精品解析：浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期4月期中练习数学学科试题

高一数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】， 故. 2. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得：, 设,由余弦定理的推论得：， . 3. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原四边形中的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法先求出原图中的与，再在直角三角形中用勾股定理求即可. 【详解】正方形的边长为，所以 所以， 在正方形中，，因此 因为原图中， 所以在直角三角形中. 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 5. 已知在直角中，角的对边分别为，若且满足，且点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，且建立直角坐标系后，先求出点的坐标，再直接计算向量数量积即可. 【详解】因为，所以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立平面直角坐标系. 因为所以可设 又因为点在上，设，设， 则，则 从而故 由于所以 其中 故有即 解得即即于是 所以 因此 故选B. 6. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由和余弦定理，可知，因此； 则， 因此是以角为直角的直角三角形. 7. 在中，，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把作为一组基向量表示其他向量，先由求出；再利用点在 上，设从而表示出，与已知式比较系数即可求出. 【详解】设 则 由已知 得 所以， 因为点在上，所以设 于是 而题目又给出 比较的系数，得 所以再比较的系数，得故 故选C. 8. 在中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这样就能直接利用边长与角的关系表示三点坐标，再由重心坐标写出利用得到关于的关系式，最后设求函数值范围即可. 【详解】设 因为所以这样的设法符合题意， 因为点是的重心，所以 于是 由可得 所以 得 展开整理： 因此 设则， 当且仅当即时取等号，所以最小值为 又因为三角形内角且这里由上式可知 ， 所以必须有 事实上等价于即 当 或 时， 综上， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 若向量，若与的夹角为，且则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项AB，利用向量的数量积定义，坐标公式和模的坐标公式求出和的值；选项C，利用投影向量的公式求解；选项D，分别计算的值得到结论. 【详解】选项B，因为所以 又已知 因此所以B正确. 选项C：在上的投影向量为所以C正确. 选项 A：设 由及得 故再由可得所以A错误. 选项D： 所以故D错误. 10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. C= B. 若，则 C. 若，则周长为16 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】选项A:或, 若 若与矛盾，故，A正确. 选项B:由A知，，若, 由余弦定理得：故B正确. 选项C:, 由余弦定理得： 的周长为，故C错误. 选项D:,由余弦定理得：, 即,, 当且仅当时成立,故D正确. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若平面，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用平面的法向量把直线与平面平行的问题转化为向量数量积为0的问题；再把点限制在正方形内，得到点的轨迹线段或圆弧. 利用点到平面的距离是否为定值判断三棱锥体积是否为定值. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 因为分别是的中点，所以，. 设，其中，. 对平面，有，. 设平面的法向量为，则，，即，，所以可取. 对于A项，. 若平面，则，即，整理得. 在正方形内，该轨迹是从到的一条线段，长度为，故A正确. 对于B项，. 若平面，则，即，整理得. 在正方形内，该轨迹是端点为和的线段，长度为，故B正确. 对于C项，由上面B项可知平面时，点满足. 又确定，所以三棱锥的底面面积为定值. 下面只需看点到平面的距离是否为定值. 由，，可得平面的一个法向量为，所以平面的方程可写为. 对，其到平面的距离为. 当时，该距离等于2，为定值，因此三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D项，由得，即. 点在正方形内运动，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆在该正方形内的一段四分之一圆弧，弧长为，不是，故D错误. 故选ABC. 非选择题部分 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别是，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】已知可先求出再由正弦定理求出，最后结合确定的两个可能值. 【详解】因为所以 由正弦定理代入得 于是所以 又因为三角形内角满足，故, 经检验，这两个解均满足构成三角形的条件，故 13. 如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】如图， 直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体是圆台， 且圆台上底面面积,下底面圆的面积为，圆台的高为. 因此，该圆台的体积. 绕直线旋转一周形成的几何体为圆锥， 且该圆锥的底面圆的面积为，圆锥的高为，因此，该圆锥的体积为, 故所求几何体的体积. 14. 已知为坐标原点，，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由条件判断，求出，，再利用向量数量积的运算律化简得及，根据向量数量积的定义推得，即得的最大值. 【详解】由题意得：， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以，则的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或3 （2）1或 【解析】 【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可. （2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 若，则． 整理得，解得或． 故的值为或． 【小问2详解】 若，则有，即，解得或． 当时，，，∴，∴． 当时，，，∴，∴． 综上，的值为1或． 16. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到正三棱台，若为棱上的动点， （1）求正三棱锥的体积和正三棱台的表面积 （2）求的最小值，并求取最小值时线段的长． 【答案】（1），表面积为 （2）最小值为，取最小值时 【解析】 【分析】（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，从而求出，利用勾股定理得到，求得结果； （2）将平面与展开到同一平面，可知，在中，利用余弦定理求得，利用求得，在中，由余弦定理得到，即可得出结论. 【小问1详解】 作点在平面内的射影，连接. 根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 正三棱台的上下底面积分别为和， 正三棱台侧面为等腰梯形，其中一个侧面如图所示： 其面积为， 所以表面积为； 【小问2详解】 如图所示，将平面与展开到同一平面，可知. 在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以，所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 17. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正三角形面积公式可先把转化成关于的式子，再结合余弦定理求角. （2）由第（1）问已经得到所以可以先用余弦定理把表示成的函数，再利用基本不等式求最值，最后用正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 （1）由题意， 则，即， 由余弦定理．因为，所以． 【小问2详解】 （2）因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以，所以外接圆的半径为． 18. 如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） 平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2） 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 19. 已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： （1）设点，，，求． （2）在（1）的条件下，求证． （3）其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 【答案】（1） （2） ，，， ， ， ，. （3）． 【解析】 【分析】（1）直接按定义计算即可； （2）把与三角形面积公式联系起来求解； （3）先利用第 2 问得到，再借助圆中“垂径定理”和对角线互相垂直，将四边形面积转化为关于的式子，最后求最值. 【小问1详解】 因为，所以 可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由结论， 可得 ． 由垂径定理知， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原四边形中的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 9 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 5. 已知在直角中，角的对边分别为，若且满足，且点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 在中，，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 若向量，若与的夹角为，且则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. C= B. 若，则 C. 若，则周长为16 D. 若，则面积的最大值为 11. 如图，在棱长为3的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若平面，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则点的轨迹长度为 非选择题部分 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别是，若，则___________． 13. 如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 14. 已知为坐标原点，，则的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 16. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到正三棱台，若为棱上的动点， （1）求正三棱锥的体积和正三棱台的表面积 （2）求的最小值，并求取最小值时线段的长． 17. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径． 18. 如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值． 19. 已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： （1）设点，，，求． （2）在（1）的条件下，求证． （3）其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $