精品解析：陕西西安高新第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

2025-2026学年第二学期期中考试2028届高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 使命题“”为假命题的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 8. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数在下列区间（ ）上单调递减． A. B. C. D. 10. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为锐角三角形 11. 正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 13. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____ 14. 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上恰有一个零点时，求的取值范围． 16. 如图，三棱柱中，，，． （1）证明：； （2）若，，求三棱柱的体积． 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． （1）证明：； （2）求证：平面平面； （3）若，求与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且 （1）若实数满足，求实数的取值范围； （2）若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围； （3）设是定义在上的函数，其中，是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试2028届高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得，再由集合的基本运算可得结果. 【详解】解不等式可得，又可以表示为； 所以， 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 如图所示，在中，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 4. 使命题“”为假命题的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题. 由，得，所以. 所以. 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系逐项判断即可得. 【详解】A：由，则或， 当时，与可能平行、相交或异面，但不一定垂直，故A错误； B：由且，则，又，则，故B正确； C：由且，则，又，则，故C错误； D：由，不论是否垂直，与可能平行、相交或异面，但不一定垂直，故D错误. 6. 已知，，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对称函数的性质及作差（作商）法判断即可. 【详解】解：因为，， 对于A：指数函数单调递减，所以，故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：显然，，且， ，，，，，故C错误； 因为在定义域上单调递减，所以，，， 故，故D正确， 故选：D． 7. 求值：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ． 8. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由于，所以，可知，解得， 则，由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数在下列区间（ ）上单调递减． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先将函数解析式写出分段函数型，再画出函数图象，结合图象即可求出函数的单调区间； 【详解】解：因为，函数图象如下所示： 由图可知函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和 故选：AC 10. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为锐角三角形 【答案】BCD 【解析】 【详解】由正弦定理得，解得，故A错误； 由余弦定理得，整理得： ，解得或（舍去）， ，故B正确； 设三角形外接圆半径为，则， 外接圆周长为：，故C正确； ， 最大边为，对应角， 由余弦定理， 故最大角为锐角，则为锐角三角形，故D正确． 11. 正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算向量夹角，判断选项A；利用向量与平面法向量平行证明线面平行判断选项B；利用向量模的公式构造二次方程判断选项C，利用点到平面距离公式求出点面距离，判断选项D． 【详解】已知正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，故， 设夹角为，则， ，故A正确； ， ， ， ， 平面的法向量为， ， ， 平面， 平面，故B正确； ， ，函数开口向上，对称轴为， 当时取得最小值，最小值为， 故C正确； 当时，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， ， 则点到平面的距离为：，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，， 得，， 则在上的投影向量为. 13. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先求得直三棱柱外接球的半径为，再结合半径求得直三棱柱的侧棱，最后根据等体积法求解体积即可. 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为： 14. 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上恰有一个零点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成余弦型函数，从而求得其单调增区间； （2）利用图象变换法则，求得函数的解析式，结合函数性质求得在上的取值情况，得到方程的解的情况，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 函数． 令，得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为将函数的图象向右平移个单位后得到的图象， 所以. 当时，. 当时，单调递增；当时，单调递减. ， 所以当时，直线与函数的图象恰有一个交点， 所以方程，即恰有一个零点， 所以函数有一个零点. 因此，的取值范围是． 16. 如图，三棱柱中，，，． （1）证明：； （2）若，，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明：取AB的中点O，连接、、，因为CA=CB，所以，由于AB=AA1，∠BA A1=600，所以，所以平面，因为平面，所以AB⊥A1C； （2）3 【解析】 【详解】（1）略 （2）有（1）可知，因为为等边三角形，所以，由勾股定理可得，所以平面ABC, 底面积，所以体积 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. 【小问2详解】 因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． （1）证明：； （2）求证：平面平面； （3）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2） 在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； （3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 19. 已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且 （1）若实数满足，求实数的取值范围； （2）若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围； （3）设是定义在上的函数，其中，是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质及函数单调性即可求解； （2）根据（1）的结论及不等式恒成立问题，结合更换主元法及一元一次不等式恒成立问题即可求解； （3）利用奇函数的性质及函数单调性即可求解；结合换元法及一元二次不等式在某区间上恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 ∵函数（，为常数）是定义在上的奇函数. ∴ ∵，∴ 任取且， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以是定义在上的奇函数且是增函数， 由,得， ∴,解得， ∴实数的取值范围是 【小问2详解】 ∵由（1）知，在上的最大值为 ∴不等式对所有的恒成立. ∵，解得， ∴实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 所以， 由指数函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增的奇函数， 且对任意恒成立 ∴ ∵，恒成立， ∴在恒成立. 设，，则不等式对恒成立. ∵或或， ∴或或， ∴实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $