7.3.1 离散型随机变量的均值教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《7.3.1 离散型随机变量的均值》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 1. 理解离散型随机变量“均值（数学期望）”的概念，能根据分布列正确计算均值. 2. 掌握离散型随机变量均值的性质，能进行简单运算与变形. 3. 能利用均值解决实际决策、产品质量、风险评估等问题，体会均值在刻画随机变量平均水平中的作用，提升数学抽象、数学运算、数学建模核心素养. 课标分析 本节课是离散型随机变量数字特征的第一课时，承接分布列，开启期望与方差的学习.课标强调：均值不是简单算术平均，而是以概率为权重的加权平均，反映随机变量取值的平均水平；要求学生不仅会计算，更能理解意义、运用性质、解决实际决策问题.本节是概率从“描述规律”走向“定量分析与决策”的关键内容，在实际生产、风险评估、统计决策中应用广泛. 2、 教材分析 “离散型随机变量的均值”是人教A版选择性必修第三册第七章第三节第一课时，是随机变量数字特征的核心内容.教材以射箭运动员比较成绩为引入，从频率平均数过渡到概率加权平均，给出均值定义；再推导两点分布均值、均值性质；最后通过猜歌、防洪决策等实际例题强化应用.内容遵循“实例→定义→性质→应用”结构，突出加权平均、期望意义、决策作用，是培养学生概率应用能力的重要载体. 3、 学情分析 学生已经掌握离散型随机变量分布列的求法，会计算古典概型与互斥事件概率，理解平均数概念.但对**“加权平均（按概率加权）”**理解困难，容易把期望当成普通平均数；对均值性质的推导与使用不熟练；在实际问题中不会建立随机变量模型、不会用期望做决策.学生擅长计算，弱在理解意义与建模，适合用实例对比、步骤化教学突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从平均数过渡到期望，抽象出离散型随机变量均值的本质. 1. 逻辑推理素养：推导均值的性质，理解期望的加权意义. 1. 数学运算素养：熟练由分布列计算期望，运用性质进行运算. 1. 直观想象素养：理解期望反映随机变量的平均水平. 4. 数学建模素养：将实际问题转化为随机变量期望模型，进行决策. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：离散型随机变量均值的定义、计算；两点分布均值；均值的性质. 1. 难点：理解均值的加权平均意义；运用均值解决实际决策问题. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1. 展示预习问题，学生独立完成，巡视并请学生回答. 1. 对正确回答给予肯定，对错误引导分析原因并纠正. 预习问题及答案 1. 离散型随机变量均值公式：________. （答案：） 1. 若服从两点分布，成功率为，则________.（答案：） 1. 均值性质：________.（答案：） 1. 均值反映随机变量取值的________.（答案：平均水平） 学生活动 独立作答，举手订正，明确预习薄弱点. 设计目的 检测预习效果，快速聚焦公式与核心结论. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 教师活动 请学生回顾离散型随机变量分布列知识，随机提问： （1）离散型随机变量分布列的两个性质是什么？ （2）求分布列的基本步骤是什么？ （3）两组数据如何比较平均水平？ 点评并引入：随机变量也有“平均水平”，叫做均值（期望）. 学生活动 举手回答，回顾旧知，进入新课思考. 设计目的 巩固分布列，联系平均数，自然引入期望概念. 环节三：合作探究 1. 均值概念的形成（5分钟） 教师活动 给出射箭例子：甲的环数分布列7(0.1)、8(0.2)、9(0.3)、10(0.4). 引导计算：平均环数. 给出定义： 强调：按概率加权的平均，不是算术平均. 学生活动 计算、观察、理解加权含义. 设计目的 从实例到定义，突破理解难点. 2. 两点分布的均值（5分钟） 教师活动 两点分布： 0 1 推导：. 例题：罚球命中率，得分均值. 学生活动 记忆结论，完成简单计算. 设计目的 掌握最常用分布的均值. 3. 均值的性质（5分钟） 教师活动 推导： 证明思路：代入定义展开，提取. 例题：若，则. 学生活动 记录性质，完成简单应用. 设计目的 掌握运算工具，提升计算效率. 环节四：学以致用 1. 基础例题（5分钟） 例1 随机变量分布列如下： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 求与. 解答： 答案：， 例2 掷一枚骰子，点数，求. 解答： 答案： 2. 综合例题（7分钟） 例3 猜歌名游戏，奖金可能取值：0、1000、3000、6000， 概率：0.2、0.32、0.288、0.192. 求均值. 解答： 答案：元 例4 防洪决策：三种方案损失分别为： 方案1：固定3800； 方案2：； 方案3：. 决策：选方案2. 教师活动 板书步骤，强调：先分布列，再算期望，最后决策. 学生活动 独立演算，同桌互批，订正错误. 设计目的 覆盖计算、性质、应用决策，落实高频题型. 小试牛刀： 1.现有一个项目，对该项目投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为.随机变量表示对此项目投资10万元一年后的利润，则的均值为（ ） A. 1.18 B. 3.55 C. 1.23 D. 2.38 2.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号的均值为（ ） A. B. C. 2 D. 3.已知离散型随机变量的分布列如下，则（ ） A. B. C. D. 4.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付 款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销 一件该商品所得的利润. (1)求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率； (2)求的分布列及均值. . . 环节五：课堂小结 教师活动 请学生回顾： 1. 一个公式：； 2. 一个结论：两点分布； 3. 一条性质：； 4. 一种应用：期望越小越优，用于决策. 学生活动 口述要点，完善笔记. 设计目的 形成清晰知识结构与解题套路. 环节六：布置作业 1. 书面作业：课本P66练习第1—4题，写出完整步骤. 2. 拓展作业：比较两台机床次品数均值，判断优劣. 3. 预习引导：预习下一节离散型随机变量的方差. 教师活动 明确书写规范，提醒先写分布列再算期望. 学生活动 记录作业，明确预习任务. 设计目的 巩固计算与应用，衔接后续内容. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从实例平均数引入期望，学生接受较自然，基础计算掌握较好.但仍存在两点问题：一是部分学生仍把期望理解为普通平均，不理解概率加权；二是实际应用题中不会设随机变量、不会列分布列，导致无法计算期望.后续教学应强化“先定变量、再列分布、最后算期望”的三步训练，同时多结合生活决策实例，提升建模与应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $