2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(三)（辽宁适用）

**基本信息** 以《莱因德纸草书》古算题、AI技术教学调查等真实情境为载体，融合数列、导数、统计核心知识，通过数学眼光观察文化与现实，数学思维分析问题，数学语言表达规律，实现基础巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等差等比数列、导数图象、统计相关|第1题以古数学著作考数列应用，第3题结合气温散点图考相关性判断| |填空题|3题/15分|导数计算、等差数列前n项和|第14题考函数零点和，需结合导数与对称性| |解答题|5题/77分|独立性检验、导数单调性、数列证明与求和|第15题以AI教学调查考统计应用，第19题综合等差等比数列构造新数列，体现分层探究|

2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 2．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 3．“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 4．将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（   ） A．B．C． D． 5．若函数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在数列中，若，且，则数列的前20项和为（    ） A．60 B．45 C．35 D．20 7．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 8．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10．已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 11．已知函数，则（   ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．不等式的解集为 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则______ 13．设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 14．函数的所有零点的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 (1)已知从这名年龄超过岁的教师中随机抽取人，人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关； (2)在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取人，求其中至少人喜欢使用技术的条件下，人年龄均不超过岁的概率． 附：，其中． 16．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 17．已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，求实数a的取值范围． 18．已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 19．数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期5月期中考试模拟卷(三) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册4.3+选择性必修第三册第五章至6.2.1单调性。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可. 【详解】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差. 因为份总和为，由等差数列前项和公式， 化简得 ①， 较大的三份为后三项，较小的两份为前两项， 由题意， 代入通项公式展开得， 化简得②， 把②代入①得，即，解得. 因此最小的一份为. 2．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 若，则，与题设条件不符，所以； 当时，所以，即， 所以. 3．“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 【答案】D 【分析】由散点图，回归直线方程的性质，变量间的相关关系分别判断即可求解． 【详解】对于A，观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布， 且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存在相关关系，故A错误； 对于B，回归直线方程中，斜率反映了变量随的变化趋势， 若表示变量随的增大而增大，为正相关，若表示变量随的增大而减小，为负相关； 由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数， 而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为，故B错误； 对于C，的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很强，故C错误； 对于D，由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确． 4．将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可. 【详解】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确. 5．若函数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出，再对两边同时求导，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 对两边同时求导得， 所以， 所以. 6．在数列中，若，且，则数列的前20项和为（    ） A．60 B．45 C．35 D．20 【答案】A 【分析】在数列中，若，且计算时，，时，以此类推求解即可. 【详解】在数列中，若，且， 所以时，，解得，时，， 时，，解得，时，，时，，解得，时，， 时，，解得，时，，时，，解得时，， 同理，，，，，，，， 所以数列的前20项和 . 7．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数在已知点处的切线方程，再利用该直线与函数的图象相切，根据切点处的导数值等于切线斜率确定切点，最后利用切点在切线上求解参数即可. 【详解】已知，求导得：代入得：， 切线斜率，由点斜式得切线方程：，即， 设与相切于点， 对求导得：切线斜率等于在切点处的导数值， 因此：，切点在切线上， 代入得：整理得：. 8．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再结合已知条件得在上单调递增，进而将问题转化为求解即可. 【详解】令， 则， 因为定义在上的函数满足，即， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以， 因为，即， 所以，即不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 【答案】AC 【详解】,, 而回归直线为，故，故，故C正确， 因为，故与正相关，故A正确； 当时，，故B错误； 2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨）， 故D错误. 10．已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质推导得，再逐项分析判断. 【详解】由等比数列的各项均为正数，得， 由，得； 由，得，则， 且，，当时，取最大值，BC正确，A错误； 由，即，D正确. 11．已知函数，则（   ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．不等式的解集为 D．当时， 【答案】BCD 【分析】利用导数求切点处的切线方程判断选项A；由函数的对称性判断B选项；由函数单调性结合定义域解不等式判断选项C；利用对称性和单调性证明结论判断选项D. 【详解】函数定义域为， . 对于A，，又， 所以曲线在处的切线方程为，即，A错误； 对于B，因为 . 所以曲线关于点对称，有，B正确： 对于C，由在上恒成立，得在定义域上单调递减， 由，得，解得，且，故原不等式的解集为，C正确； 对于D，由B知，所以，由，得， 因为在其定义域内单调递减，所以，即，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则______ 【答案】12 【分析】将进行变形，得，利用导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 13．设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 14．函数的所有零点的和为__________． 【答案】 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 (1)已知从这名年龄超过岁的教师中随机抽取人，人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关； (2)在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取人，求其中至少人喜欢使用技术的条件下，人年龄均不超过岁的概率． 附：，其中． 【答案】(1) 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 有关 (2) 【分析】（1）根据组合计数原理以及古典概型的概率公式可得出关于的方程，解出的值，可完善列联表，利用独立性检验可得结论； （2）记事件为至少人喜欢使用技术，事件为人年龄均不超过岁，求出、的值，利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）设超过岁的教师中喜欢使用技术的有人， 由题意可得，即，整理可得， 因为，解得. 补充列联表如下 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 零假设该市教师喜欢使用技术与年龄无关， ． 依据小概率值的独立性检验，判断该校教师是否喜欢使用技术与年龄有关． （2）记事件为至少人喜欢使用技术，事件为人年龄均不超过岁． 全市某名中学教师喜欢使用技术的概率， 不超过岁且喜欢使用的概率， 所以， ， 由条件概率公式可得． 16．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）结合（1）的结果，转化问题为，再构造函数，求导后分离常数再结合换元法和基本不等式可得. 【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 17．已知函数． (1)求曲线经过点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得出斜率，列出切线方程，代入点，解方程求出参数，进而得出切线方程； （2）根据已知条件列不等式，解不等式求实数a的取值范围． 【详解】（1）设切点的坐标为， 由，可得过点Q的切线方程为, 代入点坐标有:， 整理得：， 因式分解得：，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 故曲线经过点的切线方程为：或． （2）已知点处的切线的倾斜角的取值范围为， ，即， 解得或， 实数a的取值范围为． 18．已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 19．数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $