22.2 函数的表示（第3课时）-课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 函数 22.2 函数的表示（第3课时） 1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法． 2．理解三种方法的优缺点，能根据情境选择合适表示法． 3．能进行三种表示方法之间的简单转化． 　　如图，要做一个面积为 12 m2 的小矩形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围． 该花坛的另一边长为m ．这个问题的函数解析式是 y＝2(x+) ． x （1）你能求出这个问题的函数解析式吗？ 解：y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0． （2）当 x 的值分别为 1，2，4，6，8，10，12 时，请列表表示变量之间的对应关系． x/m 1 2 4 6 8 10 12 y/m （3）能画出函数的图象吗？ 描点，连线． 函数的图象如图所示． O y/m x/m 14 10 18 26 22 4 8 12 16 26 16 14 16 19 22.4 26 4 由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法． 注意：并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来．例如，气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而不能用解析式法表示． 思考：从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？ 解析法 优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系． 缺点：求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来． 思考：从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？ 列表法 优点：一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值． 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系． 思考：从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？ 图象法 优点：能直观形象地表示函数关系． 缺点：观察图象只能得到近似的数值． 函数三种表示方法的选用技巧 （1）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析式法． （2）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法． （3）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法． 对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系．有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法． 例：一个水库的水位在最近5h内持续上涨．下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度． t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ 解：（1）如图所示，描出表数据对应的点．可以看出，这6个点在一条直线上．再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3m．由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t＝2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的． （2）水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？ （2）由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数．开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m．函数 y＝0.3t＋3（0≤t≤5） 是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位 高度y为（0.3t＋3）m．其图象是右图所示中点A （0，3）和点B（5，4．5）之间的线段AB． t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （2）水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？ t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3（0≤t≤5）就精确地表示了这种变化规律．即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律． （3）如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？ （3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t＝5＋2＝7（h）时，水位高度 y＝0.3×7＋3＝5.1（m）． 把右图中的函数图象（线段AB）向右延伸到t＝7所对应的位置，如图所示，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m． 由例题可以看出，有些函数的不同表示法之间可以转化． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 函数的表示方法 用适当的方法表示函数 函数的三种表示方法 解析式法 列表法 图象法 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 D 2．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 3．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 解：（1）反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 4．下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． C 5．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． 解：（1），的图象如图． 令，则，令，则，则过，画图如下： （2）①对添加剂A：根据图象可得​在时，，即可达到； 对添加剂B：令，解得， 因此A满足要求的浓度更低，选添加剂A． ②根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， 因此的范围是． （3）根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， 因此成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． ②根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， 因此的范围是． （3）根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， 因此成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． 1．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时,箭尺读数y增加 D 2．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系______． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 3．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 解：（1）由表可得：当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； 故答案为：120； （2）根据题意可得：，当 ，把代入得：，解得：，故答案为：； （3）由图可知：当时，， 点A表示的意义为：行驶时间时，行驶路程为． 故答案为：150，行驶时间时，行驶路程为． （4）用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累出部分数据，难以反应全部变化；关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示；用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确． 4．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 右图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． C 5．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n,则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位） 解：（1）由图可知当第11天之后，， （2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， $