝2 第一个数是2。 故答案为：B 3．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 【答案】C 【思路引导】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【规范解答】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 4．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【规范解答】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 5．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【思路引导】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【规范解答】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 6．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】每个数恰好等于它前两个数之和，根据第8个数和第9个数分别是76和123，可以倒推第7个、第6个……，直至推出第1个数。 【规范解答】第7个：123－76＝47 第6个：76－47＝29 第5个：47－29＝18 第4个：29－18＝11 第3个：18－11＝7 第2个：11－7＝4 第1个：7－4＝3 即这9个数为3、4、7、11、18、29、47、76、123。 故答案为：C 7．先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（    ）。 A．7070 B．7090 C．7089 D．7094 【答案】B 【思路引导】先根据题意多写几位这个整数，直至找出规律：这个整数是以“3581347112”每10个数字为一个循环；先用除法求出2025里有几个10，然后根据余数的情况，判断2025位的最后一个数字； 求这个整数的2025位的数字之和是多少，先求出一个循环周期各个数位上的数字之和，再乘循环的次数，最后加上余数中出现的几个数字即可求解。 【规范解答】接着往下写：35813471123581347112… 发现是以“3581347112”每10个数字为一个循环； 2025÷10＝202……5 余数是5表示是一个循环里的第5个数，即3； （3＋5＋8＋1＋3＋4＋7＋1＋1＋2）×202＋3＋5＋8＋1＋3 ＝35×202＋3＋5＋8＋1＋3 ＝7070＋3＋5＋8＋1＋3 ＝7090 则这个整数的数字之和是7090。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查周期性问题，关键是根据写数的方法找出这个整数的循环规律，再用除法确定2025位最后一个数字是几，进而求出2025位数字之和。 8．巧算：（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】解答这道题需明确减法的性质：，即2－－－－－－…－＝2－（＋＋＋＋＋…＋）。可以通过找规律的方法求出＋＋＋＋＋…＋的结果，再用2减去这个结果即可。 因为： ＋＝ ＋＋＝ ＋＋＋＝ 所以，＋＋＋＋＋…＋＝。 据此解答。 【规范解答】根据分析： 2－－－－－－…－ ＝2－（＋＋＋＋＋…＋） ＝2－ ＝－ ＝ ＝ 故答案为：C 【考点剖析】这道题的关键在于利用找规律的方法求出＋＋＋＋＋…＋结果，再用2减去这个结果即可。 9．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【答案】B 【思路引导】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【规范解答】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 【考点剖析】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。 二、填空题 10．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【规范解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 11．按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【思路引导】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【规范解答】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 12．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【规范解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 13．填上适当的数：，，，，，________，…。 【答案】 【思路引导】通过分解分母找到与序号的关系，从而确定括号内的数。数列中各数的分母依次为2，6，12，20，30。分解分母：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6。可发现规律：第n个数的分母为n（n＋1）。 【规范解答】括号内是第6个数，此时n＝6，分母为6×7＝42，分子始终为1，故该数为。 14．按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【答案】76 【思路引导】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【规范解答】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 15．①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【思路引导】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【规范解答】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 16．请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 【答案】见详解 【思路引导】只能是由减去得到的，由于a也是两数相减得到的，所以a不能是，只能是，可以确定、、三个数的位置，其中c+d=，并且只能是、、、这四种情况，进行分类讨论，求出最后的结果。 【规范解答】 当c取时，被重复使用，故排除； 当c取时，减不等于，故排除； 当c取时，减不等于，故排除； 当c取时，符合要求，且和可以调换位置。 三、判断题 17．有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 【答案】√ 【思路引导】这一列数中，分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n－1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；所以还有10个分母是11的分数，由此求解。 【规范解答】分母是11的分数一共有；2×11－1＝21（个） 从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1＋3＋5＋7＋…＋21 ＝（1＋21）×11÷2 ＝22×11÷2 ＝121（个） 还有10个分母是11的分数 121－10＝111 有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，是第111个数。原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 18．脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 【答案】；1； 5670； 【思路引导】（1）先算括号内的加法，先把小括号里的异分母进行通分再相加得到的结果乘2后，再算括号外的分数除法，据此得到结果； （2）利用加法交换律先把和交换位置，得到，再利用加法结合律和减法性质得到简便计算，据此得到结果； （3）首先将8.77×567转化为877×5.67，再利用乘法分配律简便计算，据此得到结果； （4）先把化成，化成，化成，化成，化成，化成，化成，再去掉括号计算，据此得到结果。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝2－1 ＝1 （3）123×5.67＋8.77×567   ＝123×5.67＋877×5.67 ＝（123＋877）×5.67 ＝1000×5.67 ＝5670 （4）1－ ＝1－－－－－－－ ＝1－1＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋ ＝ 19．探究规律，巧妙计算。 （1）＝ －＝（    ） －＝（    ） （2） ＝（    ） 请展示你的思维过程： 【答案】（1）； （2） 思维过程： ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－） ＝7－（＋＋＋＋＋＋） ＝7－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝7－（1－） ＝7－ ＝ 【思路引导】（1）根据异分母的分数的减法计算出结果即可。 （2）通过观察，每个分数都是用1减去它的分数单位得到的，于是把原式变为（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－），然后运用减法的性质变为7－（＋＋＋＋＋＋），括号内的每个分数都可以拆分成两个分数相减的形式，然后通过加、减相互抵消，得出结果。 【规范解答】（1）＝－＝ ＝－＝ （2） ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－） ＝7－（＋＋＋＋＋＋） ＝7－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝7－（1－） ＝7－ ＝ 20．简便运算。                           【答案】144；； 10000；1023 【思路引导】（1）分母相同分子相加，分子部分前两项都有144，把48×72也化成144×24的形式，再根据乘法分配律计算结果。 （2）分子相同，则要观察分母的规律：，，，…，，，，，…，，再利用乘法分配律计算结果。 （3）将19961997看作是19961996＋1，将19971997看作是19971996＋1，然后根据乘法分配律化简进行计算。 （4）观察数字规律可知，，，…，，后一个数都是前一个数的2倍，所以原式就是，逐项相加计算即可。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【考点剖析】数字多且数值大，首先观察数字规律，再灵活运用所学定律进行简便运算。 五、解答题 21．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【规范解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 22．观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【思路引导】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【规范解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 23．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【答案】(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【思路引导】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【规范解答】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【考点剖析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 24．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 周长/厘米 2 4 6 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以图形⑤最右边一列有5个小正方形，向左依次递减，据此画出图形即可。 （2）求出图形④和图形⑤分别有几个小正方形，再用数量乘一个小正方形的体积即可；图形④的周长相当于是边长是（0.5×4）厘米的正方形的周长；图形⑤的周长相当于是边长是（0.5×5）厘米的正方形的周长；根据正方形周长的公式求出周长即可。 【规范解答】 （1）如图： （2）个数的规律：图①的个数：1，面积：1×0.25＝0.25（平方厘米）； 图②的个数：1＋2＝3，面积：3×0.25＝0.75（平方厘米）； 图③的个数： 1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6 面积：6×0.25＝1.5（平方厘米）； 图 n 的个数：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）÷2，面积：n（n＋1）÷2×0.25（平方厘米）； 图④的个数： 4×（4＋1）÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10 面积：10×0.25＝2.5（平方厘米）； 图⑤的个数： 5×（5＋1）÷2 ＝5×6÷2 ＝30÷2 ＝15 面积：15×0.25＝3.75（平方厘米）； 周长的规律：图①的周长：4×0.5＝2厘米； 图②的周长：4×1＝4厘米； 图③的周长：4×1.5＝6厘米； 图 n 的周长：4×n×0.5＝2n厘米 图④的周长：4×2＝8厘米； 图⑤的周长：5×2＝10厘米； 如表： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 2.5 3.75 长/厘米 2 4 6 8 10 【考点剖析】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键。 25．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 【答案】（1）分子，和 （2）① ②19 【思路引导】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【规范解答】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【考点剖析】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 26．如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中，，所以2135是“依赖数”。 (1)最小的四位依赖数是___________。 (2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数。 【答案】(1)1022 (2)2226和3066 【思路引导】（1）要求最小的四位依赖数，根据数位越高数值影响越大的原则，应使千位数字尽可能小，其次是百位、十位、个位。千位最小为1，百位最小为0，再根据依赖数的定义计算十位和个位，验证是否符合数字要求。 （2）首先根据依赖数的定义，用千位数字和百位数字表示出十位和个位数字。接着表示出后三位组成的数，代入“特色数”的判定条件，化简得到关于和的整除关系。最后结合每位数字0到9的范围限制，通过枚举法确定和的值，从而求出所有特色数。 【规范解答】（1）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。 根据“依赖数”的定义可知： 要使这个四位数最小，千位数字应取最小值。因为是四位数，最小为1。 百位数字应取最小值，最小为0。 当，时： 十位数字 个位数字 此时，均为0到9之间的数字，符合要求。 所以最小的四位依赖数是1022。 （2）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。 后三位表示的数为。 将和代入上面的表达式中： 后三位表示的数为 根据题意，“特色数”需满足：后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3 代入特色数的判定式： 因为是的倍数，，。 所以的余数，等同于的余数。 根据题意，余数为3，即余3。 同时需满足数字限制： 1.是千位数字，。 2.是数位上的数字，。 3.由且，可知，即只能取1，2，3，4。 4.由，可知。 分类讨论的取值： ①当时： 余3，即余2。 在范围内，可取0，1，2。 若，余0；若，余4；若，余1。 均不符合余3的条件，故无解。 ②当时： 余3，即余1。 在范围内，可取0，1，2，3。 若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。 则取2符合条件，，，即特色数是2226。 ③当时： 余3，即余0。 在范围内，可取0， 1， 2， 3。 若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。 则取0符合条件，件，，，即特色数是3066。 ④当时：由于，则只能是0和1。 当取0时，余4，不符合余3的条件；当取1时，余2，不符合余3的条件。 答：所有的特色数是2226和3066。 27．如图，在5×5的方格内，放入一枚棋子，每次只能向上、向右或向左下移动一格，例如： 对于以下初始位置，棋子是否可以经过24次移动走遍所有方格？若能，请画出一种走法；若不能，请说明理由。                                                【答案】见详解 【思路引导】我们用颜色给格子涂色，帮助我们找到规律。我们按照一定的规则给每个格子涂上红、黄、蓝三种颜色（对应颜色1、2、3），然后发现三种颜色的格子数量不一样：红色和黄色各有8个，蓝色有9个。然后我们观察棋子的移动方式：每次只能向上、向右或向左下走一格。通过分析发现，棋子每走一步，颜色会按照固定的顺序变化（比如从红色到黄色，再到蓝色，再回到红色......）。因此，要走完25个格子，起点和终点的颜色必须相同（因为颜色变化是循环的）。由于蓝色格子比其他两种颜色多一个（有9个），所以起点和终点都必须是蓝色格子，这样才能保证走完所有格子。据此解答 【规范解答】（1）棋子在A可以，如图： （2）棋子在B不能，如图所示： 可以进行三染色，用1、2、3代替三种颜色，图中颜色1和3各有8个，2有9个，一个成功的路线必须是2一3一1一2一3一1—2一......＞1一2，从2开始到2结束，因为B不在2号位置，故不能。 （3）棋子在C可以，如图： （4）棋子在D可以，如图： 28．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【思路引导】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【规范解答】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【考点剖析】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 29．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【思路引导】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论 ，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【规范解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【考点剖析】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 30．将1~3000的整数按照下表的方式排列。用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于（1）1997（2）2160（3）2142能否办到？若办不到，简单说明理由。若办得到，写出正方框里的最大数和最小数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 … 2986…3000 【答案】（1）（2）办不到；理由见详解 （3）办得到；最大数：254；最小数：222 【思路引导】可以设框中九个数中的最中间的数为x，根据此表的规律用含x的式子表示出其他8个数，这9个数的和为x＋（x＋1）＋（x－1）＋（x－15）＋（x＋15）＋（x＋1－15）＋（x＋1＋15）＋（x－1－15）＋（x－1＋15），依次将这9个数的和等于1997，2160，2142，若解得x为整数，且符合题意，就办得到；反之，就办不到。 【规范解答】解：设框中九个数中的最中间的数为x，则这9个数的和为： x＋（x＋1）＋（x－1）＋（x－15）＋（x＋15）＋（x＋1－15）＋（x＋1＋15）＋（x－1－15）＋（x－1＋15） ＝x＋x＋1＋x－1＋x－15＋x＋15＋x－14＋x＋16＋x－16＋x＋14 ＝9x （1）当9x＝1997时，解得，不是列表中的数字，因此办不到。 答：用一长方形框出九个数，不能使这九个数的和等于1997。 （2）当9x＝2160时，解得，240÷15＝16，是列表中第16行最后一个数字，因为x是框中最中间的数，这样框里少了第三列的3个数，所以办不到。 答：用一长方形框出九个数，不能使这九个数的和等于2160。 （3）当9x＝2142时，解得，238÷15＝15……13，是列表中第15行第13列的数字，框中的9个数字都存在，所以办得到。 此时方框里的最小数是：238－16＝222； 最大数是：238＋16＝254。 答：用一长方形框出九个数，能使这九个数的和等于2142，且方框里最大的数是254，最小的数是222。 【考点剖析】解答本题的关键是需要观察出图表中框出数字的规律，利用中间数与这9个数的关系来进行计算。 31．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【思路引导】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【规范解答】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【考点剖析】本题考查了数表中的规律的应用。 32．100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 【答案】6；64 【思路引导】第1轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为2，4，6…100，总共有50名同学； 第2轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为4，8，12…100，总共有25名同学； 第3轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为8，16，24…96，总共有12名同学； 可以发现：第1轮后剩下的数是2的倍数，第2轮后剩下的是4的倍数，第3轮后剩下的是8的倍数……据此往下报数，即可找出剩下的数。 【规范解答】第1轮报数后，剩下2的倍数：2，4，6…100； 第2轮报数后，剩下4的倍数：4，8，12…100； 第3轮报数后，剩下8的倍数：8，16，24…96； 第4轮报数后，剩下16的倍数：16，32，48，64，80，96； 第5轮报数后，剩下32的倍数：32，64，96； 第6轮报数后，剩下64的倍数：64； 答：报到第6轮后就只剩下1名同学，他是64号。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之压轴题必刷练真题汇编专题练•江苏专用 专题07 探索规律『压轴题必刷练&二轮复习 学霸秘籍』 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 专题说明 资料简介 本专题专为江苏小升初数学备考打造，题目精选江苏省13市近两年各大名校小升初真题与优质模拟题，聚焦高频压轴题型，精准贴合本地考情与命题趋势。 复习内容覆盖几何综合、行程工程、整数小数分数百分数的计算与应用、方程解题等等核心难点，摒弃低效题海，针对性突破小升初数学高分瓶颈。每道题都配有完整清晰的解析思路，从审题切入点、解题步骤推导到方法总结，层层拆解，手把手教会学生梳理解题逻辑、掌握解题技巧。 通过专项训练，全面提升学生逻辑解题能力与精准运算能力，帮助学生攻克数学难题短板，熟练应对小升初各类复杂压轴题型，夯实数学核心素养，从容备战小升初考试，轻松拿下数学高分。 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 学霸秘籍 压轴必刷 一、选择题 1．下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 2．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 4．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 5．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 6．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（    ）。 A．7070 B．7090 C．7089 D．7094 8．巧算：（    ）。 A． B． C． D． 9．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 二、填空题 10．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 11．按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 12．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 13．填上适当的数：，，，，，________，…。 14．按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 15．①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 16．请将填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。 三、判断题 17．有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 四、计算题 18．脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 19．探究规律，巧妙计算。 （1）＝ －＝（    ） －＝（    ） （2） ＝（    ） 请展示你的思维过程： 20．简便运算。                           五、解答题 21．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 22．观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 23．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 24．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 周长/厘米 2 4 6 25．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 26．如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中，，所以2135是“依赖数”。 (1)最小的四位依赖数是___________。 (2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数。 27．如图，在5×5的方格内，放入一枚棋子，每次只能向上、向右或向左下移动一格，例如： 对于以下初始位置，棋子是否可以经过24次移动走遍所有方格？若能，请画出一种走法；若不能，请说明理由。                                                28．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 29．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 30．将1~3000的整数按照下表的方式排列。用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于（1）1997（2）2160（3）2142能否办到？若办不到，简单说明理由。若办得到，写出正方框里的最大数和最小数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 … 2986…3000 31．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $