4.3.2完全平方公式 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 4.3.2完全平方公式 第四章 因式分解 北师大版八年级数学下册 完全平方公式（因式分解） 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“完全平方公式因式分解”核心知识点设计，重点考查完全平方公式的特征、公式的识别与运用，以及与提公因式法的综合运用，分层考查基础掌握、辨析判断与灵活运算能力，助力熟练掌握完全平方公式因式分解的技巧，明确公式适用条件，规避常见易错点。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. $$x^2+4x+4$$ B. $$x^2+4x-4$$ C. $$x^2-2x-1$$ D. $$x^2+2x+2$$ 2. 下列关于完全平方公式因式分解的说法，正确的是（ ） A. 完全平方公式为$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，其中$$a$$、$$b$$只能是单项式 B. 能用完全平方公式因式分解的多项式，一定是二次三项式 C. $$x^2+6x+9$$因式分解的结果是$$(x+3)^2$$ D. $$4x^2+4x+1$$不能用完全平方公式因式分解 3. 多项式$$x^2-8x+16$$因式分解的结果是（ ） A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-8)(x+2)$$ D. $$(x-2)(x-8)$$ 4. 把多项式$$4a^2-12ab+9b^2$$因式分解，正确的是（ ） A. $$(2a-3b)^2$$ B. $$(2a+3b)^2$$ C. $$(4a-3b)^2$$ D. $$(2a-9b)^2$$ 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$ B. $$x^2-4x+4=(x-2)^2$$ C. $$2x^2+4x+2=2(x^2+2x)$$ D.$$x^2-6x+9=(x+3)^2$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 完全平方公式因式分解：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的________，等于这两个数的和（或差）的________。用字母表示为：$$a^2+2ab+b^2=$$________，$$a^2-2ab+b^2=$$________。 2. 能用完全平方公式因式分解的多项式，必须满足两个条件：①是________项式；②其中两项是________的平方，另一项是这两项底数乘积的________倍。 3. 多项式$$x^2+10x+25$$的因式分解结果是________；$$9x^2-6x+1$$的因式分解结果是________。 4. 因式分解：$$m^2-4mn+4n^2=$$________；$$16a^2+24ab+9b^2=$$________。 5. 若多项式$$x^2+kx+16$$能用完全平方公式因式分解，则$$k$$的值为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查完全平方公式的识别及因式分解定义。 （1）判断下列多项式是否能用完全平方公式因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由： ①$$x^2+4x+4$$；② $$x^2-2x-4$$；③ $$4x^2+4x+1$$；④ $$x^2+6x+9$$。 （2）指出下列多项式中，哪些符合完全平方公式的特征（填序号）： ① $$a^2+8a+16$$；② $$b^2-10b+25$$；③ $$x^2+2x-1$$；④ $$9m^2-6mn+n^2$$。 解： 2. （12分）计算题，运用完全平方公式进行因式分解。 （1）$$x^2+6x+9$$；（2）$$x^2-10x+25$$；（3）$$4x^2+4x+1$$；（4）$$9x^2-12x+4$$； （5）$$m^2+14mn+49n^2$$；（6）$$16a^2-24ab+9b^2$$。 解： 3. （12分）辨析与纠错题，改正完全平方公式因式分解中的错误。 （1）指出下列因式分解的错误，并改正（均运用完全平方公式）： ① $$x^2+4x+4=(x+4)^2$$；② $$x^2-6x+9=(x-3)^2$$（判断对错，错则改正）； ③ $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$$（判断对错，错则改正）；④ $$x^2+2x+4=(x+2)^2$$。 （2）说明完全平方公式因式分解与整式乘法中完全平方公式的关系，并举例说明。 解： 4. （12分）综合题，结合提公因式法与完全平方公式因式分解。 （1）因式分解：$$2x^2+4x+2$$（提示：先提公因式，再用完全平方公式）； （2）因式分解：$$3a^2-12ab+12b^2$$； （3）先将多项式$$4x^2-8x+4$$因式分解，再求值（其中$$x=3$$）； （4）已知多项式$$ax^2+bx+9$$因式分解的结果是$$(2x+3)^2$$，求$$a$$、$$b$$的值。 解： 5. （12分）应用题，运用完全平方公式因式分解解决简单实际问题。 （1）一个正方形的面积为$$x^2+8x+16$$（$$x>0$$），求这个正方形的边长； （2）已知一个长方形的面积为$$2x^2+4x+2$$，且它的长和宽相等，求这个长方形的边长（用因式分解求解）； （3）若一个多项式因式分解后结果为$$3(x-2)^2$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。 解： 6. （10分）拓展题，提升完全平方公式的灵活运用能力。 （1）因式分解：$$(x+y)^2-6(x+y)+9$$（提示：把$$x+y$$看作一个整体）； （2）因式分解：$$4(x-1)^2+12(x-1)+9$$； （3）已知$$a-b=5$$，$$ab=3$$，求多项式$$a^2-2ab+b^2$$的值（提示：先因式分解，再代入求值）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.A 5.B 二、填空题：1.积的2倍；平方；$$(a+b)^2$$；$$(a-b)^2$$ 2.三；两个数；2 3.$$(x+5)^2$$；$$(3x-1)^2$$ 4.$$(m-2n)^2$$；$$(4a+3b)^2$$ 5.$$\pm8$$ 三、解答题：1.（1）①是，符合$$a^2+2ab+b^2$$；②不是，常数项为负，不符合特征；③是，符合$$(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2$$；④是，符合$$a^2+2ab+b^2$$；（2）①②④ 2.（1）$$(x+3)^2$$；（2）$$(x-5)^2$$；（3）$$(2x+1)^2$$；（4）$$(3x-2)^2$$；（5）$$(m+7n)^2$$；（6）$$(4a-3b)^2$$ 3.（1）①错误，改正：$$(x+2)^2$$；②正确；③正确；④错误，改正：无法用完全平方公式，无实数因式；（2）略 4.（1）$$2(x+1)^2$$；（2）$$3(a-2b)^2$$；（3）因式分解为$$4(x-1)^2$$，值为16；（4）$$a=4$$，$$b=12$$ 5.（1）$$x+4$$；（2）$$\sqrt{2}(x+1)$$（或$$x+1$$，结合题意取正值）；（3）$$k=-12$$，原多项式为$$3x^2-12x+12$$ 6.（1）$$(x+y-3)^2$$；（2）$$(2x+1)^2$$；（3）25 学习目标 理解并掌握用完全平方公式分解因式. 2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算. 导入新知 做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 3 思考：这个大正方形的面积可以怎么求？ a b a b a² ab ab b² 将上面的等式倒过来看，能得到： 完全平方公式 导入新知 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？ 拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 用完全平方公式分解因式 1 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = a b a b a² ab ab b² (a + b)2 a2 + 2ab + b2 = 将上面的等式逆过来写，能得到： 我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍 完全平方式： 定义总结 运算法则： 运用完全平方公式因式分解 文字说明： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___（或___）的平方. a2±2ab + b2 = (a±b)2 和 差 方法总结 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有这两数或式之积的 ±2 倍. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b² 与 -1 的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍. ( )2 + 2×( )×( ) + ( )2 分析： 例1 把下列完全平方式因式分解： 解：(1) 原式＝( x + 7 )2. (2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2 x x 7 (2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9. 7 分析： ( )2 + 2×( )×( )+ ( )2 (1) x2 + 14x + 492； m + n m + n 3 3 典例精析 例2 把下列各式因式分解： (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2 －4y2 + 4xy. 解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2. 解析：(1) 中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式； (2)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形，然后再利用公式分解因式. (2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2) ＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2 1. 因式分解： (1) -3a2x2＋24a2x - 48a2； (2) (a2＋4)2 - 16a2. ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a) 解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16) ＝-3a2(x - 4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2 ＝(a＋2)2(a - 2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解 练一练 2.(阳山县期中)用简便方法计算： (1) 1252 - 50×125 + 25²； (2) 652×11 - 352×11. 解：(1) 原式 = (125 - 25)² (2) 原式 = (65 + 35)(65 - 35)×11 = 10000. = 33000. 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算 B 返回 1． 中考考法 15 返回 B 2． 已知x，y为任意有理数，记M＝x2＋y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为(　　) A．M ＞N B．M ≥N C．M≤N D．不能确定 中考考法 16 D 返回 3． 一个大正方形被分割成四部分，面积分别为mn，n2，m2，mn，则大正方形的边长为(　　) A．2m＋n B．m－n C．2m－n D．m＋n 中考考法 17 4． 返回 D 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A．0　 B．1　 C．4 D．9 中考考法 18 5． 返回 4x (答案不唯一) 多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是______________(填一个即可)． 中考考法 19 6． 返回 16 计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________． 中考考法 20 7． 【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2. 因式分解： (1)x4－8x2y2＋16y4；   (2)(x＋2)(x＋6)＋4； (x＋2)(x＋6)＋4＝x2＋8x＋12＋4＝x2＋8x＋16＝(x＋4)2. 中考考法 21 (3)(a2－12)2＋6(a2－12)＋9. (a2－12)2＋6(a2－12)＋9＝(a2－12＋3)2 ＝(a2－9)2＝(a＋3)2(a－3)2. 返回 中考考法 8． [2025泰安期中]无论x，y为何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是(　　) A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 中考考法 23 【点拨】 【答案】A x2＋y2－2x＋12y＋40＝(x2－2x＋1)＋(y2＋12y＋36)＋3＝(x－1)2＋(y＋6)2＋3，∵(x－1)2≥0，(y＋6)2≥0，∴(x－1)2＋(y＋6)2＋3>0，即x2＋y2－2x＋12y＋40>0.∴无论x，y为何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是正数． 返回 中考考法 9． [2025重庆万州区期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2＋2ab＋b2＝c2＋80，a＋b－c＝4，则c的长是(　　) A．20　 B．16 C．8　 D．4 中考考法 25 【点拨】 【答案】C ∵a2＋2ab＋b2＝c2＋80，∴(a＋b)2－c2＝80.∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝80.∵a＋b－c＝4①，∴4(a＋b＋c)＝80.∴a＋b＋c＝20②.②－①得2c＝16，解得c＝8. 返回 中考考法 下列各式：①x2－6x＋9；②25a2＋10a＋1；③x2－4x－4；④4x2－x＋.其中不能用完全平方公式因式分解的式子有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 $