2026年中考数学二轮专题复习 《胡不归》专项练习题

【专题训练】2026年中考数学《胡不归》专项练习题（原卷版+解析版） 一．选择题（共20小题） 1．在平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上找点P，使得的值最小，则此时的点P的坐标及的最小值分别为（　　） A．；3 B．（2，0）；3 C．；2 D．（2，0）；2 2．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为，P为OB上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F，若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，在等边△ABC中，D为边AC中点，AB＝2，点P为线段BD上一动点，连接AP，则2AP+BP的最小值为（　　） A． B．2 C． D．1 5．如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D．6 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别是BC，AD上的点．现将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在CD上．连接BM，过B作BG⊥EF，垂足为G，则2BG+BM的最小值为（　　） A． B．5 C． D．7 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，，若在边AC上取一点M，则2BM+AM的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，D是BC边上一动点，则AD的最小值是（　　） A．6 B． C． D．3 9．如图，已知直线BC：y＝﹣x+4与x轴交于点B，点C在直线BC上，且点C的横坐标为﹣3，点F为线段BC上一点（不含端点），点A（﹣2，0），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（　　） A．（﹣2，6） B．（2，6） C．（﹣3，5） D．（3，5） 10．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 11．如图，在等边△ABC中，D为边AC中点，BD＝3，P是线段BD上一动点，则的最小值为（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．6 12．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 13．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，2），点Q为直线y＝x上一动点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 14．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝4，BC＝5，对角线BD＝3，P为AD上的一个动点，Q为AB上的一个定点，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．6 D．5 15．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝1，点E为BD上一动点，连接AE，当取最小值时，DE的长为（　　） A．1 B． C． D． 16．如图，已知平行四边形ABCD的面积为16，∠A＝30，AB＝2BC，点P为边CD上的一个动点，则2PB+PD的最小值为（　　） A．4 B． C． D．8 17．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 18．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上一动点，连接AE，当取最小值时，DE的长为（　　） A．1 B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 20．如图，△ABC中，∠B＝90°，AC＝9，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【专题训练】2026年中考数学《胡不归》专项练习题（原卷版+解析版） 一．选择题（共20小题） 1．在平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上找点P，使得的值最小，则此时的点P的坐标及的最小值分别为（　　） A．；3 B．（2，0）；3 C．；2 D．（2，0）；2 【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接OA′、AA′，AA′与x轴于点D，过点A作AB⊥OA′交OA′于点B，交x轴于点F，过点P作PE⊥OA′交OA′于点E，如图： 则A′坐标为， ∴，OD＝3，， 在Rt△ODA′中，， ∴∠DOA′＝30°， 由条件可知， ∴， 当点A、P、E三点共线时，即AE⊥OA′，PA+PE的值最小， 此时PA+PE＝AB， ∴当点P为AB与x轴的交点时，的值最小，最小值为AB的长，即点P与点F重合， ∵∠DOA′＝30°，A′D⊥OD， ∴∠OA′D＝90°﹣∠DOA′＝60°， 在Rt△A′BA中，， 即， ∴AB＝3， 即的最小值为3． 由条件可知∠BAD＝90°﹣∠BA′A＝30°， 在Rt△AFD中，， 即， ∴DF＝1， ∴OF＝OD﹣DF＝3﹣1＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． ∴使得的值最小时，点P的坐标为（2，0），的最小值为3． 故选：B． 2．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为，P为OB上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【解答】解：如图所示，连接AC交OB于点M，过点M作MH⊥OC于点H，过点A作AG⊥OC于点G， 由条件可知：AC⊥OB，，， ∴，， ∴， ∴， ∴MH＝2， ∵， 即， ∴， ∴当A，P，G三点共线且AG⊥OC时，取最小值，则取最小值，最小值为， ∵菱形ABCO的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F，若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线， ∵∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∵A M平分∠CAB， ∴， 过点C作CN⊥AB于N，交AF于P， 在Rt△APN中，∠BAF＝30°， ∴， ∴， 根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+NP值最小， 在Rt△ACN中，∠CAN＝60°， ∴， ， ∴， 故选：C． 4．如图，在等边△ABC中，D为边AC中点，AB＝2，点P为线段BD上一动点，连接AP，则2AP+BP的最小值为（　　） A． B．2 C． D．1 【解答】解：如图，作PE⊥BC，垂足为E，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， 又∵点D为边AC中点， ∴BD⊥AC，， ∵PE⊥BC， ∴∠PEB＝90°， 在直角△PBE中，∠DBC＝30°，∠PEB＝90°， ∴， ∴， 当A、P、E三点共线时，AP+PE取到最小值AE， 由垂线段最短可知，当AE⊥BC时，AE最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴2AP+BP的最小值为． 故选：A． 5．如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝6，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D．6 【解答】解：在AP的下方作∠CAD＝30°，过点B作BD⊥AD于D， 则DPAP， ∴AP+BP＝DP+PB， ∴当D，P，B在一条直线上时，AP+BP取得最小值，最小值为线段BD． ∵∠BAP＝15°， ∴∠BAD＝30°+15°＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝BD， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴2BD2＝62， ∴BD＝3， ∴AP+BP的最小值为3． 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别是BC，AD上的点．现将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在CD上．连接BM，过B作BG⊥EF，垂足为G，则2BG+BM的最小值为（　　） A． B．5 C． D．7 【解答】解：连接BN，AN，延长BC到J，使得CJ＝BC，连接AJ． 由翻折变换的性质可知EF垂直平分线段BN，BM＝AN， ∵BG⊥EF， ∴B，G，N共线， ∴2BG+BM＝BN+AN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠ABC＝90°， ∴NC⊥BJ， ∵BC＝CJ， ∴BN＝NJ， ∴2BG+BM＝NJ+AN≥AL， ∵AB＝3，BJ＝8， ∴AJ， ∴2BG+BM， ∴2BG+BM的最小值为． 故选：A． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，，若在边AC上取一点M，则2BM+AM的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，以AC为对称轴，作点B的对称点B′，连接AB′，MB′，过点B′作B′D⊥AB于点D，B′D交 边AC于点N，过点M作ME⊥AB于点E， 则AB′＝AB，B′M＝BM， ∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABB′为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴当点M与点N重合时，， 此时，有最小值， ∵， ∴若在边AC上取一点M，则2BM+AM有最小值， 故选：C． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，D是BC边上一动点，则AD的最小值是（　　） A．6 B． C． D．3 【解答】解：如图，延长AC至E，使CE＝AC，连接ED，过点D作DF⊥AB于F， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，， ∴，则， ∴CD垂直平分线段AE， ∴AD＝ED， ∵∠B＝30°， ∴， ∴， 由垂线段最短可知：当ED与DF共线时，为最小值， 此时，∠EAF＝60°， ∴∠E＝30°， ∴ 在直角三角形AEF中，由勾股定理得：， ∴的最小值为3； 故选：D． 9．如图，已知直线BC：y＝﹣x+4与x轴交于点B，点C在直线BC上，且点C的横坐标为﹣3，点F为线段BC上一点（不含端点），点A（﹣2，0），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（　　） A．（﹣2，6） B．（2，6） C．（﹣3，5） D．（3，5） 【解答】解：如图，分别作CD∥x轴，BD∥y轴，使直线CD，BD交于点D，过F点作FE⊥CD于E点，连接AE， ∵y＝﹣x+4与x轴交于点B， ∴x＝4时，y＝0，即B（4，0）， ∵点C的横坐标为﹣3， ∴点C的纵坐标为7， ∴CD＝|xB﹣xC|＝7，BD＝7， ∴BD＝CD， 又∵∠BDC＝90°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴t＝AF+EF≥AE 又当AE⊥CD时，AE取得最小值， 此时AE＝BD＝7， 即tmin＝7， 此时AE1与BD交于F1， ∴F1的横坐标等于A的横坐标， ∴， 把x＝﹣2代入y＝﹣x+4得y＝6， ∴F1（﹣2，6）， 即当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（﹣2，6）， 故选：A． 10．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【解答】解：如图， 作BE⊥AC于点E，交AD于点P， ∵△ABC是等边三角形， AD⊥BC， ∴∠DAC＝30° ∴PEAP 当BP⊥AC时， AP+BP＝PE+BP＝BE，值最小， ∵BE＝AD＝12， 此时，APAD＝8． 故选：B． 11．如图，在等边△ABC中，D为边AC中点，BD＝3，P是线段BD上一动点，则的最小值为（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．6 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于M，过点P作PT⊥AB于T． ∵△ABC是等边三角形，AD＝DC， ∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，BD垂直平分AC， ∴AP＝CP， ∵PT⊥AB， ∴PTPB， ∵CM⊥AB，BD⊥AC， 根据面积法可得AB•CMAC•BD， ∴CM＝BD＝3， ∵APPB＝PC+PT≥CM＝3， ∴APPB的最小值为3． 故选：B． 12．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：如图，在BC上取点G，使，连接FG，DG． ∵翻折， ∴AB＝BF＝3， 又∵BC＝6， ∴，， ∴， 又∵∠CBF＝∠FBG， ∴△FBG∽△CBF， ∴， ∴， ∴， 当D、F、G三点共线时，最小， 在Rt△CDG中，CD＝AB＝3， CG＝BC﹣BG＝4.5，∠BCD＝90°， ∴， 即的最小值为． 故选：D． 13．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，2），点Q为直线y＝x上一动点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：作QR⊥x轴于点R， ∵点Q为直线y＝x上一动点， ∴QR＝OR， ∴∠QOR＝45°， ∴， ∵， ∴当P、Q、R共线，且PR⊥x轴时，PQ+QR有最小值， ∵点P的坐标为（1，2），点Q为直线y＝x上一动点， ∴PR＝2，即PQ+QR的最小值为2， ∴的最小值为， 故选：D． 14．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝4，BC＝5，对角线BD＝3，P为AD上的一个动点，Q为AB上的一个定点，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．6 D．5 【解答】解：如图，过P作PE⊥CD，交CD延长线于E，过Q作QF⊥CD，交CD延长线于F，连接QE，则∠PED＝∠QFD＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝4，BC＝5，BD＝3， ∴CD＝AB＝4， ∵32+42＝52， ∴BD2+CD2＝CB2， ∴△BCD是直角三角形，∠CDB＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC， ∴∠C＝∠EDP，∠CDB＝∠FDB＝∠DBA＝90°， ∴∠PED＝∠CDB＝90°， ∴△BCD∽△PDE， ∴， ∴， ∴PQ+PE≥EQ， 当EQ最小时，有最小值，此时为QF， ∵BD⊥CF，QF⊥CF， ∴四边形BDFQ为矩形， ∴BD＝FQ＝3， 故选：B． 15．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝1，点E为BD上一动点，连接AE，当取最小值时，DE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：过A作AF⊥CB于F，过点E作EP⊥BC于P， ∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝30° ，即的最小值为AF的长， ∵AB＝1， ∴， ∴， ∴的最小值为， 此时点E是BD和AF的交点，如图， ∵AF⊥BC，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴， ∴，BD⊥AC， ∴，AE2＝AD2+DE2， ∴， 解得（负值已舍去）， 故选：C． 16．如图，已知平行四边形ABCD的面积为16，∠A＝30，AB＝2BC，点P为边CD上的一个动点，则2PB+PD的最小值为（　　） A．4 B． C． D．8 【解答】解：如图，过点P作PH⊥AB于H，作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵平行四边形ABCD的面积为16，∠A＝30°，AB＝2BC， ∴AB＝DC，AD＝BC，DC∥AB， 设AB＝DC＝x，则，DHADx， ∴x•x＝16， 解得：x＝8（负值已舍）， ∴AB＝DC＝8，AD＝BC＝4， ∵AB∥CD， ∴∠EDP＝∠DAB＝30°， ∴， ∴EPPD， ∴PBPD＝PB+PE， ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， 在Rt△ABE中，∵， ∴2PB+PD＝2（PBPD）＝2×BE＝2AB＝8． 故选：D． 17．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：过E作EM⊥BC于M，过A作AH⊥BC于H，交BD于E'，如图： ∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴∠EBM＝30°， ∴EMBE， ∴AEBE＝AE+EM， 当AEBE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AEBE的最小值为AH的长度， 在Rt△ABH中， AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°， ∴AEBE最小值为， 故选：C． 18．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上一动点，连接AE，当取最小值时，DE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：过A作AF⊥CB于F，过点E作EP⊥BC于P，如图1， ∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝30°， ∴， ∴，即的最小值为AF的长， ∵AB＝2， ∴， 在直角三角形ABF中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 此时点E是BD和AF的交点，如图2， ∵AF⊥BC，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴，，BD⊥AC， ∴， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE2＝AD2+DE2， ∴（2DE）2＝12+DE2， 解得（负值已舍去）， 故选：C． 19．如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接AB， ∵B（0，3），A（﹣3，0）， ∴OA＝OJ＝3，OB＝3， ∴AB6， ∵AC＝2OA， ∴∠ABO＝30°， ∴∠BAO＝60°， 过点C作CH⊥AB于点H，则CHBC， 作点A关于y轴的对称点J，连接JC，过点J作JK⊥AB于点K．则AC＝JC，OA＝OJ＝3， ∴ACBC＝AC+CH＝JC+CH≥JK，当且仅当三点共线时取等， 此时JK与y轴交点即为点C， ∵∠BAO＝60°， ∴∠OJC＝30°， ∴JC＝2OC， 在Rt△OCJ中，OC2+OJ2＝（JC）2， 即OC2+9＝4OC2， 解得OC， ∴点C纵坐标为． 故选：C． 20．如图，△ABC中，∠B＝90°，AC＝9，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长AB至点E，使∠BEC＝60°，连接CE，作△ACE的外接圆⊙O，连接OC，AO并延长交圆于点E'， ∵△BCE是直角三角形，∠BEC＝60°， ∴， ∴AB+BE， ∵点E在上运动， ∴当A，O，E三点共线时，即点E在E'时，取得最大值， ∵∠BEC＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵AC＝9， ∴OA＝OC， ∴的最大值＝AE'＝2r， 故选：A． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/28 11:16:25；用户：名途教育；邮箱：mingtujy@xyh.com；学号：68815084 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $