4.3.1运用平方差公式因式分解-课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 4.3.1运用平方差公式因式分解 第四章 因式分解 北师大版八年级数学下册 4.2.2 公因式为多项式的因式分解 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“公因式为多项式的因式分解”核心知识点设计，重点考查多项式公因式的识别、转化（如符号转化）、提取方法，以及与单项式公因式因式分解的区别与联系，分层考查基础掌握、辨析判断与灵活运算能力，助力熟练掌握提取多项式公因式的技巧，提升因式分解综合能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列等式中，属于提取多项式公因式的因式分解是（ ） A. $$x(x-2)+3(x-2)=(x+3)(x-2)$$ B. $$(x+1)(x-1)=x^2-1$$ C. $$x^2-4x=x(x-4)$$ D. $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$ 2. 下列关于公因式为多项式的说法，正确的是（ ） A. 多项式公因式只能是一次多项式 B. 寻找多项式公因式时，需先观察各项是否有相同的多项式因式，再考虑符号转化 C. 多项式$$(x-2)^2+3(x-2)$$的公因式是$$(x-2)^2$$ D. 提取多项式公因式后，括号内的式子一定不含多项式公因式 3. 多项式$$3(x-1)^2-6(x-1)$$的公因式（多项式）是（ ） A. 3 B. $$x-1$$ C. $$3(x-1)$$ D. $$3(x-1)^2$$ 4. 把多项式$$2(x-y)^2+4(y-x)$$提取多项式公因式后，正确的是（ ） A. $$(x-y)[2(x-y)+4]$$ B. $$2(x-y)(x-y-2)$$ C. $$2(x-y)(x-y+2)$$ D. $$(y-x)[2(y-x)+4]$$ 5. 下列提取多项式公因式的因式分解正确的是（ ） A. $$x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2)$$ B. $$3(x-2)-x(2-x)=(x-2)(3-x)$$ C. $$(a+b)^2-2(a+b)=(a+b)(a+b)$$ D. $$4(x-1)^2+8(1-x)=4(x-1)(x-1-8)$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 公因式为多项式时，公因式的确定方法：①观察各项是否有相同的________；②若各项含有的多项式因式符号相反，可通过提取________，转化为相同的多项式因式；③确定公因式的次数（取各项中相同多项式因式的________次幂）。 2. 提取多项式公因式的关键是________，常用的符号转化技巧：$$(y-x)=$$________$$(x-y)$$，$$(y-x)^2=$$________$$(x-y)^2$$。 3. 多项式$$5(x-2)^3+10(x-2)^2$$的多项式公因式是________。 4. 提取多项式公因式因式分解：$$x(x-1)-3(x-1)=$$________；$$2(a+b)-4(a+b)^2=$$________。 5. 若多项式$$(x-3)a+(3-x)b$$的公因式是多项式$$(x-3)$$，则因式分解的结果为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查多项式公因式的判断及因式分解定义。 （1）判断下列各式是否为提取多项式公因式的因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）： ① $$x(x-5)+2(5-x)=(x-2)(x-5)$$；② $$3(x+2)-x(x+2)=3-x(x+2)$$；③ $$(x+1)(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x+1-2)$$；④ $$2(x-y)^2+(y-x)=2(x-y)^2-(x-y)$$。 （2）找出下列各多项式的多项式公因式： ① $$4(x-3)^2-8(x-3)$$；② $$3(a+b)-6(a+b)^2+9(a+b)^3$$；③ $$x(y-2)-y(2-y)$$；④ $$7(x+1)^2+14(x+1)$$。 解： 2. （12分）计算题，运用提取多项式公因式法进行因式分解。 （1）$$x(x-2)+5(x-2)$$；（2）$$3(a-b)-6(b-a)$$；（3）$$4(x+1)^2-8(x+1)$$；（4）$$x(y+3)-2(y+3)$$； （5）$$6(x-3)^2+3(3-x)$$；（6）$$2(a+b)^2-4a(a+b)$$。 解： 3. （12分）辨析与纠错题，改正提取多项式公因式中的错误。 （1）指出下列因式分解的错误，并改正（均为提取多项式公因式）： ① $$2(x-1)+x(1-x)=2(x-1)-x(x-1)=(2-x)(x-1)$$（判断对错，错则改正）；② $$5(x+2)^2-10(x+2)=5(x+2)(x+2)$$； ③ $$(x-y)^2+2(y-x)=(x-y)(x-y+2)$$；④ $$3(x-2)^3-6(x-2)^2=3(x-2)^2(x-2-6)$$。 （2）说明提取多项式公因式时，为什么要进行符号转化，举例说明常见的符号转化技巧。 解： 4. （12分）综合题，结合单项式、多项式公因式的因式分解求解。 （1）已知$$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$$，补充一个含多项式公因式的因式分解：$$x(x+3)-2(x+3)=$$________； （2）若$$ax(x-4)+b(4-x)=(x-4)(ax-b)$$，验证等式是否成立，并说明理由； （3）先将多项式$$2x(x-5)+3(5-x)$$提取多项式公因式因式分解，再求值（其中$$x=4$$）； （4）已知多项式$$(x-2)m+(2-x)n$$提取多项式公因式后结果是$$(x-2)(m-n)$$，验证该结果的正确性，并写出原多项式的公因式。 解： 5. （12分）应用题，运用提取多项式公因式解决简单实际问题。 （1）一个长方形的面积为$$x(x-3)+4(x-3)$$（$$x>3$$），其中一边长为$$x-3$$（多项式），求另一边长； （2）已知一个多项式与$$(x+2)$$的积为$$3(x+2)^2+6(x+2)$$，求这个多项式（用因式分解求解）； （3）若一个多项式提取多项式公因式后结果为$$2(x+1)(x-3)$$，且这个多项式的二次项系数为$$2$$，求原多项式，并写出它的公因式。 解： 6. （10分）拓展题，提升提取多项式公因式的灵活运用能力。 （1）因式分解：$$x(x-y)^2-y(y-x)^2$$；（2）因式分解：$$3(x-1)^3+6(1-x)^2$$； （3）已知$$a+b=3$$，求多项式$$a(a+b)-b(a+b)$$的值（提示：先提取多项式公因式，再代入求值）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 二、填空题：1.多项式因式；负号；最低 2.转化符号，确定相同的多项式公因式；$$-$$；$$+$$ 3.$$5(x-2)^2$$ 4.$$(x-1)(x-3)$$；$$2(a+b)(1-2a-2b)$$ 5.$$(x-3)(a-b)$$ 三、解答题：1.（1）①是，提取公因式$$(x-5)$$；②不是，结果不是整式积，改正：$$(x+2)(3-x)$$；③是，提取公因式$$(x-3)$$；④不是，未完成因式分解，改正：$$(x-y)(2x-2y-1)$$；（2）①$$4(x-3)$$；②$$3(a+b)$$；③$$(y-2)$$（或$$(2-y)$$）；④$$7(x+1)$$ 2.（1）$$(x-2)(x+5)$$；（2）$$3(a-b)(1+2)$$；（3）$$4(x+1)(x+1-2)$$；（4）$$(y+3)(x-2)$$；（5）$$3(x-3)(2x-6-1)$$；（6）$$2(a+b)(a+b-2a)$$ 3.（1）①正确；②错误，改正：$$5(x+2)(x+2-2)$$；③错误，改正：$$(x-y)(x-y-2)$$；④错误，改正：$$3(x-2)^2(x-2-2)$$；（2）略 4.（1）$$(x+3)(x-2)$$；（2）成立，理由略；（3）因式分解为$$(x-5)(2x-3)$$，值为-3；（4）正确，公因式为$$(x-2)$$ 5.（1）$$x+4$$；（2）$$3(x+2)+6$$；（3）原多项式$$2x^2-4x-6$$，公因式$$2(x+1)$$ 6.（1）$$(x-y)^2(x-y)$$；（2）$$3(x-1)^2(x-1+2)$$；（3）9 学习目标 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用. 2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 导入新知 a米 b米 b米 a米 (a-b) 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a2- b2=(a+b)(a-b) 平方差公式： 3 用平方差公式进行因式分解 1 观察下面两个等式，它们有什么共同特征? x2 - 25 = (x + 5)(x - 5) 9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y) (3x)2 是两数的平方差的形式 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 乘法公式 因式分解 52 运算法则： 文字说明： 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积. a2 - b2 = (a + b)(a − b) 和 差 运用平方差公式因式分解 定义总结 将乘法公式 (a + b)(a − b) = a2 - b2 反过来，就得到 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ √ √ 辨一辨 (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2 - y2 (4) -x2 + y2 (5) x2 - 25y2 (6) 9m2 - 1 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式. 总结 -(x2 + y2) y2 - x2 x2 - (5y)2 (3m)2 - 12 典例精析 例1 把下列各式因式分解： (1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2. 解：(1) 原式＝52－(4x)2 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(5＋4x) (5－4x) 解：(2) 原式＝(3a)2－ ( b)2 ＝(3a＋ b)2 (3a－ b)2 例2 分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝(b－a)(3a＋b). 解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式继续分解 ＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) (2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) 公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 方法总结 1.把下列各式分解因式： (1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 练一练 B 返回 1． 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目： 用平方差公式因式分解： (1)－a2＋b2; (2)－a2－b2； (3)36a2－b2c2; (4)16m2n2－25. 涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 中考考法 11 返回 B 2． 因式分解“16m2－？”得(4m＋5n)·(4m－5n)，则“？”是(　　) A．5n2 B．25n2 C．75n2 D．125n2 中考考法 12 3． 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，2，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a(x2－1)－2b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　) A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 中考考法 13 【点拨】 【答案】C 2a(x2－1)－2b(x2－1)＝(2a－2b)(x2－1)＝2(a－b)(x－1)(x＋1)．∵2，a－b，x－1，x＋1分别对应我，爱，数，学，∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学． 返回 中考考法 4． 返回 4 [2025内江]已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________. 中考考法 15 5． 返回 2y＋x 一个长方形的面积为4y2－x2，宽为2y－x，则该长方形的长为________． 中考考法 16 6． 返回 4 若x＋y＋z＝2，x2－(y＋z)2＝8，则x－y－z的值为________． 中考考法 17 7． 【解】原式＝(ab＋4)(ab－4)． 因式分解： (1)a2b2－16; 　　 (2)x2(a－2)＋(2－a)； 原式＝(a－2)(x2－1)＝(a－2)(x＋1)(x－1)． 中考考法 18 (3)a4－1; 　　 (4)49x2－(5x－2)2. 原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)． 原式＝(7x＋5x－2)(7x－5x＋2)＝(12x－2)(2x＋2) ＝4(6x－1)(x＋1)． 返回 中考考法 8． 【解】选取(x＋y)2与(x＋y)， (x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1)． 有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果． (1)利用提公因式法； 中考考法 20 (2)利用平方差公式法． (答案不唯一)选取4a2与9b2， 4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)． 返回 中考考法 公 式 法 分 解 因 式 （平方差公式） 公 式 课堂小结 一找 二套 三彻底 平方差公式因式分解的步骤 $