精品解析：北京市房山区2025-2026学年第二学期学业水平调研（三）高一数学试题

2025-2026学年度第二学期学业水平调研（三） 高一数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求点到原点的距离，再根据三角函数定义求解即可； 【详解】由角终边过点，故点到原点的距离为， 所以，根据三角函数定义，. 2. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案. 【详解】由，可得为第三、第四象限角及轴非正半轴上的角； 由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角． 取交集可得，是第四象限角． 故选：D． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助正切函数性质计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 4. 要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象 A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+）， ∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象， 故选B 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 5. 若向量满足，则（ ） A. B. 中，至少有一个为零向量 C. 共线且同向 D. 共线且反向 【答案】A 【解析】 【分析】借助模长与数量积的关系计算可得，即可得. 【详解】由，则，即， 则，故，故A正确，B、C、D错误. 6. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出该函数最小正周期后，可利用正弦函数零点与周期关系计算即可得. 【详解】该函数的最小正周期，由， 则，即的最小值为. 8. 已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】B 【解析】 【分析】借助降幂公式可得，再结合余弦型函数性质计算即可得. 【详解】， ，故的最小正周期为，即①正确； 当时，， 由在上单调递增， 故在上单调递增，故②正确. 9. 已知中，，点为所在平面内一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标系后可表示出各点坐标，再设，结合可得，则可表示出，计算即可得解. 【详解】以所在直线为轴，建立如下图所示平面直角坐标系， 由，则，， 则、、，设，则， 又，由，故，即， 则，， 则， 即的最小值为. 10. 如图，设是单位圆上的一个定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转，点所转过的弧的长为，弦的长为，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数性质及弧长公式可得，结合正弦函数图象即可判断. 【详解】取中点，设的弧度为， 则，， 故，由正弦函数图象可得，C中图象符合题意. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 若向量满足，且与的夹角为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积公式计算即可得. 【详解】. 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】. 13. 已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】表示出、后，利用共线定理计算可得空一；利用向量垂直性质计算可得空二. 【详解】、； 若三点共线，则、共线，即有，解得； 若，则，解得. 14. 已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________. 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只要找到一组满足题意的角即可. 【详解】因为为第一象限角，且， 取，则且在第一象限， 此时， 故命题为假命题，满足题意， 所以的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 15. 已知是定义在上的奇函数，若恒成立，且当时，，则 ______； ______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由，可得函数是以为一个周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性将所求转化为已知区间即可得解. 【详解】因为， 所以函数是以为一个周期的周期函数， 所以. 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以. 16. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上．给出下面四个结论： ①； ②的最小正周期是6； ③若在上是单调函数，则的最大值为4； ④将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象， 若在上恰有一个最大值，一个最小值，则． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由图象计算可得，，即可得①；利用正弦型函数周期公式计算可得②；利用正弦型函数单调性计算可得③；求出后，利用函数最值计算可得④. 【详解】对①：由，故，又，故，故①错误； 对②：由，则，解得， 则，即的最小正周期是6，故②正确； 对③：由①知：，当时，， 则，解得，故的最大值为4，故③正确； 对④：， 当时，， 由题意可得，解得， 即，故④正确. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助二倍角公式计算可得，借助同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式计算可得； （2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得. 【小问1详解】 ； 由，则， 则； 【小问2详解】 由，，则， 故. 18. 已知向量． （1）求； （2）求； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助数量积的坐标公式计算即可得； （2）借助夹角公式与模长公式计算即可得； （3）借助平面向量坐标运算及数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 故； 【小问3详解】 ，， 由，则， 整理得，解得. 19. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数在区间上的最大值及相应的的值． 【答案】（1）; （2）; （3）最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）先化简解析式为，再计算的值即可； （2）根据计算函数的最小正周期即可； （3）由，计算，进而求出函数在区间上的最大值，再求解相应的的值即可. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 由得， 故函数的最小正周期为； 【小问3详解】 因为，所以，所以，， 所以函数在区间上的最大值为， 此时，又，所以，解得， 故函数在区间上的最大值为，此时. 20. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每60秒转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒（看作点）到水面的距离为（单位：米）（若盛水筒在水面以下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. （1）求的值； （2）求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间； （3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值． 【答案】（1） （2）秒 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数计算即可求解； （2）令，结合正弦函数图象及其性质计算即可得解； （3）由题意计算可得，，由此即可进一步求解. 【小问1详解】 如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一圈需要60秒，所以，故， 在中，， 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，即， 则， 解得， 由，故筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间有秒； 【小问3详解】 设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为， 两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则， 所以 ，， 当，即，时， 高度差的最大值为. 21. 已知函数，给定．定义的“-关联函数”为. （1）求的最大值； （2）已知当时，恒成立．若对于任意都有，求的取值范围； （3）设．若，证明：轴是函数图象的对称轴． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助诱导公式及范围计算即可得； （2）借助两角和与差的正弦公式化简并计算即可得； （3）借助二倍角公式可得或，分类讨论，结合偶函数定义判断即可得. 【小问1详解】 ， 由，故， 即的最大值为； 【小问2详解】 由题意可得， 即， 即有对于任意恒成立， 由时，恒成立，即恒成立， 故需满足，即有， 即的取值范围为； 【小问3详解】 由，则，则或； 若，则， 则， 故，此时轴是函数图象的对称轴； 若，则， 则， 故， 则， 又定义域为，故轴是函数图象的对称轴； 综上所述：轴是函数图象的对称轴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学业水平调研（三） 高一数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象 A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 若向量满足，则（ ） A. B. 中，至少有一个为零向量 C. 共线且同向 D. 共线且反向 6. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 9. 已知中，，点为所在平面内一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，设是单位圆上的一个定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转，点所转过的弧的长为，弦的长为，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 若向量满足，且与的夹角为，则___________． 12. ___________． 13. 已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 14. 已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________. 15. 已知是定义在上的奇函数，若恒成立，且当时，，则 ______； ______． 16. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上．给出下面四个结论： ①； ②的最小正周期是6； ③若在上是单调函数，则的最大值为4； ④将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象， 若在上恰有一个最大值，一个最小值，则． 其中正确结论的序号是___________． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值． 18. 已知向量． （1）求； （2）求； （3）若，求实数的值． 19. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数在区间上的最大值及相应的的值． 20. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每60秒转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒（看作点）到水面的距离为（单位：米）（若盛水筒在水面以下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. （1）求的值； （2）求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间； （3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值． 21. 已知函数，给定．定义的“-关联函数”为. （1）求的最大值； （2）已知当时，恒成立．若对于任意都有，求的取值范围； （3）设．若，证明：轴是函数图象的对称轴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $