小升初奥数培优应用题：排列组合问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：排列组合问题 亲爱的同学们： 排列组合并非高不可攀的抽象公式，而是研究“如何有序计数”的生活智慧。在小升初的关键阶段，我们编写这份培优资料，初衷不在于让孩子死记硬背复杂的推导，而在于构建清晰的逻辑框架。 学习的核心在于辨析“分类”与“分步”。加法原理教会我们独立选择时的全面考量，乘法原理则引导我们在环环相扣的步骤中严谨推演。从基础的握手问题到进阶的染色、组数模型，每一个案例都是思维体操。我们特意梳理了捆绑法、插空法及排除法等技巧，旨在帮助孩子从无序的尝试走向有序的枚举，做到“不重不漏”。 面对易错点，如忽略“0”的限制或混淆顺序关系，请记住：慢即是快。先判断逻辑结构，再选择解题工具。希望孩子们能通过这套练习，不仅掌握解题技巧，更培养出条理分明、周密严谨的数学思维，为未来的理科学习打下坚实基石。 【知识点梳理】 排列组合是研究“如何计数”的数学分支。在小升初阶段，重点不在于复杂的公式推导，而在于理解分类与分步的逻辑区别，以及掌握几种典型模型的解题技巧。 1. 两大基本计数原理 (1) 加法原理（分类计数） 1　 定义：完成一件事有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法……在第 类办法中有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 2　 核心特征：“分类”。各类方法之间是独立的，任选一类都能独立完成整件事。 3　 口诀：分类相加，类类独立。 4　 示例：从北京去上海，可以坐火车（3个班次），也可以坐飞机（2个航班）。总方法数 = 种。 (2) 乘法原理（分步计数） 1　 定义：完成一件事需要分成 个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第 步有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 2　 核心特征：“分步”。各步骤之间是关联的，必须依次完成所有步骤，整件事才算完成。 3　 口诀：分步相乘，步步相连。 4　 示例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路。从甲经乙到丙，总方法数 = 种。 2. 排列与组合的区别 (1) 排列：与顺序有关。 1　 例如：用1、2、3组成两位数。12和21是不同的数。 2　 常用模型：排队、排座位、数字排列、颜色排列。 (2) 组合：与顺序无关。 1　 例如：从3人中选2人去打扫卫生。选{A,B}和选{B,A}是同一种方案。 2　 常用模型：握手、比赛场次、选人组队、线段计数。 3. 常见解题方法与模型 (1) 枚举法（列举法） 1　 适用：数量较少时。 2　 要求：有序列举，做到“不重不漏”。通常按字典序或大小顺序排列。 (2) 捆绑法（相邻问题） 1　 适用：某些元素要求“在一起”或“相邻”。 2　 步骤： a. 将要求相邻的元素看作一个“大元素”进行排列。 b. 再考虑“大元素”内部的排列顺序。 c. 最后利用乘法原理计算总数。 (3) 插空法（不相邻问题） 1　 适用：某些元素要求“不相邻”或“分开”。 2　 步骤： a. 先排列没有限制的元素。 b. 在这些元素形成的空隙（包括两端）中，插入要求不相邻的元素。 (4) 排除法（正难则反） 1　 适用：直接计算情况复杂，但反面情况（不符合条件的情况）较少或较简单。 2　 公式：符合条件的方法数 = 总方法数 - 不符合条件的方法数。 (5) 特殊位置/特殊元素优先法 1　 适用：某些位置有特殊要求（如首位不能为0）或某些元素有特殊要求（如某人必须站排头）。 2　 策略：优先安排特殊元素或特殊位置，再安排其余元素。 4. 易错点警示 (1) 混淆加法与乘法：判断是“分类”还是“分步”。如果能一步做完选加法，如果需要几步接力做完选乘法。 (2) 重复计数：在组合问题（如握手、比赛）中，A与B握手和B与A握手是一次，需除以2或使用组合公式 。 (3) 忽略“0”的限制：在组数问题中，最高位（首位）不能是0。 (4) 遗漏内部排列：使用捆绑法时，忘记计算捆绑元素内部的交换顺序。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 书架上层有5本不同的故事书，下层有4本不同的科技书。从中任取一本书，有多少种不同的取法？ 【详解】 这是分类问题。取故事书有5种方法，取科技书有4种方法。 根据加法原理： 种。 【答案】9种 2. 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种不同的走法？ 【详解】 这是分步问题。第一步甲到乙有3种，第二步乙到丙有4种。 根据乘法原理： 种。 【答案】12种 3. 用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 【详解】 分步考虑： 十位：可以从1、2、3中任选1个，有3种选法。 个位：从剩下的2个数字中任选1个，有2种选法。 总数： 种。 具体为：12, 13, 21, 23, 31, 32。 【答案】6个 4. 小明有3件不同的上衣和2条不同的裤子，他一共有多少种不同的穿法？ 【详解】 分步考虑：选上衣有3种，选裤子有2种。 总数： 种。 【答案】6种 5. 5个人见面，每两个人都要握一次手，一共要握多少次手？ 【详解】 这是组合问题（与顺序无关）。 第1个人与其余4人握手（4次）； 第2个人与其余3人握手（3次，排除已和第1人握过的）； 第3个人与其余2人握手（2次）； 第4个人与其余1人握手（1次）； 第5人已全部握过。 总数： 次。 或者使用公式： 。 【答案】10次 【进阶提升篇】 6. 用0、1、2、3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【详解】 特殊位置优先法。 百位：不能是0，只能从1、2、3中选，有3种选法。 十位：从剩下的3个数字（含0）中选，有3种选法。 个位：从剩下的2个数字中选，有2种选法。 总数： 个。 【答案】18个 7. A、B、C、D、E五个人排成一排照相，如果A必须站在正中间，有多少种不同的排法？ 【详解】 固定A在中间（第3位）。 剩下4个位置给B、C、D、E排列。 第1位：4种选法； 第2位：3种选法； 第4位：2种选法； 第5位：1种选法。 总数： 种。 【答案】24种 8. 从5名男生和3名女生中，选出1名男生和1名女生参加男女混合双打比赛，有多少种不同的选法？ 【详解】 分步选择。 选男生：5种选法。 选女生：3种选法。 总数： 种。 【答案】15种 9. 某班有10名学生参加乒乓球单循环赛（每两人赛一场），一共要进行多少场比赛？ 【详解】 组合问题。每两人赛一场，即从10人中选2人。 公式： 场。 【答案】45场 10. 用红、黄、蓝三种颜色给地图上的三个区域染色，要求相邻区域颜色不同。若三个区域两两相邻（如三角形分布），有多少种染法？ 【详解】 分步染色。 区域1：3种颜色可选。 区域2：不能与区域1相同，剩2种颜色可选。 区域3：不能与区域1、区域2相同（因为两两相邻），剩1种颜色可选。 总数： 种。 【答案】6种 11. 从1到10这10个自然数中，任取两个数相加，和为偶数的取法有多少种？ 【详解】 和为偶数，有两种情况： 1. 奇数+奇数=偶数。1-10中有5个奇数（1,3,5,7,9）。从5个奇数中选2个： 种。 2. 偶数+偶数=偶数。1-10中有5个偶数（2,4,6,8,10）。从5个偶数中选2个： 种。 总数： 种。 【答案】20种 12. 6个人排成一排，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ 【详解】 捆绑法。 1. 将甲、乙看作一个整体（大元素）。现在相当于5个元素（{甲乙}, 丙, 丁, 戊, 己）全排列： 种。 2. 甲、乙内部可以交换位置（甲乙或乙甲）：2种。 总数： 种。 【答案】240种 13. 一条直线上有8个点，以这些点为端点，一共可以画出多少条线段？ 【详解】 组合问题。任意两点确定一条线段。 从8个点中选2个点： 条。 【答案】28条 14. 现有1元、2元、5元的人民币各一张，可以组成多少种不同的币值？ 【详解】 分类讨论： 取1张：1, 2, 5 （3种） 取2张：1+2=3, 1+5=6, 2+5=7 （3种） 取3张：1+2+5=8 （1种） 总数： 种。 【答案】7种 【高阶思维篇】 15. 从6名候选人中选出3人组成一个委员会，其中甲必须入选，有多少种不同的选法？ 【详解】 甲已定，只需从剩下的5人中再选2人。 组合数： 种。 【答案】10种 16. 用0、1、2、3、5五个数字，可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的五位数？ 【详解】 被5整除，个位必须是0或5。 情况1：个位是0。 万位不能是0（已是0在个位，剩1,2,3,5可选），有4种。 千位：剩3种。 百位：剩2种。 十位：剩1种。 计算： 种。 情况2：个位是5。 万位不能是0，也不能是5。从1,2,3中选，有3种。 千位：从剩下的3个数（含0）中选，有3种。 百位：剩2种。 十位：剩1种。 计算： 种。 总数： 种。 【答案】42个 17. 将4封不同的信投入3个不同的邮筒，共有多少种不同的投法？ 【详解】 每封信都有3种选择（投进邮筒1、2或3）。 信1：3种。 信2：3种。 信3：3种。 信4：3种。 总数： 种。 【答案】81种 18. 某中学要从4名男教师和3名女教师中选出3名教师去支教，要求至少有1名女教师，有多少种不同的选法？ 【详解】 排除法。 总选法：从7人中选3人。 种。 不符合条件（全是男教师）：从4名男教师中选3人。 种。 符合条件： 种。 【答案】31种 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：排列组合问题 亲爱的同学们： 排列组合并非高不可攀的抽象公式，而是研究“如何有序计数”的生活智慧。在小升初的关键阶段，我们编写这份培优资料，初衷不在于让孩子死记硬背复杂的推导，而在于构建清晰的逻辑框架。 学习的核心在于辨析“分类”与“分步”。加法原理教会我们独立选择时的全面考量，乘法原理则引导我们在环环相扣的步骤中严谨推演。从基础的握手问题到进阶的染色、组数模型，每一个案例都是思维体操。我们特意梳理了捆绑法、插空法及排除法等技巧，旨在帮助孩子从无序的尝试走向有序的枚举，做到“不重不漏”。 面对易错点，如忽略“0”的限制或混淆顺序关系，请记住：慢即是快。先判断逻辑结构，再选择解题工具。希望孩子们能通过这套练习，不仅掌握解题技巧，更培养出条理分明、周密严谨的数学思维，为未来的理科学习打下坚实基石。 【知识点梳理】 排列组合是研究“如何计数”的数学分支。在小升初阶段，重点不在于复杂的公式推导，而在于理解分类与分步的逻辑区别，以及掌握几种典型模型的解题技巧。 1. 两大基本计数原理 (1) 加法原理（分类计数） 1　 定义：完成一件事有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法……在第 类办法中有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 2　 核心特征：“分类”。各类方法之间是独立的，任选一类都能独立完成整件事。 3　 口诀：分类相加，类类独立。 4　 示例：从北京去上海，可以坐火车（3个班次），也可以坐飞机（2个航班）。总方法数 = 种。 (2) 乘法原理（分步计数） 1　 定义：完成一件事需要分成 个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第 步有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 2　 核心特征：“分步”。各步骤之间是关联的，必须依次完成所有步骤，整件事才算完成。 3　 口诀：分步相乘，步步相连。 4　 示例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路。从甲经乙到丙，总方法数 = 种。 2. 排列与组合的区别 (1) 排列：与顺序有关。 1　 例如：用1、2、3组成两位数。12和21是不同的数。 2　 常用模型：排队、排座位、数字排列、颜色排列。 (2) 组合：与顺序无关。 1　 例如：从3人中选2人去打扫卫生。选{A,B}和选{B,A}是同一种方案。 2　 常用模型：握手、比赛场次、选人组队、线段计数。 3. 常见解题方法与模型 (1) 枚举法（列举法） 1　 适用：数量较少时。 2　 要求：有序列举，做到“不重不漏”。通常按字典序或大小顺序排列。 (2) 捆绑法（相邻问题） 1　 适用：某些元素要求“在一起”或“相邻”。 2　 步骤： a. 将要求相邻的元素看作一个“大元素”进行排列。 b. 再考虑“大元素”内部的排列顺序。 c. 最后利用乘法原理计算总数。 (3) 插空法（不相邻问题） 1　 适用：某些元素要求“不相邻”或“分开”。 2　 步骤： a. 先排列没有限制的元素。 b. 在这些元素形成的空隙（包括两端）中，插入要求不相邻的元素。 (4) 排除法（正难则反） 1　 适用：直接计算情况复杂，但反面情况（不符合条件的情况）较少或较简单。 2　 公式：符合条件的方法数 = 总方法数 - 不符合条件的方法数。 (5) 特殊位置/特殊元素优先法 1　 适用：某些位置有特殊要求（如首位不能为0）或某些元素有特殊要求（如某人必须站排头）。 2　 策略：优先安排特殊元素或特殊位置，再安排其余元素。 4. 易错点警示 (1) 混淆加法与乘法：判断是“分类”还是“分步”。如果能一步做完选加法，如果需要几步接力做完选乘法。 (2) 重复计数：在组合问题（如握手、比赛）中，A与B握手和B与A握手是一次，需除以2或使用组合公式 。 (3) 忽略“0”的限制：在组数问题中，最高位（首位）不能是0。 (4) 遗漏内部排列：使用捆绑法时，忘记计算捆绑元素内部的交换顺序。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 书架上层有5本不同的故事书，下层有4本不同的科技书。从中任取一本书，有多少种不同的取法？ 2. 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路。从甲地经过乙地到丙地，共有多少种不同的走法？ 3. 用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 4. 小明有3件不同的上衣和2条不同的裤子，他一共有多少种不同的穿法？ 5. 5个人见面，每两个人都要握一次手，一共要握多少次手？ 【进阶提升篇】 6. 用0、1、2、3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 7. A、B、C、D、E五个人排成一排照相，如果A必须站在正中间，有多少种不同的排法？ 8. 从5名男生和3名女生中，选出1名男生和1名女生参加男女混合双打比赛，有多少种不同的选法？ 9. 某班有10名学生参加乒乓球单循环赛（每两人赛一场），一共要进行多少场比赛？ 10. 用红、黄、蓝三种颜色给地图上的三个区域染色，要求相邻区域颜色不同。若三个区域两两相邻（如三角形分布），有多少种染法？ 11. 从1到10这10个自然数中，任取两个数相加，和为偶数的取法有多少种？ 12. 6个人排成一排，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ 13. 一条直线上有8个点，以这些点为端点，一共可以画出多少条线段？ 14. 现有1元、2元、5元的人民币各一张，可以组成多少种不同的币值？ 【高阶思维篇】 15. 从6名候选人中选出3人组成一个委员会，其中甲必须入选，有多少种不同的选法？ 16. 用0、1、2、3、5五个数字，可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的五位数？ 17. 将4封不同的信投入3个不同的邮筒，共有多少种不同的投法？ 18. 某中学要从4名男教师和3名女教师中选出3名教师去支教，要求至少有1名女教师，有多少种不同的选法？ 学科网（北京）股份有限公司 $