4.4数学归纳法（教学设计）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高二选择性必修第二册第四章第四节《数学归纳法 》教学设计 课程基本信息 主备人 蒋九林 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 人教A版(2019) 教学目标 1. 知识与技能： (1) 理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的两个步骤 (2) 能运用数学归纳法证明与正整数有关的命题。 2.学科素养 （1）数学建模：运用多米诺骨牌建立数学归纳法概念 （2）数学抽象：数学归纳法的原理 （3）逻辑推理：运用数学归纳法证明数学命题 教学重难点 重点：数学归纳法的原理与证明步骤。 难点：归纳递推的证明，从到的项数变化与变形技巧（凑假设，凑结论）。 学情分析 高二学生已掌握不完全归纳法，具备一定逻辑推理能力，但对完全归纳的递推逻辑理解薄弱，易忽略初始值选择(归纳奠基)、归纳假设（归纳递推）等关键点，需结合生活实例与典型例题突破难点。 教学准备 1.多媒体课件（多米诺骨牌动画、例题、练习题）。 2.导学案、课堂练习讲义。 教学过程 （1） 情境导入（5 分钟） 1.生活实例：分享生活中不完全归纳现象（做错一件事被全盘否定、一道题不会认为全不会），指出不完全归纳结论不一定正确。 2.问题探究 · 问题 1：从袋中取 5 个绿球，能否断定袋中全是绿球？（不能，不完全归纳） · 问题 2：多米诺骨牌如何全部倒下？（①第一块倒下；②前一块倒下则后一块倒下） 3.引出课题：类比多米诺骨牌，学习数学归纳法（完全归纳，结论可靠）。 （二）新知讲授（10 分钟） 1. 1.数学归纳法定义： 2. 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 3. （1）归纳奠基：证明当n取第一个值(∈N*)时命题成立 4. （2）归纳递推→以当“n=k(k≥,k∈N*)时命题成立”为条件, 推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 2.作用与步骤：证明与正整数n有关的命题 1. 归纳奠基：证明当()时命题成立； 2. 归纳递推：假设(,​)时成立，推出时成立。 3. 完成两凑：（1）凑假设:(,​)时命题成立 4. （2）凑结论：利用假设，证明当时命题也成立。 3.核心结论：完成两步，命题对从开始的所有正整数成立。 5. 4.数学归纳法的三个关键点 5. (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 5. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. 5. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 递推是核心，必须使用归纳假设。 （三）典例剖析（15 分钟） 1. 应用一：确定初始值 n₀ 例 1：用数学归纳法证明 。 析：由题意，得当n=1时，21<(1+1)2；当n=2时，22<(2+1)2；当n=3时，23<(3+1)2；当n=4时，24<(4+1)2；当n=5时，25<(5+1)2；当n=6时，26>(6+1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n≥n0，n∈N*)时，初始值n0应等于6. 点拨：初始值需通过计算验证确定。 应用二：项数变化问题 2. 答案：B 分析：用数学归纳法证明不等式的过程中， 假设n=k(k∈N*)时不等式成立，左边= 则当n=k+1时，左边= ∴从n=k(k∈N*)到n=k+1，不等式的左边增加了 总结：从 n=k 到 n=k+1，明确等式 或者不等式左右项的增减规律，避免项数判断错误。 点拨：看清结构，准确判断新增项。 巩固训练2：利用数学归纳法证明不等式(n≥2，n∈N*)的过程中，由n=k到n=k+1时，左边增加了（ ） A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 分析：增加项为共2k项.故选D 应用三：数学归纳法的应用 分析：(1)当n=1时，左边=，右边=，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即 那么当n=k+1时，左边= 上式表明当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)知，等式对一切n∈N*均成立. 总结： （1） 证明恒等式：规范书写两步，必须使用归纳假设； （2） 证明不等式：合理放缩，利用归纳假设推导； （3）整除问题：常用添项、减项变形技巧。 跟踪训练3求证:1-+…++…+ (n∈N*). 分析：:①当n=1时,左边=1-,右边=,所以等式成立. ②假设n=k(k∈N*)时,1-+…++…+成立. 那么当n=k+1时, 1-+…++…+ =+…++[] =+…+,所以n=k+1时,等式也成立. 综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立 0. （四）课堂练习（10 分钟） 1. 1.用数学归纳法证明。 2. 2.已知成立推成立，不成立，判断是否成立。 3. 3.写出时，的表达式。 4. 由学生作答 5. 参考答案： 6. 1. 规范证明 7. 2. n=4不成立； 8. 3. （五）布置作业 1. 教材习题 4.4: A 组 1、2 题。 2. 选做：用数学归纳法证明简单整除问题。 板书设计/课堂小结 4.4 数学归纳法 1. 1.原理：类比多米诺骨牌 2.作用与步骤：证明与正整数n有关的命题 3. 归纳奠基：证明当()时命题成立； 4. 归纳递推：假设(,​)时成立，推出时成立。 3.关键点 5. (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 5. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. 5. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 2. 例题解答示范： 例 1：析：由题意，得当n=1时，21<(1+1)2；当n=2时，22<(2+1)2；当n=3时，23<(3+1)2；当n=4时，24<(4+1)2；当n=5时，25<(5+1)2；当n=6时，26>(6+1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n≥n0，n∈N*)时， 例题2：析：用数学归纳法证明不等式的过程中， 假设n=k(k∈N*)时不等式成立，左边= 则当n=k+1时，左边= ∴从n=k(k∈N*)到n=k+1，不等式的左边增加了 3. 例 3：析：(1)当n=1时，左边=，右边=，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即 那么当n=k+1时，左边= 上式表明当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)知，等式对一切n∈N*均成立. 课堂小结： 1.知识：数学归纳法两步（奠基、递推）。递推的核心为两凑（凑假设，凑结论） 2.方法：不完全归纳→数学归纳法，递推证明。（从特殊到一般的认知过程） 3.易错点：初始值、项数变化、必须用归纳假设。 教学反思 1. 成功之处：以多米诺骨牌与生活实例导入，降低理解难度，学生易接受。 2.不足：部分学生在到的变形中仍不熟练，对归纳假设的使用不规范。 3.改进：增加递推变形专项练习，强化步骤书写规范，课后针对性辅导。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $