专题18.1 矩形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题18.1 矩形 教学目标 1.理解矩形定义，掌握矩形与平行四边形的关系。 2.熟练运用矩形的性质与判定进行计算和证明。 3.掌握直角三角形斜边中线的性质并会应用。 4.能解决矩形与折叠、动点、坐标结合的综合题。 教学重难点 1.重点 （1）矩形的性质与判定定理 （2）直角三角形斜边中线性质 （3）矩形对角线相等且平分的应用 2.难点 （1）矩形判定定理的灵活选择 （2）矩形折叠中的方程思想 （3）矩形与动点、坐标的综合问题 知识点01：矩形的定义 1.有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 2.矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义，结合矩形的性质即可直接判断． 【详解】解：∵中心对称图形是绕平面内某点旋转后能与原图形重合的图形，轴对称图形是沿平面内某条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形． 又∵矩形绕对角线交点O旋转后可与原图形重合，沿两组对边中点所在直线对折，直线两侧部分完全重合， ∴矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对应选项为C． 知识点02：矩形的性质 1.边：对边平行且相等。 2.角：四个角都是直角（）。 3.对角线：相等且互相平分，即，。 4.对称性：既是轴对称图形（2条对称轴），又是中心对称图形。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可知，证明，利用全等三角形的性质可证，根据两点之间线段最短可知，利用勾股定理求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接、、， 则有， 四边形是矩形， ，， 在和中，， ， ， ， 两点之间线段最短， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， . 知识点03：直角三角形斜边中线性质 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.数学表达：在中，，为中点，则。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先利用中位线求的长度，再根据直角三角形斜边中线求的长度，最后计算． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵，是的中点， ， ∵， ∴， ． 知识点04：矩形的判定 1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，，点D是直角边上的一点且满足，在过点D且垂直于的射线上取点E使得，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、整式加减的应用； 先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，从而可得，于是有，再证明，从而可得，，然后证明，从而可得，再求出的周长． 【详解】解：在上方作，交的延长线于点N，作，交的延长线于点M， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 题型01利用矩形性质求角度 方法技巧：利用四个角为、对角线分成等腰三角形求解。 【典例1】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得，再结合已知得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】/120度 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【变式3】. （22-23九年级下·贵州铜仁·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于O点，若，则的度数为_____________． 【答案】/56度 【分析】利用矩形的性质可得到对角线相等且互相平分，根据等腰三角形等边对等角求得，最后利用三角形外角的性质即可得出结果． 【详解】在矩形中，且互相平分， ∴， ∴， ∴． 题型02利用矩形性质求线段长 方法技巧：用、结合勾股定理计算。 【典例2】. （24-25八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得，， 再根据得，则是等边三角形，由此得，即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【变式1】. （辽宁抚顺市2026年初中业水平模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得到，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （2022·湖北十堰·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则四边形的周长是___________． 【答案】14 【分析】利用矩形的性质求出相关线段的长度，再结合三角形中位线定理得到的长度，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 在矩形中，，，， 根据勾股定理，可得． ∴． ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵是中点，， ∴， ∵是中点，， ∴， 则四边形的周长为． 【变式3】. （25-26八年级下·上海松江·期中）已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度（），点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则____________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，连接，先由矩形全等和勾股定理求，再用面积法求，证平行且等于得平行四边形，利用对角线平分即可求出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接， ∴， ∵矩形与完全相同， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型03直角三角形斜边中线性质应用 方法技巧：见直角三角形+斜边中点，直接用中线等于斜边一半。 【典例3】. （25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可． 【详解】解：矩形，， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， ，， ∵， ， 在中，， ． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为___________． 【答案】18 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而求出的长，再根据三角形中位线的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，、是中点， ， ， ，分别是，的中点， ． 【变式2】. （25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出和的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【变式3】. （2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ∵， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 题型04矩形的判定（填条件） 方法技巧：先判定平行四边形，再补直角或对角线相等条件。 【典例4】. （25-26八年级下·西藏·期中）班级展板的边框是一个四边形，已知它的一组对边平行且相等，再添加以下哪个条件可以判定它是矩形？（　　） A． 另一组对边相等 B．对角线互相平分 C．有一个角是直角 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】先根据已知条件判定该四边形是平行四边形，再结合矩形的判定定理判断各选项即可． 【详解】解：∵ 四边形的一组对边平行且相等， ∴ 该四边形是平行四边形， 逐一判断选项： A、平行四边形本身对边相等，该条件无法判定它是矩形，该选项不符合题意； B、平行四边形本身对角线互相平分，该条件无法判定它是矩形，该选项不符合题意； C、根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该条件可以判定，该选项符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项不符合题意． 【变式1】. （25-26八年级下·广东云浮·月考）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 【变式2】. （22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，，，点C，F在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（不唯一），证明见解析 【分析】（1）利用，得出，再证明，利用即可证明； （2）由，得出，，证明，可得四边形是平行四边形，再添加使平行四边形为矩形的条件即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：添加（不唯一），四边形是矩形． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 题型05矩形的证明题 方法技巧：优先用“三个直角”或“平行四边形+对角线相等”证明。 【典例5】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． 求证：四边形为矩形； 【答案】见解析 【分析】先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【详解】（1）证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 【变式2】. （25-26八年级下·西藏·期中）如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可得出答案； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可． 【详解】（1）证明：在中，于点，延长至点使， ∴， 即， 在中，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴的面积 ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】首先，根据四边形是平行四边形，得到 ，进而得到，再由平分，平分及等腰三角形的“三线合一”得出，，，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ． ，平分， ， 同理可得， ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 题型06矩形中的面积计算 方法技巧：利用对角线分矩形面积相等，或割补法求面积。 【典例6】. （20-21八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【答案】48 【分析】如图：连接，利用三角形中位线定理可求出的长度，再通过勾股定理的逆定理判断平行四边形的一个内角为直角，最后计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴是直角三角形，即， ∵在中，, ∴平行四边形是矩形， ∴． 【点睛】掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式2】. （2026·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再结合等边三角形的“三线合一”性质，证得，最后运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证得四边形是矩形； （2）先根据等边三角形的“三线合一”性质，证得，求出线段的长，再结合（1）中的结论，运用，求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又是等边三角形，D为中点， ∴于点D， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D为中点，， ∴，于点D， ∴， ， 在中， ∵，，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到， ，进而得到，根据三个角都是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可； （3）取的中点即可，连接与交于点，根据矩形的对角线互相平分即可得解． 【详解】（1）证明：，是的角平分线， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， ， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：如图所示，连接与交于点，连接，则即为所求． 四边形是矩形， ，即是的中点， 是的中线， 平分面积． 题型07矩形的折叠问题 方法技巧：折叠前后边、角相等，设未知数用勾股定理列方程。 【典例7】. （25-26八年级下·西藏·期中）如图，在矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长是_____________．    【答案】5 【分析】由折叠的性质结合矩形的性质得到，，易证，推出，设，则，利用勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠得，，， ∴，， 又∵， ∴ ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】. （25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，点、分别在、上，，，四边形沿翻折得到四边形，若点、、在同一条直线上，则的长为______． 【答案】 【分析】由翻折的性质、矩形的性质，证明，得，，设，则，由勾股定理可得，解出的长度，最后可求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折的性质，可得， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由， 即， 解得， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形． (1)若，与交于点F，求的面积； (2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形、轴对称的性质可证得，设，则，在中，，即可求得，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由矩形、轴对称的性质可证得，则，设，，则，，在中，，解得，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 则， 由对称可知，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：，即：， ∴的面积； （2）解：过作于， 由题意可知，，， ∴，， 由对称可知，， 则， ∴， 设， ∵， 则， 又∵， ∴在中，，解得：， ∴（）． 题型08矩形与平面直角坐标系 方法技巧：用坐标表示边长，结合中点、对称性质解题。 【典例8】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 【变式1】. （2023九年级下·山东济南·专题练习）如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点在直线上表示出点坐标及长，利用矩形性质和求出长，进而得到点的坐标，代入求解即可. 【详解】解：设点的坐标为（）， 点在直线上，且四边形为矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ， ， ， 点的横坐标为， 四边形是矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即 点在直线上 ， ， ， . 【变式2】. （25-26八年级下·重庆·月考）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 【变式3】. （23-24八年级上·山东威海·期末）如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 题型09矩形中的动点问题 方法技巧：动中取静，按时间分段讨论矩形存在性。 【典例9】. （24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当运动停止时，求线段的长； (3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，24 (4)存在，或6 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）过点作于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到，，进而求出，在中，由勾股定理求出长即可得到答案； （2）根据题意，先求出点运动的时间，再由点的运算过程求解即可得到答案； （3）若四边形为矩形，则，根据运动关系表示出，列方程求解即可得到答案； （4）根据题意，分两种情况讨论，由平行四边形对边相等列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点，如图所示： 四边形是矩形，则，， ， 在中，,，，则由勾股定理可得， ； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动， 点运动的时间是, 点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动， ； （3）解：若四边形为矩形，则， 由题意可知：，，， ，解得， 此时， 矩形的面积为； （4）解：存在， 理由如下： 根据题意，分两种情况： 当四边形为平行四边形，即点在点左边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 当四边形为平行四边形，即点在点右边时，， 由（3）知，，， ∴，， ，解得； 综上所述，存在，或6． 【变式1】. （24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式2】. （24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏宿迁·月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据速度时间距离即可得解； （2）根据矩形的性质可得，， ，从而可得，，从而由平行四边形的性质得到，再对当在点左侧运动时和当在上点右侧运动时，建立方程即可得解； （3）先证明四边形是平行四边形， 得到，从而可判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点在射线上以每秒个单位长的速度运动，动点的运动时间为秒， ； （2）解：四边形为矩形，，， ，， ， 点是的中点， ， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ， ， ， 当在点左侧运动时，此时， ， ； 当在点右侧运动时，此时， ∴， ∴， ∴综上，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形 （3）解：由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 当最小时，四边形的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中位线， ， ， ． 题型10矩形性质与判定综合应用 方法技巧：先判定矩形，再用性质求边、角、面积。 【典例10】. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）连接，先得出，，再证明，由此即可得证； （2）过点作于点，先得出，再证明，则可得，，然后证出，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）已证：， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所有等于的一半的角是，，，． 【变式1】. （25-26八年级下·湖南·月考）如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)不变，它的值为 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）过点作，交轴于，可证，再由等腰直角三角形的性质解答即可求解； （）过点作，交的延长线于点，可证，得到，即得，再由矩形的性质得，即得，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，交轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的值不变，它的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3】. （24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（   ） A．6 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】先推导出，，证明出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，，；根据折叠的性质得出，；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长；再在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由沿翻折得到， ， ，， 在中，由勾股定理可得：， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得： ， 即， 解得：， 的长为． 4．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的边长和甲乙的速度，计算出两人每次相遇时甲所走的路程，进而确定相遇点的坐标，找出相遇点坐标的变化规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：由图可知，矩形的长为，宽为， 故矩形的周长为， 因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为， 由题意知：第一次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是； 第二次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在边相遇，相遇地点的坐标是； 第三次相遇物体甲与物体乙行驶的路程和为，物体甲行驶的路程为，物体乙行驶的路程为，在点相遇，相遇地点的坐标是；⋯， 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ， 故两个物体运动后的第2026次相遇地点与第一次相遇的地点重合，此时相遇点的坐标为：． 二、填空题 5．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线的长，再利用圆的半径相等求出的长，然后求出的长，最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 6．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴. 7．如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【分析】用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 8．如图，在矩形中，点E在边上，连接，．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，根据题意得到，，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，， 过点作，交于点， ∴四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题 9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 10．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1) (2)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，函数解析式的求法，最大值的求法，理解相关知识是解答关键. （1）根据矩形的性质求出点到的距离，由题意求出的长度，再利用三角形面积公式求解； （2）根据函数关系式，结合正比例的最大值的求法来求解. 【详解】（1）解：矩形的对角线相交于点， 点是和的中点， 点到的距离为. 由题意可知， 点的运动时间为时 . （2）解：是正比例函数， ，随的增大而增大. 在范围内，当时，的值最大， . 11．如图，在中，． 求作：线段，使得点在线段上，且． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交于点； ②连接，交于点； 则线段即为所求线段． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： (2)完成下面的证明：证明：连接，． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（① ）（填推理的依据） ∵与交于点， ∴，即点为的中点．（② ）（填推理的依据） ∵在中，， ∴．（③ ）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证出． 【详解】（1）解：下图中即为所作： （2）解：证明：连接，． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵与交于点， ∴，即点为的中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据） ∵在中，， ∴．（③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（填推理的依据） 12．将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合）， ①连接， 求证：四边形是平行四边形； ②连接，，设线段交于点O，求证：点O为线段中点． (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，当三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；② 见解析 (3)的值为3或27 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）①连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明；②如图，过作交于，连接，，，记与的交点为，进一步证明四边形是平行四边形即可； （3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中，， ， ； （2）①证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； ② 如图②，连接，过作交于，连接，，，记与的交点为， 根据旋转的性质可得：，，， 四边形是矩形， ，，， 即，， 又， ， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，即点为线段中点． （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ； 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.1 矩形 教学目标 1.理解矩形定义，掌握矩形与平行四边形的关系。 2.熟练运用矩形的性质与判定进行计算和证明。 3.掌握直角三角形斜边中线的性质并会应用。 4.能解决矩形与折叠、动点、坐标结合的综合题。 教学重难点 1.重点 （1）矩形的性质与判定定理 （2）直角三角形斜边中线性质 （3）矩形对角线相等且平分的应用 2.难点 （1）矩形判定定理的灵活选择 （2）矩形折叠中的方程思想 （3）矩形与动点、坐标的综合问题 知识点01：矩形的定义 1.有 的平行四边形叫作矩形。 2.矩形是特殊的 ，具备平行四边形的所有性质。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 知识点02：矩形的性质 1.边：对边 。 2.角：四个角都是 。 3.对角线： ，即，。 4.对称性：既是 （2条对称轴），又是 。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点03：直角三角形斜边中线性质 1.直角三角形斜边上的中线等于 。 2.数学表达：在中，，为中点，则 。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 知识点04：矩形的判定 1.定义法：有 的平行四边形是矩形。 2.判定定理1：有 的四边形是矩形。 3.判定定理2： 的平行四边形是矩形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，，点D是直角边上的一点且满足，在过点D且垂直于的射线上取点E使得，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型01利用矩形性质求角度 方法技巧：利用四个角为、对角线分成等腰三角形求解。 【典例1】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【变式3】. （22-23九年级下·贵州铜仁·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于O点，若，则的度数为_____________． 题型02利用矩形性质求线段长 方法技巧：用、结合勾股定理计算。 【典例2】. （24-25八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （辽宁抚顺市2026年初中业水平模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，连接，则的长为________． 【变式2】. （2022·湖北十堰·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则四边形的周长是___________． 【变式3】. （25-26八年级下·上海松江·期中）已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度（），点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则____________． 题型03直角三角形斜边中线性质应用 方法技巧：见直角三角形+斜边中点，直接用中线等于斜边一半。 【典例3】. （25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为___________． 【变式2】. （25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 题型04矩形的判定（填条件） 方法技巧：先判定平行四边形，再补直角或对角线相等条件。 【典例4】. （25-26八年级下·西藏·期中）班级展板的边框是一个四边形，已知它的一组对边平行且相等，再添加以下哪个条件可以判定它是矩形？（　　） A． 另一组对边相等 B．对角线互相平分 C．有一个角是直角 D．对角线互相垂直 【变式1】. （25-26八年级下·广东云浮·月考）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，，，点C，F在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 题型05矩形的证明题 方法技巧：优先用“三个直角”或“平行四边形+对角线相等”证明。 【典例5】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． 求证：四边形为矩形； 【变式1】. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【变式2】. （25-26八年级下·西藏·期中）如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 题型06矩形中的面积计算 方法技巧：利用对角线分矩形面积相等，或割补法求面积。 【典例6】. （20-21八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【变式2】. （2026·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 题型07矩形的折叠问题 方法技巧：折叠前后边、角相等，设未知数用勾股定理列方程。 【典例7】. （25-26八年级下·西藏·期中）如图，在矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长是_____________．    【变式1】. （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】. （25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，点、分别在、上，，，四边形沿翻折得到四边形，若点、、在同一条直线上，则的长为______． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形． (1)若，与交于点F，求的面积； (2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示） 题型08矩形与平面直角坐标系 方法技巧：用坐标表示边长，结合中点、对称性质解题。 【典例8】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【变式1】. （2023九年级下·山东济南·专题练习）如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·重庆·月考）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （23-24八年级上·山东威海·期末）如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型09矩形中的动点问题 方法技巧：动中取静，按时间分段讨论矩形存在性。 【典例9】. （24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当运动停止时，求线段的长； (3)当为何值时，四边形为矩形，求出的值和矩形的面积； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【变式1】. （24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【变式2】. （24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏宿迁·月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 题型10矩形性质与判定综合应用 方法技巧：先判定矩形，再用性质求边、角、面积。 【典例10】. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【变式1】. （25-26八年级下·湖南·月考）如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【变式3】. （24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（   ） A．6 B．3 C． D．4 2．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 3．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 6．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 7．如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 8．如图，在矩形中，点E在边上，连接，．若，，，则的长为________． 三、解答题 9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 10．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 11．如图，在中，． 求作：线段，使得点在线段上，且． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交于点； ②连接，交于点； 则线段即为所求线段． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： (2)完成下面的证明：证明：连接，． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（① ）（填推理的依据） ∵与交于点， ∴，即点为的中点．（② ）（填推理的依据） ∵在中，， ∴．（③ ）（填推理的依据） 12．将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合）， ①连接， 求证：四边形是平行四边形； ②连接，，设线段交于点O，求证：点O为线段中点． (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，当三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $