专题18.2 菱形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题18.2 菱形 教学目标 1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系。 2.掌握菱形的性质与判定定理，能进行基础的计算与证明。 3.熟练运用菱形面积公式解决相关面积问题。 4.能处理菱形与折叠、动点、几何图形结合的综合问题。 教学重难点 重点 （1）菱形的性质与判定定理 （2）菱形对角线互相垂直平分的性质应用 （3）菱形面积公式（）的计算 难点 （1）菱形判定定理的灵活选择与证明 （2）菱形折叠问题中边长与角度的计算 （3）菱形与动点、函数图象的综合探究 知识点01：菱形的定义 1.有 的平行四边形叫做菱形。 2.菱形是特殊的 ，是平行四边形中“边”具有特殊性的图形。 【即学即练】 1．（2025·四川泸州·二模）下列命题是真命题的是（   ） A．三条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形 知识点02：菱形的性质 性质类别 具体内容 数学表达 图示 边的性质 ，， 角的性质 ，； 对角线性质 ，，；平分和，平分和 对称性 对称轴为2条（对角线所在直线），对称中心为对角线交点 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形，又是中心对称图形 知识点03：菱形的判定 1.定义法：有 的平行四边形是菱形。 2.判定定理1： 的四边形是菱形。 3.判定定理2： 的平行四边形是菱形。 【即学即练】 1．（2026年广东省初中学业水平质量监测卷九年级数学（大湾区一模））如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 知识点04：菱形的面积公式 1.基本公式：面积=底×高，即（为底，为高）。 2.特殊公式： ，即（、为菱形两条对角线的长度）。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，，求四边形的面积． 题型01利用菱形性质求角度 方法技巧：利用对角相等、邻角互补，结合对角线平分内角求解。 【典例1】. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【变式1】. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，菱形中，，连接，点是对角线上一点，，垂足为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 【变式3】. （2026·河南周口·一模）如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型02利用菱形性质求线段长 方法技巧：依托四条边相等、对角线互相垂直平分，结合勾股定理计算。 【典例2】. （25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在菱形中，，，则的长为______． 【变式1】. （25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为_________． 【变式2】. （25-26八年级下·重庆·期中）四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为______． 题型03菱形的判定（填条件） 方法技巧：先证平行四边形，再补“邻边相等”或“对角线垂直”条件；直接证四边相等。 【典例3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）添加下列一个条件，能使成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·江苏无锡·一模）如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【变式3】. （25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形的对角线；相交于点，，且，若_________，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型04菱形的证明题 方法技巧：优先用“平行四边形+邻边相等”或“平行四边形+对角线垂直”证明。 【典例4】. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)是直角三角形，，求的度数． 【变式1】. （25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，，点C是射线上一点． (1)尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求菱形的面积． 【变式3】. （25-26八年级下·河南开封·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交分别于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 题型05菱形面积的基础计算 方法技巧：直接代入底×高或计算，注意对角线长度的求解。 【典例5】. （25-26八年级下·西藏·期中）如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【变式1】. （2026·贵州铜仁·模拟预测）在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 【变式2】. （25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式3】. （25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 题型06菱形对角线与边长的关系应用 方法技巧：设对角线一半为未知数，结合勾股定理列方程求边长/对角线。 【典例6】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式1】. （25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形边上取一点C使，过点作，交的延长线于点B，垂足为点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【变式2】. （2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式3】. （25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 题型07菱形与平面直角坐标系 方法技巧：用坐标表示顶点，结合菱形边相等、对角线垂直特征求坐标/边长。 【典例7】. （25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【变式1】. （25-26九年级上·陕西榆林·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 【变式2】. （2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点． (1)当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． (2)若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 题型08菱形的折叠问题 方法技巧：折叠前后边、角相等，利用菱形性质结合勾股定理求边长/角度。 【典例8】. （25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，把矩形沿对折，点A与点C恰好重合，已知，． (1)求证：四边形为菱形； (2)求折痕的长． 【变式1】. （24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【变式2】. （24-25八年级下·全国·月考）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【变式3】. （23-24八年级下·吉林长春·期中）综合与实践 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，. (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，以点A，F，C，E为顶点的四边形是______形． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出______ 题型09菱形中的最值问题 方法技巧：利用垂线段最短、对称性质，结合菱形边长/对角线求最值。 【典例9】. （24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【变式1】. （24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 【变式3】. （24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 题型10菱形的存在性探究 方法技巧：分情况讨论四边相等、邻边相等、对角线垂直的条件，确定存在性。 【典例10】. （25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【变式2】. （24-25八年级下·福建莆田·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【变式3】. （25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 一、单选题 1．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（   ） A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形 2．如图，在菱形中，E，F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．32 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．菱形的周长为，一条对角线长是，则菱形的面积为______． 6．