第09讲 二次函数与线段和、胡不归最值问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第九讲 二次函数与线段和、胡不归最值问题『压轴题大揭秘』 〔技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块二 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块三 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 技巧点拨 方法揭秘 【考点一】二次函数与线段和问题 二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有： 模型1：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB' 模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB 模型3：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB' 模型4：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小． 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″ 模型5：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C 【考点二】胡不归问题 古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他得知在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是砂砾地带的直线路径AB(如图),他认为走近路必定是最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽气，小伙子不禁失声痛哭。邻舍闻声前来劝慰，有人告诉小伙子，老人弥留之际还不断喃喃地叨念“胡不归?胡不归?……”并且怜惜的问道：“你为什么不向掌柜借用砂砾地带一下马车，沿驿道先走一程呢?” 由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢?若有可能，则有应该选择一条什么样的路线呢?这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。 此问题可以转化为数学问题，设在驿道上行走的速度是砂砾地带的两倍，在驿道的何处拐弯，到家时间最短? 分析：∵V驿=2V砂 ∴S驿的一半与S砂的时间相同 构造∠ ɑ =30° 的直线 L 过点B 作直线 I的垂线段BD, 交驿道AC于点D, 则 总结：构造直角三角形，转化为“垂线段最短”的问题。 模块二 核心精讲 典例剖析 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与线段和问题 【典例精讲】（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路点拨】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求． （2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标． （3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值． 【规范解答】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴． 设， 把代入，得，即， ∴． ∴． （2）解：由题意得： 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∵， ， 当点在第四象限时， ， 设， ∴，即：， ∴， 当点在第二象限时， ∵，， ∴， ∴轴， ∴，即：， ∴， 综上，点的横坐标为或； （3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为， 中，， ， ， ， 的最大值为． 【考点剖析】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键．在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 胡不归问题 【典例精讲】（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【规范解答】解：把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，、 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ，， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． 故答案为： 模块三 考题预测 满分训练 1．（2024·湖北·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②如图，当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 【答案】(1)，，， (2)①点P的坐标为或；② 【思路点拨】（1）首先分别令和即可求出，，，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）①首先判断出点C到抛物线顶点的竖直距离小于10，然后分两种情况求出点P的纵坐标，然后代入求解即可； ②过点P作轴交于点D，连接，表示出，，得到，勾股定理求出，然后利用得到，然后得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴当时， ∴ 当时， 解得， ∴， 设直线的函数表达式为直线的函数表达式 ∴ ∴ ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∵ ∴ ∴点C到抛物线顶点的竖直距离小于10 ∴点P在点C上方 当点P在点C左边时， ∴点P的纵坐标为 ∴将代入得， 整理得， 解得，（舍去）； 当点P在点C右边时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴点P的纵坐标为， ∴ 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为或； ②如图所示，过点P作轴交于点D，连接， ∵点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a，点P位于第四象限， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵轴于点F， ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值． 【考点剖析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数解析式，二次函数和x轴交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的线段问题，勾股定理等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合思想，进行求解是解题的关键． 2．（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【思路点拨】（）利用待定系数法即可求解； （）由，得出顶点的坐标为，然后求出直线的解析式为，从而求得点的坐标为； （）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，又，当与重合时，即点三点共线时，有最小值，然后通过两点间的距离即可求解． 【规范解答】（1）解：把，两点代入抛物线解析式得： 解得 ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入可得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴当与重合时，即点三点共线时，有最小，为． 【考点剖析】本题考查了求二次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【思路点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【规范解答】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 4．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2)的最小值为 【思路点拨】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值； （1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）利用轴对称求最小值即可，的最小值为即，通过勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）把，代入得： 解得： ∴该抛物线的表达式为； （2）由（1）得：抛物线的表达式为 ∴对称轴，顶点 ∴ 设直线解析式为， 将，代入得：，解得 ∴直线解析式为， ∴当时， ∴ ∵点A关于对称轴的对称点为点 ∴的最小值为即 ∴ ∴的最小值为 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，其中对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为_________． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，连接，过点P作，垂足为H，先解直角三角形求出，进而得到，则要使的值最小，只要使的值最小，此时H、P、D在同一条直线上，且，再解直角三角形即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点P作，垂足为H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， 要使的值最小，只要使的值最小，此时H、P、D在同一条直线上，且． 二次函数图象的对称轴为， ． 在中，，，， 的最小值为， 故答案为：． 6．如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)M点的坐标为 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题： （1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，当时，求得，于是得到结论． 正确的理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把，代入中得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为： （2）存在， 连接交对称轴于M，则此时，的周长最小， 在中，令，则， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴M点的坐标为 7．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）    (1)求a，m的值； (2)连接、，若的面积是的面积的2倍，求点C的坐标． (3)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)是定值，8 【思路点拨】（1）用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）的面积是的面积的2倍，则，即点，进而求解； （3）求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，即可求解． 【规范解答】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 即抛物线的表达式为：， 当时，，即点，即， 故，； （2）延长交轴于点，过点作交轴于点，    设直线的表达式为：， 则，解得：， 即点，即， 的面积是的面积的2倍， ，即点， ， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：或3， 即点或； （3）是定值，理由： 设点， 由点、的坐标得：直线的表达式为：， 当时，，即点，则， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 当时，，即点，则， 则，为定值． 【考点剖析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，面积的计算、平行线的性质等，运用数形结合是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．    【答案】/ 【思路点拨】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【规范解答】解：如图，    作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边上的一动点，F为边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2)； 【思路点拨】（1）将，代入求解即可得到答案； （2）根据轴对称找到点D关于x轴与直线的对称点，，根据两点间之间距离最短，连接交x轴与直线于E，F两点即为最小距离点，结合勾股定理即可得到答案； 【规范解答】（1）解：将，代入解析式可得， ， 解得：， ∴； （2）解：作D关于x轴与直线的对称点，， ∵轴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴当，，E，F四点共线三时周长的最小值， 连接交x轴与直线于E，F两点， ∵， 当时， ，解得，， ∴， ∵C的坐标为 ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵D点坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴； 【考点剖析】本题考查求二次函数解析式及动点最小距离问题，解题的关键是找到最小距离点． 10．如图，平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，图象的对称轴交x轴于D点．点P是线段上一动点，从O向D运动，H是射线上一点． (1)直接写出A、B两点的坐标：A（ ），B（ ）； (2)求直线的函数表达式； (3)如图①，在P点运动过程中，若中有一个内角等于，求的长； (4)如图②，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)； (2) (3)长为或3 (4) 【思路点拨】（1）求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）可证明，，则可证明；当时，证明，得到，求出的长即可得到答案；当时，取点，连接，则，证明，得到，求出的长即可得到答案； （4），连接，可求出对称轴为直线，则；可证明，则可，得到；作点M关于对称轴的对称点T，连接，则，可证明，则当T、Q、O三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：与，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 当时，如图所示，取点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或3； （4）解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵Q点运动速度是P点运动速度的2倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，作点M关于对称轴的对称点T，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当T、Q、O三点共线时，有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的最小值为． 11．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)抛物线的表达式是：___________；顶点的坐标为（___________，___________）． (2)如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段（点在点的上方），已知，当的值最大时，求四边形的面积． (3)如图3，沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点，在平移过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出此时平移后的抛物线顶点的坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路点拨】（1）设抛物线的表达式为：，依此求出a即可． （2）将点向下平移2个单位得到点，推出四边形是平行四边形，推出，可得，推出当共线时，的值最大，再根据计算即可； （3）设，根据平移得到，，则，，再根据两点的位置分情况讨论，根据列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为：， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：． ∵ ∴顶点； （2）解：∵， ∴， 如图2中， 将点向下平移2个单位得到点，此时，． ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，的值最大， ∴； （3）解：由，，可得直线的解析式为， ∵沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点， ∴设， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，即， ∴，， ①如图2中，当两点都在x轴的上方时，，，， 只有当和都是钝角三角形时才能满足， ∴， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∵， ∴； ②当两点都在x轴的下方时，，，， 只有当和都是钝角三角形时才能满足， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去）或， ∵， ∴； ③如图3中，当在x轴的两侧时， 始终是钝角三角形，且， 此时与不相似． 综上所述，满足条件的抛物线的顶点或． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用反例讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 12．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示． (1)求该抛物线的解析式 (2)设P是抛物线对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值． ②连接，求的最小值 【答案】(1) (2)①面积的最大值为；②的最小值为 【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为：，可得对称轴为直线，由锐角三角函数可求点坐标，代入解析式可求解析式； （2）①先求出直线解析式，设，可得点，点，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解； ②根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，即是的最小值，由三角形面积公式可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线， ，即， ∴， 又∵， ， 即， 代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①设，其中， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 令，得：， ∴点， 把代入，得， 即， ∴， ∴的面积， ∴当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，根据图形的对称性可知，，， ∴， 过点作于，则在中，， ∴， 过点作于点，则， ∴线段的长就是的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【考点剖析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 13．（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点； （3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答． 【规范解答】（1）解：把，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：令，可得， 解得， ， 点到直线的距离为定值， 的面积为定值， 当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，，解得， 所以直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， 把代入，可得， ， 如图，作轴，作交于点， ，， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， ，即； （3）解：如图，过点作，截取，连接， ，四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大， ，即， ， ，即的最小值为． 14．（2025·湖南湘潭·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)最大值为4 【思路点拨】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【规范解答】（1）解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 15.（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），先作轴，截取，得，再证明， 可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：，顶点； （2）解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵， ∴， ∴， 则． 设直线的关系式为， 将点代入关系式， 得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 当共线时，最小， 则， 即的最小值为． 【考点剖析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键． 16．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长的最小值，点M的坐标为 (3)存在，或或 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． 【规范解答】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【考点剖析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 17．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 (3)是为定值， 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点．设，则．得到．进而得出．由抛物线的对称性可知，得出．表示出，由二次函数的性质即可得出答案； （3）设直线的函数表达式为．，，联立，得．从而得出，．设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．推出点坐标也可表示为，再分别求出，．即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设抛物线的函数表达式为． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：对于，令，则，解得或3． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 如图，过点作轴，交于点． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴． ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：是定值，．理由如下： ∵直线过点， ∴可设直线的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得． ∴，． ∵直线，均过点， ∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 又∵点在直线上， ∴点坐标也可表示为． 将代入，可解得． 对于，令，则， ∴． 同理可得，． ∵， ∴，． ∴． 而 ， 又∵，， ∴． ∴． ∴，为定值． 【考点剖析】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合线段问题、坐标与图形、一元二次方程根与系数关系、锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)满足条件的点的坐标为：，，， 【思路点拨】本题考查二次函数综合题、待定系数法、面积问题、线段最值问题； （1）将、分别代入得到二元一次方程组，解方程求得和即可； （2）如图1中，作于.先说明,然后在中,有，由垂线段最短可知，当、、共线时，最小，最后求得最小值即可； （3）如图2中，由，过点作的平行线交抛物线于、，根据，再求出直线的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出、的坐标． 【规范解答】（1）解：把，代入， 得到，， 解得， 故答案为，． （2）如图1中，作于． ∵，， ∴， 在中，． ∵， 根据垂线段最短可知，当、、共线时最小，最小值为， 在中， ∵,，则， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴过点作的平行线交抛物线于，，则，， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴，， 根据对称性可知，直线关于直线的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件， ∵ ∴将向右平移个单位得到的解析式为 由， 解得或， ∴，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九讲 二次函数与线段和、胡不归最值问题『压轴题大揭秘』 〔技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块二 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块三 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 技巧点拨 方法揭秘 【考点一】二次函数与线段和问题 二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有： 模型1：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB' 模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB 模型3：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB' 模型4：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小． 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″ 模型5：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C 【考点二】胡不归问题 古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他得知在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是砂砾地带的直线路径AB(如图),他认为走近路必定是最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽气，小伙子不禁失声痛哭。邻舍闻声前来劝慰，有人告诉小伙子，老人弥留之际还不断喃喃地叨念“胡不归?胡不归?……”并且怜惜的问道：“你为什么不向掌柜借用砂砾地带一下马车，沿驿道先走一程呢?” 由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢?若有可能，则有应该选择一条什么样的路线呢?这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。 此问题可以转化为数学问题，设在驿道上行走的速度是砂砾地带的两倍，在驿道的何处拐弯，到家时间最短? 分析：∵V驿=2V砂 ∴S驿的一半与S砂的时间相同 构造∠ ɑ =30° 的直线 L 过点B 作直线 I的垂线段BD, 交驿道AC于点D, 则 总结：构造直角三角形，转化为“垂线段最短”的问题。 模块二 核心精讲 典例剖析 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 二次函数与线段和问题 【典例精讲】（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 胡不归问题 【典例精讲】（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____． 模块三 考题预测 满分训练 1．（2024·湖北·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②如图，当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 2．（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 3．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 4．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，其中对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为_________． 6．如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）    (1)求a，m的值； (2)连接、，若的面积是的面积的2倍，求点C的坐标． (3)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．    9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边上的一动点，F为边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值． 10．如图，平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，图象的对称轴交x轴于D点．点P是线段上一动点，从O向D运动，H是射线上一点． (1)直接写出A、B两点的坐标：A（ ），B（ ）； (2)求直线的函数表达式； (3)如图①，在P点运动过程中，若中有一个内角等于，求的长； (4)如图②，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接，则的最小值为 ． 11．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)抛物线的表达式是：___________；顶点的坐标为（___________，___________）． (2)如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段（点在点的上方），已知，当的值最大时，求四边形的面积． (3)如图3，沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点，在平移过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出此时平移后的抛物线顶点的坐标；若不存在，请简要说明理由． 12．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示． (1)求该抛物线的解析式 (2)设P是抛物线对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值． ②连接，求的最小值 13．（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 14．（2025·湖南湘潭·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 15.（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 16．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $