压轴10 带电粒子在叠加场中的运动（压轴题专练）（全国通用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴10 带电粒子在叠加场中的运动 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1．【答案】CD 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 2．【答案】AB 3.【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有 联立解得 （2）进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，则有 粒子从点到光屏的运动时间为 联立上述结论解得 （3）进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹如图所示 设粒子打在光屏上的点，由洛伦兹力提供向心力，得 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 则 所以粒子打在光屏上的位置坐标为 题型03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 4.【答案】BC 1．【答案】BC 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，画出油滴在第三象限的受力情况，如图所示 由平衡条件及几何关系可得 解得 （2）油滴在第三象限中运动时有 所以油滴在第一象限区域做匀速直线运动，区域做匀速圆周运动，设、、的运动时间分别为、、，第一象限区域由几何关系得 由对称性得 第一象限区域， 由牛顿第二定律得 油滴在第一象限运动的总时间 解得 （3）由几何关系及对称性可得，从、运动过程中沿方向的位移 过程中沿轴方向的位移 油滴再次穿过轴时距离坐标原点的距离 解得 即油滴第二次穿过轴时的坐标为 3．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则 解得 粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力得 解得粒子运动的轨道半径 根据圆周运动轨迹，由几何关系得 代入数据解得。 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，由几何关系可得 可解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。所以当时，运动时间最短，代入的值解得 根据 联立可得 当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，的大小为。 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，根据 解得粒子受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律有 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得轨迹方程 4．【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）经分析可知，小球的运动轨迹如图所示 且小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有 解得 设小球在第三象限内做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据几何关系有 洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有 解得 （2）小球从点运动到点所用的时间 解得 设小球通过点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为，有 解得 可见小球所受合力的方向与小球通过点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为，有 设小球从点运动到再次通过轴时所用的时间为，有     解得 又 解得 将小球通过点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，小球到轴的距离最大，有 其中 解得 （3）小球的初速度沿水平方向和竖直方向的分量大小分别为     经计算可知 因为 所以小球的运动可分解为大小为、方向水平向左的匀速直线运动和大小为、沿顺时针方向的匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的周期 解得 设小球通过轴时的速度方向恰好第一次水平，则此种情况下小球从点运动到轴的时间 设此种情况下两点间的距离为，有 解得 因此两点间的距离应满足的条件为 5．【答案】ACD 6．【答案】D 7．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，由图可知 解得 粒子在板间运动的水平位移 圆周运动的周期 粒子在板间运动的时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 则粒子在板间运动的位移大小 8．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从M点到N点过程做类平抛运动，沿y方向有 沿x方向有， 联立解得 （2）粒子经过N点时沿电场方向的分速度 粒子经过N点的速度大小 速度与x轴正向的夹角满足 可得 由几何关系可知 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）取一个水平向右的速度使得其对应的洛伦兹力和竖直向下的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度水平向右做匀速直线运动，粒子做圆周运动的分速度为 解得 由 解得 粒子从Q点第一次运动到最低点的时间 由 解得 9．【答案】(1) (2) (3)，沿轴负方向 【详解】（1）带电粒子在匀强电场的作用下，由运动至坐标原点，做类平抛运动，所以有沿轴方向，有 沿轴负方向，有 且粒子的加速度为 联立解得粒子的比荷为 （2）粒子到达坐标原点时，沿轴负方向的速度大小为 在洛伦兹力的作用下，粒子沿垂直于轴方向的分运动为匀速圆周运动，有 解得 分析可知粒子距离平面的最大距离即圆周运动的半径 联立各式即可解得磁场的磁感应强度 （3）粒子沿垂直于轴分运动的周期为 故粒子从坐标原点出发到第6次经过轴所经历的时间为 粒子在匀强电场的作用下，沿轴方向做匀变速直线运动 易知，粒子一定做减速运动，故匀强电场一定沿轴负方向，有联立可得 10．【答案】(1)　　(2)　(3) 【详解】(1)粒子从M点运动到N点,运动轨迹如图甲所示 根据几何关系可得rsin θ＝y0 解得粒子运动轨迹半径r＝2y0 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qv1B＝m 解得v1＝ 粒子在磁场中运动的周期T＝ 则粒子在磁场中运动的时间为t1＝T＝。 (2)粒子轨迹不变,仍然做匀速圆周运动,因此点电荷只能位于轨迹圆心O1处,库仑力和洛伦兹力的合力提供向心力,有 qv2B＋k＝m (上式可变换为－qBv2－＝0,获得关于v2的一元二次方程,通过求根公式解得v2的两个值) 将m＝和r＝2y0代入解得 v2＝(另一解v2＝－不合题意,舍去)。 (3)粒子从N点离开,仅在点电荷的作用下运动,粒子所需的向心力m大于点电荷提供的库仑力k,因此粒子离心运动,由库仑力和万有引力的相似性可知粒子做类似行星绕中心天体的椭圆轨迹的运动,粒子的运动轨迹如图乙所示 粒子从N点运动至与N点速度方向相反的点的过程中只有电场力做功,粒子电势能和动能总和不变,有 m＋qφ2＝m＋qφ3 由开普勒第二定律可知粒子在近点和远点的速度满足 v2Δt·r＝v3Δt·R 结合电势φ2＝和φ3＝ 解得R＝6y0 粒子椭圆轨道的半长轴a＝＝4y0 将粒子运动的椭圆轨迹等效转化为半径为r0＝a＝4y0的圆周运动,由牛顿第二定律有 k＝mr0 解得T'＝ 则粒子运动时间t2＝T'＝。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴01 带电粒子在叠加场中的运动 命题预测 2026年高考物理带电粒子在叠加场中的运动命题将呈现"情境创新、思维深度、数学融合"三大特征。情境设置侧重科技应用，如霍尔传感器、磁流体发电、离子推进器等真实装置；考查方式从单一模型向多过程组合转变，强调临界分析、周期性多解及分类讨论能力；数学工具要求提升，涉及参数方程、极坐标及几何极值问题。 备考应构建"场-力-运动-能量"四维分析框架，重点突破三场叠加的等效处理与复杂轨迹拆解。强化"画轨迹-找圆心-定半径-用几何"的标准化解题流程，通过真题训练提炼隐蔽条件挖掘技巧，提升在陌生情境中建模迁移的核心素养。 高频考法 1.带电粒子在叠加场中做直线运动 2.带电粒子在叠加场中做圆周运动 3.带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 考向03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 1.若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2.几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1．如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系，其中轴沿水平方向。在第二象限存在大小为、沿轴正方向的匀强电场，在第四象限存在平行于轴的匀强电场（图中未画方向）和垂直于纸面向内的匀强磁场，一个带电小球沿着第二、第四象限的对角线，从图中点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球一直做匀加速运动 C．第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向 D．小球受到的洛伦兹力是其重力的倍 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题。 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 2．如图所示，平面直角坐标系的第二象限内，抛物线与轴之间有沿轴负方向的匀强电场，在半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为的匀强磁场，圆与轴相切于点，在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度为的匀强磁场，在第一象限内有一平行于轴的荧光屏（图中未画出），在点沿与轴负方向成角的方向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子在圆形磁场中偏转后沿轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点射入第一、四象限内的匀强磁场中，粒子经磁场偏转后恰好垂直打在荧光屏上。已知，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子从点射出的初速度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．粒子在第四象限做圆周运动的轨迹半径为 D．荧光屏离轴的距离为 题型解码 带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡，然后根据物体做匀速圆周运动的规律，洛伦兹力提供向心力，再加上圆周运动的知识作为解题方法。 3.如图所示，在三维坐标系中，的空间内存在沿轴负方向的匀强电场，的空间内存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。有一质量为带电荷量为的粒子从坐标为的点以速率沿轴负方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场区域。一足够大的光屏平行于平面放置在磁场区域中，坐标原点到光屏的距离为。不计粒子的重力，求： (1)电场强度的大小及粒子到达坐标原点时的速度大小； (2)粒子从点运动到光屏的时间； (3)粒子打在光屏上的位置坐标。 题型03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 4.如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；初始速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 B．两板间电场强度的大小为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 D．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 题型解码 若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 1．（2026·山东·一模）如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直。在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成夹角且处于竖直平面内。一质量为、带电量为的小球套在绝缘杆上。初始时给小球一沿杆向下的初速度，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。已知磁感应强度大小为，电场强度大小为，则以下说法正确的是（　　） A．重力势能的减少量总大于电势能的增加量 B．小球的初速度为 C．若小球的初速度为，则运动中克服摩擦力做功为 D．若小球的初速度为，小球将做加速度减小的减速运动，运动中克服摩擦力做功为 2．（2026·云南·模拟预测）如图所示，在竖直面内的平面直角坐标系xOy中，第一、三象限内存在场强大小均为E = 4N/C、方向分别沿y轴负方向和x轴负方向的匀强电场；在第一象限y > h = 6.4m的区域和第三象限内存在磁感应强度大小均为B = 1.0T、方向分别垂直平面向里和垂直平面向外的匀强磁场。现将一个带电荷量为q的油滴从该平面第三象限的P点（图中未标出）以一定的初速度释放，恰好能沿PO做直线运动，并从原点O进入第一象限后，经过一段时间第二次穿过x轴。已知PO与x轴负方向的夹角θ = 45°，g取10m/s2，求油滴： (1)初速度大小； (2)在第一象限运动的时间； (3)第二次穿过x轴时的位置坐标。 3．（2025·贵州·高考真题）如图所示，轴水平向右，轴竖直向上，轴垂直纸面向里（图中未画出），在平面里有竖直向上的匀强电场，在的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场（未知）。有一带正电的粒子，质量为，从坐标原点出发，沿轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中，，点坐标。已知重力加速度为，粒子电荷量为。求： (1)电场强度的大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，求的大小； (3)若将电场改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点沿x轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。 4．（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系中，轴竖直，、A两点间的距离为，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带负电小球从A点以大小，（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的点。已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小以及第三象限内磁场的磁感应强度大小； (2)求小球从通过点（第一次通过轴）到第三次通过轴所用的时间及其在第四象限内运动的过程中到轴的最大距离； (3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从、A两点连线的延长线上的点（图中未画出）以大小的初速度沿方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求两点间的距离应满足的条件。 5．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在坐标系所在空间内存在着方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。一个质量为带电荷量为的粒子从轴上的点以一定的初速度沿轴正方向射出后，在负半轴恰能做匀速直线运动，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在负半轴上运动的速度大小为 B．粒子在区域内运动的最小速率为 C．粒子在区域内运动时，距轴的最大距离为 D．粒子经过正半轴的所有位置中，相邻两个位置之间的距离为 6．（2026·浙江·二模）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平方向的匀强电场，一带电液滴在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，速度大小为v，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。当带电液滴运动到N时，撤去电场，一段时间后粒子经过P点，则（　　） A．液滴可能带负电 B．电场线方向可能水平向左 C．液滴到P点的速度一定与N点相同 D．液滴从N到P的过程中竖直方向上离NP的最大距离为 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为m、带电量为的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求TE应满足的条件以及粒子在板间运动的位移大小。 8．（2026·湖南永州·二模）如图所示，在xOy直角坐标系第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E（未知）。第一象限内分界线OP与x轴夹角为，OP以上的区域I中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B（未知），OP以下的区域Ⅱ中存在大小为2E（未知）、方向竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从（，0）点以初速度沿y轴正向进入第二象限，由（0，）点进入第一象限，后经Q点垂直穿过分界线OP进入区域Ⅱ中，不计空气阻力、粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)第二象限内电场强度E的大小； (2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度B的大小； (3)粒子在区域Ⅱ中运动时，粒子从Q点到第一次运动到最低点的过程中的水平位移大小。 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在坐标系中平面的左侧有电场强度大小为、沿轴负方向的匀强电场，右侧有沿轴正方向的匀强磁场和与轴平行的匀强电场（未画出）。现有一带电粒子从点沿轴正方向以初速度射出，随后粒子经坐标原点进入平面的右侧。粒子在平面的右侧运动的过程中距离平面的最大距离为，且第6次经过轴时（坐标原点处记为第0次）的坐标恰好为（6d，0，0），粒子所受重力不计。求： (1)带电粒子比荷的大小； (2)磁场磁感应强度的大小； (3)平面右侧电场强度的大小和方向。 10.(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,15)如图,在xOy平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一带正电的粒子从M(0,－y0)点射入磁场,速度方向与y轴正方向夹角θ＝30°,从N(0,y0)点射出磁场。已知粒子的电荷量为q(q>0),质量为m,忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小v1和磁场中运动的时间t1; (2)若在xOy平面内某点固定一负点电荷,电荷量为－48q,粒子质量取m＝(k为静电力常量),粒子仍沿(1)中的轨迹从M点运动到N点,求射入磁场的速度大小v2; (3)在(2)问条件下,粒子从N点射出磁场开始,经时间t2速度方向首次与N点速度方向相反,求t2(电荷量为Q的点电荷产生的电场中,取无限远处的电势为0时,与该点电荷距离为r处的电势φ＝k)。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴10 带电粒子在叠加场中的运动 命题预测 2026年高考物理带电粒子在叠加场中的运动命题将呈现"情境创新、思维深度、数学融合"三大特征。情境设置侧重科技应用，如霍尔传感器、磁流体发电、离子推进器等真实装置；考查方式从单一模型向多过程组合转变，强调临界分析、周期性多解及分类讨论能力；数学工具要求提升，涉及参数方程、极坐标及几何极值问题。 备考应构建"场-力-运动-能量"四维分析框架，重点突破三场叠加的等效处理与复杂轨迹拆解。强化"画轨迹-找圆心-定半径-用几何"的标准化解题流程，通过真题训练提炼隐蔽条件挖掘技巧，提升在陌生情境中建模迁移的核心素养。 高频考法 1.带电粒子在叠加场中做直线运动 2.带电粒子在叠加场中做圆周运动 3.带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 知识·技法·思维 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1．如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系，其中轴沿水平方向。在第二象限存在大小为、沿轴正方向的匀强电场，在第四象限存在平行于轴的匀强电场（图中未画方向）和垂直于纸面向内的匀强磁场，一个带电小球沿着第二、第四象限的对角线，从图中点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球一直做匀加速运动 C．第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向 D．小球受到的洛伦兹力是其重力的倍 【答案】CD 【详解】A．带电小球在第二象限做直线运动，小球受到重力和电场力的合力与速度在同一直线上，可知小球在第二象限受到的电场力水平向右，与场强方向相同，所以小球带正电，故A错误； BCD．小球在第二象限所受合力与速度方向相同，做匀加速直线运动，根据几何关系可得 小球进入第四象限后，受到重力、电场力和洛伦兹力作用，小球做匀速直线运动，根据平衡条件可知小球的受力如图所示 则有， 可知第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向；小球受到的洛伦兹力是其重力的倍，故B错误，CD正确。 故选CD。 题型解码 只要带电粒子在叠加场中做直线运动，都满足受力平衡，可利用平衡条件解题。 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 2．如图所示，平面直角坐标系的第二象限内，抛物线与轴之间有沿轴负方向的匀强电场，在半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为的匀强磁场，圆与轴相切于点，在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度为的匀强磁场，在第一象限内有一平行于轴的荧光屏（图中未画出），在点沿与轴负方向成角的方向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子在圆形磁场中偏转后沿轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点射入第一、四象限内的匀强磁场中，粒子经磁场偏转后恰好垂直打在荧光屏上。已知，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子从点射出的初速度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．粒子在第四象限做圆周运动的轨迹半径为 D．荧光屏离轴的距离为 【答案】AB 【详解】A．设圆形有界磁场边界圆的圆心为，粒子做圆周运动的圆心为，粒子从点射出圆形有界磁场，则由于与垂直并将平分，可得 即粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律有解得，故A正确； B．粒子在电场中做类平抛运动，粒子进电场位置的纵坐标横坐标大小 粒子在电场中做类平抛运动，则有， 根据牛顿第二定律有解得，故B正确； CD．未改变粒子射入磁场方向时，设粒子通过坐标原点时的速度大小为，根据动能定理有解得 设粒子进入磁场时速度与轴负方向的夹角为，则 设粒子在第一、四象限内做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有解得 由于粒子垂直打在荧光屏上，因此荧光屏离轴的距离为 故CD错误。故选AB。 题型解码 带电粒子做匀速圆周运动，就是除了洛伦兹力外的其他力合力为零，这里就是重力和电场力平衡，由于物体做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，再挖掘题目中的几何关系，找圆心定半径，就可以解题了。 3.如图所示，在三维坐标系中，的空间内存在沿轴负方向的匀强电场，的空间内存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。有一质量为带电荷量为的粒子从坐标为的点以速率沿轴负方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场区域。一足够大的光屏平行于平面放置在磁场区域中，坐标原点到光屏的距离为。不计粒子的重力，求： (1)电场强度的大小及粒子到达坐标原点时的速度大小； (2)粒子从点运动到光屏的时间； (3)粒子打在光屏上的位置坐标。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有 联立解得 （2）进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，则有 粒子从点到光屏的运动时间为 联立上述结论解得 （3）进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹如图所示 设粒子打在光屏上的点，由洛伦兹力提供向心力，得 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 则 所以粒子打在光屏上的位置坐标为 题型03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 4.如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；初始速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 B．两板间电场强度的大小为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 D．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 【答案】BC 【详解】A．速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故A错误； B．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有 可得两板间电场强度的大小为E=vB，故B正确； C．由题意可知，乙粒子的运动轨迹在A处时粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达到最大且为，则有联立解得，故C正确； D．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 联立解得，故D错误。故选BC。 题型解码 当带电粒子在磁场中受合力不为零时，其运动轨迹为复杂曲线。此时可采用配速法简化分析：将初速度分解为两个分速度，一个分速度对应的洛伦兹力与重力或电场力平衡，使粒子做匀速直线运动；另一个分速度对应的洛伦兹力提供向心力，使粒子做匀速圆周运动。通过这种分解，将复杂曲线运动转化为两个简单运动的合成，便于分析和计算。 1．（2026·山东·一模）如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直。在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成夹角且处于竖直平面内。一质量为、带电量为的小球套在绝缘杆上。初始时给小球一沿杆向下的初速度，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。已知磁感应强度大小为，电场强度大小为，则以下说法正确的是（　　） A．重力势能的减少量总大于电势能的增加量 B．小球的初速度为 C．若小球的初速度为，则运动中克服摩擦力做功为 D．若小球的初速度为，小球将做加速度减小的减速运动，运动中克服摩擦力做功为 【答案】BC 【详解】A．重力势能的减少量总等于电势能的增加量，故A错误； B．带电小球刚开始受重力、电场力、洛伦兹力、弹力（可能有）、摩擦力（可能有）； 电场力 重力与电场力的合力刚好与杆垂直，大小为2mg，如图 洛伦兹力的方向垂直于杆，要使小球做匀速运动，摩擦力应该为0，弹力也应该为0， 即洛伦兹力与重力、电场力的合力相平衡，即 则小球的初速度，故B正确； C．若小球的初速度为，则洛伦兹力小于2mg，杆对球有弹力且 球会受到摩擦力作用，此摩擦力阻碍小球的运动，小球的速度会减小； 当小球的速度减小，杆对球的弹力 增大，球受的摩擦力增大，小球做加速度增大的减速运动，最终小球停止，此过程中重力、电场力和洛伦兹力的合力总与杆垂直，即此过程中这三力的合力对球做的功为零，摩擦阻力对小球做负功，据动能定理 此过程中 即克服阻力做功，故C正确； D．若小球的初速度为，则洛伦兹力大于2mg，杆对球有弹力且 球会受到摩擦力作用，此摩擦力阻碍小球的运动，小球的速度会减小； 当小球的速度减小，杆对球的弹力减小， 球受的摩擦力减小，小球做加速度减小的减速运动； 当小球的速度减小至，小球做匀速运动，此过程中重力、电场力和洛伦兹力的合力总与杆垂直，即此过程中这三力的合力对球做的功为零，摩擦阻力对小球做负功，据动能定理 此过程中 即克服阻力做功，故D错误； 故选BC。 2．（2026·云南·模拟预测）如图所示，在竖直面内的平面直角坐标系xOy中，第一、三象限内存在场强大小均为E = 4N/C、方向分别沿y轴负方向和x轴负方向的匀强电场；在第一象限y > h = 6.4m的区域和第三象限内存在磁感应强度大小均为B = 1.0T、方向分别垂直平面向里和垂直平面向外的匀强磁场。现将一个带电荷量为q的油滴从该平面第三象限的P点（图中未标出）以一定的初速度释放，恰好能沿PO做直线运动，并从原点O进入第一象限后，经过一段时间第二次穿过x轴。已知PO与x轴负方向的夹角θ = 45°，g取10m/s2，求油滴： (1)初速度大小； (2)在第一象限运动的时间； (3)第二次穿过x轴时的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，画出油滴在第三象限的受力情况，如图所示 由平衡条件及几何关系可得 解得 （2）油滴在第三象限中运动时有 所以油滴在第一象限区域做匀速直线运动，区域做匀速圆周运动，设、、的运动时间分别为、、，第一象限区域由几何关系得 由对称性得 第一象限区域， 由牛顿第二定律得 油滴在第一象限运动的总时间 解得 （3）由几何关系及对称性可得，从、运动过程中沿方向的位移 过程中沿轴方向的位移 油滴再次穿过轴时距离坐标原点的距离 解得 即油滴第二次穿过轴时的坐标为 3．（2025·贵州·高考真题）如图所示，轴水平向右，轴竖直向上，轴垂直纸面向里（图中未画出），在平面里有竖直向上的匀强电场，在的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场（未知）。有一带正电的粒子，质量为，从坐标原点出发，沿轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中，，点坐标。已知重力加速度为，粒子电荷量为。求： (1)电场强度的大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，求的大小； (3)若将电场改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点沿x轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则 解得 粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力得 解得粒子运动的轨道半径 根据圆周运动轨迹，由几何关系得 代入数据解得。 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，由几何关系可得 可解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。所以当时，运动时间最短，代入的值解得 根据 联立可得 当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，的大小为。 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，根据 解得粒子受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律有 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得轨迹方程 4．（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系中，轴竖直，、A两点间的距离为，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带负电小球从A点以大小，（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的点。已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小以及第三象限内磁场的磁感应强度大小； (2)求小球从通过点（第一次通过轴）到第三次通过轴所用的时间及其在第四象限内运动的过程中到轴的最大距离； (3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从、A两点连线的延长线上的点（图中未画出）以大小的初速度沿方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求两点间的距离应满足的条件。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）经分析可知，小球的运动轨迹如图所示 且小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有 解得 设小球在第三象限内做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据几何关系有 洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有 解得 （2）小球从点运动到点所用的时间 解得 设小球通过点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为，有 解得 可见小球所受合力的方向与小球通过点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为，有 设小球从点运动到再次通过轴时所用的时间为，有     解得 又 解得 将小球通过点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，小球到轴的距离最大，有 其中 解得 （3）小球的初速度沿水平方向和竖直方向的分量大小分别为     经计算可知 因为 所以小球的运动可分解为大小为、方向水平向左的匀速直线运动和大小为、沿顺时针方向的匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的周期 解得 设小球通过轴时的速度方向恰好第一次水平，则此种情况下小球从点运动到轴的时间 设此种情况下两点间的距离为，有 解得 因此两点间的距离应满足的条件为 5．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在坐标系所在空间内存在着方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。一个质量为带电荷量为的粒子从轴上的点以一定的初速度沿轴正方向射出后，在负半轴恰能做匀速直线运动，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在负半轴上运动的速度大小为 B．粒子在区域内运动的最小速率为 C．粒子在区域内运动时，距轴的最大距离为 D．粒子经过正半轴的所有位置中，相邻两个位置之间的距离为 【答案】ACD 【详解】A．粒子在负半轴上做匀速直线运动，有 解得，故A正确； B．粒子在 区域内运动时，受到的洛伦兹力与电场力不平衡，将粒子的速度分解为沿轴正方向的和，令 解得 则 将粒子的运动分解为以沿轴正方向做匀速直线运动，同时以做逆时针的圆周运动，粒子运动到最高点时，和的速度方向相反，合速度最小为，故B错误； C．以做逆时针的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，粒子做圆周运动的半径 粒子在区域内运动时，距轴的最大距离为，故C正确； D．粒子做圆周运动的周期，经过一个周期，粒子再次回到轴，该过程中以匀速运动的距离 故粒子经过正半轴的所有位置中，相邻两个位置之间的距离，故D正确。 故选ACD。 6．（2026·浙江·二模）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平方向的匀强电场，一带电液滴在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，速度大小为v，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。当带电液滴运动到N时，撤去电场，一段时间后粒子经过P点，则（　　） A．液滴可能带负电 B．电场线方向可能水平向左 C．液滴到P点的速度一定与N点相同 D．液滴从N到P的过程中竖直方向上离NP的最大距离为 【答案】D 【详解】AB．在该复合场中，液滴受到重力、电场力和洛伦兹力三个力的共同作用，因为液滴做匀速直线运动，所以三力的合力为零。假设液滴带正电，根据左手定则，洛伦兹力垂直于速度，方向斜向上。重力竖直向下，若电场线方向向右，则电场力水平向右，反之水平向左。由于MN与水平方向成45°，要使三力平衡，洛伦兹力必须斜向上，且电场力必须水平向右，所以液滴只能带正电，电场方向水平向右，故AB错误； C．在N点撤去电场后，液滴受到重力以及洛伦兹力，由于N和P在同一高度，所以该过程重力不做功，由于洛伦兹力也不做功，所以液滴的速度大小不变，但是由于洛伦兹力改变速度的方向，所以两点的速度方向不一定相同，故C项错误； D．在N点液滴的速度在水平方向为 竖直方向速度为 洛伦兹力在竖直方向上的分力大小为 由之前的分析可知，有 所以洛伦兹力在竖直方向的分量与重力抵消。洛伦兹力在另一个分量提供做匀速圆周运动的向心力，液滴做圆周运动有 解得 由上述分析可知，液滴所做运动为匀速直线运动与圆周运动的合运动，其偏离NP的最大距离为，故D项正确。 故选D。 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为m、带电量为的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求TE应满足的条件以及粒子在板间运动的位移大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，由图可知 解得 粒子在板间运动的水平位移 圆周运动的周期 粒子在板间运动的时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 则粒子在板间运动的位移大小 8．（2026·湖南永州·二模）如图所示，在xOy直角坐标系第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E（未知）。第一象限内分界线OP与x轴夹角为，OP以上的区域I中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B（未知），OP以下的区域Ⅱ中存在大小为2E（未知）、方向竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从（，0）点以初速度沿y轴正向进入第二象限，由（0，）点进入第一象限，后经Q点垂直穿过分界线OP进入区域Ⅱ中，不计空气阻力、粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)第二象限内电场强度E的大小； (2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度B的大小； (3)粒子在区域Ⅱ中运动时，粒子从Q点到第一次运动到最低点的过程中的水平位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从M点到N点过程做类平抛运动，沿y方向有 沿x方向有， 联立解得 （2）粒子经过N点时沿电场方向的分速度 粒子经过N点的速度大小 速度与x轴正向的夹角满足 可得 由几何关系可知 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）取一个水平向右的速度使得其对应的洛伦兹力和竖直向下的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度水平向右做匀速直线运动，粒子做圆周运动的分速度为 解得 由 解得 粒子从Q点第一次运动到最低点的时间 由 解得 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在坐标系中平面的左侧有电场强度大小为、沿轴负方向的匀强电场，右侧有沿轴正方向的匀强磁场和与轴平行的匀强电场（未画出）。现有一带电粒子从点沿轴正方向以初速度射出，随后粒子经坐标原点进入平面的右侧。粒子在平面的右侧运动的过程中距离平面的最大距离为，且第6次经过轴时（坐标原点处记为第0次）的坐标恰好为（6d，0，0），粒子所受重力不计。求： (1)带电粒子比荷的大小； (2)磁场磁感应强度的大小； (3)平面右侧电场强度的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，沿轴负方向 【详解】（1）带电粒子在匀强电场的作用下，由运动至坐标原点，做类平抛运动，所以有沿轴方向，有 沿轴负方向，有 且粒子的加速度为 联立解得粒子的比荷为 （2）粒子到达坐标原点时，沿轴负方向的速度大小为 在洛伦兹力的作用下，粒子沿垂直于轴方向的分运动为匀速圆周运动，有 解得 分析可知粒子距离平面的最大距离即圆周运动的半径 联立各式即可解得磁场的磁感应强度 （3）粒子沿垂直于轴分运动的周期为 故粒子从坐标原点出发到第6次经过轴所经历的时间为 粒子在匀强电场的作用下，沿轴方向做匀变速直线运动 易知，粒子一定做减速运动，故匀强电场一定沿轴负方向，有联立可得 10.(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,15)如图,在xOy平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一带正电的粒子从M(0,－y0)点射入磁场,速度方向与y轴正方向夹角θ＝30°,从N(0,y0)点射出磁场。已知粒子的电荷量为q(q>0),质量为m,忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小v1和磁场中运动的时间t1; (2)若在xOy平面内某点固定一负点电荷,电荷量为－48q,粒子质量取m＝(k为静电力常量),粒子仍沿(1)中的轨迹从M点运动到N点,求射入磁场的速度大小v2; (3)在(2)问条件下,粒子从N点射出磁场开始,经时间t2速度方向首次与N点速度方向相反,求t2(电荷量为Q的点电荷产生的电场中,取无限远处的电势为0时,与该点电荷距离为r处的电势φ＝k)。 【答案】(1)　　(2)　(3) 【详解】(1)粒子从M点运动到N点,运动轨迹如图甲所示 根据几何关系可得rsin θ＝y0 解得粒子运动轨迹半径r＝2y0 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qv1B＝m 解得v1＝ 粒子在磁场中运动的周期T＝ 则粒子在磁场中运动的时间为t1＝T＝。 (2)粒子轨迹不变,仍然做匀速圆周运动,因此点电荷只能位于轨迹圆心O1处,库仑力和洛伦兹力的合力提供向心力,有 qv2B＋k＝m (上式可变换为－qBv2－＝0,获得关于v2的一元二次方程,通过求根公式解得v2的两个值) 将m＝和r＝2y0代入解得 v2＝(另一解v2＝－不合题意,舍去)。 (3)粒子从N点离开,仅在点电荷的作用下运动,粒子所需的向心力m大于点电荷提供的库仑力k,因此粒子离心运动,由库仑力和万有引力的相似性可知粒子做类似行星绕中心天体的椭圆轨迹的运动,粒子的运动轨迹如图乙所示 粒子从N点运动至与N点速度方向相反的点的过程中只有电场力做功,粒子电势能和动能总和不变,有 m＋qφ2＝m＋qφ3 由开普勒第二定律可知粒子在近点和远点的速度满足 v2Δt·r＝v3Δt·R 结合电势φ2＝和φ3＝ 解得R＝6y0 粒子椭圆轨道的半长轴a＝＝4y0 将粒子运动的椭圆轨迹等效转化为半径为r0＝a＝4y0的圆周运动,由牛顿第二定律有 k＝mr0 解得T'＝ 则粒子运动时间t2＝T'＝。 / 学科网（北京）股份有限公司 $