压轴03 带电粒子在叠加场中的运动（压轴专练）（天津专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴03 带电粒子在叠加场中的运动 命题预测 在天津历年高考中，带电粒子在叠加场中的运动在高考物理中占据重要地位，是检验学生综合运用电场、磁场等物理知识解决复杂问题的能力的重要考点。在命题方式上，这类题目通常以综合性强的计算题形式出现，可能涉及电场、磁场、重力场等多个叠加场的组合，要求考生分析带电粒子在这些叠加场中的受力情况、运动轨迹、速度变化等，并运用相应的物理公式和定理进行计算和推理。 复习备考时，考生应首先深入理解叠加场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力、重力等力的计算方法和叠加原理。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。 高频考法 叠加场多指重力场、匀强电场、匀强磁场两两或三者共存的复合场，是高考高频考点。核心考法主要分为三种。第一，受力平衡型运动，粒子所受重力、电场力、洛伦兹力合力为零，做匀速直线运动，常利用平衡条件求解电场强度、粒子速度与电荷量等物理量。第二，匀速圆周运动，一般重力与电场力等大反向相互抵消，仅由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系确定轨迹圆心、半径，求解周期与运动时间。第三，变加速曲线运动，合力大小方向不断变化，轨迹复杂，多采用动能定理、能量守恒解题，避开复杂受力分析。考题常搭配有界磁场、边界临界条件，融合几何运算与电磁学公式，综合性强。 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 考向03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 1.若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2.几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 题型04 现代科技与应用 1.速度选择器：电场与磁场叠加，利用电场力与洛伦兹力平衡筛选特定速度的带电粒子，是质谱仪、粒子探测装置的核心部件。 2.电磁流量计：利用复合场平衡原理，导电流体在磁场中形成电场，通过电势差测算流量，广泛用于工业、水务与化工检测。 3.霍尔传感器：依靠电磁场叠加使电荷偏转，实现磁信号向电信号转化，应用于磁场测量、智能设备与汽车电控系统。 4.磁流体发电机：等离子体进入电磁复合场，正负电荷在洛伦兹力作用下分离形成电势差，可直接将内能转化为电能，为新型发电技术。 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 ( 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题 。 ) 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 2.某游戏厂商想给儿童设计一款弹珠游戏，他们设计的初步示意图如图所示。整个装置竖直放置，所有小球均带正电（可视为质点），且电荷量均为q，质量均为m，从A点被弹出后，进入半径为r的光滑绝缘四分之一圆弧管道（内径忽略不计），FG右侧有一足够大的复合场区域，匀强电场的电场强度大小为（g为重力加速度），方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，CD段为绝缘弹性挡板（D点恰好在挡板外，小球与挡板碰撞后速度大小不变，方向相反），且，DG是小球离开复合场区域的出口。求： (1)当小球在A点以速率被弹出时，小球在复合场区域中运动的时间； (2)若撤去电场，欲使小球离开C点后做匀速直线运动，那么小球从A点被弹出的速率； (3)不撞击挡板CD直接从出口DG穿出复合场区域的小球，从A点被弹出的速率范围。 ( 题型解码 带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡，然后根据物体做匀速圆周运动的规律，洛伦兹力提供向心力，再加上圆周运动的知识作为解题方法。 ) 题型03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 3.（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 ( 题型解码 若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 ) 题型04 现代科技与应用 4.（2026·天津南开中学·模拟）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个足够长的长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b。前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，两个电极通过开关与可变电阻连成闭合电路，整个发电通道处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，方向垂直前侧面向里，高温的等量正负等离子以不变的速率v水平从左侧面向右喷入发电通道内，忽略等离子体的重力、相互作用力、与通道间的阻力及其他因素。 （1）开关断开的情况下，求稳定后：①上下极板的电动势大小，②比较上下极板的电势高低； （2）开关闭合，可变电阻接入电阻为R，考虑理想的状态，整个闭合电路中就会产生恒定的电流，要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，发电通道左右两端必须存在稳定的压强差，不计其它损耗，高温等离子体电阻率为，计算压强差； （3）实际情况下，输出电流与等离子体的数密度、速度、质量、电量等有关，如果质量为m、带电量为+q、单位体积内个数为n的粒子和质量为m、带电量为、单位体积内个数为n的粒子，均以速度v、沿着与板面平行的方向射入两板间。其磁感应强度B满足。若以U表示发电机两极板间的电压，求输出电流I与U的关系。（此小题可变电阻阻值R不可用） ( 题型解码 叠加场常结合生活科技装置命题，以电场、磁场复合应用为核心，是高频应用题题型。常考模型包含速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件、回旋加速器五类。命题核心规律：装置内部均利用电场力与洛伦兹力平衡列式求解，结合受力平衡、圆周运动规律及能量关系解题。常见考查方向：计算感应电势差、粒子临界速度、流体流量、磁感应强度等。解题关键：找准带电粒子受力，区分电场力、洛伦兹力的作用效果，结合几何关系与平衡条件列方程。此类题型紧扣现代科技，情境新颖，但原理基础，侧重考查复合场规律的迁移应用。 ) 1．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，其第一象限内存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直于纸面向里。一带电荷量为、质量为的微粒从原点出发沿与轴正方向的夹角为的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于轴穿出复合场。不计一切阻力，求： (1)电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小； (3)微粒在复合场中的运动时间。 2．如图所示，在Oxy平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿+x方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点以速度v沿+y方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度 B 的大小； (2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t； (3)若仅有磁场，保持粒子入射速度方向不变，大小变为，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为，求v的大小。 3.如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： (1)小球的初速度大小； (2)小球第一次在第四象限运动的时间； (3)小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 4.（2025·天津市红桥区·一模）研究带电粒子偏转的实验装置基本原理图如图所示，Ⅰ区域是位于平面内的半圆，直径与x轴重合，且M点的坐标为点的坐标为；Ⅱ区域位于平面内的虚线和y轴之间。其中Ⅰ区和Ⅱ区内存在垂直纸面向外的匀强磁场。三个相同的粒子源和加速电场组成的发射器，可分别将质量为m、电荷量为q的带正电粒子甲、乙、丙由静止加速到，调节三个发射器的位置，使三个粒子同时从半圆形边界上的a、b、c三个点沿着y轴正方向射入区域Ⅰ，b与半圆形区域的圆心的连线R垂直于x轴，a、c到的距离均为，乙粒子恰好从N点离开区域Ⅰ，丙粒子垂直于y轴离开区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。 （1）求加速电场电压U； （2）求区域Ⅰ内的磁感应强度大小和区域Ⅱ内的磁感应强度大小B； （3）若在丙粒子离开区域Ⅱ时，区域Ⅱ内的磁场反向，同时再叠加竖直向上电场强度为E的匀强电场，此后甲粒子恰好不能穿过y轴，轨迹与y轴切于Q点，求Q点的位置坐标以及甲粒子经过Q点时速度v的大小。 5.（2025·天津市和平区·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点；②当离子的入射速度大小为（未知），方向与y轴夹角入射时，离子垂直通过界面，不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求的大小； （2）求的大小及②情况下离子到达界面时与x轴之间的距离； （3）现测得离子入射速度大小随变化关系为，为回收离子，今在界面右侧加一宽度也为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面，求所加电场的电场强度至少为多大？ 6.如图所示，平行板电容器的极板垂直于纸面放置，极板长和间距均为L，极板间匀强电场的场强为E0。纸面内圆形区域的圆心为O，直径为L，与电容器的右边界MN以及虚线PQ分别相切于A、C两点，直线AOC为电容器的中心线。圆形区域内的匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为，PQ右侧的匀强电场和匀强磁场均水平向左，该区域内的磁感应强度大小为B1。一带电粒子从纸面内紧贴M板处以平行于AC的初速度v0射入电容器，恰好从A点进入圆形磁场，一段时间后离开，从PQ上D点（未画出）进入右侧的区域，之后再次经过D点。忽略粒子的重力，求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在圆形磁场中的运动时间t； (3)PQ右侧区域匀强电场的场强E1。 7.为了研究我国在建的强流重离子加速器（HIAF）中的束流导向问题，在物理模拟实验中，科研人员采用带电小球模拟重离子，构建了如图所示的装置。竖直平面内建立直角坐标系xOy，x轴水平。在第二象限内有一段光滑绝缘圆弧轨道，末端与x轴相切于O点。第一象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（磁感应强度大小为B）和竖直向上的匀强电场。此外，在第一象限内还有一个半径为L的圆形探测区域，其圆心D与O点的连线与水平方向的夹角为45°，且。实验时，将一个电荷量为、质量为m的带电小球（可视为质点）从绝缘轨道上距x轴高度为H（H未知）处静止释放，小球沿轨道滑下并从O点水平进入第一象限。已知小球进入第一象限后恰能做匀速圆周运动，且其运动轨迹恰好与圆形探测区域外切。重力加速度为g，忽略空气阻力。 (1)求电场强度E的大小； (2)求高度H； (3)为了研究小球的运动路径，科研人员将直线OD与正y轴所夹区域的磁场方向反向，磁感应强度大小不变，仍让小球从同一高度H处释放。求小球经过O点后，第二次穿过直线OD时的位置坐标。 8.（2025·天津河西·三模）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为：电场强度大小为、平行于纸面的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 (1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子___________（选填“做功”或“不做功”）。 (2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 (3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （i）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 9.（2025·天津市河东区·一模）亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。它由一对完全相同的圆形导体线圈组成，这两个线圈的半径和匝数相同，且同轴排列。亥姆霍兹线圈能产生标准磁场，因此在物理实验中经常被使用。如图所示为一对通有相同方向且等大的恒定电流的亥姆霍兹线圈，形成如图平行中心轴线O1O2向右的匀强磁场，其磁感应强度B大小未知，现有一离子源放置于O1O2上某点位置O，持续发射初速度大小均为v0的粒子，其方向垂直于轴线向外，粒子所带电荷量均为+q，质量均为m。在x轴线上垂直放置一圆形探测屏，半径为R，其圆心位于x轴上的P点，用于接收粒子，探测屏圆心P与粒子源间的距离为d，不计粒子重力和粒子间相互作用。若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于。 （1）要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针还是逆时针方向的电流（从左往右看）； （2）磁感应强度B的大小？ （3）断开亥姆霍兹线圈中电流，在垂直x轴线方向上放置一对平行板，两极板间形成匀强电场方向如图所示，要使得所有粒子恰好打在探测屏边缘，则该匀强电场E的电场强度应为多大？ （4）若该空间同时存在上述的磁场和电场，沿x轴平移探测屏，使所有粒子恰好打在探测屏的圆心，求探测屏圆心与粒子源间的距离有哪些值。 23 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴03 带电粒子在叠加场中的运动 典例·靶向·突破 1.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 2.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小球在A点以速率被弹出时，从A点到C点的过程满足 则从C点进入复合场区域的速率为 在复合场区域中所受电场力 与重力平衡，只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，根据 匀速圆周运动的半径 由题意可判断出小球在CD板上碰撞一次后从DG离开，恰好经过一个周期，则 （2）若撤去电场，欲使小球从C点离开后做匀速直线运动，小球在复合场区域所受重力应和洛伦兹力平衡，则 从A点到C点的过程满足 联立两式可得 （3）若不撞击挡板CD，由上述分析可知，小球在复合场区域中做匀速圆周运动的半径最小为，最大为，根据 则从C点进入复合场区域的速率范围为 根据动能定理 解得从A点被弹出的速率范围为 3.【答案】(1) (2) (3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有 解得 （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得 则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 4.【答案】（1），上极板电势高于下极板 （2） （3）见解析 【小问1详解】 稳定时等离子体做匀速直线运动，有 发电机的电动势为 正离子向上偏转，则上极板电势高于下极板。 【小问2详解】 闭合开关后，内阻为 形成向上电流 对电流受力分析 其中，联立可得 【小问3详解】 方法一： 两板间电场强度为 配速 其中 与电场力相抵消 做匀速圆周运动的半径为 ①当，即时，与极板距离小于2R的粒子可以打到极板而形成电流，单位时间内打到一块极板上的粒子数为 此时发电机的输出电流为 ②当，即时，全部入射粒子均可击中极板，故此时发电机的输出电流为 方法二： 假设粒子进入后，竖直方向偏移y距离恰好打到板上 可得 ①当，即 ②当，即时 1．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）微粒到达之前在复合场中做匀速直线运动，对微粒进行受力分析如图甲所示： 则根据共点力的平衡规律有 解得电场强度的大小为 （2）由共点力的平衡规律有 由分析可知，当电场方向变化后，微粒所受的重力与电场力平衡，则微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，其运动轨迹如图乙所示： 由几何关系可得微粒做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供微粒做匀速圆周运动的向心力，有 联立解得微粒做匀速圆周运动的线速度大小为 磁感应强度的大小为 （3）微粒在复合场中做匀速直线运动的时间为 微粒做匀速圆周运动的周期为 由于微粒在复合场中做匀速圆周运动转过的圆心角为，故微粒在复合场中做匀速圆周运动的时间为 所以微粒在复合场中运动的总时间为 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，静电力与洛伦兹力大小相等，方向相反，则有：qE=qBv 解得： （2）粒子在电场中做类平抛运动，设加速度大小为a，由牛顿第二定律得：qE=ma 依题意，粒子沿-x方向运动的位移为R，由运动学公式得： 联立解得： （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，作出粒子的运动轨迹如下图所示。 粒子从Q点离开磁场，则PQ延长线必然经过半圆形磁场的圆心O′，设∠MO′P=θ，由几何关系可得： 可得 粒子在磁场中运动的轨道半径为 由洛伦兹力提供向心力得 可得 3.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球初速度为v0，根据平衡条件有 得 （2）小球在第四象限内电场力 小球在第四象限做匀速圆周运动有 根据几何关系，小球在第四象限运动时间满足 得 （3）小球在第四象限做圆周运动有 得r=L 小球离开第四象限时，经过y轴的位置为N，ON之间距离 小球过N点时所受合力方向与竖直向下方向的夹角为，有 即 小球在第三象限内做类平抛运动，有 小球从N点运动到再次回到y轴所用时间为t，有 得 小球在与合力垂直方向位移 y轴方向位移 从O到M在竖直方向位移 由 得 4.【答案】（1） （2）， （3）坐标为，速度大小为 【小问1详解】 粒子在加速电场中加速，根据动能定理有 解得 【小问2详解】 如图所示 带正电粒子甲、乙、丙在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，设其轨迹半径分别为，由于三个粒子的质量和带电量均相等，再结合几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力得 解得 丙粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由几何关系可知，丙粒子将从N点进入区域Ⅱ，且其速度与x轴正方向的夹角为，丙粒子进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为，由于丙粒子垂直y轴离开区域Ⅱ，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力得 解得 【小问3详解】 如图所示 甲粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的轨道半径 根据几何关系可知甲粒子在区域Ⅰ中运动的轨迹圆心角 从飞出区域Ⅰ且其速度与x轴正方向夹角为，甲粒子从飞出区域Ⅰ后，继续做匀速直线运动到区域Ⅱ的左边界P点，经判断甲粒子在进入区域Ⅱ之前磁场方向已经变为垂直纸面向里，且叠加了向上的电场E，甲粒子进入区域Ⅱ后做曲线运动，轨迹与y轴切于Q点，设之间的竖直方向高度差为h，甲粒子在区域Ⅱ中水平方向使用动量定理（设向右为正方向） 推得 解得 根据几何关系甲粒子最接近y轴时Q的坐标为 对甲粒子进入区域Ⅱ后使用动能定理得 解得 5.【答案】（1） （2），， （3） 【小问1详解】 当离子沿y轴正方向以大小为的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点，由几何关系可得 由牛顿第二定律有 联立解得 【小问2详解】 若离子与y轴夹角向左上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 若离子与y轴夹角向右上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 【小问3详解】 离子入射速度大小随变化的关系为 由牛顿第二定律有 离子运动半径为 可知，圆心一定在界面上，即离子一定垂直通过界面，当时，通过界面的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面即可，此时速度 恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为，对该离子竖直方向运用动量定理有 两边求和可得 又由动能定理得 6.【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3……），方向水平向左 【详解】（1）粒子在匀强电场内做类平抛运动，平行于极板方向，有 垂直极板方向，有， 联立解得 （2）粒子从A点离开电场时，设速度竖直向下分量为vy，则 解得 所以粒子到达A点的速度大小为 方向与水平方向夹角为45°，设圆形磁场的磁感应强度大小为B，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可知，粒子转过四分之一圆周从C点离开圆形磁场，即D点与C点重合，粒子运动轨迹如图所示 则粒子在圆形磁场中的运动时间为 解得 （3）粒子进入右侧区域，水平方向，有 粒子在PQ右侧运动的周期为T，运动时间为，则（n=1，2，3……），， 联立解得匀强电场场强大小为（n=1，2，3……） 方向水平向左。 7.【答案】(1) (2) (3)第二次穿过OD的位置为 【详解】（1）小球进入第一象限后做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）已知小球的运动轨迹恰好与圆形探测区域外切，由几何关系和余弦定理，得 解得 设小球从距x轴H高处释放，到达O点处的速率为v，由动能定理，得 在第一象限的复合场中，r表示小球做匀速圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 （3）直线OD的方程为 小球从进入，速度水平向右。在第一象限OD下方区域（）磁场向里，小球做逆时针匀速圆周运动，圆心，其中，轨迹圆方程为 联立直线方程和轨迹圆方程，得 解得（舍去）， 故小球第一次穿过OD的位置为 小球在点的速度方向为竖直向上，穿过直线OD进入上方区域（），做顺时针匀速圆周运动，圆心，轨迹圆方程为 与直线方程联立，得 解得（舍去）， 故小球第二次穿过OD的位置为 联立解得 8.【答案】(1)不做功 (2) (3)（i）；（ii） 【详解】（1）洛伦兹力的方向时刻与速度方向垂直，故电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子不做功； （2）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 （3）（i）设电场力方向与速度方向的夹角为，沿圆轨迹的半径方向有 沿圆轨迹的切线方向有 解得 （ii）设电场力方向与速度方向的夹角为，旋转电场对电子做功的功率为 当时，电场对电子做功的功率最大 当时，有 解得， 则 9.【答案】（1）顺时针 （2） （3） （4） 【小问1详解】 根据安培定则，要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针方向的电流（从左往右看） 【小问2详解】 粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 其中 解得 【小问3详解】 粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向有 垂直于x轴方向有 由牛顿第二定律可知 联立解得 【小问4详解】 根据运动独立性，粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，垂直于x轴方向做匀速圆周运动，故粒子回到x轴时间为粒子做匀速圆周运动周期的整数倍 x轴方向有, 联立解得 23 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴03 带电粒子在叠加场中的运动 命题预测 在天津历年高考中，带电粒子在叠加场中的运动在高考物理中占据重要地位，是检验学生综合运用电场、磁场等物理知识解决复杂问题的能力的重要考点。在命题方式上，这类题目通常以综合性强的计算题形式出现，可能涉及电场、磁场、重力场等多个叠加场的组合，要求考生分析带电粒子在这些叠加场中的受力情况、运动轨迹、速度变化等，并运用相应的物理公式和定理进行计算和推理。 复习备考时，考生应首先深入理解叠加场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力、重力等力的计算方法和叠加原理。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。 高频考法 叠加场多指重力场、匀强电场、匀强磁场两两或三者共存的复合场，是高考高频考点。核心考法主要分为三种。第一，受力平衡型运动，粒子所受重力、电场力、洛伦兹力合力为零，做匀速直线运动，常利用平衡条件求解电场强度、粒子速度与电荷量等物理量。第二，匀速圆周运动，一般重力与电场力等大反向相互抵消，仅由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系确定轨迹圆心、半径，求解周期与运动时间。第三，变加速曲线运动，合力大小方向不断变化，轨迹复杂，多采用动能定理、能量守恒解题，避开复杂受力分析。考题常搭配有界磁场、边界临界条件，融合几何运算与电磁学公式，综合性强。 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 考向03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 1.若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2.几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 题型04 现代科技与应用 1.速度选择器：电场与磁场叠加，利用电场力与洛伦兹力平衡筛选特定速度的带电粒子，是质谱仪、粒子探测装置的核心部件。 2.电磁流量计：利用复合场平衡原理，导电流体在磁场中形成电场，通过电势差测算流量，广泛用于工业、水务与化工检测。 3.霍尔传感器：依靠电磁场叠加使电荷偏转，实现磁信号向电信号转化，应用于磁场测量、智能设备与汽车电控系统。 4.磁流体发电机：等离子体进入电磁复合场，正负电荷在洛伦兹力作用下分离形成电势差，可直接将内能转化为电能，为新型发电技术。 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 ( 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题 。 ) 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 2.某游戏厂商想给儿童设计一款弹珠游戏，他们设计的初步示意图如图所示。整个装置竖直放置，所有小球均带正电（可视为质点），且电荷量均为q，质量均为m，从A点被弹出后，进入半径为r的光滑绝缘四分之一圆弧管道（内径忽略不计），FG右侧有一足够大的复合场区域，匀强电场的电场强度大小为（g为重力加速度），方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，CD段为绝缘弹性挡板（D点恰好在挡板外，小球与挡板碰撞后速度大小不变，方向相反），且，DG是小球离开复合场区域的出口。求： (1)当小球在A点以速率被弹出时，小球在复合场区域中运动的时间； (2)若撤去电场，欲使小球离开C点后做匀速直线运动，那么小球从A点被弹出的速率； (3)不撞击挡板CD直接从出口DG穿出复合场区域的小球，从A点被弹出的速率范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小球在A点以速率被弹出时，从A点到C点的过程满足 则从C点进入复合场区域的速率为 在复合场区域中所受电场力 与重力平衡，只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，根据 匀速圆周运动的半径 由题意可判断出小球在CD板上碰撞一次后从DG离开，恰好经过一个周期，则 （2）若撤去电场，欲使小球从C点离开后做匀速直线运动，小球在复合场区域所受重力应和洛伦兹力平衡，则 从A点到C点的过程满足 联立两式可得 （3）若不撞击挡板CD，由上述分析可知，小球在复合场区域中做匀速圆周运动的半径最小为，最大为，根据 则从C点进入复合场区域的速率范围为 根据动能定理 解得从A点被弹出的速率范围为 ( 题型解码 带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡，然后根据物体做匀速圆周运动的规律，洛伦兹力提供向心力，再加上圆周运动的知识作为解题方法。 ) 题型03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 3.（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 【答案】(1) (2) (3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有 解得 （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得 则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 ( 题型解码 若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 ) 题型04 现代科技与应用 4.（2026·天津南开中学·模拟）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个足够长的长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b。前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，两个电极通过开关与可变电阻连成闭合电路，整个发电通道处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，方向垂直前侧面向里，高温的等量正负等离子以不变的速率v水平从左侧面向右喷入发电通道内，忽略等离子体的重力、相互作用力、与通道间的阻力及其他因素。 （1）开关断开的情况下，求稳定后：①上下极板的电动势大小，②比较上下极板的电势高低； （2）开关闭合，可变电阻接入电阻为R，考虑理想的状态，整个闭合电路中就会产生恒定的电流，要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，发电通道左右两端必须存在稳定的压强差，不计其它损耗，高温等离子体电阻率为，计算压强差； （3）实际情况下，输出电流与等离子体的数密度、速度、质量、电量等有关，如果质量为m、带电量为+q、单位体积内个数为n的粒子和质量为m、带电量为、单位体积内个数为n的粒子，均以速度v、沿着与板面平行的方向射入两板间。其磁感应强度B满足。若以U表示发电机两极板间的电压，求输出电流I与U的关系。（此小题可变电阻阻值R不可用） 【答案】（1），上极板电势高于下极板 （2） （3）见解析 【小问1详解】 稳定时等离子体做匀速直线运动，有 发电机的电动势为 正离子向上偏转，则上极板电势高于下极板。 【小问2详解】 闭合开关后，内阻为 形成向上电流 对电流受力分析 其中，联立可得 【小问3详解】 方法一： 两板间电场强度为 配速 其中 与电场力相抵消 做匀速圆周运动的半径为 ①当，即时，与极板距离小于2R的粒子可以打到极板而形成电流，单位时间内打到一块极板上的粒子数为 此时发电机的输出电流为 ②当，即时，全部入射粒子均可击中极板，故此时发电机的输出电流为 方法二： 假设粒子进入后，竖直方向偏移y距离恰好打到板上 可得 ①当，即 ②当，即时 ( 题型解码 叠加场常结合生活科技装置命题，以电场、磁场复合应用为核心，是高频应用题题型。常考模型包含速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件、回旋加速器五类。命题核心规律：装置内部均利用电场力与洛伦兹力平衡列式求解，结合受力平衡、圆周运动规律及能量关系解题。常见考查方向：计算感应电势差、粒子临界速度、流体流量、磁感应强度等。解题关键：找准带电粒子受力，区分电场力、洛伦兹力的作用效果，结合几何关系与平衡条件列方程。此类题型紧扣现代科技，情境新颖，但原理基础，侧重考查复合场规律的迁移应用。 ) 1．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，其第一象限内存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直于纸面向里。一带电荷量为、质量为的微粒从原点出发沿与轴正方向的夹角为的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于轴穿出复合场。不计一切阻力，求： (1)电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小； (3)微粒在复合场中的运动时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）微粒到达之前在复合场中做匀速直线运动，对微粒进行受力分析如图甲所示： 则根据共点力的平衡规律有 解得电场强度的大小为 （2）由共点力的平衡规律有 由分析可知，当电场方向变化后，微粒所受的重力与电场力平衡，则微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，其运动轨迹如图乙所示： 由几何关系可得微粒做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供微粒做匀速圆周运动的向心力，有 联立解得微粒做匀速圆周运动的线速度大小为 磁感应强度的大小为 （3）微粒在复合场中做匀速直线运动的时间为 微粒做匀速圆周运动的周期为 由于微粒在复合场中做匀速圆周运动转过的圆心角为，故微粒在复合场中做匀速圆周运动的时间为 所以微粒在复合场中运动的总时间为 2．如图所示，在Oxy平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿+x方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点以速度v沿+y方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度 B 的大小； (2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t； (3)若仅有磁场，保持粒子入射速度方向不变，大小变为，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为，求v的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，静电力与洛伦兹力大小相等，方向相反，则有：qE=qBv 解得： （2）粒子在电场中做类平抛运动，设加速度大小为a，由牛顿第二定律得：qE=ma 依题意，粒子沿-x方向运动的位移为R，由运动学公式得： 联立解得： （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，作出粒子的运动轨迹如下图所示。 粒子从Q点离开磁场，则PQ延长线必然经过半圆形磁场的圆心O′，设∠MO′P=θ，由几何关系可得： 可得 粒子在磁场中运动的轨道半径为 由洛伦兹力提供向心力得 可得 3.如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： (1)小球的初速度大小； (2)小球第一次在第四象限运动的时间； (3)小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球初速度为v0，根据平衡条件有 得 （2）小球在第四象限内电场力 小球在第四象限做匀速圆周运动有 根据几何关系，小球在第四象限运动时间满足 得 （3）小球在第四象限做圆周运动有 得r=L 小球离开第四象限时，经过y轴的位置为N，ON之间距离 小球过N点时所受合力方向与竖直向下方向的夹角为，有 即 小球在第三象限内做类平抛运动，有 小球从N点运动到再次回到y轴所用时间为t，有 得 小球在与合力垂直方向位移 y轴方向位移 从O到M在竖直方向位移 由 得 4.（2025·天津市红桥区·一模）研究带电粒子偏转的实验装置基本原理图如图所示，Ⅰ区域是位于平面内的半圆，直径与x轴重合，且M点的坐标为点的坐标为；Ⅱ区域位于平面内的虚线和y轴之间。其中Ⅰ区和Ⅱ区内存在垂直纸面向外的匀强磁场。三个相同的粒子源和加速电场组成的发射器，可分别将质量为m、电荷量为q的带正电粒子甲、乙、丙由静止加速到，调节三个发射器的位置，使三个粒子同时从半圆形边界上的a、b、c三个点沿着y轴正方向射入区域Ⅰ，b与半圆形区域的圆心的连线R垂直于x轴，a、c到的距离均为，乙粒子恰好从N点离开区域Ⅰ，丙粒子垂直于y轴离开区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。 （1）求加速电场电压U； （2）求区域Ⅰ内的磁感应强度大小和区域Ⅱ内的磁感应强度大小B； （3）若在丙粒子离开区域Ⅱ时，区域Ⅱ内的磁场反向，同时再叠加竖直向上电场强度为E的匀强电场，此后甲粒子恰好不能穿过y轴，轨迹与y轴切于Q点，求Q点的位置坐标以及甲粒子经过Q点时速度v的大小。 【答案】（1） （2）， （3）坐标为，速度大小为 【小问1详解】 粒子在加速电场中加速，根据动能定理有 解得 【小问2详解】 如图所示 带正电粒子甲、乙、丙在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，设其轨迹半径分别为，由于三个粒子的质量和带电量均相等，再结合几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力得 解得 丙粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由几何关系可知，丙粒子将从N点进入区域Ⅱ，且其速度与x轴正方向的夹角为，丙粒子进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为，由于丙粒子垂直y轴离开区域Ⅱ，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力得 解得 【小问3详解】 如图所示 甲粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的轨道半径 根据几何关系可知甲粒子在区域Ⅰ中运动的轨迹圆心角 从飞出区域Ⅰ且其速度与x轴正方向夹角为，甲粒子从飞出区域Ⅰ后，继续做匀速直线运动到区域Ⅱ的左边界P点，经判断甲粒子在进入区域Ⅱ之前磁场方向已经变为垂直纸面向里，且叠加了向上的电场E，甲粒子进入区域Ⅱ后做曲线运动，轨迹与y轴切于Q点，设之间的竖直方向高度差为h，甲粒子在区域Ⅱ中水平方向使用动量定理（设向右为正方向） 推得 解得 根据几何关系甲粒子最接近y轴时Q的坐标为 对甲粒子进入区域Ⅱ后使用动能定理得 解得 5.（2025·天津市和平区·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点；②当离子的入射速度大小为（未知），方向与y轴夹角入射时，离子垂直通过界面，不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求的大小； （2）求的大小及②情况下离子到达界面时与x轴之间的距离； （3）现测得离子入射速度大小随变化关系为，为回收离子，今在界面右侧加一宽度也为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面，求所加电场的电场强度至少为多大？ 【答案】（1） （2），， （3） 【小问1详解】 当离子沿y轴正方向以大小为的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点，由几何关系可得 由牛顿第二定律有 联立解得 【小问2详解】 若离子与y轴夹角向左上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 若离子与y轴夹角向右上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 【小问3详解】 离子入射速度大小随变化的关系为 由牛顿第二定律有 离子运动半径为 可知，圆心一定在界面上，即离子一定垂直通过界面，当时，通过界面的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面即可，此时速度 恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为，对该离子竖直方向运用动量定理有 两边求和可得 又由动能定理得 6.如图所示，平行板电容器的极板垂直于纸面放置，极板长和间距均为L，极板间匀强电场的场强为E0。纸面内圆形区域的圆心为O，直径为L，与电容器的右边界MN以及虚线PQ分别相切于A、C两点，直线AOC为电容器的中心线。圆形区域内的匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为，PQ右侧的匀强电场和匀强磁场均水平向左，该区域内的磁感应强度大小为B1。一带电粒子从纸面内紧贴M板处以平行于AC的初速度v0射入电容器，恰好从A点进入圆形磁场，一段时间后离开，从PQ上D点（未画出）进入右侧的区域，之后再次经过D点。忽略粒子的重力，求： (1)粒子的比荷； (2)粒子在圆形磁场中的运动时间t； (3)PQ右侧区域匀强电场的场强E1。 【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3……），方向水平向左 【详解】（1）粒子在匀强电场内做类平抛运动，平行于极板方向，有 垂直极板方向，有， 联立解得 （2）粒子从A点离开电场时，设速度竖直向下分量为vy，则 解得 所以粒子到达A点的速度大小为 方向与水平方向夹角为45°，设圆形磁场的磁感应强度大小为B，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可知，粒子转过四分之一圆周从C点离开圆形磁场，即D点与C点重合，粒子运动轨迹如图所示 则粒子在圆形磁场中的运动时间为 解得 （3）粒子进入右侧区域，水平方向，有 粒子在PQ右侧运动的周期为T，运动时间为，则（n=1，2，3……），， 联立解得匀强电场场强大小为（n=1，2，3……） 方向水平向左。 7.为了研究我国在建的强流重离子加速器（HIAF）中的束流导向问题，在物理模拟实验中，科研人员采用带电小球模拟重离子，构建了如图所示的装置。竖直平面内建立直角坐标系xOy，x轴水平。在第二象限内有一段光滑绝缘圆弧轨道，末端与x轴相切于O点。第一象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（磁感应强度大小为B）和竖直向上的匀强电场。此外，在第一象限内还有一个半径为L的圆形探测区域，其圆心D与O点的连线与水平方向的夹角为45°，且。实验时，将一个电荷量为、质量为m的带电小球（可视为质点）从绝缘轨道上距x轴高度为H（H未知）处静止释放，小球沿轨道滑下并从O点水平进入第一象限。已知小球进入第一象限后恰能做匀速圆周运动，且其运动轨迹恰好与圆形探测区域外切。重力加速度为g，忽略空气阻力。 (1)求电场强度E的大小； (2)求高度H； (3)为了研究小球的运动路径，科研人员将直线OD与正y轴所夹区域的磁场方向反向，磁感应强度大小不变，仍让小球从同一高度H处释放。求小球经过O点后，第二次穿过直线OD时的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)第二次穿过OD的位置为 【详解】（1）小球进入第一象限后做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）已知小球的运动轨迹恰好与圆形探测区域外切，由几何关系和余弦定理，得 解得 设小球从距x轴H高处释放，到达O点处的速率为v，由动能定理，得 在第一象限的复合场中，r表示小球做匀速圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 （3）直线OD的方程为 小球从进入，速度水平向右。在第一象限OD下方区域（）磁场向里，小球做逆时针匀速圆周运动，圆心，其中，轨迹圆方程为 联立直线方程和轨迹圆方程，得 解得（舍去）， 故小球第一次穿过OD的位置为 小球在点的速度方向为竖直向上，穿过直线OD进入上方区域（），做顺时针匀速圆周运动，圆心，轨迹圆方程为 与直线方程联立，得 解得（舍去）， 故小球第二次穿过OD的位置为 联立解得 8.（2025·天津河西·三模）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为：电场强度大小为、平行于纸面的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 (1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子___________（选填“做功”或“不做功”）。 (2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 (3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （i）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 【答案】(1)不做功 (2) (3)（i）；（ii） 【详解】（1）洛伦兹力的方向时刻与速度方向垂直，故电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子不做功； （2）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 （3）（i）设电场力方向与速度方向的夹角为，沿圆轨迹的半径方向有 沿圆轨迹的切线方向有 解得 （ii）设电场力方向与速度方向的夹角为，旋转电场对电子做功的功率为 当时，电场对电子做功的功率最大 当时，有 解得， 则 9.（2025·天津市河东区·一模）亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。它由一对完全相同的圆形导体线圈组成，这两个线圈的半径和匝数相同，且同轴排列。亥姆霍兹线圈能产生标准磁场，因此在物理实验中经常被使用。如图所示为一对通有相同方向且等大的恒定电流的亥姆霍兹线圈，形成如图平行中心轴线O1O2向右的匀强磁场，其磁感应强度B大小未知，现有一离子源放置于O1O2上某点位置O，持续发射初速度大小均为v0的粒子，其方向垂直于轴线向外，粒子所带电荷量均为+q，质量均为m。在x轴线上垂直放置一圆形探测屏，半径为R，其圆心位于x轴上的P点，用于接收粒子，探测屏圆心P与粒子源间的距离为d，不计粒子重力和粒子间相互作用。若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于。 （1）要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针还是逆时针方向的电流（从左往右看）； （2）磁感应强度B的大小？ （3）断开亥姆霍兹线圈中电流，在垂直x轴线方向上放置一对平行板，两极板间形成匀强电场方向如图所示，要使得所有粒子恰好打在探测屏边缘，则该匀强电场E的电场强度应为多大？ （4）若该空间同时存在上述的磁场和电场，沿x轴平移探测屏，使所有粒子恰好打在探测屏的圆心，求探测屏圆心与粒子源间的距离有哪些值。 【答案】（1）顺时针 （2） （3） （4） 【小问1详解】 根据安培定则，要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针方向的电流（从左往右看） 【小问2详解】 粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 其中 解得 【小问3详解】 粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向有 垂直于x轴方向有 由牛顿第二定律可知 联立解得 【小问4详解】 根据运动独立性，粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，垂直于x轴方向做匀速圆周运动，故粒子回到x轴时间为粒子做匀速圆周运动周期的整数倍 x轴方向有, 联立解得 23 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $