精品解析：浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期4月期中练习数学学科试题

高一数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原四边形中的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 9 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 5. 已知在直角中，角的对边分别为，若且满足，且点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 在中，，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 若向量，若与的夹角为，且则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. C= B. 若，则 C. 若，则周长为16 D. 若，则面积的最大值为 11. 如图，在棱长为3的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若平面，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则点的轨迹长度为 非选择题部分 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别是，若，则___________． 13. 如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 14. 已知为坐标原点，，则的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 16. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到正三棱台，若为棱上的动点， （1）求正三棱锥的体积和正三棱台的表面积 （2）求的最小值，并求取最小值时线段的长． 17. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径． 18. 如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值． 19. 已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： （1）设点，，，求． （2）在（1）的条件下，求证． （3）其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于 分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】， 故. 2. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得：, 设,由余弦定理的推论得：， . 3. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原四边形中的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法先求出原图中的与，再在直角三角形中用勾股定理求即可. 【详解】正方形的边长为，所以 所以， 在正方形中，，因此 因为原图中， 所以在直角三角形中. 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 5. 已知在直角中，角的对边分别为，若且满足，且点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，且建立直角坐标系后，先求出点的坐标，再直接计算向量数量积即可. 【详解】因为，所以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立平面直角坐标系. 因为所以可设 又因为点在上，设，设， 则，则 从而故 由于所以 其中 故有即 解得即即于是 所以 因此 故选B. 6. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由和余弦定理，可知，因此； 则， 因此是以角为直角的直角三角形. 7. 在中，，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把作为一组基向量表示其他向量，先由求出；再利用点在 上，设从而表示出，与已知式比较系数即可求出. 【详解】设 则 由已知 得 所以， 因为点在上，所以设 于是 而题目又给出 比较的系数，得 所以再比较的系数，得故 故选C. 8. 在中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这样就能直接利用边长与角的关系表示三点坐标，再由重心坐标写出利用得到关于的关系式，最后设求函数值范围即可. 【详解】设 因为所以这样的设法符合题意， 因为点是的重心，所以 于是 由可得 所以 得 展开整理： 因此 设 则 ， 当且仅当即时取等号，所以最小值为 又因为三角形内角且这里由上式可知 ， 所以必须有 事实上 等价于 即 当 或 时， 综上， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 若向量，若与的夹角为，且则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项AB，利用向量的数量积定义，坐标公式和模的坐标公式求出和的值；选项C，利用投影向量的公式求解；选项D，分别计算的值得到结论. 【详解】选项B，因为所以 又已知 因此所以B正确. 选项C：在上的投影向量为所以C正确. 选项 A：设 由及得 故再由可得所以A错误. 选项D： 所以故D错误. 10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. C= B. 若，则 C. 若，则周长为16 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】选项A:或, 若 若与矛盾，故，A正确. 选项B:由A知，，若, 由余弦定理得：故B正确. 选项C:, 由余弦定理得： 的周长为，故C错误. 选项D:,由余弦定理得：, 即,, 当且仅当时成立,故D正确. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若平面，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用平面的法向量把直线与平面平行的问题转化为向量数量积为0的问题；再把点限制在正方形内，得到点的轨迹线段或圆弧. 利用点到平面的距离是否为定值判断三棱锥体积是否为定值. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 因为分别是的中点，所以，. 设，其中，. 对平面，有，. 设平面的法向量为，则，，即，，所以可取. 对于A项，. 若平面，则，即，整理得. 在正方形内，该轨迹是从到的一条线段，长度为，故A正确. 对于B项，. 若平面，则，即，整理得. 在正方形内，该轨迹是端点为和的线段，长度为，故B正确. 对于C项，由上面B项可知平面时，点满足. 又确定，所以三棱锥的底面面积为定值. 下面只需看点到平面的距离是否为定值. 由，，可得平面的一个法向量为，所以平面的方程可写为. 对，其到平面的距离为. 当时，该距离等于2，为定值，因此三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D项，由得，即. 点在正方形内运动，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆在该正方形内的一段四分之一圆弧，弧长为，不是，故D错误. 故选ABC. 非选择题部分 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别是，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】已知可先求出再由正弦定理求出，最后结合确定的两个可能值. 【详解】因为所以 由正弦定理代入得 于是所以 又因为三角形内角满足，故, 经检验，这两个解均满足构成三角形的条件，故 13. 如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】如图， 直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体是圆台， 且圆台上底面面积,下底面圆的面积为，圆台的高为. 因此，该圆台的体积. 绕直线旋转一周形成的几何体为圆锥， 且该圆锥的底面圆的面积为，圆锥的高为，因此，该圆锥的体积为, 故所求几何体的体积. 14. 已知为坐标原点，，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由条件判断，求出，，再利用向量数量积的运算律化简得及，根据向量数量积的定义推得，即得的最大值. 【详解】由题意得：， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以，则的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或3 （2）1或 【解析】 【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可. （2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 若，则． 整理得，解得或． 故的值为或． 【小问2详解】 若，则有，即，解得或． 当时，，，∴，∴． 当时，，，∴，∴． 综上，的值为1或． 16. 如图，已知正三棱锥的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到正三棱台，若为棱上的动点， （1）求正三棱锥的体积和正三棱台的表面积 （2）求的最小值，并求取最小值时线段的长． 【答案】（1），表面积为 （2）最小值为，取最小值时 【解析】 【分析】（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，从而求出，利用勾股定理得到，求得结果； （2）将平面与展开到同一平面，可知，在中，利用余弦定理求得，利用求得，在中，由余弦定理得到，即可得出结论. 【小问1详解】 作点在平面内的射影，连接. 根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 正三棱台的上下底面积分别为和， 正三棱台侧面为等腰梯形，其中一个侧面如图所示： 其面积为， 所以表面积为； 【小问2详解】 如图所示，将平面与展开到同一平面，可知. 在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以，所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 17. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正三角形面积公式可先把转化成关于的式子，再结合余弦定理求角. （2）由第（1）问已经得到所以可以先用余弦定理把表示成的函数，再利用基本不等式求最值，最后用正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 （1）由题意， 则，即， 由余弦定理．因为，所以． 【小问2详解】 （2）因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以，所以外接圆的半径为． 18. 如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． 【小问2详解】 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 19. 已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： （1）设点，，，求． （2）在（1）的条件下，求证． （3）其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于 分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）直接按定义计算即可； （2）把与三角形面积公式联系起来求解； （3）先利用第 2 问得到，再借助圆中“垂径定理”和对角线互相垂直，将四边形面积转化为关于的式子，最后求最值. 【小问1详解】 因为，所以 可得 . 【小问2详解】 ，，， ， ， ，. 【小问3详解】 由结论， 可得 ． 由垂径定理知， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $