精品解析：甘肃兰州市西北师范大学附属中学2026届高三下学期模拟考试数学试题

西北师大附中 2026年高三模拟考试试题 数学 命题人：张志兵 魏自盈 审题人：夏力民 张勇 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】，故对应的点为 故选:D． 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 3. 直线与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 4. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到，解出即可. 【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即，故（负舍）． 故选：D． 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 6. 数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造法求的通项公式，再用累加法求出的通项公式即可求解. 【详解】由得，， 即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 对称轴，所以当或8时，有最小值为. 故选:D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B． . 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4， 因为是上的奇函数，所以，即关于点对称， 于是，， 由，取得，即， 则，因此，取，得， 于是， 因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. 的平均数为 B. 的方差为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意结合平均数的定义判断AC；对于BD：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：，，即，， 对于选项A：因为， 所以的平均数为，故A正确； 对于选项C：若， 则，即，故C正确； 对于选项BD：例如两组数据分别为和， 则，，，， 数据的平均数为，方差为，故B错误； 且满足，，但，故D错误； 故选：AC. 10. 已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用前项和和通项公式可知判断B，求解建立方程求出判断A，利用指数运算和等差数列求和公式求得判断C，再利用等比数列定义判断D即可. 【详解】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线E：的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 若BF为的中线，则 B. 若BF为的角平分线，则 C. 存在直线l，使得 D. 对于任意直线l，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先设直线的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，即可判断选项. 【详解】设题意，设，不妨令，都在第一象限，，， 联立，则，且，即， 所以，，则，，如上图所示， A.若为的中线，则， 所以，所以，故， 所以，则，则，故A正确； B.若为的角平分线，则， 作垂直准线于，则且， 所以，即，则， 将代入整理，得，则， 所以，故B正确； C.若，即，即为等腰直角三角形， 此时，即，所以， 所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误； D.，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式的常数项是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项. 【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为： ，进一步化简得 . 令，即. 将代入通项公式得. 故答案为：. 13. 设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________． 【答案】5或6##6或5 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式可得，再利用数量积的坐标公式可得，即求. 【详解】设数列满足，则数列的前n项和为 ， ∴，又，， ∴，即， 解得，或， 故5或6. 14. 设方程的两根分别为，，方程的两根分别为，，若，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件求得，令，则原式，利用二次函数的性质求得的范围，可得的范围，从而求得的范围，即为所求. 【详解】由方程的两根为，，可得，， 求得，， 由方程的两根为，，可得，， 求得，， ∴， 令，则原式，且 ， 由，可得，， ∴，， 故原式，故答案为． 【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于难题． 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关联 （2）， 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等. 【解析】 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据条件概率的计算公式求解即可. 【小问1详解】 零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关. 根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. 【小问2详解】 依题意得，， ， 则， 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大； 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等. 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用诱导公式、和差公式和辅助角公式化简得到，即可得到； （2）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式和二倍角公式得到，最后求范围即可. 【小问1详解】 ，， ，， ，，可得， ，又，. 【小问2详解】 为锐角三角形，，解得，则， ，，. 的取值范围是 17. 如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，分别为棱的中点，点在棱上，且，点在直线上. （1）证明：平面； （2）若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长. 【答案】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且. 又，且，则，且. 所以四边形是平行四边形，所以. 因为，则为的中点. 又为的中点，则，所以. 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，进而可证四边形是平行四边形，可得，由已知可证，可得，可证结论； （2）解法1：由已知可求得，分别以直线为轴，以的边上的高所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得线面角的正弦的最大值，进而求得的长. 解法2：由已知可求得，连接，设，连接，设，以为原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得线面角的正弦的最大值，进而求得的长. 解法3：由已知可求得，由（1）知平面且点在直线上，，过作，交的延长线于点，连接，结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：由于直四棱柱的体积为， 得， 得， 由于为锐角，则. 分别以直线为轴，以的边上的高所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， ，设， ， 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 由，即，取， 则平面的一个法向量为. 则. 当时，取得最大值. 此时. 所以的长为. 解法2：由于直四棱柱的体积为， 得，得， 由于为锐角，则. 连接，设，连接，设， 以为原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， . 设，即， 则. 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 由，即， 令，则， 则平面的一个法向量为， , 为， 则. 当时，取得最大值. 此时. 所以的长为. 解法3：由于直四棱柱的体积为， 得， 得， 由于为锐角，则. 由（1）知平面且点在直线上， 则点到平面的距离为定值. 设直线与平面所成角为， 则. 当最小时，取得最大值. 如图，过作，交的延长线于点，连接， 由于，，则平面. 又平面，则. 则为所求. 在中， . ， 在中，. 18. 过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标，代入双曲线方程即可求得结果； （2）方法一：由三点共线可整理得到，代入双曲线方程可整理得到，结合两点连线斜率公式可化简得到，根据为常数可构造方程求得，进而得到点坐标，验证可知符合题意； 方法二：设，与双曲线方程联立可得一元二次方程，根据该方程的根可化简得到，同理可得，由此可化简得到，由为常数可构造方程求得点坐标，验证可知当直线斜率为和斜率不存在时依然满足题意，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意可知：双曲线过点，， 将其代入方程可得：，解得：， 双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 方法一：设， 点与三点共线，， （其中，），， ，又， 整理可得：， 当时，，，不合题意； 当时，由得：， 设，则， ， 若为定值，则根据约分可得：且，解得：； 当时，，此时； 当时，为定值. 方法二：设，直线， 由得：， 为方程的两根， ， 则， 由得：， 由可得：， 同理可得：， 则， 若为定值，则必有， 解得：或或， 又点在直线上，点坐标为； 当直线斜率为时，坐标为，若， 此时； 当直线斜率不存在时，坐标为，若， 此时； 综上所述：当时，为定值. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所求的，根据为常数来构造方程求得定点的坐标. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 若，则成立； 若，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证（*）进而证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2026年高三模拟考试试题 数学 命题人：张志兵 魏自盈 审题人：夏力民 张勇 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 直线与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. 的平均数为 B. 的方差为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（ ） A. B. C. D. 数列是等比数列 11. 已知抛物线E：的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 若BF为的中线，则 B. 若BF为的角平分线，则 C. 存在直线l，使得 D. 对于任意直线l，都有 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式的常数项是___________. 13. 设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________． 14. 设方程的两根分别为，，方程的两根分别为，，若，则的取值范围为____________. 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. ，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 17. 如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，分别为棱的中点，点在棱上，且，点在直线上. （1）证明：平面； （2）若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长. 18. 过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $