小升初奥数培优应用题：正比例与反比例的应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学讲义聚焦小升初正比例与反比例应用专题，涵盖核心概念辨析、解题策略及行程、工程等高频模型，通过概念对比、策略归纳、分层练习环节，帮助学生掌握识别不变量、运用比例法解决问题的关键技巧。 亮点在于以“找不变量”为核心突破策略，结合真实情境问题培养模型意识，如设计相遇问题中速度与路程的比例关系分析，用份数思维简化运算培养推理能力。分层练习从基础判断到综合应用，助力学生构建比例应用知识体系，教师可据此精准定位学生薄弱点，提升复习效率。

小升初奥数培优应用题：正比例与反比例的应用 【知识点梳理】 正比例和反比例是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型。在小升初奥数中，难点不在于定义的记忆，而在于如何从复杂的文字叙述中识别出“不变量”，从而确定比例关系。 1. 核心概念辨析 特征 正比例 反比例 定义 两种相关联的量，比值（商）一定。 两种相关联的量，乘积一定。 公式 （ 为常数， ） （ 为常数， ） 变化规律 同增同减。 扩大 倍， 也扩大 倍。 此消彼长。 扩大 倍， 反而缩小为原来的 。 图像特征 过原点的直线（射线）。 双曲线的一支。 常见场景 单价一定，总价与数量；速度一定，路程与时间。 路程一定，速度与时间；工作总量一定，效率与时间。 2. 解题三大核心策略 (1) 找“不变量”定比例 这是解决比例应用题的第一步。 1　 若 ，则 与 成正比例。 2　 若 ，则 与 成反比例。 3　 技巧：在行程问题中，看是“时间相同”（比路程=比速度）还是“路程相同”（比速度=反比时间）。 (2) 比例法（份数思维） 利用比例关系将未知量转化为“份数”。 1　 步骤： a. 写出比例关系式。 b. 设每一份为 或直接利用份数差/和对应具体数值。 c. 列方程或算术求解。 2　 优势：避免繁琐的分数运算，逻辑直观。 (3) 连锁比例与统一单位 当涉及三个或更多变量时（如 和 ），需通过中间量 统一比例。 1　 方法：求出中间量在两个比中数值的最小公倍数，调整其他项，得到连比 。 3. 高频模型总结 (1) 行程模型： 1　 一定， （路程与速度成正比） 2　 一定， （速度与时间成反比） (2) 工程模型： 1　 一定， （效率与时间成反比） 2　 一定， （工作量与效率成正比） (3) 浓度模型： 1　 溶质一定，溶液质量与浓度成反比（近似理解，严格来说是 ）。 2　 溶剂一定，溶质质量与浓度成正相关（非线性，需谨慎使用，通常用方程法）。 【培优练习】 【基础辨析与直接应用】 1. 判断下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ (1) 圆的周长与直径。 (2) 长方形的面积一定，长与宽。 (3) 一个人的年龄与他的身高。 (4) 铺地面积一定，方砖的边长与所需块数。 【详解】 (1) （一定），成正比例。 (2) 长 宽 = 面积（一定），成反比例。 (3) 年龄与身高没有固定的比值或乘积关系，不成比例。 (4) 方砖面积 块数 = 铺地面积。方砖面积 = 。即 块数 = 定值。边长与块数不成正比例也不成反比例（是平方反比关系）。 【答案】(1)正比例 (2)反比例 (3)不成比例 (4)不成比例 2. 已知 与 成正比例，当 时， 。求当 时， 的值。 【详解】 因为成正比例， 。 。 所以当 时， 。 【答案】21 3. 已知 与 成反比例，当 时， 。求当 时， 的值。 【详解】 因为成反比例， 。 。 所以当 时， 。 【答案】4 4. 一辆汽车 3 小时行驶 180 千米。照这样计算，5 小时能行驶多少千米？（用比例解） 【详解】 速度一定，路程与时间成正比例。 设 5 小时行驶 千米。 【答案】300千米 5. 一批零件，计划每天做 20 个，15 天完成。如果每天做 25 个，几天可以完成？（用比例解） 【详解】 工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 设 天完成。 【答案】12天 【进阶提升：行程与工程】 6. 甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。相遇时，甲车比乙车多行了 40 千米。A、B 两地相距多少千米？ 【详解】 时间相同，路程比等于速度比。 。 甲比乙多 份。 