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 7．如图，已知四边形是菱形，对角线交于点，，以点为圆心，的长为半径作圆弧交线段于点，，则菱形的周长是______． 8．如图，在菱形中，点M、N分别在、边上，，连接、．若，则线段的长为___________． 三、解答题 9．如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，试判断四边形的形状，并说明理由． 10．如图，四边形中，，，延长边，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，若．试判断四边形的形状，并说明理由． 11．将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果两张矩形纸片的长都是9，宽都是3．那么菱形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 12．如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． (2)如图2，若，．求证：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.2 菱形 教学目标 1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系。 2.掌握菱形的性质与判定定理，能进行基础的计算与证明。 3.熟练运用菱形面积公式解决相关面积问题。 4.能处理菱形与折叠、动点、几何图形结合的综合问题。 教学重难点 重点 （1）菱形的性质与判定定理 （2）菱形对角线互相垂直平分的性质应用 （3）菱形面积公式（）的计算 难点 （1）菱形判定定理的灵活选择与证明 （2）菱形折叠问题中边长与角度的计算 （3）菱形与动点、函数图象的综合探究 知识点01：菱形的定义 1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形是特殊的平行四边形，是平行四边形中“边”具有特殊性的图形。 【即学即练】 1．（2025·四川泸州·二模）下列命题是真命题的是（   ） A．三条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故A不符合题意； B、命题是真命题，故B符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故C不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意． 故选：B． 知识点02：菱形的性质 性质类别 具体内容 数学表达 图示 边的性质 对边平行，四条边都相等 ，， 角的性质 对角相等，邻角互补 ，； 对角线性质 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 ，，；平分和，平分和 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 对称轴为2条（对角线所在直线），对称中心为对角线交点 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．据此求解即可． 【详解】解：A、菱形的四边相等，此选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，此选项不符合题意； C、菱形的对角线不一定相等，此选项符合题意； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项不符合题意． 知识点03：菱形的判定 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。 3.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【即学即练】 1．（2026年广东省初中学业水平质量监测卷九年级数学（大湾区一模））如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)选①，四边形是矩形；选②，四边形是菱形；证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，进而得到 ，结合，证明，即可证明结论； （2）由（1）易证四边形是平行四边形，选①，根据等腰三角形三线合一可得，即 ，可得四边形是矩形；选②，利用直角三角形的性质，可得，可得四边形是菱形． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 知识点04：菱形的面积公式 1.基本公式：面积=底×高，即（为底，为高）。 2.特殊公式：对角线乘积的一半，即（、为菱形两条对角线的长度）。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得出，，由得出，进而即可得证； （2）证明四边形是菱形，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 又， ∴， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 题型01利用菱形性质求角度 方法技巧：利用对角相等、邻角互补，结合对角线平分内角求解。 【典例1】. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【分析】根据菱形对角线互相垂直的性质，可得，结合点在菱形边上的不同位置，分两种情况分类计算即可． 【详解】解： 四边形是菱形，对角线、相交于点， 菱形对角线互相垂直，即， ， 分两种情况讨论： ① 当点在边上时，在内部， ； ② 当点在边上时，在外部， ． 综上，的度数为或． 【变式1】. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，菱形中，，连接，点是对角线上一点，，垂足为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，再利用对角线平分对角求出的度数，最后在中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 是菱形的对角线， 平分， ， ， ， ． 【变式2】. （25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质得出相等的边和角，表示出相关的角，根据线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （2026·河南周口·一模）如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 题型02利用菱形性质求线段长 方法技巧：依托四条边相等、对角线互相垂直平分，结合勾股定理计算。 【典例2】. （25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据“菱形的四条边相等”，可知，结合“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，可证明为等边三角形． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． 又， ∴为等边三角形． ∴． 【变式1】. （25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为_________． 【答案】 【分析】先由三角形中位线的性质得到菱形边长，再由菱形性质求周长即可． 【详解】解：在中，，分别是，的中点，则是的中位线， ， 菱形的周长为． 【变式2】. （25-26八年级下·重庆·期中）四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，， ，，， ， ， ， ， 解得． 【变式3】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为______． 【答案】 【分析】连接，通过菱形的周长和面积分别求出边长和，最后由面积和差即可求出的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ， ， ， 则． 题型03菱形的判定（填条件） 方法技巧：先证平行四边形，再补“邻边相等”或“对角线垂直”条件；直接证四边相等。 【典例3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）添加下列一个条件，能使成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、添加，对边相等，不能使成为菱形； B、添加，对角线相等，能使成矩形，不能使成为菱形； C、添加，有一个内角是直角，能使成矩形，不能使成为菱形； D、添加，邻边相等，能使成为菱形． 【变式1】. （2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式2】. （2026·江苏无锡·一模）如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 【变式3】. （25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形的对角线；相交于点，，且，若_________，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选择②，理由见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，根据平分得出，由得出，即可得出，根据等角对等边可得，即可得出平行四边形是菱形． 【详解】解：选择②平分， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 题型04菱形的证明题 方法技巧：优先用“平行四边形+邻边相等”或“平行四边形+对角线垂直”证明。 【典例4】. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)是直角三角形，，求的度数． 【答案】(1)见详解． (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线性质、外角性质等定理． （1）根据条件可知四边形是平行四边形，再根据角的关系得出两邻边相等，故四边形是菱形． （2）由菱形性质知，再由是直角三角形斜边中线，知，最后根据外角性质即可求． 【详解】（1）， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， ， 又是直角三角形， ， 由（1）知， ， 是的外角， ． 【变式1】. （25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据平行的性质证明，再根据，证明，即可得到结论； （2）根据题意证明和，由此证明点为的中点，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ． ， ， ， ， 点为的中点， ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，，点C是射线上一点． (1)尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点B，交于点O，在垂直平分线上取点D，使得，连接，，，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，由得到，根据勾股定理有，因此，求得，从而，根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解∶∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·河南开封·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交分别于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质证明可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线即为所求； （2）解：猜想：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型05菱形面积的基础计算 方法技巧：直接代入底×高或计算，注意对角线长度的求解。 【典例5】. （25-26八年级下·西藏·期中）如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形．     是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线，     ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 【变式1】. （2026·贵州铜仁·模拟预测）在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）设，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可求解的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ 设， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴的面积． 【变式2】. （25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)120 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 【变式3】. （25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)24 【分析】（1）根据矩形的判定条件证明即可；（2）先证明四边形是菱形，再根据面积计算式求解即可； 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2）是沿折叠而得， ，． 在（1）的条件下， ， 四边形是菱形． ， 点O在上， ， ， 在矩形中，，， ，． ． 题型06菱形对角线与边长的关系应用 方法技巧：设对角线一半为未知数，结合勾股定理列方程求边长/对角线。 【典例6】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 【变式1】. （25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形边上取一点C使，过点作，交的延长线于点B，垂足为点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长为 【分析】（1）先推导出，，得到证明出，可得到，即可证明平行四边形是菱形． （2）先求出，，，，根据勾股定理，得到，，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴ ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∴， 在中， ． ∴． ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ． ∴． 在中， ． ∵四边形是菱形， ∴O为的中点． ∴． 答：线段的长为． 【变式2】. （2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：设， ∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，再根据矩形的性质即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴． （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 题型07菱形与平面直角坐标系 方法技巧：用坐标表示顶点，结合菱形边相等、对角线垂直特征求坐标/边长。 【典例7】. （25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西榆林·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，连接，交于点，由菱形的性质得到，由点的坐标可得，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点， 故答案为：． 【变式2】. （2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点． (1)当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． (2)若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，即可； （2）①根据菱形的性质得到，然后结合点C坐标是求解； ②过点C作，设，则，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求； 设，交于点G， 由作图得，垂直平分 ∴，，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）解：①∵四边形是菱形，点A坐标是， ∴ ∵点C坐标是 ∴B的坐标为； ②如图，过点C作， ∴ 设，则 在中， ， 解得 点E的坐标． 题型08菱形的折叠问题 方法技巧：折叠前后边、角相等，利用菱形性质结合勾股定理求边长/角度。 【典例8】. （25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，把矩形沿对折，点A与点C恰好重合，已知，． (1)求证：四边形为菱形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，从而可得，再根据，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形为菱形； （2）先根据矩形的性质得出，，再根据勾股定理求出，接着根据菱形的性质得出，，，设，则，利用勾股定理分别求得、即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把矩形沿对折，点A与点C恰好重合， ∴，， 又、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，证明四边形是菱形，利用菱形的性质求线段长，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式1】. （24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，利用勾股定理解决几何问题，菱形的判定和性质，利用菱形的面积求对角线的长度等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据翻折的性质得出相等的边长，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可得出结果； （2）连接，根据条件证明四边形为菱形，利用菱形的面积即可求出对角线的长度． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 【变式2】. （24-25八年级下·全国·月考）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； （3）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【变式3】. （23-24八年级下·吉林长春·期中）综合与实践 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，. (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，以点A，F，C，E为顶点的四边形是______形． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出______ 【答案】(1)菱 (2)① ．理由见解析；② 7.2 【分析】(1)根据折叠可得垂直平分，推出，证明可得，然后利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论； (2)①由折叠的性质可得，利用等边对等角、三角形外角的性质可得，进而得出，然后利用平行线的判定即可得证；②连接交于M，证明，利用等面积法求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 理由如下：如图，连接，设与交于点M， 由折叠可知，，，即垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形， 故答案为：菱． （2）解：①．理由如下： ∵折叠， ∴，， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 如图，连接交于M， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∵矩形纸片中，，，G为中点， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后对应边相等，对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分． 题型09菱形中的最值问题 方法技巧：利用垂线段最短、对称性质，结合菱形边长/对角线求最值。 【典例9】. （24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质．设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，可得的最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∵四边形是菱形， ∴关于对称，，， ∴，，且点N在上， ∴，即的最小值为的长， ∵E为的中点， ∴N为的中点， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5 【变式1】. （24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式2】. （2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点A作于点O，取点H为的中点，连接，证明，则的最小值即为的最小值．当时取最小值，证明的长为，所以根据勾股定理求出的长，则的最小值即为的长． 【详解】解：如图，过点A作于点O，取点H为的中点，连接， 则， 点G是的中点， ， 在菱形中，，， ， ， 即， ， ， 则当最小时，最小， 如图，当时，取最小值， 点是的中点，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， 即最小值为． 【变式3】. （24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型10菱形的存在性探究 方法技巧：分情况讨论四边相等、邻边相等、对角线垂直的条件，确定存在性。 【典例10】. （25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据“路程速度时间”可表示出和，从而可得； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． （3）解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 【变式2】. （24-25八年级下·福建莆田·期中）在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）利用三角形全等可得 则即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 【变式3】. （25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 一、单选题 1．从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（   ） A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形 【答案】C 【分析】对于等腰梯形、矩形、平行四边形和菱形，分别分析它们的对角线性质，再根据垂足四边形的定义判断其形状． 【详解】解：A、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，故A选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，故B选项错误，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，故C选项正确，符合题意； D、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，故D选项错误，不符合题意． 2．如图，在菱形中，E，F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．32 【答案】B 【分析】连接，易证是的中位线，求出，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴菱形的面积为． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 5．菱形的周长为，一条对角线长是，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：菱形的周长为，一条对角线的长是， ∴，，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 6．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】可求出，，利用菱形的性质得到，，则可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，轴， ∴． 7．如图，已知四边形是菱形，对角线交于点，，以点为圆心，的长为半径作圆弧交线段于点，，则菱形的周长是______． 【答案】24 【分析】由菱形的性质得，，，，再证明是等边三角形，得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径作圆弧交线段于点E， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 8．如图，在菱形中，点M、N分别在、边上，，连接、．若，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】连接，过点分别作于点于点，根据菱形的面积公式求出，根据和等底等高得，由已知，进而得，再根据面积公式得，由此可得，在Rt中，由勾股定理求出，进而可得，然后在Rt中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点分别作于点于点， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 三、解答题 9．如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)矩形；详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定： （1）利用平行线的性质和角平分线的定义证明是等腰三角形，得到，通过得到，结合判定四边形为平行四边形，利用邻边相等即可判定； （2）先证明，再证明四边形是平行四边形，利用菱形对角线互相垂直和三角形内角和定理证明，从而判定为矩形． 【详解】（1）证明：，点在边上，点在边的延长线上， ， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）矩形． 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 10．如图，四边形中，，，延长边，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，若．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形为菱形，理由见解析． 【分析】先证明四边形为平行四边形，推出，再结合题干条件，证明，推出，即可判断四边形的形状． 【详解】解：四边形为菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 11．将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果两张矩形纸片的长都是9，宽都是3．那么菱形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值和最大值，最小值为12，最大值为20 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形．然后分别过点A、D作于E，于F．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得，又由面积问题，可得，即可得四边形为菱形； （2）由题意可判断，当为菱形纸片的对角线时，菱形的周长有最大值 ．当时，菱形为正方形，菱形周长最小值． 【详解】（1）解：如图，根据题意得：，   ∴四边形是平行四边形．   分别过点A、D作于E，于F．   ∵两张矩形纸片的宽度相等，   ∴，   又∵，   ∴，   ∴是菱形； （2）当为菱形纸片的对角线时，设．则， 如图，   在中，，   即 ． 解得 ∴菱形的周长的最大值为 当时，菱形为正方形，宽最小值为3， 菱形的周长的最小值为． 12．如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． (2)如图2，若，．求证：． 【答案】(1)①证明见详解，②证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，再结合已知条件得到，从而推出，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论； ②分别延长、交于点G，证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差关系即可证得结论； （2）过点C作交延长线于点N，利用菱形的性质得出，，，证明是等腰三角形，结合已知条件证得是等腰三角形，再证得和是等腰直角三角形，从而得出相关线段的等量关系，然后证明，利用线段和差关系即可证得结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图，分别延长、交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点F，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴． （2）证明：如图，过点C作交延长线于点N， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即, ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $