第四章 三角形 提优测评卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到推理能力的递进，适配期末测评需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形内角和、全等判定、高线计算|如选择1-5题、填空11-13题，考查基本概念与简单应用，培养几何直观| |中档|全等性质综合、动态问题、面积转化|如选择6-8题、填空14-16题，涉及多知识点结合，发展推理能力| |拔高|辅助线构造（倍长中线）、开放探究|如解答25-26题，融合模型思想与创新意识，提升综合应用能力|

第四章 三角形 提优测评卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定.如果用在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加螺栓( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.(2025·四川乐山市中区期末)如图,在3×3的正方形网格中,∠1+∠2=( ). A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 3.如图,AD,CE 是△ABC 的两条高, 则△ABC 的面积为( ). A. B. C. D. 4.如图,AB⊥BC,AD⊥BD,AB=BC=10,AD=8,BD=6,则S△ACD 为( ). A. 48 B. 50 C. 56 D. 64 5.(2024·广东深圳宝安中学期末)利用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是( ). 6.(2025·四川绵阳期末)已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是( ). A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 7.(2025·威海中考)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，下列条件中，不能判断四边形ABCD 是筝形的是( ). A. BO=DO,AC⊥BD B. ∠DAC=∠BAC,AD=AB C. ∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D. ∠ADC=∠ABC,BO=DO 8.如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,则∠BFD的度数是( ). A. 60° B. 90° C. 45° D. 120° 9.如图,已知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,点E,B,D到直线l的距离分别为6,3,4,则图中凹多边形 ABCDE 的面积是( ). A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 10.(2025·广西贵港期末)如图,在△ABC和△ADE中,∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长分别交AC,AD于点 F,G.若BE恰好平分∠ABC,则下列结论错误的是( ). A. ∠ADC=∠AEB B. CD∥AB C. DE=GE D. CD=BE 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形. 12.如图,AD,CE,BF 是△ABC 的三条高,AB=6,BC=5,AD=4,则CE= . 13.如图,AB=12m,CA⊥AB 于点A,DB⊥AB 于点B,且AC=4m,点 P 从点B 向点A 运动,每分钟走1m，点Q从点B 向点D 运动，每分钟走2m，若P，Q两点同时出发，则运动 分钟后，△CAP 与△PQB 全等. 14.(2025·重庆巴蜀中学期中)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且满足BE=CE,BD=2AD,AF=2CF,连接DE,EF,若△ABC的面积为12,则四边形ADEF 的面积为 . 15.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,CD:AD=1:2,连接BD,E是线段BD上一点,BE:ED=1:3,连接AE,F是线段AE 的中点,连接CF交线段BD 于点G,若△ABC的面积是12,则△EFG的面积是 . 16.(2025·广东汕尾期末)如图,在△ABC中,AD 为BC边的中线,E为AD 上一点,连接BE 并延长交AC 于点F,若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF 的长为 . 17.(2025·湖北武汉东西湖区期中)如图，在四边形ABCD 中， 于点B,AD⊥CD 于点 D,E,F 分别是CB,CD 上的点,且. ，则下列说法正确的是 (填写正确的序号). ①DF=BE;②△ADF≌△ABE;③FA 平分∠DFE;④AE 平分∠FAB;⑤BE+DF=EF;⑥CF+CE>FD+EB. 18.如图,在△ABC中,CM为边AB 上的中线,AD 是∠BAC 的平分线, 若E,F 分别是边AD 和AC上的动点，则CE+EF 的最小值是 . 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)教材P107习题T10·变式如图,点C 在线段AD 上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)试说明:△ABC≌△ADE; (2)若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数. 20.(6分)(2025·山东烟台莱州期末)如图,在 Rt△ABC中, ,过点 A 作AD⊥CB 于点D,延长DA 至点E,使得DE=AC,过点 E作EF∥AB,交CB 的延长线于点F,连接CE. (1)试说明:△ACB≌△DEF; (2)若∠FCE=50°,∠CEF=70°,求∠FCA 的度数. 21.(8分)如图,已知 (1)试说明: (2)过点 C作于点G，若 求CG 的长. 22.(8分)如图,在 和 中， 连接AD,BE 交于点M. (1)如图(1),当点 B,C,D在同一条直线上,且 时，可以得到图中的一对全等三角形，即 ≌ . (2)当点 D 不在直线 BC 上时,如图(2),且 ①试说明：AD=BE; ②直接写出 的大小(用含α的代数式表示). 23.(8分)(2025·广东深圳坪山区期末)如图,在△ABC中,延长AB,在射线AB 的延长线上截取DE=AB. 任务1：实践与操作： ①如图(1)，请用无刻度直尺与圆规作△DEF 与△ABC全等(不写作法，保留作图痕迹)； ②你作的△DEF 与△ABC 全等的依据是 (选填 SSS,SAS,AAS,ASA). 任务2:猜想与说明:如图(2),△DEF≌△ABC,AG平分∠CAB,DG平分∠ADF. ①试猜想∠G= °; ②请你求出∠G 的度数. 24.(8分)(2025·山东济南市中区期中)如图,在△ABC中,AD为高,AC=12. E为AC上一点, 连接BE,交AD 于点O,若△BDO≌△ADC. (1)猜想线段 BO 与AC 的位置关系，并说明理由. (2)若动点 Q 从点A 出发沿射线AE 以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒. ①当点Q在线段AE 上时，是否存在t的值，使得△BOQ 的面积为18?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由. ②动点 P 从点O 出发沿线段OB 以每秒1个单位长度的速度向终点 B 运动，P，Q两点同时出发，当点P 到达点B时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t秒，F是直线BC上一点，且CF=AO，当△AOP 与△FCQ 全等时,请直接写出t 的值. 25.(10分)[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图(1),在△ABC中,AB=6,AC=4,求边 BC上的中线AD 的取值范围.小丽在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图(2),延长AD 到点M,使DM=AD,连接BM,可得△ACD≌△MBD,从而把AB，AC，2AD 集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围. [方法总结]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线(或与中点有关的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求线段集中到同一个三角形中.我们把这种添加辅助线的方法称为“倍长中线法”. [问题解决](1)直接写出图(1)中AD 的取值范围： ； (2)猜想图(2)中AC 与BM 的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图(3),AD 是△ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°,判断线段AD 和线段EF 的数量关系和位置关系，并说明理由. 26.(12分)如图(1)，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图画一对以OP 为公共边的全等三角形.参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图(2),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点F,求∠EFA 的度数. (2)在(1)的条件下，请你判断FE 与FD 之间的数量关系，并说明理由. (3)如图(3),在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(2)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 1. A[解析]用在木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释. 如图， 点A 加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原来不稳定的五角星中具有了稳定的各边.故选 A. 2. D [解析]如图, 由题意知,在△BAC 和△EAD 中, ∴△BAC≌△EAD(SAS), ∴∠ABC=∠1. ∵∠ABC+∠2=90°, ∴∠1+∠2=90°.故选 D. 3. A [解析]∵AD,CE是△ABC的两条高, 故选 A. 归纳总结 本题主要考查了三角形的面积计算，熟记三角形面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的关键. 4. C [解析]如图,过点 C 作CE⊥BD,交 DB 的延长线于点E. ∵AB⊥BC,AD⊥BD, ∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°, ∴∠CBE=90°-∠ABD=∠BAD. 又BA=CB,∴△ABD≌△BCE(AAS), ∴CE=BD=6, 故选C. 5. D [解析]A,B,C所作均不是△ABC 的高线.故选 D. 6. B[解析]甲与△ABC不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不一定全等； 乙与△ABC符合两边对应相等，且夹角相等， ∴根据 SAS可判定乙和△ABC全等; 丙与△ABC符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，∴根据 AAS可判定丙和△ABC全等.故选 B. 7. D [解析]A.∵BO=DO,AC⊥BD, ∴AC 是BD 的垂直平分线, ∴AB=AD,CB=CD, ∴四边形 ABCD 是筝形, ∴A选项不符合题意； B.在△ACD 与△ACB 中, ∴△ACD≌△ACB(SAS), ∴CD=CB, ∴四边形 ABCD 是筝形, ∴B选项不符合题意； C.在△ACD 与△ACB 中, ∴△ACD≌△ACB(ASA), ∴AD=AB,CD=CB, ∴四边形ABCD 是筝形, ∴C选项不符合题意； D.由∠ADC=∠ABC,BO=DO,不能证明四边形 ABCD是筝形，∴D选项符合题意.故选 D. 8. B [解析]∵AB⊥AC,AD⊥AE, ∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD. 在△BAE 和△CAD 中, ∴△BAE≌△CAD(SAS),∴∠B=∠C. ∵∠BGA=∠CGF,∴∠CFB=∠BAC=90°, ∴∠BFD=90°.故选 B. 9. A [解析]如图,过点 E 作EF⊥l于点 F,过点 B 作BG⊥l于点G,过点 D 作DH⊥l于点 H, ∴∠EFA=∠AGB=90°,∠FEA+∠FAE=90°. ∵AE⊥AB,∴∠BAG+∠FAE=90°, ∴∠FEA=∠GAB. ∵AE=AB,∴△EFA≌△AGB(AAS), ∴AF=GB=3,GA=EF=6. 同理可证△BGC≌△CHD, ∴CH=GB=3,CG=DH=4, ∴FH=AF+GA+CG+CH=3+6+4+3=16, ∴梯形 EFHD 的面积为 4)×16=80,三角形 EFA 的面积为 3=9,三角形 BGC 的面积为 故四边形 ABCDE 的面积为 80-9×2-6×2=50.故选 A. 10. C [解析]A.∵∠CAB=∠DAE=36°, ∴∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE,即∠DAC=∠EAB. 在△DAC 和△EAB 中, ∴△DAC≌△EAB(SAS), ∴∠ADC=∠AEB,CD=BE,故A,D选项不符合题意; .∵AC=AB, ∴∠ACB=∠ABC. ∵∠CAB=∠DAE=36°, ∴∠ACB=∠ABC=(180°-36°)÷2=72°. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE=36°, ∴∠ACD=∠ABE=36°. ∵∠DCA=∠CAB=36°, ∴CD∥AB, 故B选项不符合题意； C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意.故选 C. 11.直角[解析]设三角形三个内角的度数分别为k，2k，3k，则k+2k+3k=180°, 解得k=30°.所以2k=60°,3k=90°. 故这个三角形是直角三角形. 12. [解析]∵ 13.4 [解析]∵CA⊥AB 于点A,DB⊥AB 于点 B,∴∠A=∠B=90°. 设运动x分钟后,△CAP≌△PQB,则 BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m. 分两种情况： ①若BP=AC,则x=4,AP=12-4=8(m),BQ=8m,则AP=BQ,此时△CAP≌△PBQ; ②若BP=AP,则12-x=x, 解得x=6,则 BQ=12≠AC, 此时△CAP 与△PQB 不全等. 综上所述,运动4分钟后,△CAP 与△PQB 全等. 14.6 15. [解析]如图,连接 DF,CE. ∵CD:AD=1:2,S△ABC=12, 又 BE:ED=1:3, ∵F 是线段AE 的中点, ∵CD:AD=1:2, 即 △DGF 和△EFG 同高, △CGD和△CEG 同高 归纳总结 本题考查线段的中点的性质、线段的n等分点的性质、与三角形的高有关的计算问题.正确的连接辅助线是解题关键. 16.2.4 [解析]如图,延长 AD 至点G,使 DG=AD,连接BG. 在△BDG和△CDA 中, ∴△BDG≌△CDA(SAS), ∴BG=AC,∠CAD=∠G. ∵∠AEF=∠FAE, ∴∠G=∠AEF, ∵∠BEG=∠AEF, ∴∠G=∠BEG, ∴BG=BE=4, ∴AC=BE=4. ∵∠AEP=∠FAE, ∴AF=EF=1.6, ∴CF=AC-AF=4-1.6=2.4. 17.③⑤⑥ [解析]如图,延长 EB 到点G,使 BG=DF,连接AG. ∵AB⊥CB,AD⊥CD,∴∠D=∠ABG=90°. 在△ADF 和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG(SAS), ∴AF=AG,∠G=∠DFA,∠DAF=∠BAG. ∵∠EAF=70°,∠DAB=140°, ∴∠DAF+∠EAB=∠DAB-∠FAE=140°-70°=70°, ∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠FAD=70°, ∴∠FAE=∠EAG=70°. 在△FAE 和△GAE 中 ∴△FAE≌△GAE(SAS), ∴∠FEA=∠GEA,∠G=∠EFA,EF=EG, ∴EF=EB+DF,∠FAE≠∠EAB,故⑤正确,④错误; ∵∠G=∠EFA=∠DFA,即 FA平分∠DFE,故③正确; ∴CF+CE>EF,EF=DF+BE, ∴CF+CE>DF+BE,故⑥正确;根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误.综上所述，说法正确的是③⑤⑥. 18. [解析]如图,过点 C作CG⊥AD 于点G,延长CG交AB 于点 H,连接EH,FH, ∴∠AGC=∠AGH=90°. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠CAG=∠HAG. 又AG=AG, ∴△AGC≌△AGH, ∴CG=HG,AC=AH. 又EG=EG,∠CGE=∠HGE=90°, ∴△CEG≌△HEG,∴CE=HE, ∴CE+EF=HE+EF, ∴当E,F,H三点共线具HF⊥AC时,HE+EF 最小, 此时CE+EF最小,最小值为 HF 的长. ∵CM 为AB 边上的中线, ∴=S△BCM=7, ∴点C到AM的距离为 ∴HF= ,∴CE+EF 的最小值为 19.(1)在△ABC 和△ADE 中, ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)由(1),得△ABC≌△ADE, ∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠AEC=∠ACE. ∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°, ∴∠ACE=60°. 归纳总结·本题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE 是解题的关键. 20.(1)∵EF∥AB,∴∠CBA=∠EFD. ∵AD⊥CB,∠CAB=90°, ∴∠EDF=∠CAB=90°. ∵DE=AC,∴△ACB≌△DEF(AAS). (2)∵∠FCE=50°,∠CEF=70°, 60°,∴∠ABC=∠EFD=60°, 21.(1)∵BF=CE, ∴BF+CF=CE+CF,∴BC=EF. ∵AB∥DE,AC∥DF, ∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. 在△ABC 和△DEF 中, ∴△ABC≌△DEF(ASA). (2)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE=6. ∵S△ABC= AB·CG=9,∴6·CG=18,∴CG=3. 22.(1)△BCE △ACD [解析]∵∠ACB=∠DCE=45°,∴∠ACD=∠BCE. 在△BCE 和△ACD 中 ∴△BCE≌△ACD(SAS). (2)①∵∠ACB=∠DCE=α, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中 ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. ②∵△ACD≌△BCE, ∴∠CAD=∠CBE. ∵∠BAC+∠ABC=180°-α, ∴∠BAM+∠ABM=180°-α, 23.任务1: ①如图,△DEF 即为所求. ②SSS 任务2:①90 ②∵△DEF≌△ABC,∴∠CAB=∠FDE, ∴AC∥DF,∴∠CAB+∠ADF=180°. ∵AG 平分∠CAB,DG 平分∠ADF, 24.(1)BO⊥AC.理由如下: ∵AD 为高,∴∠ODB=90°. ∵△BDO≌△ADC,∴∠OBD=∠CAD. ∵∠OBD=∠CAD,∠BOD=∠AOE,∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°,∠AOE+∠OAE+∠AEO=180°, ∴∠AEO=∠ODB=90°, ∴BO⊥AC. (2)①当 时,△BOQ的面积为 18.理由如下: ∵△BDO≌△ADC,AC=12, ∴BO=AC=12. 由(1)可知,∠BEC=90°, ∴BE⊥AC. ∵点 Q在线段AE上,如图(1), 解得 ②∵△BDO≌△ADC, ∴∠BOD=∠ACD. 当点 F 在线段 BC 延长线上时，如图(2)， ∵∠BOD=∠ACD, ∴∠AOP=∠QCF. ∵AO=CF, ∴当OP=CQ时,△AOP≌△FCQ(SAS),此时,t=12-4t, 解得 当点 F 在线段BC 上时,如图(3). ∵∠BOD=∠ACD, ∴∠AOP=∠QCF. ∵AO=CF, ∴当OP=CQ时,△AOP≌△FCQ(SAS),此时,t=4t-12,解得t=4. 综上所述,当△AOP 与△FCQ 全等时,t 的值为 或4. 归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、一元一次方程、直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键. 25.(1)1<AD<5 [解析]根据题意,得AM=2AD. ∵2<AM<10,∴1<AD<5. (2)AC=BM,AC∥BM.理由如下: ∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD. 在△ADC和△MDB中, ∴△ADC≌△MDB(SAS), ∴∠BMD=∠CAD,AC=BM,∴AC∥BM. (3)EF=2AD,AD⊥EF.理由如下: 如图(1),延长AD 到点 Q,使得DQ=AD,连接BQ. 由(2)知,△QDB≌△ADC(SAS), ∴∠DBQ=∠ACD,BQ=AC. ∵AC=AF,∴BQ=AF. 在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°, ∴∠BAC+∠ABQ=180°. ∵∠BAE=∠FAC=90°, ∴∠BAC+∠EAF=180°, ∴∠ABQ=∠EAF. 在△ABQ和△EAF中 ∴△ABQ≌△EAF(SAS), ∴AQ=EF,∠BAQ=∠AEF,如图(2),延长DA,交 EF 于点 P. ∵∠BAE=90°, ∴∠BAQ+∠EAP=90°, ∴∠AEF+∠EAP=90°, ∴∠APE=90°,∴AD⊥EF. ∵AD=DQ,∴AQ=2AD. ∵AQ=EF,∴EF=2AD. 综上所述,EF=2AD,AD⊥EF. 26.(1)∵∠ACB=90°,∠B=60°, ∴∠BAC=30°. ∵AD,CE分别是∠BAC 和∠BCA 的平分线, ∴∠EFA = 180°-∠AFC = 180° -(180°-∠DAC-∠ECA)=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°. (2)FE=FD.理由如下: 如图(1),在AC上截取AG=AE,连接 FG. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠EAF=∠GAF. 在△EAF和△GAF中, ∴△EAF≌△GAF(SAS), ∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°. ∵∠DFC=∠EFA=60°, ∴∠GFC = 180°-∠GFA - ∠DFC = 180°-60°-60°=60°, ∴∠DFC=∠GFC. 又CE 是∠BCA 的平分线, ∴∠FCD=∠FCG. 在△FDC和△FGC中, ∴△FDC≌△FGC(ASA), ∴FD=FG,∴FE=FD. 学科网（北京）股份有限公司 (3)FE=FD 仍然成立.证明如下: 如图(2),在 AC 上截取AH=AE,连接 FH. ∵AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线, ∴∠EAF=∠HAF,∠FCH=∠FCD, 在△EAF 和△HAF 中, ∴△EAF≌△HAF(SAS), ∴FE=FH,∠EFA=∠HFA. 由(1)知, ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-60°=120°, ∴∠EFA=∠HFA=∠CFD=180°-∠AFC=180°-120°=60°, ∴∠HFC=∠AFC-∠HFA=120°-60°=60°. 又∠DFC=∠EFA=60°, ∴∠HFC=∠DFC. 在△FDC 和△FHC 中, ∴△FDC≌△FHC(ASA), ∴FD=FH, ∴FE=FD. $