1 份对应 40 千米。 总路程为 份。 总距离 千米。 【答案】200千米 7. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，几天可以完成这项工程的 ？ 【详解】 虽然可以用分数工程问题解，但此处考察比例思维。 甲效率 : 乙效率 = 。 设甲每天做 3 份，乙每天做 2 份，总工程量为 份（或 份）。 合作每天做 份。 目标工作量： 份。 所需天数： 天。 【答案】5天 8. 客车和货车从同一地点出发前往某地。客车速度是货车的 1.5 倍。货车出发 2 小时后，客车才出发。结果客车比货车早到 1 小时。求客车行驶的时间。 【详解】 。 路程一定，时间与速度成反比。 。 货车出发时刻 ，到达时刻 。 客车出发时刻 ，到达时刻 。 客车早到 1 小时，意味着： 。 小时。 代入比例： 。 客车时间 小时。 【答案】6小时 9. 修一条路，原计划每天修 80 米，20 天完成。实际前 4 天就修了 400 米。照这样的速度，实际可以提前几天完成？ 【详解】 实际速度： 米/天。 总路程： 米。 实际天数： 天。 提前天数： 天。 【答案】4天 10. 甲、乙两人走完同一段路，甲需 20 分钟，乙需 30 分钟。现在甲、乙分别从这段路的两端同时出发，相向而行，相遇时甲比乙多走了 100 米。这段路全长多少米？ 【详解】 时间相同，路程比等于速度比。 。 所以相遇时， 。 甲比乙多 份。 1 份对应 100 米。 全长 份。 全长 米。 【答案】500米 【综合应用：浓度、几何与经济】 11. 有含盐 15% 的盐水 200 克，要使盐水含盐 20%，需要加盐多少克？ 【详解】 加盐过程中，水的质量不变。 原水重： 克。 新盐水中，水占 。 新盐水总重： 克。 加盐量： 克。 【答案】12.5克 12. 有两种合金，第一种含金 60%，第二种含金 40%。若要得到含金 50% 的合金 1000 克，两种合金各需多少克？ 【详解】 利用十字交叉法或杠杆原理（本质是加权平均，也可视为反比例混合）。 设第一种需 克，第二种需 克。 。 因为 ，所以 。 【答案】第一种500克，第二种500克 13. 一个长方形长与宽的比是 5:3，周长是 48 厘米。求这个长方形的面积。 【详解】 长+宽 = 厘米。 总份数 份。 1份 = 厘米。 长 = 厘米。 宽 = 厘米。 面积 = 平方厘米。 【答案】135平方厘米 14. 某商品定价后，按九折出售可获利 20%；若按八五折出售，可获利多少元？已知该商品成本为 100 元。 【详解】 设定价为 。 九折售价 。获利 20% 意味着售价是成本的 倍。 。 元。 八五折售价： 元。 获利： 元。 【答案】 元 (或约13.33元) 15. 某工厂男、女职工人数比是 7:5。后来招聘了 10 名女职工，此时男、女职工人数比变为 7:6。原来男职工有多少人？ 【详解】 男职工人数不变，将其作为基准（统一分子）。 原来 男:女 = 。 后来 男:女 = 。 女职工增加了 份。 2 份对应 10 人，1 份对应 5 人。 原来男职工占 14 份。 男职工人数： 人。 【答案】70人 16. 一艘轮船顺水航行 100 千米需 5 小时，逆水航行 100 千米需 8 小时。求船在静水中的速度和水流速度。 【详解】 顺水速度 km/h。 逆水速度 km/h。 km/h。 km/h。 【答案】船速16.25千米/时，水速3.75千米/时 17. 一个分数，分子与分母之和是 40。如果分子加上 4，分母减去 4，新的分数化简后是 。求原来的分数。 【详解】 设原分子为 ，分母为 。 新分子 ，新分母 。 。 分母 。 原分数 。 【答案】 18. 某工程由甲、乙、丙三人合作完成。甲、乙合作 6 天完成，乙、丙合作 10 天完成，甲、丙合作 12 天完成。求甲、乙、丙单独做各需多少天？ 【详解】 设总工作量为 1。 ① ② ③ ①+②+③ 得： 。 。 。丙单独做需 120 天。 。甲单独做需 天。 。乙单独做需 天。 【答案】甲 天，乙 天，丙120天 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：正比例与反比例的应用 【知识点梳理】 正比例和反比例是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型。在小升初奥数中，难点不在于定义的记忆，而在于如何从复杂的文字叙述中识别出“不变量”，从而确定比例关系。 1. 核心概念辨析 特征 正比例 反比例 定义 两种相关联的量，比值（商）一定。 两种相关联的量，乘积一定。 公式 （ 为常数， ） （ 为常数， ） 变化规律 同增同减。 扩大 倍， 也扩大 倍。 此消彼长。 扩大 倍， 反而缩小为原来的 。 图像特征 过原点的直线（射线）。 双曲线的一支。 常见场景 单价一定，总价与数量；速度一定，路程与时间。 路程一定，速度与时间；工作总量一定，效率与时间。 2. 解题三大核心策略 (1) 找“不变量”定比例 这是解决比例应用题的第一步。 1　 若 ，则 与 成正比例。 2　 若 ，则 与 成反比例。 3　 技巧：在行程问题中，看是“时间相同”（比路程=比速度）还是“路程相同”（比速度=反比时间）。 (2) 比例法（份数思维） 利用比例关系将未知量转化为“份数”。 1　 步骤： a. 写出比例关系式。 b. 设每一份为 或直接利用份数差/和对应具体数值。 c. 列方程或算术求解。 2　 优势：避免繁琐的分数运算，逻辑直观。 (3) 连锁比例与统一单位 当涉及三个或更多变量时（如 和 ），需通过中间量 统一比例。 1　 方法：求出中间量在两个比中数值的最小公倍数，调整其他项，得到连比 。 3. 高频模型总结 (1) 行程模型： 1　 一定， （路程与速度成正比） 2　 一定， （速度与时间成反比） (2) 工程模型： 1　 一定， （效率与时间成反比） 2　 一定， （工作量与效率成正比） (3) 浓度模型： 1　 溶质一定，溶液质量与浓度成反比（近似理解，严格来说是 ）。 2　 溶剂一定，溶质质量与浓度成正相关（非线性，需谨慎使用，通常用方程法）。 【培优练习】 【基础辨析与直接应用】 1. 判断下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ (1) 圆的周长与直径。 (2) 长方形的面积一定，长与宽。 (3) 一个人的年龄与他的身高。 (4) 铺地面积一定，方砖的边长与所需块数。 2. 已知 与 成正比例，当 时， 。求当 时， 的值。 3. 已知 与 成反比例，当 时， 。求当 时， 的值。 4. 一辆汽车 3 小时行驶 180 千米。照这样计算，5 小时能行驶多少千米？（用比例解） 5. 一批零件，计划每天做 20 个，15 天完成。如果每天做 25 个，几天可以完成？（用比例解） 【进阶提升：行程与工程】 6. 甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。相遇时，甲车比乙车多行了 40 千米。A、B 两地相距多少千米？ 7. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，几天可以完成这项工程的 ？ 8. 客车和货车从同一地点出发前往某地。客车速度是货车的 1.5 倍。货车出发 2 小时后，客车才出发。结果客车比货车早到 1 小时。求客车行驶的时间。 9. 修一条路，原计划每天修 80 米，20 天完成。实际前 4 天就修了 400 米。照这样的速度，实际可以提前几天完成？ 10. 甲、乙两人走完同一段路，甲需 20 分钟，乙需 30 分钟。现在甲、乙分别从这段路的两端同时出发，相向而行，相遇时甲比乙多走了 100 米。这段路全长多少米？ 【综合应用：浓度、几何与经济】 11. 有含盐 15% 的盐水 200 克，要使盐水含盐 20%，需要加盐多少克？ 12. 有两种合金，第一种含金 60%，第二种含金 40%。若要得到含金 50% 的合金 1000 克，两种合金各需多少克？ 13. 一个长方形长与宽的比是 5:3，周长是 48 厘米。求这个长方形的面积。 14. 某商品定价后，按九折出售可获利 20%；若按八五折出售，可获利多少元？已知该商品成本为 100 元。 15. 某工厂男、女职工人数比是 7:5。后来招聘了 10 名女职工，此时男、女职工人数比变为 7:6。原来男职工有多少人？ 16. 一艘轮船顺水航行 100 千米需 5 小时，逆水航行 100 千米需 8 小时。求船在静水中的速度和水流速度。 17. 一个分数，分子与分母之和是 40。如果分子加上 4，分母减去 4，新的分数化简后是 。求原来的分数。 18. 某工程由甲、乙、丙三人合作完成。甲、乙合作 6 天完成，乙、丙合作 10 天完成，甲、丙合作 12 天完成。求甲、乙、丙单独做各需多少天？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $