山东省淄博市沂源县2025-2026学年九年级下学期4月期中数学试题

初四数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1-10:ADCCA ABDCB 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11.3(x+2)(k-2)12.202913.4rm214.20或26.515.(22025，-22025) 三、解答题：本题共8小题，共90分. 16,解：(1)(2025)°+4sin60°+2--21 =1+4× 3,。 +2+元-2 1 2 …2分 =1+25+2+π 2 ..4分 +26+π 5分 (2)a2-b21-a-b a2-2ab+b2 a-b =(a+b)(a-b)1-a-b (a-b)2 a-b .2分 =a+b+1-a-b a-b a-b =a+b+1-a-b a-b s、1 a-b 3分 由图可得，a=-3,b=2 4分 11 原式= -3-25 5分 17.解：四边形ABCD是菱形， .∴.BC=CD,∠ADC=∠ABC, 2分 ∠CDF=∠CBE,4分 在△BEC和△DFC中， BE=DF ∠CBE=∠CDF BC=CD ∴.△BEC≌△DFC(SAS), 8分 CE-CF。… 10分 18.解：(1)40÷40%=100 ∴.王老师抽取了100名学生的参赛成绩， .2分 (2)及格人数为100×10%=10， 良好人数为100×35%=35， 补图如下： 个人数 40 ------ 35 30 25 20 15 10 5 0 及格 中等 良好 优秀 级别；.4分 (3)1600×(35%+40%)=1200 “估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有1200人： .7分 (4)画树状图如下， 开始 D ABCD ABC D ABC D AB C D 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， 41 ∴.两个班同时选中同一套试卷的概率为 164 .10分 19.解：(1)设每辆乙型汽车的进价为心万元，由题意，得： 24001800 +20 1.2x x 3分 解得：x=10, ..4分 经检验，x=10是原方程的解， 1.2x=12」 5分 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为12万元和10万元： (2)设购进乙型汽车m辆时，可使投资总额最少，由题意，得：，100-m≥1.5 解得：≤40 6分 设投资总额为w万元，则：w=10m+12(100-m)=-2m+1200，..8分 .w随着m的增大而减小， .当m=40时，W有最小值，为m=-2×40+1200=1120 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为1120万元..10分 20.解：(1)把B(4,2)代入为=”得2= x 4 n=8, 六反比例函数片的解析武为乃8 .2分 8=4, 把A2m代入人=8得m .A(2,4), 把A(2,4),B(4,2),代入y=x+b [2k+b=4 得 4k+b=2 「k=-1 b=6 ∴.一次函数的解析式为y=-x+6 4分 (2)由图象得，当+b-”≤0时，即x十b≤ 时 x的取值范围为0<x≤2或x之4,7分 (3)设P(0,a), 由=-x+6得，当0时，y=6,当y=0时，6， …M(0,可，N(6,0),.8分 ①当a>0时，S边形MBoe=Sov-SAw一SoaN 方66-6-*262 =18-(6-a)-6 =18-6+a-6 =6+a=7, a=1, .点P的坐标为(0,1)，9分 ②当a<0时，Sn边形ABo=Sap一S,kO -6-a426x2 1 =2(6-a)-6 =12-2a-6 =6-2a=7, 1 点P的坐标为 11分 综上可如：点的单标0)或0》 …12分 21.证明：(1)如图，连接B0并延长交AD于点H,连接OD,1分 O H D AB=BD,O4=OD. .BO垂直平分AD, ∴.∠BHD=90° 3分 AC为⊙0的直径， .∠ADC=90°. .4分 BE⊥DE, .∠E=90° ∴.四边形BEDH为矩形， ...5分 ∠OBE=90°， OB为⊙0的半径， BE为⊙0的切线：6分 (2)在Rt△BDE中， .BD=AB=3V6,BE=3. D2=V36)°-32=35 .7分 :四边形BEDH为矩形， DH=BE=3,BH=DE=3√5 8分 设⊙0的半径为”， 则OH=35-r,OD=r. 9分 在RtA0DH中，(35-)+32= 9V5 解得r= 即⊙0的半径为 9V5 5 12分 22.解：(1)二次函数y=x2+bx-3经过点A(-3,0),B(1,0), 将A(-3,0),B1,0)代入表达式， 0=9a-3b-3 得(0=a+b-3 ，】分 [a=1 解得(b=2 2分 y=x2+2x-3. 3分 (2)当x=0时，=-3， C0,-3刃，4分 设Dm,0)。 :ED∥y轴， :E(mm+2m-3) :DE=0-(m+2m-3) .DE=-m2-2m+3」 .5分 ”S四边形cAE=SADE十ScDE, am(m-2m3=一-m 2，..6分 3<0 2, 当m=-1时四助形DAE面积最大，最大值为：名(--3()-}-6 3 此时E点坐标为(-1，-4)： .7分 (3):y=x2+2x-3=(x+12-4, ·其顶点P为(-1，-4) 2(-1,0). .P9=g=4, .∠QNWP=∠QPW=45° 8分 ①当H在P点上方时， ∠QNH1+∠H,NP=45°，∠BC0+∠H,NP=45° :∠QNH1=∠BC0 tan /ONH,=tan BCO=OB1 OC 3. tam∠QMH,=Og-g_1 N043 0H=3 4 .10分 ②当H在P点下方时，过点N作1垂直于x轴，过点H作MLI,交1于点M, 由题意得四边形Q,为矩形， A B Ma- .∠QM=90°，QN=HM=4 .∠QNP+∠PMM=90° ∠PM=45°. ∠IH,M+∠H,P=45°，∠BC0+∠H,NP=45° ∠H,M=∠BC0 tan☑H,MM=tan∠BCo= 3 tan∠H,M= HM 14=1 ☑MM3. .M=12, H,(-1,-12) 12分 综上，点H的坐标为1，》 或(-1，-12) 13分 23.解：(1)∴AC=DE,BC=AE .2分 (2)四边形CEDF的周长为10，DE=DF=3, ∴.CE+CF+DE+DF=10」 ∴.CE+CF=4. :△ABC的周长为18，AB=AE+BF, .AB+AE+BF+CE+CF=18. ∴.2AB+4=18. .AB=7, 4分 (3)DE=2BE-LAD 5分 理由如下， 2 .∠ACB=90°. .∴.∠ACD+∠BCD=90°」 .BE⊥N, ∴.∠BEC=90°. .∠BCE+∠CBE=90°， ∴.∠ACD=∠CBE, AD⊥N, ∴.∠CDA=90° ..∠CDA=∠BEC=90° .△CDA∽△BEC,.6分 AD=CD_AC ·CE BE BC, AC=2BC, ∴.AD=2CE,CD=2BE :DE=CD-CE=2BE-LAD 2 .8分 (4)在AC上找一点F使∠EFP=∠DAC,延长E交AD的延长线于点G,过点G作AC的垂线，垂足为 M,过点F作AD的垂线，垂足为N..9分 o G B 在矩形ABCD中，AB=14,BC=7, AB=CD=14,AB∥CD,∠B=∠ADC=90° .∠BAC=∠DCA,AC=VAB2+BC2=7V5 ∴sin∠DAC=DC-AB2V5 ACAC 5, :sim∠zp0=25 5 .∠EFP=DAC=EPQ .∠QPF=∠QPE+∠EPF=∠DAC+∠AQP,∠QPE=∠DAC ∴.∠EPF=∠AQP ∴.△AQP∽△FPE,AG=GF, ∴.△GAF为等腰三角形， ∴.AM=M 710分 设AM=MF=a,则AF=2a, si∠D4C=2 5, MG=2a,4G=FG=5a BW=46 5 a AN=25 v=4Ay=Su25=35 ，11分 .tan∠DGE=tan∠NGF, 4w5 DE FN 5a4 DG GN3V5- 3 s a .DE=4, DG=3,EG=5, .AG=GF=10, .EF=10-5=5, MG=iDACAG=210=45 5 .AM=V4G-MG=25 i.AM=MF-TAF=215,AF=4V5 2 12分 设A犯=y,AP=x, ∴.△AQP∽△FPE, 40-Ap PF EF y 45-x5. 45-x y= ,45 即 5 5 1 S下0 对称轴为直线x=2V5 “当x=2√5时，nax=4, 即当AP=2V5时，A0mx=4. .13分初四数学试题 本试卷分第1卷和第Ⅱ卷两部分，共8页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1,答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和 试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号. 2,第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能写在试卷上 3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题 $ 卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑. n 4。评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改.不按以上 要求作答的答案无效.不允许使用计算器. 到 5.保证答题卡清洁、完整，严禁折逐，严禁在答题卡上做任何标记。 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1. 在2,1，元，一√5四个数中，最小的数是() A.-V5 B.2 C.元 D.-1 茶 2. 未来将是一个可以预见的AI时代.A一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸 和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学.下列是世界著名人工智能品牌公 司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是( : 3. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元， 目前位列全球影史票房第6名.其中149亿用科学计数法表示为（) A14.9×109 B.1.49×109 C.1.49×10 D.0.149×10 4·下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（) : △ 5,下列运算正确的是（ A.(ab3）2=a2b B.a'+a2=as 初四数学试题第1页（共8页） C.a3.a2=a6 D.2(a-b)=2a-b 6.为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化进产一“抖空竹”引入阳 光特色大课间。下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知 AB∥CD,∠EAB=70°，∠ECD=100°，则∠E的度数是() 图1 图2 A.30° B.40° C.60° D.70° 7.某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间( 单位：分钟)：55,57,65,55,65,70,65,78,68,70.这组数据判断正确的是() A方差为3 B.众数为65 C.平均数为65 D.中位数为67.5 8.如图，正方形BCD的顶点B在x轴上，点A,点C在反比例函数y=上k>0,x>0)图象上.若 直线BC的函数表达式为y=亏x-4,则k值为() 2 1'A D 0 第8题图 第9题图 A.6 B.12 C.16 D.24 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD,BC 于M,N两点；再分别以M,N为圆心，大于二MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交CD 2 于点F;再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E,则EF的长为() A 35 B.2W5 c5-35 D.5-2V5 2 初四数学试题第2贞（共8贞) 10. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如： 0,-刂.（位》（5,5）.…都是“方形点.下列结论 ①直线y=-4x+3上存在“方形点”： ②抛物线y=x2-5x+3上的2个“方形点”之间的距离是4√2： ③若二次函数y=axr2+3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“方形点”(2，-2)，当-1≤x≤m 时三次函数y=Q+3+C@O的最小值为-8，及大值为，则实数m的取值范围是 -1≤m≤4： 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果 11.因式分解：3x2-12= 12.已知a和b是方程x2+2025x-4=0的两个解，则a2+2024a-b的值为 13.如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图②所示 ,它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若 OA=4m,OB=2m,则阴影部分的面积为 (计算结果保留π) ◆s/m 做有理想、有本领、 200 有担当的时代新人 一甲 …乙 100 0 图① 图② 25 37407於 第13题图 第14题图 14,张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个200m赛跑方案，赛跑的全过程 如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s(m)与出发时间t($)的关系.当两人相距 20m时，出发的时间是 15,如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB.∠OAB=90°.宜角边A0 在x轴上，且AO=1.将直角三角形AOB绕原点0顺时针旋转90°得到等腰直角三角形AOB,且 初四数学试题第3贞（共8贞） A0:2A0,再将Rt△AOB,绕原点0顺时针旋转90°得到等腰直角三角形4，OB,且 A.0=2A0依此规律，得到等腰直角三角形4o2,0B2025,则点B2025的坐标为 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ☒ 16·计算：（每小题5分，共10分） (1)计算：(2025)°+4sin60°+-2-元-2 (2)化简分式： a2-b2 1-a-b 并求值（请从小字和小丽的对话中确定a,b的值） a2-2ab+b2 a-b 学 a是3的相反数。 b是大于1且小 于√5的整数。 小宇 小丽 焙 17.(本小题满分10分) 如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF,连接 CE、CF. 求证CE=CF. 初四数学试题第4页（共8贞） 18、(本小题满分10分) 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，经过一段 时间的学习， 同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师 抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表 参赛成绩 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 人数 血 15 2 40 级别 及格 中等 良好 优秀 人数 怒 中等 r 35 及格 7025 0% 良好 0 35% 15 优秀 5 40% 及格 中等 良好 优秀 级别 请根据所给的信息解答下列问题： 茶 (1)王老师抽取了 名学生的参赛成绩； (2)将条形统计图补充完整： (3)若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80)的学生有多少人？ (4)在本次竞赛中，学校发现六(1)班、七（4)班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段 时间后，再由电脑随机从A,B,C,D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树 : 状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率， 双 脚 19. (本小题满分10分) 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车4$店决定采购 新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万 元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆， 苏 (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ (2)该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的 1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 初四数学试题第5页（共8页） 20.(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标中，点0是坐标原点，一次函数片=c+b与反比例函数为=(x>0)的 图象交于A(2,m)、B(4,2)两点. (1)求一次函数y,与反比例函数2的解析式： (2)根据图象回答，当+b-”≤0时，x的取值范围为 (3)y轴上有一点P,当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标. 21.(本小题满分12分) 如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，AC是直径，AB=BD,过点B作BE L DE交DC的延 长线于点E. (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)若AB=3V6,BE=3.求⊙0的半径. D 初四数学试题第6项（共8贞） 22.(本小题满分13分) 二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-3,0)、B(L,0)两点，与y轴交于点C. (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作ED∥y轴，交x轴于点D,四边形 CDAE的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； (3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q,在x轴上有一点(-5,0)，连 接NP,在抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得∠HNWP+∠BCO=45°，若存在，请求出点H 的坐标 y YA B A B E P 图1 图2 初四数学试题第7贞（共8页） 23.(本小题满分13分) (一)模型呈现 (1)如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥1于点C,过点D作 DE⊥I于点E,由∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D,又∠ACB=∠DEA=90°，可 以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=,BC=· 我们把这个数学模型称 为“K字”棋型或“一线三等角”棋型： (二)模型体验 (2)如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3,∠A=∠EDF=∠B,四边形 CEDF的周长为IO,△ABC的周长为18，小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD, 进而得到AE=BD,AD=BF,那么AB=AE+BF,再根据题目中周长信息就可得 斑 AB= (三)棋型拓展 (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点 D,BE⊥MN于点E.请猜想线段DE,AD,BE之间的数量关系，并写出证明过程： (四)模型应用 (4)如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14,BC=7,点E在CD边上，且DE=4.P是对 些 角线4C上一动点，Q是边AD上一动点，且满足sin∠EPQ=名V5,当P在AC上运动时，请 5 求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度， D D E 烯 D 图 图2 B M 图3 图4 初四数学试题第8负（共8贞）