10.5用二元一次方程组解决问题（古数学问题巩固练习） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 10.5用二元一次方程组解决问题 （古数学问题巩固练习） 【典型例题】 【例1】我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【例2】唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》一书中有这样一道题：“仅有三十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有30只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，则需要大圈舍、小圈舍各多少间？依据题意，鹿进圈舍的方案共有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例3】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则符合题意的方程组是　　． 【例4】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为　 　． 【例5】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【例6】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【举一反三】 【变式1】《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式3】明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【变式4】据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组： ． 【变式5】我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【变式6】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【巩固练习】 1.古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 2.我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 3.中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 4.《九章算术》是我国古代数学专著，其中第八卷记录了这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其大意为“今有捆上等禾结出的粮食，减去斗上等禾，再加上捆下等禾结出的粮食，共斗；捆下等禾结出的粮食，加上斗下等禾，再加上捆上等禾结出的粮食，共斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食（斗为体积单位）？”设上等禾每能结出斗粮食，下等每能结出斗粮食，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5.北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 6.“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍x间，小圈舍y间，则x+y求得的结果有 　　 种． 7.我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　　 分． 8.《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有 人分银（注：1斤=10两）． 9.我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 10.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 11.我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答） 12.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 13.《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 14.明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 15.阅读与思考 请阅读下列材料，并解决相应的问题： 程大位（1533~1606）明代商人，珠算发明家，今黄山市屯溪人．他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统宗》．该书是一本通俗实用的数学书，也是一本将数字人诗的代表作，其中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名裤厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酗酒几多醇？”这首诗通俗意思如下：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问醇酒、薄酒分别是多少瓶？ (1)上述材料中，若设有醇酒x瓶，薄酒有y瓶，试根据题意列出方程组并求出x，y的值． (2)在《算法统宗》中，还有这样一道问题：三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到目的地，求此人第六天走的路程．请你利用一元一次方程知识解答． 答案解析 【典型例题】 【例1】我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【例2】唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》一书中有这样一道题：“仅有三十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有30只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，则需要大圈舍、小圈舍各多少间？依据题意，鹿进圈舍的方案共有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【例3】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则符合题意的方程组是　　． 【答案】 【例4】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为　 　． 【答案】 【例5】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【答案】设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得： ， 解得：， 答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱． 【例6】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 【举一反三】 【变式1】《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式2】《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式3】明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【答案】 20 15 【变式4】据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组： ． 【答案】 【变式5】我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【答案】设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有只，兔有只． 【变式6】我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 【巩固练习】 1.古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 3.中国古代数学著作《九章算术》，中记载了这样一个题目：五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀，燕的重量各为多少？设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.《九章算术》是我国古代数学专著，其中第八卷记录了这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其大意为“今有捆上等禾结出的粮食，减去斗上等禾，再加上捆下等禾结出的粮食，共斗；捆下等禾结出的粮食，加上斗下等禾，再加上捆上等禾结出的粮食，共斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食（斗为体积单位）？”设上等禾每能结出斗粮食，下等每能结出斗粮食，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 6.“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍x间，小圈舍y间，则x+y求得的结果有 　　 种． 【答案】4 7.我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　　 分． 【答案】6 8.《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有 人分银（注：1斤=10两）． 【答案】11 9.我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 10.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】设有x人，物价为y钱， 根据题意列二元一次方程组可得，， 解得． 即有5人，物价为28钱， 答：人数有5人，物价为28钱． 11.我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答） 【答案】设甲有羊x只，乙有羊y只， 根据题意，得 解得， 答：甲有羊63只，乙有羊45只． 12.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 13.《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 14.明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 15.阅读与思考 请阅读下列材料，并解决相应的问题： 程大位（1533~1606）明代商人，珠算发明家，今黄山市屯溪人．他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统宗》．该书是一本通俗实用的数学书，也是一本将数字人诗的代表作，其中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名裤厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酗酒几多醇？”这首诗通俗意思如下：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问醇酒、薄酒分别是多少瓶？ (1)上述材料中，若设有醇酒x瓶，薄酒有y瓶，试根据题意列出方程组并求出x，y的值． (2)在《算法统宗》中，还有这样一道问题：三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到目的地，求此人第六天走的路程．请你利用一元一次方程知识解答． 【答案】（1）解：设醇酒有x瓶，则薄酒有y瓶， 依题意得：，解得：， 答：醇酒有10瓶，则薄酒有9瓶； （2）解：此人第六天走的路程为x里， 由题意可得，x+2x+4x+8x+16x+32x=378， 解得：x=6， 答：此人第六天走的路程为6里． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $