压轴10 带电粒子在叠加场、交变场、立体空间中的运动（压轴专练）（浙江专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴10 带电粒子在复合场、交变场、立体空间中的运动(解析版) 命题预测 带电粒子在叠加场、交变场、立体空间中的运动”作为高考物理压轴题的高频考点，近年来考频高且常以计算题形式呈现，重点考查粒子在复合场中的受力分析、运动轨迹推导及能量转化应用，命题趋势正从平面向立体空间深化、多场叠加向多场组合转换，命题更强化‌科技情境的真实性‌，如质子治疗装置、医用粒子偏移器等工程背景成为题干载体，要求考生能从复杂装置中抽象出物理模型，并通过‌定性判断→临界推导→定量计算‌的三阶逻辑链完成解答。 备考时需夯实基础，掌握叠加场中力的合成、动能定理等核心规律；强化能力，通过分阶段分析、几何推导训练突破多过程、空间运动等难点题型，尤其需突破三大难点：交变场中粒子穿越狭缝的时机匹配、立体空间中三方向运动的独立性处理、以及多场边界处速度的连续性守恒；优化策略，注重审题挖掘隐含条件，灵活选择动能定理、牛顿定律等方法，规范答题步骤，以提升解题效率与准确性。 高频考法 1. 带电粒子在复合场中的运动 2. 带电粒子在交变场中的运动 3. 带电粒子在立体空间中的运动 知识·技法·思维 考向01 复合场的分类 1.磁场力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. ②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒. 2.电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) ①若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. ②若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解. 3.电场力、磁场力、重力并存 ①若三力平衡,带电体做匀速直线运动. ②若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动. ③若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解. 考向02 带电粒子在复合场中的运动几种运动形式 AI仿真互动课件：带电粒子在独立场、组合场与叠加场中的运动（自绘电场与磁场） 网址：http://lab.physicalw.com/expt/2/26/148 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 考向03 等效法在电场、重力场复合场中问题的应用 常见运动 受力特点 分析方法 匀变速直线运动：进入叠加场时v0与F合在同一直线上 等效重力mg'=F合 等效重力加速度g'= 如图 动力学方法、功能关系、能量守恒 类平(斜)抛运动：进入叠加场时v0与F合有一定夹角 运动的分解： 垂直F合方向的匀速直线运动，沿F合方向的匀变速直线运动 在绳或轨道约束下的圆周运动 通过圆心作合力的平行线，找等效最高点或等效最低点 牛顿第二定律、功能关系、能量守恒 其他等效运动 圆锥摆 单摆 考向04 复合场中的摆线问题　动量定理在磁场中的应用 1.摆线 是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2. 配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 3.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为+q。在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx=qvyB ，Fy=qvxB 两个方向分别列动量定理：-qvyBΔt=mΔvx ，qvxBΔt=mΔvy 即-qBΔy=mΔvx ，qBΔx=mΔvy 两边累加得-qBy=mvx1-mvx0 ,qBx=mvy1-mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 考向05 带电粒子在交变场中的运动 1. 题目类型 ①周期性运动：常见于回旋加速器、粒子同步加速器等模型，需分析粒子在交变电场中的多次加速与磁场偏转的同步问题，强调时间参数匹配（如 T电场=T磁场 ） ②动态边界：粒子运动轨迹可能因场强变化呈现周期性缩放或偏移，需结合图像法分析位移-时间或速度-时间关系 2. 解决这类问题的关键 ①周期性分析：明确交变场的变化周期与粒子运动周期的匹配关系，避免粒子“失步” ②分阶段建模：将运动过程划分为多个时间片段（如加速、偏转、再加速），注意相邻阶段速度矢量的衔接与方向变化 考向06 带电粒子在立体空间中的运动 1. 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况： ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． ②空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． 2. 带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解． 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在复合场中的运动 1．（2026·吉林延边·一模）（多选）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；初始速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 B．两板间电场强度的大小为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 D．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 【答案】BC 【详解】A．速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故A错误； B．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有 可得两板间电场强度的大小为E=vB，故B正确； C．由题意可知，乙粒子的运动轨迹在A处时粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达到最大且为，则有 联立解得，故C正确； D．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 联立解得，故D错误。 故选BC。 题型解码 注意区分粒子在复合场中的受力情况，特别是电场力与洛伦兹力的平衡条件（如匀速直线运动时qE=qvB），以及动能定理在分析粒子偏转距离时的应用。 2．（2026·广东茂名·模拟预测）研究带电微粒与挡板多次碰撞的简化图如图所示。竖直面内直角坐标系的第四象限内存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为（未知），、上分别固定竖直挡板1、2，上固定足够长的水平挡板3.挡板1的长度为，上端点固定在点。挡板2的上端点固定在轴上的点，其长度可以调节（即挡板2的下端点可沿移动）。一弹射器从点以初速度（未知），沿轴正方向射出一质量为、电荷量为的带电微粒。当带电微粒与挡板2的右侧面或挡板3碰撞后会被吸附，其余碰撞均视为弹性碰撞（即碰撞前后微粒竖直方向的分速度不变，水平方向的分速度等大反向），所有碰撞时间均极短，挡板厚度均不计，重力加速度大小为。求： (1)若带电微粒射出时的初速度，调节挡板2的长度，使微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，则电场强度E的大小为多少？ (2)若撤去电场，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，则初速度的取值范围为多少？ (3)若电场强度，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，第四象限内再布置一磁感应强度大小为的匀强磁场，初始时，磁场方向垂直于纸面向里，微粒与挡板发生第1次碰撞后磁场反向，之后若前后两次与微粒碰撞的挡板不同，则磁场反向，否则则不变。已知微粒与挡板2的左侧面碰撞2次后与挡板1、3无碰撞，则初速度的取值范围为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）带电微粒在板间做类平抛运动，由牛顿第二定律 竖直方向 水平方向带电微粒以初速度做匀速直线运动，由于微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，所以水平位移，有 解得电场强度 （2）设微粒从射出到第3次碰撞时间为，有 竖直方向做自由落体运动，由几何关系 解得 设微粒从射出到吸附在挡板3的时间为，竖直方向 因为微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，水平方向上由几何关系 解得 又因为，初速度的取值范围为 （3）由于，电场力与重力平衡，所以微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径为，有 解得 情况一：如图甲，根据对称性，若微粒与挡板2的左侧面2次碰撞之间与挡板1有1次碰撞，为确保与挡板2发生2次碰撞，应满足 为确保不与挡板3碰撞，应满足 解得 情况二：如图乙，根据对称性，若微粒与挡板2的左侧面2次碰撞之间与挡板1没有碰撞，为确保与挡板2发生1次碰撞，应满足 为确保不与挡板1碰撞，应满足 为确保与挡板2发生第2次碰撞，应满足 为确保与挡板2不发生第3次碰撞，应满足 为确保不与挡板3碰撞，应满足 综上 解得 题型解码 对于碰撞问题，需结合类平抛运动、自由落体规律及几何关系分析碰撞次数与初速度范围，注意电场力与重力平衡时粒子在磁场中做匀速圆周运动的对称性。 题型02 带电粒子在交变场中的运动 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为m、带电量为的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求TE应满足的条件以及粒子在板间运动的位移大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，由图可知 解得 粒子在板间运动的水平位移 圆周运动的周期 粒子在板间运动的时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 则粒子在板间运动的位移大小 题型解码 交变场中需分段分析粒子运动，注意磁场中圆周运动的周期与电场变化周期的匹配条件，通过轨迹图结合几何关系求解位移和时间。 题型03 带电粒子在立体空间中的运动 4．（2026·浙江嘉兴·二模）如图所示，粒子源能释放初速可视为0的带电粒子，并从进入加速区，沿连线加速后垂直进入偏转区（长×宽×高）底部中心，随后从狭缝进入接收区，最终被可水平移动的收集板接收。收集板与偏转区右侧面形状相同并对齐，狭缝上点与收集板上点等高；加速区竖直方向存在电压可调的匀强电场；偏转区存在匀强磁场Ⅰ，方向可调且垂直于、、、所构成的竖直平面。 (1)若粒子源产生比荷分别为25k和4k的正离子a和b，当加速电压为U时，正离子a恰能垂直击中。求 ①匀强磁场Ⅰ的磁感应强度B大小； ②收集板能收集到两种正离子时，离狭缝的最大水平距离x； ③若在接收区加上磁感应强度大小为磁场Ⅰ的3倍且水平向右的匀强磁场Ⅱ，则收集板向右移动时，a和b落点的连线在收集板上扫过的区域面积S。 (2)若粒子源产生大量电子且收集板用金属钨制成，当高速电子轰击钨核时，动能以一定的比例转化为辐射能并释放X射线。若动能转化比例为100%，就可辐射出能量最大的X射线，但此类X射线辐射强度几乎为0。X射线辐射强度随波长的具体分布如图乙所示（所有被加速的电子都能全部击中收集板），请利用图中数据计算普朗克常量h。 【答案】(1)①；②；③ (2) 【详解】（1）①由题意可知， 根据洛伦兹力提供向心力 根据动能定理 可得 ②由题意可知 根据洛伦兹力提供向心力 根据动能定理 可得 根据图中几何关系可知，   可得 ③由题意可知粒子将做螺旋线运动，在与收集板平行的平面内做圆周运动。根据洛伦兹力提供向心力 可得 根据图中几何关系可知 即 故扫过面积总面积为2个直角三角形面积与1个扇形面积之和，即 （2）由题意可知， 利用能谱图可取加速电压30kV时或20kV时，代入数据可得 题型解码 立体空间中需分解粒子运动（如沿轴线匀速直线运动与垂直轴线圆周运动），结合螺旋线轨迹的半径与周期，利用几何关系（如弦长、扇形面积）计算收集范围。 5．（2026·北京海淀·一模）透射电子显微镜是科研中的重要工具，可以通过电子透镜控制电子束轨迹探测物质的微观结构。图1是电子透镜中电子枪和磁聚焦系统的简化示意图。一隔板将真空管分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，隔板的中心有一小孔，右端为可平移接收板。区域Ⅰ中有电场（图中未画出），区域Ⅱ中有沿轴线向右的匀强磁场。电子经电场加速后，从小孔中心O点沿不同方向进入区域Ⅱ。已知磁感应强度大小为B，电子质量为m、电荷量为e，电子与真空管不发生碰撞。忽略电子间的相互作用。 (1)电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，其与轴线方向有一定夹角的电子运动轨迹的投影可能是下图中的______。（沿轴线从左向右看） A． B． C． D． (2)将进入区域Ⅱ电子的运动沿轴线方向和垂直于轴线方向分解，已知电子沿轴线方向速度分量的大小在范围内（很小），电子沿垂直于轴线方向速度分量的大小在[0，v]范围内。 a．求从O点进入区域Ⅱ的所有电子，在运动过程中到轴线的最远距离s。 b．求从O点进入区域Ⅱ的所有电子，第一次返回轴线的位置到O点的最小距离和最大距离。 c．在（2）a和b的基础上进一步研究，将接收板置于处，设此时电子落到接收板上离轴线的最远距离为s'，求。 【答案】(1)C (2)a．；b．，；c． 【详解】（1）电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，所以轨迹圆过O点，且沿轴线从左向右看，磁场垂直纸面向里，根据左手定则可以判断，AC两图中电子在O点受力向右，应该是顺时针运动。 故选C。 （2）a．进入区域Ⅱ的电子沿垂直于轴线方向受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动。设电子做匀速圆周运动的半径为r，根据 得 当s＝2r时，距离轴线最远得 b．进入区域Ⅱ的电子沿轴线方向不受磁场作用，做匀速直线运动，沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动，周期相同，且每转动一个周期刚好都能回到轴线。设电子做匀速圆周运动的周期为T，根据 得 当电子沿轴线运动的速度为时，距O点距离最近，速度为时，距O点距离最远，根据x＝vt 得， c．当接收板置于处时，速度为的电子刚好回到轴线上处。此时，速度为的电子沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动刚好到达P点，其运动时间为t，还需转动角度回到轴线上处，弦OP即为最远距离s'，如图所示 则 根据（2）b可知 且 由几何关系得 联立得 题型解码 磁聚焦问题中，电子沿轴线方向匀速运动，垂直方向做匀速圆周运动，注意所有电子周期相同，通过速度分量分析最远距离和落点分布。 6．（2026·浙江·二模）如图甲所示，某粒子研究装置的通道长，其横截面abcd、为边长的正方形，通道四壁、、、能将打到壁上的粒子完全吸收并及时导走，以截面abcd中心点O为坐标原点建立空间直角坐标系，x轴平行于ab边，z轴平行于bc边，通道方向沿y轴。在通道内仅x方向和z方向分别加随时间余弦、正弦变化的磁场，规定沿各坐标轴正方向为磁场正方向，如图乙所示。已知粒子源位于坐标原点，能沿y轴正方向持续均匀发射初速度为的带正电粒子，粒子比荷为，在磁场中的运动时间远小于磁场变化的周期，不计粒子的重力与粒子间的相互作用，不考虑磁场变化产生电场的影响。求： (1)时刻发射的粒子在通道内的运动半径大小； (2)时刻发射的粒子能否通过截面，若能，计算粒子到达截面时的坐标；若不能，计算粒子到达通道四壁时的坐标； (3)通道壁吸收的粒子中，在通道内运动的最短时间与最长时间； (4)若仅撤去x方向磁场，长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比。 【答案】(1) (2) (3)， (4)33.33％ 【详解】（1）由乙图可知，时发射的粒子在运动过程中磁感应强度，方向沿x轴正向，粒子在平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子发射后在平面匀速圆周运动，轨迹如图1 图1 平面视图 故沿y轴运动距离为，因此粒子不能通过通道，打到壁上。到达壁时，则有，，根据几何关系可得 因此，粒子到达壁上时坐标为。 （3）粒子在磁场中运动时磁感应强度大小不变，运动周期 如图2所示当粒子运动轨迹在平面内时到达壁上的运动时间最短（半径一定，弦长最短） 图2 空间视图                        图2 平面视图           图3 空间视图 圆弧所对圆心角为127°， 所以 如图3所示运动轨迹与接收屏相切时运动时间最长，粒子运动刚好为半圆，圆弧所对圆心角为180°，所以 （4）所有粒子运动轨迹圆在平面内，根据洛伦兹力提供向心力，则有 半径周期性变化最短半径为 粒子要能通过通道，运动半径需要足够大，刚好能过通道时，轨迹如图4所示                        图4 平面视图 根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 即粒子要能通过通道，磁感应强度需满足 结合随时间的变化规律，由数学三角函数知识可知，时间占磁场变化一个周期的，所以长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比为33.33％。 题型解码 时变磁场中粒子运动半径随时间变化，需通过临界条件（如轨迹与通道壁相切）分析通过通道的粒子比例，注意周期性与对称性的应用。 题型01 带电粒子在复合场中的运动 1．（2026·贵州六盘水·二模）（多选）如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电小球，以速度沿水平方向射入，轨迹如图中虚线所示。设小球在竖直方向上升的最大高度为，第一次运动到最高点所用时间为，重力加速度为。则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由可得 可将小球速度分解为两个水平向右大小的速度，目的是把小球复杂运动分解为简单两个运动，在使用时要注意重力与质量有关，只有一个；洛伦兹力与速度有关，有两个洛伦兹力，如图所示， 由于，图甲中小球分运动为匀速直线运动，图乙中小球分运动为匀速圆周运动，当小球做匀速圆周分运动刚好转过时，对圆周运动的分运动，有 解得 小球有最大高度 周期 小球第一次运动到最高点运动时间，故选BC。 2．（2026·云南·模拟预测）如图所示，在一竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，其中y轴竖直向上，x轴水平向右。空间中0<x≤3d区域分布有电场强度大小相等的匀强电场，其中0<x≤d、2d<x≤3d区域电场方向沿x轴正向，d<x≤2d区域电场方向沿y轴正向；x>d区域还分布有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从点P（，0）静止释放一带正电微粒，该微粒依次经过每个边界的速度大小都相等且速度方向与边界的夹角都为45°。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，求： (1)带电微粒的比荷； (2)微粒由释放至到达边界x=3d所需时间t； (3)在x>3d区域，微粒运动过程中的最小速度vmin。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，在0 < x≤d区域内，微粒做匀加速直线运动，有mg=qE 根据动能定理有 解得 在d < x≤2d区域内，微粒做匀速圆周运动，有 根据几何关系可知 联立解得 （2）在区域内，根据牛顿第二定律有 运动时间为 在区域内，有 其中、 在区域内，由于 则微粒做匀速直线运动，有 微粒到达边界x=3d所需时间 （3）在x>3d区域，微粒运动过程中有最小动能时，微粒运动速度沿水平方向，根据动量定理有 其中 根据动能定理有 联立解得（另解舍去） 3．（2026·江西·模拟预测）密立根油滴实验从诞生至今已有100多年的历史，其通过测量油滴带电量来验证电荷电量的不连续性并测定元电荷数值的方法简单又巧妙，被称作历史上十大最美物理实验之一，密立根也因此获得1923年诺贝尔物理奖。如图甲所示为密立根油滴实验装置示意图。两块水平放置的平行金属板间距离为d，油滴从喷雾器的喷嘴喷出时，由于与喷嘴摩擦而带负电。油滴散布在油滴室中，在重力作用下，少数油滴通过上面金属板的小孔进入平行金属板间，其进入金属板间的初速度可以忽略。实验中，油滴可视为球形，其密度为ρ，空气密度为，重力加速度为g。油滴在平行板电容器两极板间运动时，除受到重力、浮力、电场力之外，还受到空气的黏性阻力。已知黏性阻力f满足（式中r为油滴半径，v为油滴的速度，η是一个已知量，称为黏度） (1)某次实验中，调节两极板间电压为零，通过显微镜观察油滴最终匀速下落的速度为。试推导油滴半径r的表达式（用、η、g、ρ、表示）。 (2)当第（1）问中的油滴达到匀速下落状态后，调节板间电压为U（上极板电势高于下极板），经过一段时间后，通过显微镜观察到油滴以速度匀速上升。试推导油滴所带电荷量大小q的表达式（用U、d、、、η、g、ρ、表示）。 (3)另有一油滴，当两极板间电压为零时油滴以速率v匀速下落，当油滴经过某位置时突然在两极板间加上恒定电压，经过时间t后该油滴第一次回到原来的位置时速率为，试求该油滴所受电场力与重力的比值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）油滴匀速下落时，根据平衡条件，有 其中重力，浮力，黏性阻力 联立可得 解得 （2）油滴匀速上升时，受力平衡 其中，， 联立平衡方程并代入G、，结合第（1 ）问结论 消去浮力与重力的差值项，可得 将代入，整理得 （3）设所求比值为k，即 无电压时油滴匀速下落，受力平衡 可得 黏性阻力特性，即，方向与速度相反 阻力总冲量推导：总位移为0，设向下、向上位移均为x，对应平均速度，，时间，，则 冲量（向上），（向下） 故总阻力冲量 动量定理应用 合外力 动量变化（初速度向下为负，末速度向上为正） 联立消去m得 解得 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某游戏厂商想给儿童设计一款弹珠游戏，他们设计的初步示意图如图所示。整个装置竖直放置，所有小球均带正电（可视为质点），且电荷量均为q，质量均为m，从A点被弹出后，进入半径为r的光滑绝缘四分之一圆弧管道（内径忽略不计），FG右侧有一足够大的复合场区域，匀强电场的电场强度大小为（g为重力加速度），方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，CD段为绝缘弹性挡板（D点恰好在挡板外，小球与挡板碰撞后速度大小不变，方向相反），且，DG是小球离开复合场区域的出口。求： (1)当小球在A点以速率被弹出时，小球在复合场区域中运动的时间； (2)若撤去电场，欲使小球离开C点后做匀速直线运动，那么小球从A点被弹出的速率； (3)不撞击挡板CD直接从出口DG穿出复合场区域的小球，从A点被弹出的速率范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小球在A点以速率被弹出时，从A点到C点的过程满足 则从C点进入复合场区域的速率为 在复合场区域中所受电场力 与重力平衡，只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，根据 匀速圆周运动的半径 由题意可判断出小球在CD板上碰撞一次后从DG离开，恰好经过一个周期，则 （2）若撤去电场，欲使小球从C点离开后做匀速直线运动，小球在复合场区域所受重力应和洛伦兹力平衡，则 从A点到C点的过程满足 联立两式可得 （3）若不撞击挡板CD，由上述分析可知，小球在复合场区域中做匀速圆周运动的半径最小为，最大为，根据 则从C点进入复合场区域的速率范围为 根据动能定理 解得从A点被弹出的速率范围为 5．（2025·贵州·高考真题）如图，建立直角坐标系轴正方向水平向右，轴正方向垂直纸面向里（轴未画出），轴正方向竖直向上。空间中存在方向竖直向上的匀强电场，在的区域I和的区域II中均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小未知。有一带正电荷的粒子，质量为、电荷量为，以速率从点沿轴正方向射出后，在区域、中均可做匀速圆周运动，且恰好能经过轴上的点，点坐标为。已知，，为重力加速度。 (1)求电场强度大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)求粒子从点到点的运动时间最短时区域的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强电场的方向改为沿轴正向，该粒子仍以速率从点沿轴正方向射出，求该粒子的轨迹方程。 【答案】(1) ， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则有 解得 粒子在I区做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 又根据几何关系有 解得 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，根据几何关系有 解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。结合上图分析，可知带电粒子在磁场中至少绕3次才能到达点，环绕的次数越少，用时越短，即时所用的时间最短，则有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，则粒子在I区受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 根据牛顿第二定律有 解得 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得 题型02 带电粒子在交变场中的运动 6．（2026·江西宜春·一模）（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（　　） A．粒子在左侧区域，一直做加速运动 B．各筒长可能满足 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在右侧区域飞行的时间为 【答案】BD 【详解】A．在金属筒内，由于静电屏蔽内部场强为0，此时为匀速直线运动，故A错误； B．若在每个筒内飞行时间均为则可以满足每次在狭缝中均为加速。又在筒中存在 即速度比为 匀速飞行，则长度比为，故B正确； C．从5号筒飞出后动能为， 速度为 势能为，设飞至接收屏时离Q的距离为b，存在 类比天体运动特点还应存在 联立可得 则接收粒子位置应为出口上方处，C错误； D．类比天体运动，飞行周期应与半径为的圆周运动周期一致。则有 可得 则飞行时间为，故D正确。 故选BD。 7．（2026·湖南·三模）某工业级电子束调制系统由电子加速腔、平行板电偏转模块和磁偏转腔依次衔接组成，某原理可简化为如图甲所示装置。加速电场的电压，大量电子由静止开始经加速腔加速后，连续不断地沿水平方向从两板正中间射入电偏转模块；电偏转模块的两块水平平行金属板间距为，其正对区域的长度满足：无电场作用时，电子水平穿过极板的时间为。当极板间加载如图乙所示的周期性脉冲电压（振幅恒为，周期为）时，所有电子均能从极板间射出，随后进入磁偏转腔中水平宽度一定，竖直宽度足够大，方向垂直纸面向里，磁感应强度为的匀强磁场区域，最终全部垂直撞击在竖直安装的荧光接收屏上。已知电子的质量为，电子电荷量大小为，电子所受重力可忽略不计。 (1)求平行板电偏转模块中偏转电场的极板长度； (2)电子在刚穿出两极板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比为多少？ (3)若将偏转磁场的磁感应强度变为（），但磁场宽度不变。为使电子仍能垂直打在竖直放置的荧光屏上，将荧光屏向右移动一段距离，在匀强磁场右边界与荧光屏之间加一段竖直向上的匀强电场进行“速度偏折矫正”。已知电子在该矫正电场中运动的时间为，求该矫正电场的电场强度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理 得 解得 （2）解法一：据分析可得：电子在，，……时刻进入电场时，有最大侧向位移，前时间受电场力匀加速，匀加速侧向位移 后时间不受电场力做匀速运动，匀速运动侧向位移 即 电子在，，……时刻进入电场时，有最小侧向位移，仅在最后时间受电场力匀加速运动 即 解法二：据分析可得，电子在，，……时刻进入电场时，有最小侧向位移，电子在，，……时刻进入电场时，有最大侧向位移 如图所示 据类平抛运动规律：速度反向延长线交于方向位移的中点，据相似三角形相似比可得 （3）电子进入磁偏转腔后，洛伦兹力提供向心力 或 电子在磁场中偏转的圆心角满足 即 得， 当磁感应强度变为时， 即半径变大， 又 所以 题型03 带电粒子在立体空间中的运动 8．（2026·山东菏泽·一模）如图所示长方体框架内，上表面是边长为的正方形，顶点固定两个电荷量均为的点电荷，通过固定在顶点的两段细线悬挂质量、不带电的金属小球，其中，小球在竖直平面内，该平面平行于长方体前表面，平面与夹角为。重力加速度，，。则（　　） A．使小球在点保持静止，在面内所加外力的最小值为 B．小球从图中位置由静止释放的瞬间，绳的拉力大小为 C．小球从图中位置由静止释放，运动到最低点时的速度大小为 D．若小球电荷量，它在平面内做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为 【答案】C 【详解】A．小球静止在P点，绳子拉力沿径向指向e，外力最小需平衡重力的切向分量： 故A错误； B．释放瞬间速度为0，向心力为0，径向合力为零。设单根绳拉力为，每根绳径向分量为 两根总径向分量为，等于重力径向分量： 解得 故B错误； C．从P到最低点，竖直下落高度差 由动能定理： 代入得 解得，即 故C正确； D．由对称性可得，两个点电荷对的库仑斥力合力恒沿径向背离圆心e点，库仑力合力为 重力为 故经过最高点的最小速度可以为0（最高点受到的合力为0） 故D错误。 故选C。 9．（2026·宁夏银川·一模）（多选）在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 【答案】BC 【详解】A．整个长方体空间存在沿x轴正方向的匀强电场E，由ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入的离子向右运动经过Q点，可知离子所受电场力沿x轴正方向，因此离子带正电，A错误； B．离子在空间Ⅰ中做类平抛运动，离子从P点运动到Q点的过程中，由运动学公式有沿z轴方向 沿x轴方向 由牛顿第二定律有 联立解得：，B正确； C．离子由Q点进入空间Ⅱ，在yoz平面以速度v0做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 根据题意可知离子做匀速圆周运动的半径 联立解得，C正确； D．离子在整个长方体空间运动过程中，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由运动学公式有 联立解得 因此该离子离开此区域时，速度与x轴正方向的夹角满足，D错误。 故选BC。 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）（多选）如图（a）所示，真空中的阴极K可连续不断地释放电子（电子初速度忽略不计），电子经加速电压加速后从小孔射出，沿水平正对的平行金属板A、B中轴线射入两极板之间的偏转电场，两极板之间的电场强度随时间的变化关系如图（b）所示，所有电子在两金属板A、B之间的偏转电场中运动的时间均为，在金属板A、B右侧有一竖直固定足够大的荧光屏，荧光屏到金属板A、B右端的距离为。已知电子的质量为，电荷量为，金属板A、B的长度均为，且所有的电子都能打在荧光屏上，不计电子重力及电子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．加速电压 B．金属板A、B之间的距离最小为 C．打在荧光屏上的电子动能大小为 D．荧光屏上有电子击中的区域长度为 【答案】AC 【详解】A．电子经过金属板A、B之间的偏转电场用时为，故电子水平方向的速度大小为 在加速电场中加速有 联立解得，A正确； B．在时刻进入偏转电场的电子偏移量最大，最大为 所以两金属板之间的最小距离为，B错误； C．电子在金属板之间飞行的时间均为，所以电子离开偏转电场时竖直方向的速度大小均相同，为 所以打在荧光屏上的电子动能均为，C正确； D．由于电子离开偏转电场时竖直方向的速度均相同，所以电子离开偏转电场后速度方向均平行，在时刻进入偏转电场的电子，离开偏转电场时的偏移量为 与时刻进入偏转电场的电子偏移量方向相反，故荧光屏上有电子击中的区域长度为，D错误。 故选AC。 11．（2026·广西南宁·二模）（多选）如图所示，立方体空间被水平分成竖直高度均为d的Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区，空间水平长度和宽度足够大，其中Ⅰ区和Ⅲ区的磁感应强度大小均为B0，方向均为水平向右，Ⅱ区的磁感应强度大小未知，方向为竖直向下，现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从Ⅰ区上边界的O点垂直于该边界水平入射，已知粒子速度v为，粒子进入Ⅲ区时的速度与进入Ⅱ区时的速度相同，不考虑粒子的重力，则（　　） A．粒子进入Ⅱ区时的速度与水平方向的夹角为30° B．粒子进入Ⅱ区时的速度与水平方向的夹角为60° C．Ⅱ区的磁感应强度大小可能为 D．粒子通过Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区的总时间一定是 【答案】BD 【详解】AB．粒子进入Ⅰ区磁场后做匀速圆周运动，由 可得 由几何关系可知粒子速度方向与水平方向的夹角为，故A错误，B正确； C．粒子进入Ⅱ区磁场后的运动可分解为水平方向上的圆周运动和竖直方向上的匀速直线运动，则有，，， 解得，，故C错误； D．粒子进入Ⅲ区时的速度与进入Ⅱ区时的速度相同，可知粒子进入Ⅲ区磁场后，速度方向再偏转后垂直地面离开，根据 可知全程运动时间为，故D正确。 故选BD。 12．（多选）自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的对、宽度均为的永磁体组成（）。电子经加速后，从坐标原点射入平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿轴方向前进，同时在方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿轴方向的分量随的变化关系为，电子的质量为、电荷量为。仅考虑对电子的作用，忽略电子质量和速率的变化。下列说法正确的是（　　） A．在到范围内，电子做匀速圆周运动 B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0） C．电子穿过扭摆磁铁的时间为 D．沿方向相距为的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同 【答案】BD 【详解】A．由得，由于是的函数，随增大而变化，故不断变化，因此电子做非匀速圆周运动，故A错误； B．电子运动过程中，磁场不做功，速度不变，则从点（0，0，0）到点（0，a，0）的加速度大小变化和从点（0，a，0）到点（0，2a，0）的加速度大小变化相同；电子的运动具有对称性，从点（0，0，0）到点（0，a，0）电子的运动轨迹与从点（0，a，0）到点（0，2a，0）轨迹对称，但分居两侧，故B正确； C．由于是的函数，随增大而变化，且电子在每一对永磁体组成的磁场区域中的运动不是完整的匀速圆周运动，电子穿过扭摆磁铁的时间不等于，故C错误； D．由磁场可知沿轴方向磁场的变化周期为，和两个电子沿方向的间距相同，在同一时刻，它们在磁场中运动情况相同，因此辐射出的电磁波相位相同，故D正确。 故选BD。 13．（2026·辽宁·二模）如图甲所示，足够宽的金属板M、N水平正对平行放置，金属板长，两板间距，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，两板间加上如图乙所示的周期性电压，带电时M板带正电。时，一个质量、电荷量的带正电粒子，以的速度从距M板2.5cm的A处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间。不计粒子重力，取，计算结果均保留3位有效数字。 (1)求带电粒子在内位移大小； (2)求带电粒子在两板间运动所经历的时间； (3)若撤去两板间所加的电压并将匀强磁场方向变为水平向右（磁感应强度大小不变），在A处放一粒子源，粒子源可在平行纸面的平面内向各个方向发射速率均为的题干中的带电粒子，求带电粒子在两板间运动的最长时间。 【答案】(1)6.28cm/ (2) (3) 【详解】（1）粒子进入电磁场区域后所受电场力 所受洛伦兹力 因为 所以粒子在内做匀速直线运动，其位移 代入数据解得 （2）经分析，粒子在有电场时做匀速直线运动，在无电场时做逆时针方向的匀速圆周运动，设圆周运动半径为，周期为，则 解得， 分析粒子运动过程可知，粒子在内位移 因为此时粒子距板右端 所以粒子从开始到即将从金属板右端离开的运动轨迹，如下图所示 设后，粒子再经离开磁场，内轨迹圆弧对应的圆心角为，则 解得 所以 所以粒子从射入到射出金属板所用时间 （3）经分析，初速度方向与磁场方向夹角为的粒子做等距螺旋运动。在不碰到金属板的粒子中，角越大，粒子在两板间运动的时间越长 设等距螺旋线截面圆的半径为，则能从金属板右端离开的粒子半径满足 设截面圆半径最大的粒子的初速度与磁场方向夹角为，将粒子初速度沿磁场和垂直磁场两个方向分解，有 即 解得 所以 所以粒子在两板间运动的最长时间 代入数据解得 14．（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 15．（2026·江苏·模拟预测）离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为R1和R2的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心O为坐标原点，沿圆筒轴线向右为x轴正方向建立坐标。在和处，垂直于x轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿x轴正向、大小为E的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿x轴正方向、大小为B的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿x轴方向单位长度的离子数），其中k为常量，氙离子质量为M，电子质量为m，电子元电荷量为e，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在x处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没有与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据能量守恒可知从右侧栅极射出时的动能 （2）粒子在筒内垂直于x轴方向匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 粒子运动的周期为 解得 x轴方向上匀加速运动，根据牛顿第二定律可得加速度为 一个周期内的速度变化量 解得 （3）单位时间内刚被电离成的氙离子 微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力 即 解得 16．（2026·湖南岳阳·一模）有一粒子源位于边长为2L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为。质量为m，电荷量为+q的相同带电粒子，忽略粒子重力及粒子间相互作用。求： (1)若只加竖直向下的匀强电场，为使垂直于平面ABCD射出的粒子能打在F点，求所加电场的场强E的大小； (2)若只加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度，粒子运动到正方体侧面的最短时间t； (3)当所加竖直向下的匀强电场时，再在竖直方向加一竖直向下的匀强磁场，使所有粒子都能汇聚于正方体底面的中心O1，求所加磁场的磁感应强度B2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子水平方向匀速直线运动 竖直向下做匀加速直线运动，其中 解得： （2）粒子在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得，周期 粒子从O点运动到侧面的最短时间，对应圆周运动中从O点到侧面垂足P的最短弦长，由几何关系可知，弦长OP=L，圆心角 最短时间。 （3）同时加上电场和磁场，粒子运动可以分解为竖直向下的匀加速直线运动，水平方向的匀速圆周运动。 水平方向洛伦兹力提供向心力 周期 竖直向下匀加速运动， 联立解得 17．（2026·辽宁大连·一模）如图是研究离子在电磁场中加速和偏转的装置。离子首先进入由个金属圆筒组成的直线加速器，在圆筒间的电场中加速，在圆筒中做匀速直线运动，直线加速器接电压大小不变，周期为的交变电压。某正离子从圆筒处由静止加速，以速度沿中心轴线进入圆筒1，继续加速后从点进入由电场和磁场组成的偏转区域，该区域为边长为的立方体，为中点，以为原点建立空间坐标系，、和分别平行轴、轴和轴，加速器中心轴与轴重合。关闭圆筒4以后的加速电场，当仅在沿方向加磁感应强度大小为的匀强磁场时，离子恰好打在点。不计重力，求： (1)圆筒4的长度； (2)该离子的比荷； (3)将一足够大的荧光屏垂直轴放置，屏中心到点的距离为。撤掉偏转区域方向的磁场，同时加上沿方向的匀强电场和匀强磁场，除了偏转区域外，其他空间不存在电场和磁场，求离子打在荧光屏上的位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3)（，，） 【详解】（1）根据题意，设离子的电荷量为，质量为，由动能定理有 设离子进入圆筒4的速度为，由动能定理有 联立解得 根据直线加速器原理可知，圆筒4的长度 （2）根据题意可知，离子进入立方体之后在平面内做匀速圆周运动，恰好从点离开，画出平面图，如图所示 由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 联立解得 （3）根据题意可知，离子进入立方体之后，在平面内做匀速圆周运动，同时沿方向做匀加速直线运动，在平面内做匀速圆周运动的平面图，如图所示 由牛顿第二定律有 解得 则有 解得 离子的运动时间为 在方向上偏移 该过程在轴方向上，做匀加速直线运动，则有， 解得 判断离子未从面上出射偏转区域，则有 离开偏转区域后，离子做匀速直线运动，仍然分解分析。在平面内，运动时间 在方向上偏移量 在方向上运动位移 则有，， 即离子打在荧光屏上的位置的坐标（，，）。 18．（2026·辽宁鞍山·二模）如图甲，在xOy平面内平行y轴的虚线MN左侧有一圆形区域，该区域与x轴和MN分别相切于P点和Q点，其内存在匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外。MN和y轴间的区域存在沿y轴负方向的匀强电场。从P点先后发射出两个相同的带正电的粒子，初速度大小均为，粒子1的速度方向沿着y轴正方向，粒子2速度方向与x轴负方向夹角30°。粒子1在磁场I中偏转后从Q点沿x轴正方向进入电场，并从坐标原点O离开电场，粒子1到O点时，粒子2刚进入电场。已知粒子的质量为m、电荷量为q，匀强电场的电场强度，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求圆形匀强磁场区域的半径； (2)求两个粒子从P点先后发射的时间差； (3)若在除且以外的全部立体空间还存在磁感应强度为的匀强磁场Ⅱ，磁场方向沿y轴负方向，如图乙所示。求粒子2第一次到达y轴时与粒子1的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的半径为r，由 得 由分析可知圆形磁场的半径R与粒子运动的轨道半径r相等，即 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子1在圆形磁场中运动的时间为， 粒子1在电场中从Q到O运动的时间为，竖直方向上的位移 又， 可得 粒子2在磁场中从P点运动到S点，转过角度为150°，所用时间   由分析可知粒子2从S到T作匀速直线运动，速度方向沿x轴正方向，所用的时间为 则两个粒子先后从P点发射的时间差为 （3）粒子1从O点进入时竖直方向的速度为，有 合速度与水平方向和竖直方向的夹角均为45°。粒子1进入匀强磁场Ⅱ以后，将运动分解，在平行于xOy平面上以速率作匀速圆周运动，在竖直方向上以速度向下作匀速直线运动。 当粒子2在匀强电场中从T点运动到y轴的过程中，仍作类平抛运动，与粒子1在匀强电场中运动时间相同，运动时间也为，竖直方向上的位移为 在时间内，粒子1在匀强磁场Ⅱ中作匀速圆周运动的周期为，则 说明粒子2刚到达y轴时，粒子1刚好作匀速圆周运动一周，刚好运动到y轴上，竖直方向上的位移为 此时两个粒子间的距离 19．（2026·吉林长春·二模）如图，在空间直角坐标系中放置一个以轴为中心轴线、半径为的圆柱形绝缘筒，圆筒足够长。筒内空间存在沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为和。质量为电荷量为的电子以初速度在点第一次与筒壁发生碰撞，沿平面且与轴正方向成角。每次碰撞后，电子垂直于筒壁方向的速度分量与碰前该方向速度分量大小相等、方向相反，平行于筒壁的速度分量大小为该方向碰前速度分量大小的一半、方向不变。忽略电子和筒壁的作用时间。 (1)若将电子在两次碰撞之间的运动分解为沿轴方向的直线运动和垂直于轴平面的匀速圆周运动，求圆周的半径。 (2)求从第一次碰撞到第三次碰撞的时间。 (3)求第三次碰撞点的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子垂直于轴方向的速度分量 洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力 解得 （2）粒子做圆周运动的周期 每隔   电子与筒壁碰撞一次，从第一次碰撞到第三次碰撞的时间 （3）电子第一次碰撞前沿轴方向速度 第一次碰后瞬间沿轴方向速度 沿轴方向加速度 第一次碰撞到第二次碰撞过程中沿轴方向位移 第二次碰前瞬间沿轴方向速度 第二次碰后瞬间沿轴方向速度 第二次碰撞后到第三次碰撞过程中沿轴方向位移 第一次碰撞到第三次碰撞过程中沿轴方向位移 联立解得 电子在垂直于轴方向做圆周运动的半径不变，第三次碰撞时 第三次碰撞点的坐标为 20．（2026·浙江·二模）如图所示，垂直纸面的金属薄板M、N与荧光屏平行放置，板N中间有一小孔O。当频率为的光照射板M时有光电子逸出，光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），从小孔O飞出的电子直接进入N板右侧由螺线管线圈产生的匀强磁场中，小孔O与荧光屏中心P点连线为整个装置的中轴线。已知金属薄板M的逸出功为，普朗克常量为h，匀强磁场的磁感应强度大小为B，电子的电荷量为e，质量为m。不考虑电子重力及电子间的相互作用力，求 (1)螺线管内的磁场方向； (2)求光电子从O点射入螺线管时的速度大小范围； (3)从O点射出的电子分布在一个顶角（已知）很小的圆锥内，调整荧光屏到N板的距离，就能使速度大小相同的电子束正好打在荧光屏同一点上，实现磁聚焦。若要实现将最大速度的光电子聚焦在P点，求螺线管的最小半径及N板到荧光屏的最小距离（当很小时，，）。 【答案】(1)水平向右 (2) (3) 【详解】（1）根据左手定则可知磁场方向水平向右 （2）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能 （3）电子进入磁场后，在平行于磁场和垂直于磁场方向的分量大小分别为 电子在沿磁场方向做匀速直线运动，在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动，所以电子的合运动为螺旋线运动。设电子在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，则根据牛顿第二定律有 则螺线管的最小半径 根据匀速圆周运动规律有 电子从开始运动到再次会聚于一点时所用的最小时间为T，电子在一个回旋周期T内沿水平方向前进的距离为 N板到荧光屏的最小距离 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴10 带电粒子在复合场、交变场、立体空间中的运动(答案版) 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在复合场中的运动 1．【答案】BC 2．【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）带电微粒在板间做类平抛运动，由牛顿第二定律 竖直方向 水平方向带电微粒以初速度做匀速直线运动，由于微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，所以水平位移，有 解得电场强度 （2）设微粒从射出到第3次碰撞时间为，有 竖直方向做自由落体运动，由几何关系 解得 设微粒从射出到吸附在挡板3的时间为，竖直方向 因为微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，水平方向上由几何关系 解得 又因为，初速度的取值范围为 （3）由于，电场力与重力平衡，所以微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径为，有 解得 情况一：如图甲，根据对称性，若微粒与挡板2的左侧面2次碰撞之间与挡板1有1次碰撞，为确保与挡板2发生2次碰撞，应满足 为确保不与挡板3碰撞，应满足 解得 情况二：如图乙，根据对称性，若微粒与挡板2的左侧面2次碰撞之间与挡板1没有碰撞，为确保与挡板2发生1次碰撞，应满足 为确保不与挡板1碰撞，应满足 为确保与挡板2发生第2次碰撞，应满足 为确保与挡板2不发生第3次碰撞，应满足 为确保不与挡板3碰撞，应满足 综上 解得 题型02 带电粒子在交变场中的运动 3．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，由图可知 解得 粒子在板间运动的水平位移 圆周运动的周期 粒子在板间运动的时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 则粒子在板间运动的位移大小 题型03 带电粒子在立体空间中的运动 4．【答案】(1)①；②；③ (2) 【详解】（1）①由题意可知， 根据洛伦兹力提供向心力 根据动能定理 可得 ②由题意可知 根据洛伦兹力提供向心力 根据动能定理 可得 根据图中几何关系可知，   可得 ③由题意可知粒子将做螺旋线运动，在与收集板平行的平面内做圆周运动。根据洛伦兹力提供向心力 可得 根据图中几何关系可知 即 故扫过面积总面积为2个直角三角形面积与1个扇形面积之和，即 （2）由题意可知， 利用能谱图可取加速电压30kV时或20kV时，代入数据可得 5．【答案】(1)C (2)a．；b．，；c． 【详解】（1）电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，所以轨迹圆过O点，且沿轴线从左向右看，磁场垂直纸面向里，根据左手定则可以判断，AC两图中电子在O点受力向右，应该是顺时针运动。 故选C。 （2）a．进入区域Ⅱ的电子沿垂直于轴线方向受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动。设电子做匀速圆周运动的半径为r，根据 得 当s＝2r时，距离轴线最远得 b．进入区域Ⅱ的电子沿轴线方向不受磁场作用，做匀速直线运动，沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动，周期相同，且每转动一个周期刚好都能回到轴线。设电子做匀速圆周运动的周期为T，根据 得 当电子沿轴线运动的速度为时，距O点距离最近，速度为时，距O点距离最远，根据x＝vt 得， c．当接收板置于处时，速度为的电子刚好回到轴线上处。此时，速度为的电子沿垂直于轴线方向做匀速圆周运动刚好到达P点，其运动时间为t，还需转动角度回到轴线上处，弦OP即为最远距离s'，如图所示 则 根据（2）b可知 且 由几何关系得 联立得 6．【答案】(1) (2) (3)， (4)33.33％ 【详解】（1）由乙图可知，时发射的粒子在运动过程中磁感应强度，方向沿x轴正向，粒子在平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子发射后在平面匀速圆周运动，轨迹如图1 图1 平面视图 故沿y轴运动距离为，因此粒子不能通过通道，打到壁上。到达壁时，则有，，根据几何关系可得 因此，粒子到达壁上时坐标为。 （3）粒子在磁场中运动时磁感应强度大小不变，运动周期 如图2所示当粒子运动轨迹在平面内时到达壁上的运动时间最短（半径一定，弦长最短） 图2 空间视图                        图2 平面视图           图3 空间视图 圆弧所对圆心角为127°， 所以 如图3所示运动轨迹与接收屏相切时运动时间最长，粒子运动刚好为半圆，圆弧所对圆心角为180°，所以 （4）所有粒子运动轨迹圆在平面内，根据洛伦兹力提供向心力，则有 半径周期性变化最短半径为 粒子要能通过通道，运动半径需要足够大，刚好能过通道时，轨迹如图4所示                        图4 平面视图 根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 即粒子要能通过通道，磁感应强度需满足 结合随时间的变化规律，由数学三角函数知识可知，时间占磁场变化一个周期的，所以长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比为33.33％。 题型01 带电粒子在复合场中的运动 1．【答案】BC 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，在0 < x≤d区域内，微粒做匀加速直线运动，有mg=qE 根据动能定理有 解得 在d < x≤2d区域内，微粒做匀速圆周运动，有 根据几何关系可知 联立解得 （2）在区域内，根据牛顿第二定律有 运动时间为 在区域内，有 其中、 在区域内，由于 则微粒做匀速直线运动，有 微粒到达边界x=3d所需时间 （3）在x>3d区域，微粒运动过程中有最小动能时，微粒运动速度沿水平方向，根据动量定理有 其中 根据动能定理有 联立解得（另解舍去） 3．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）油滴匀速下落时，根据平衡条件，有 其中重力，浮力，黏性阻力 联立可得 解得 （2）油滴匀速上升时，受力平衡 其中，， 联立平衡方程并代入G、，结合第（1 ）问结论 消去浮力与重力的差值项，可得 将代入，整理得 （3）设所求比值为k，即 无电压时油滴匀速下落，受力平衡 可得 黏性阻力特性，即，方向与速度相反 阻力总冲量推导：总位移为0，设向下、向上位移均为x，对应平均速度，，时间，，则 冲量（向上），（向下） 故总阻力冲量 动量定理应用 合外力 动量变化（初速度向下为负，末速度向上为正） 联立消去m得 解得 4．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小球在A点以速率被弹出时，从A点到C点的过程满足 则从C点进入复合场区域的速率为 在复合场区域中所受电场力 与重力平衡，只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，根据 匀速圆周运动的半径 由题意可判断出小球在CD板上碰撞一次后从DG离开，恰好经过一个周期，则 （2）若撤去电场，欲使小球从C点离开后做匀速直线运动，小球在复合场区域所受重力应和洛伦兹力平衡，则 从A点到C点的过程满足 联立两式可得 （3）若不撞击挡板CD，由上述分析可知，小球在复合场区域中做匀速圆周运动的半径最小为，最大为，根据 则从C点进入复合场区域的速率范围为 根据动能定理 解得从A点被弹出的速率范围为 5．【答案】(1) ， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则有 解得 粒子在I区做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 又根据几何关系有 解得 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，根据几何关系有 解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。结合上图分析，可知带电粒子在磁场中至少绕3次才能到达点，环绕的次数越少，用时越短，即时所用的时间最短，则有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，则粒子在I区受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 根据牛顿第二定律有 解得 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得 题型02 带电粒子在交变场中的运动 6．【答案】BD 【详解】A．在金属筒内，由于静电屏蔽内部场强为0，此时为匀速直线运动，故A错误； B．若在每个筒内飞行时间均为则可以满足每次在狭缝中均为加速。又在筒中存在 即速度比为 匀速飞行，则长度比为，故B正确； C．从5号筒飞出后动能为， 速度为 势能为，设飞至接收屏时离Q的距离为b，存在 类比天体运动特点还应存在 联立可得 则接收粒子位置应为出口上方处，C错误； D．类比天体运动，飞行周期应与半径为的圆周运动周期一致。则有 可得 则飞行时间为，故D正确。 故选BD。 7．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理 得 解得 （2）解法一：据分析可得：电子在，，……时刻进入电场时，有最大侧向位移，前时间受电场力匀加速，匀加速侧向位移 后时间不受电场力做匀速运动，匀速运动侧向位移 即 电子在，，……时刻进入电场时，有最小侧向位移，仅在最后时间受电场力匀加速运动 即 解法二：据分析可得，电子在，，……时刻进入电场时，有最小侧向位移，电子在，，……时刻进入电场时，有最大侧向位移 如图所示 据类平抛运动规律：速度反向延长线交于方向位移的中点，据相似三角形相似比可得 （3）电子进入磁偏转腔后，洛伦兹力提供向心力 或 电子在磁场中偏转的圆心角满足 即 得， 当磁感应强度变为时， 即半径变大， 又 所以 题型03 带电粒子在立体空间中的运动 8．【答案】C 9．【答案】BC 10．【答案】AC 11．【答案】BD 12．【答案】BD 13．【答案】(1)6.28cm/ (2) (3) 【详解】（1）粒子进入电磁场区域后所受电场力 所受洛伦兹力 因为 所以粒子在内做匀速直线运动，其位移 代入数据解得 （2）经分析，粒子在有电场时做匀速直线运动，在无电场时做逆时针方向的匀速圆周运动，设圆周运动半径为，周期为，则 解得， 分析粒子运动过程可知，粒子在内位移 因为此时粒子距板右端 所以粒子从开始到即将从金属板右端离开的运动轨迹，如下图所示 设后，粒子再经离开磁场，内轨迹圆弧对应的圆心角为，则 解得 所以 所以粒子从射入到射出金属板所用时间 （3）经分析，初速度方向与磁场方向夹角为的粒子做等距螺旋运动。在不碰到金属板的粒子中，角越大，粒子在两板间运动的时间越长 设等距螺旋线截面圆的半径为，则能从金属板右端离开的粒子半径满足 设截面圆半径最大的粒子的初速度与磁场方向夹角为，将粒子初速度沿磁场和垂直磁场两个方向分解，有 即 解得 所以 所以粒子在两板间运动的最长时间 代入数据解得 14．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 15．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据能量守恒可知从右侧栅极射出时的动能 （2）粒子在筒内垂直于x轴方向匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 粒子运动的周期为 解得 x轴方向上匀加速运动，根据牛顿第二定律可得加速度为 一个周期内的速度变化量 解得 （3）单位时间内刚被电离成的氙离子 微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力 即 解得 16．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子水平方向匀速直线运动 竖直向下做匀加速直线运动，其中 解得： （2）粒子在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得，周期 粒子从O点运动到侧面的最短时间，对应圆周运动中从O点到侧面垂足P的最短弦长，由几何关系可知，弦长OP=L，圆心角 最短时间。 （3）同时加上电场和磁场，粒子运动可以分解为竖直向下的匀加速直线运动，水平方向的匀速圆周运动。 水平方向洛伦兹力提供向心力 周期 竖直向下匀加速运动， 联立解得 17．【答案】(1) (2) (3)（，，） 【详解】（1）根据题意，设离子的电荷量为，质量为，由动能定理有 设离子进入圆筒4的速度为，由动能定理有 联立解得 根据直线加速器原理可知，圆筒4的长度 （2）根据题意可知，离子进入立方体之后在平面内做匀速圆周运动，恰好从点离开，画出平面图，如图所示 由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 联立解得 （3）根据题意可知，离子进入立方体之后，在平面内做匀速圆周运动，同时沿方向做匀加速直线运动，在平面内做匀速圆周运动的平面图，如图所示 由牛顿第二定律有 解得 则有 解得 离子的运动时间为 在方向上偏移 该过程在轴方向上，做匀加速直线运动，则有， 解得 判断离子未从面上出射偏转区域，则有 离开偏转区域后，离子做匀速直线运动，仍然分解分析。在平面内，运动时间 在方向上偏移量 在方向上运动位移 则有，， 即离子打在荧光屏上的位置的坐标（，，）。 18．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的半径为r，由 得 由分析可知圆形磁场的半径R与粒子运动的轨道半径r相等，即 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子1在圆形磁场中运动的时间为， 粒子1在电场中从Q到O运动的时间为，竖直方向上的位移 又， 可得 粒子2在磁场中从P点运动到S点，转过角度为150°，所用时间   由分析可知粒子2从S到T作匀速直线运动，速度方向沿x轴正方向，所用的时间为 则两个粒子先后从P点发射的时间差为 （3）粒子1从O点进入时竖直方向的速度为，有 合速度与水平方向和竖直方向的夹角均为45°。粒子1进入匀强磁场Ⅱ以后，将运动分解，在平行于xOy平面上以速率作匀速圆周运动，在竖直方向上以速度向下作匀速直线运动。 当粒子2在匀强电场中从T点运动到y轴的过程中，仍作类平抛运动，与粒子1在匀强电场中运动时间相同，运动时间也为，竖直方向上的位移为 在时间内，粒子1在匀强磁场Ⅱ中作匀速圆周运动的周期为，则 说明粒子2刚到达y轴时，粒子1刚好作匀速圆周运动一周，刚好运动到y轴上，竖直方向上的位移为 此时两个粒子间的距离 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子垂直于轴方向的速度分量 洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力 解得 （2）粒子做圆周运动的周期 每隔   电子与筒壁碰撞一次，从第一次碰撞到第三次碰撞的时间 （3）电子第一次碰撞前沿轴方向速度 第一次碰后瞬间沿轴方向速度 沿轴方向加速度 第一次碰撞到第二次碰撞过程中沿轴方向位移 第二次碰前瞬间沿轴方向速度 第二次碰后瞬间沿轴方向速度 第二次碰撞后到第三次碰撞过程中沿轴方向位移 第一次碰撞到第三次碰撞过程中沿轴方向位移 联立解得 电子在垂直于轴方向做圆周运动的半径不变，第三次碰撞时 第三次碰撞点的坐标为 20．【答案】(1)水平向右 (2) (3) 【详解】（1）根据左手定则可知磁场方向水平向右 （2）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能 （3）电子进入磁场后，在平行于磁场和垂直于磁场方向的分量大小分别为 电子在沿磁场方向做匀速直线运动，在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动，所以电子的合运动为螺旋线运动。设电子在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，则根据牛顿第二定律有 则螺线管的最小半径 根据匀速圆周运动规律有 电子从开始运动到再次会聚于一点时所用的最小时间为T，电子在一个回旋周期T内沿水平方向前进的距离为 N板到荧光屏的最小距离 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴10 带电粒子在复合场、交变场、立体空间中的运动(原卷版) 命题预测 带电粒子在叠加场、交变场、立体空间中的运动”作为高考物理压轴题的高频考点，近年来考频高且常以计算题形式呈现，重点考查粒子在复合场中的受力分析、运动轨迹推导及能量转化应用，命题趋势正从平面向立体空间深化、多场叠加向多场组合转换，命题更强化‌科技情境的真实性‌，如质子治疗装置、医用粒子偏移器等工程背景成为题干载体，要求考生能从复杂装置中抽象出物理模型，并通过‌定性判断→临界推导→定量计算‌的三阶逻辑链完成解答。 备考时需夯实基础，掌握叠加场中力的合成、动能定理等核心规律；强化能力，通过分阶段分析、几何推导训练突破多过程、空间运动等难点题型，尤其需突破三大难点：交变场中粒子穿越狭缝的时机匹配、立体空间中三方向运动的独立性处理、以及多场边界处速度的连续性守恒；优化策略，注重审题挖掘隐含条件，灵活选择动能定理、牛顿定律等方法，规范答题步骤，以提升解题效率与准确性。 高频考法 1. 带电粒子在复合场中的运动 2. 带电粒子在交变场中的运动 3. 带电粒子在立体空间中的运动 知识·技法·思维 考向01 复合场的分类 1.磁场力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. ②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒. 2.电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) ①若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. ②若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解. 3.电场力、磁场力、重力并存 ①若三力平衡,带电体做匀速直线运动. ②若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动. ③若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解. 考向02 带电粒子在复合场中的运动几种运动形式 AI仿真互动课件：带电粒子在独立场、组合场与叠加场中的运动（自绘电场与磁场） 网址：http://lab.physicalw.com/expt/2/26/148 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 考向03 等效法在电场、重力场复合场中问题的应用 常见运动 受力特点 分析方法 匀变速直线运动：进入叠加场时v0与F合在同一直线上 等效重力mg'=F合 等效重力加速度g'= 如图 动力学方法、功能关系、能量守恒 类平(斜)抛运动：进入叠加场时v0与F合有一定夹角 运动的分解： 垂直F合方向的匀速直线运动，沿F合方向的匀变速直线运动 在绳或轨道约束下的圆周运动 通过圆心作合力的平行线，找等效最高点或等效最低点 牛顿第二定律、功能关系、能量守恒 其他等效运动 圆锥摆 单摆 考向04 复合场中的摆线问题　动量定理在磁场中的应用 1.摆线 是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2. 配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 3.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为+q。在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx=qvyB ，Fy=qvxB 两个方向分别列动量定理：-qvyBΔt=mΔvx ，qvxBΔt=mΔvy 即-qBΔy=mΔvx ，qBΔx=mΔvy 两边累加得-qBy=mvx1-mvx0 ,qBx=mvy1-mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 考向05 带电粒子在交变场中的运动 1. 题目类型 ①周期性运动：常见于回旋加速器、粒子同步加速器等模型，需分析粒子在交变电场中的多次加速与磁场偏转的同步问题，强调时间参数匹配（如 T电场=T磁场 ） ②动态边界：粒子运动轨迹可能因场强变化呈现周期性缩放或偏移，需结合图像法分析位移-时间或速度-时间关系 2. 解决这类问题的关键 ①周期性分析：明确交变场的变化周期与粒子运动周期的匹配关系，避免粒子“失步” ②分阶段建模：将运动过程划分为多个时间片段（如加速、偏转、再加速），注意相邻阶段速度矢量的衔接与方向变化 考向06 带电粒子在立体空间中的运动 1. 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况： ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． ②空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． 2. 带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解． 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在复合场中的运动 1．（2026·吉林延边·一模）（多选）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；初始速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 B．两板间电场强度的大小为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 D．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 题型解码 注意区分粒子在复合场中的受力情况，特别是电场力与洛伦兹力的平衡条件（如匀速直线运动时qE=qvB），以及动能定理在分析粒子偏转距离时的应用。 2．（2026·广东茂名·模拟预测）研究带电微粒与挡板多次碰撞的简化图如图所示。竖直面内直角坐标系的第四象限内存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为（未知），、上分别固定竖直挡板1、2，上固定足够长的水平挡板3.挡板1的长度为，上端点固定在点。挡板2的上端点固定在轴上的点，其长度可以调节（即挡板2的下端点可沿移动）。一弹射器从点以初速度（未知），沿轴正方向射出一质量为、电荷量为的带电微粒。当带电微粒与挡板2的右侧面或挡板3碰撞后会被吸附，其余碰撞均视为弹性碰撞（即碰撞前后微粒竖直方向的分速度不变，水平方向的分速度等大反向），所有碰撞时间均极短，挡板厚度均不计，重力加速度大小为。求： (1)若带电微粒射出时的初速度，调节挡板2的长度，使微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，则电场强度E的大小为多少？ (2)若撤去电场，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，则初速度的取值范围为多少？ (3)若电场强度，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，第四象限内再布置一磁感应强度大小为的匀强磁场，初始时，磁场方向垂直于纸面向里，微粒与挡板发生第1次碰撞后磁场反向，之后若前后两次与微粒碰撞的挡板不同，则磁场反向，否则则不变。已知微粒与挡板2的左侧面碰撞2次后与挡板1、3无碰撞，则初速度的取值范围为多少？ 题型解码 对于碰撞问题，需结合类平抛运动、自由落体规律及几何关系分析碰撞次数与初速度范围，注意电场力与重力平衡时粒子在磁场中做匀速圆周运动的对称性。 题型02 带电粒子在交变场中的运动 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为m、带电量为的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求TE应满足的条件以及粒子在板间运动的位移大小。 题型解码 交变场中需分段分析粒子运动，注意磁场中圆周运动的周期与电场变化周期的匹配条件，通过轨迹图结合几何关系求解位移和时间。 题型03 带电粒子在立体空间中的运动 4．（2026·浙江嘉兴·二模）如图所示，粒子源能释放初速可视为0的带电粒子，并从进入加速区，沿连线加速后垂直进入偏转区（长×宽×高）底部中心，随后从狭缝进入接收区，最终被可水平移动的收集板接收。收集板与偏转区右侧面形状相同并对齐，狭缝上点与收集板上点等高；加速区竖直方向存在电压可调的匀强电场；偏转区存在匀强磁场Ⅰ，方向可调且垂直于、、、所构成的竖直平面。 (1)若粒子源产生比荷分别为25k和4k的正离子a和b，当加速电压为U时，正离子a恰能垂直击中。求 ①匀强磁场Ⅰ的磁感应强度B大小； ②收集板能收集到两种正离子时，离狭缝的最大水平距离x； ③若在接收区加上磁感应强度大小为磁场Ⅰ的3倍且水平向右的匀强磁场Ⅱ，则收集板向右移动时，a和b落点的连线在收集板上扫过的区域面积S。 (2)若粒子源产生大量电子且收集板用金属钨制成，当高速电子轰击钨核时，动能以一定的比例转化为辐射能并释放X射线。若动能转化比例为100%，就可辐射出能量最大的X射线，但此类X射线辐射强度几乎为0。X射线辐射强度随波长的具体分布如图乙所示（所有被加速的电子都能全部击中收集板），请利用图中数据计算普朗克常量h。 题型解码 立体空间中需分解粒子运动（如沿轴线匀速直线运动与垂直轴线圆周运动），结合螺旋线轨迹的半径与周期，利用几何关系（如弦长、扇形面积）计算收集范围。 5．（2026·北京海淀·一模）透射电子显微镜是科研中的重要工具，可以通过电子透镜控制电子束轨迹探测物质的微观结构。图1是电子透镜中电子枪和磁聚焦系统的简化示意图。一隔板将真空管分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，隔板的中心有一小孔，右端为可平移接收板。区域Ⅰ中有电场（图中未画出），区域Ⅱ中有沿轴线向右的匀强磁场。电子经电场加速后，从小孔中心O点沿不同方向进入区域Ⅱ。已知磁感应强度大小为B，电子质量为m、电荷量为e，电子与真空管不发生碰撞。忽略电子间的相互作用。 (1)电子沿不同方向从O点进入区域Ⅱ，其与轴线方向有一定夹角的电子运动轨迹的投影可能是下图中的______。（沿轴线从左向右看） A． B． C． D． (2)将进入区域Ⅱ电子的运动沿轴线方向和垂直于轴线方向分解，已知电子沿轴线方向速度分量的大小在范围内（很小），电子沿垂直于轴线方向速度分量的大小在[0，v]范围内。 a．求从O点进入区域Ⅱ的所有电子，在运动过程中到轴线的最远距离s。 b．求从O点进入区域Ⅱ的所有电子，第一次返回轴线的位置到O点的最小距离和最大距离。 c．在（2）a和b的基础上进一步研究，将接收板置于处，设此时电子落到接收板上离轴线的最远距离为s'，求。 题型解码 磁聚焦问题中，电子沿轴线方向匀速运动，垂直方向做匀速圆周运动，注意所有电子周期相同，通过速度分量分析最远距离和落点分布。 6．（2026·浙江·二模）如图甲所示，某粒子研究装置的通道长，其横截面abcd、为边长的正方形，通道四壁、、、能将打到壁上的粒子完全吸收并及时导走，以截面abcd中心点O为坐标原点建立空间直角坐标系，x轴平行于ab边，z轴平行于bc边，通道方向沿y轴。在通道内仅x方向和z方向分别加随时间余弦、正弦变化的磁场，规定沿各坐标轴正方向为磁场正方向，如图乙所示。已知粒子源位于坐标原点，能沿y轴正方向持续均匀发射初速度为的带正电粒子，粒子比荷为，在磁场中的运动时间远小于磁场变化的周期，不计粒子的重力与粒子间的相互作用，不考虑磁场变化产生电场的影响。求： (1)时刻发射的粒子在通道内的运动半径大小； (2)时刻发射的粒子能否通过截面，若能，计算粒子到达截面时的坐标；若不能，计算粒子到达通道四壁时的坐标； (3)通道壁吸收的粒子中，在通道内运动的最短时间与最长时间； (4)若仅撤去x方向磁场，长时间稳定后通过通道的粒子占总发射粒子数的百分比。 题型解码 时变磁场中粒子运动半径随时间变化，需通过临界条件（如轨迹与通道壁相切）分析通过通道的粒子比例，注意周期性与对称性的应用。 题型01 带电粒子在复合场中的运动 1．（2026·贵州六盘水·二模）（多选）如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电小球，以速度沿水平方向射入，轨迹如图中虚线所示。设小球在竖直方向上升的最大高度为，第一次运动到最高点所用时间为，重力加速度为。则（　　） A． B． C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）如图所示，在一竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，其中y轴竖直向上，x轴水平向右。空间中0<x≤3d区域分布有电场强度大小相等的匀强电场，其中0<x≤d、2d<x≤3d区域电场方向沿x轴正向，d<x≤2d区域电场方向沿y轴正向；x>d区域还分布有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从点P（，0）静止释放一带正电微粒，该微粒依次经过每个边界的速度大小都相等且速度方向与边界的夹角都为45°。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，求： (1)带电微粒的比荷； (2)微粒由释放至到达边界x=3d所需时间t； (3)在x>3d区域，微粒运动过程中的最小速度vmin。 3．（2026·江西·模拟预测）密立根油滴实验从诞生至今已有100多年的历史，其通过测量油滴带电量来验证电荷电量的不连续性并测定元电荷数值的方法简单又巧妙，被称作历史上十大最美物理实验之一，密立根也因此获得1923年诺贝尔物理奖。如图甲所示为密立根油滴实验装置示意图。两块水平放置的平行金属板间距离为d，油滴从喷雾器的喷嘴喷出时，由于与喷嘴摩擦而带负电。油滴散布在油滴室中，在重力作用下，少数油滴通过上面金属板的小孔进入平行金属板间，其进入金属板间的初速度可以忽略。实验中，油滴可视为球形，其密度为ρ，空气密度为，重力加速度为g。油滴在平行板电容器两极板间运动时，除受到重力、浮力、电场力之外，还受到空气的黏性阻力。已知黏性阻力f满足（式中r为油滴半径，v为油滴的速度，η是一个已知量，称为黏度） (1)某次实验中，调节两极板间电压为零，通过显微镜观察油滴最终匀速下落的速度为。试推导油滴半径r的表达式（用、η、g、ρ、表示）。 (2)当第（1）问中的油滴达到匀速下落状态后，调节板间电压为U（上极板电势高于下极板），经过一段时间后，通过显微镜观察到油滴以速度匀速上升。试推导油滴所带电荷量大小q的表达式（用U、d、、、η、g、ρ、表示）。 (3)另有一油滴，当两极板间电压为零时油滴以速率v匀速下落，当油滴经过某位置时突然在两极板间加上恒定电压，经过时间t后该油滴第一次回到原来的位置时速率为，试求该油滴所受电场力与重力的比值。 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某游戏厂商想给儿童设计一款弹珠游戏，他们设计的初步示意图如图所示。整个装置竖直放置，所有小球均带正电（可视为质点），且电荷量均为q，质量均为m，从A点被弹出后，进入半径为r的光滑绝缘四分之一圆弧管道（内径忽略不计），FG右侧有一足够大的复合场区域，匀强电场的电场强度大小为（g为重力加速度），方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，CD段为绝缘弹性挡板（D点恰好在挡板外，小球与挡板碰撞后速度大小不变，方向相反），且，DG是小球离开复合场区域的出口。求： (1)当小球在A点以速率被弹出时，小球在复合场区域中运动的时间； (2)若撤去电场，欲使小球离开C点后做匀速直线运动，那么小球从A点被弹出的速率； (3)不撞击挡板CD直接从出口DG穿出复合场区域的小球，从A点被弹出的速率范围。 5．（2025·贵州·高考真题）如图，建立直角坐标系轴正方向水平向右，轴正方向垂直纸面向里（轴未画出），轴正方向竖直向上。空间中存在方向竖直向上的匀强电场，在的区域I和的区域II中均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小未知。有一带正电荷的粒子，质量为、电荷量为，以速率从点沿轴正方向射出后，在区域、中均可做匀速圆周运动，且恰好能经过轴上的点，点坐标为。已知，，为重力加速度。 (1)求电场强度大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)求粒子从点到点的运动时间最短时区域的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强电场的方向改为沿轴正向，该粒子仍以速率从点沿轴正方向射出，求该粒子的轨迹方程。 题型02 带电粒子在交变场中的运动 6．（2026·江西宜春·一模）（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（　　） A．粒子在左侧区域，一直做加速运动 B．各筒长可能满足 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在右侧区域飞行的时间为 7．（2026·湖南·三模）某工业级电子束调制系统由电子加速腔、平行板电偏转模块和磁偏转腔依次衔接组成，某原理可简化为如图甲所示装置。加速电场的电压，大量电子由静止开始经加速腔加速后，连续不断地沿水平方向从两板正中间射入电偏转模块；电偏转模块的两块水平平行金属板间距为，其正对区域的长度满足：无电场作用时，电子水平穿过极板的时间为。当极板间加载如图乙所示的周期性脉冲电压（振幅恒为，周期为）时，所有电子均能从极板间射出，随后进入磁偏转腔中水平宽度一定，竖直宽度足够大，方向垂直纸面向里，磁感应强度为的匀强磁场区域，最终全部垂直撞击在竖直安装的荧光接收屏上。已知电子的质量为，电子电荷量大小为，电子所受重力可忽略不计。 (1)求平行板电偏转模块中偏转电场的极板长度； (2)电子在刚穿出两极板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比为多少？ (3)若将偏转磁场的磁感应强度变为（），但磁场宽度不变。为使电子仍能垂直打在竖直放置的荧光屏上，将荧光屏向右移动一段距离，在匀强磁场右边界与荧光屏之间加一段竖直向上的匀强电场进行“速度偏折矫正”。已知电子在该矫正电场中运动的时间为，求该矫正电场的电场强度的大小。 题型03 带电粒子在立体空间中的运动 8．（2026·山东菏泽·一模）如图所示长方体框架内，上表面是边长为的正方形，顶点固定两个电荷量均为的点电荷，通过固定在顶点的两段细线悬挂质量、不带电的金属小球，其中，小球在竖直平面内，该平面平行于长方体前表面，平面与夹角为。重力加速度，，。则（　　） A．使小球在点保持静止，在面内所加外力的最小值为 B．小球从图中位置由静止释放的瞬间，绳的拉力大小为 C．小球从图中位置由静止释放，运动到最低点时的速度大小为 D．若小球电荷量，它在平面内做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为 9．（2026·宁夏银川·一模）（多选）在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）（多选）如图（a）所示，真空中的阴极K可连续不断地释放电子（电子初速度忽略不计），电子经加速电压加速后从小孔射出，沿水平正对的平行金属板A、B中轴线射入两极板之间的偏转电场，两极板之间的电场强度随时间的变化关系如图（b）所示，所有电子在两金属板A、B之间的偏转电场中运动的时间均为，在金属板A、B右侧有一竖直固定足够大的荧光屏，荧光屏到金属板A、B右端的距离为。已知电子的质量为，电荷量为，金属板A、B的长度均为，且所有的电子都能打在荧光屏上，不计电子重力及电子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．加速电压 B．金属板A、B之间的距离最小为 C．打在荧光屏上的电子动能大小为 D．荧光屏上有电子击中的区域长度为 11．（2026·广西南宁·二模）（多选）如图所示，立方体空间被水平分成竖直高度均为d的Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区，空间水平长度和宽度足够大，其中Ⅰ区和Ⅲ区的磁感应强度大小均为B0，方向均为水平向右，Ⅱ区的磁感应强度大小未知，方向为竖直向下，现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从Ⅰ区上边界的O点垂直于该边界水平入射，已知粒子速度v为，粒子进入Ⅲ区时的速度与进入Ⅱ区时的速度相同，不考虑粒子的重力，则（　　） A．粒子进入Ⅱ区时的速度与水平方向的夹角为30° B．粒子进入Ⅱ区时的速度与水平方向的夹角为60° C．Ⅱ区的磁感应强度大小可能为 D．粒子通过Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区的总时间一定是 12．（多选）自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的对、宽度均为的永磁体组成（）。电子经加速后，从坐标原点射入平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿轴方向前进，同时在方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿轴方向的分量随的变化关系为，电子的质量为、电荷量为。仅考虑对电子的作用，忽略电子质量和速率的变化。下列说法正确的是（　　） A．在到范围内，电子做匀速圆周运动 B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0） C．电子穿过扭摆磁铁的时间为 D．沿方向相距为的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同 13．（2026·辽宁·二模）如图甲所示，足够宽的金属板M、N水平正对平行放置，金属板长，两板间距，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，两板间加上如图乙所示的周期性电压，带电时M板带正电。时，一个质量、电荷量的带正电粒子，以的速度从距M板2.5cm的A处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间。不计粒子重力，取，计算结果均保留3位有效数字。 (1)求带电粒子在内位移大小； (2)求带电粒子在两板间运动所经历的时间； (3)若撤去两板间所加的电压并将匀强磁场方向变为水平向右（磁感应强度大小不变），在A处放一粒子源，粒子源可在平行纸面的平面内向各个方向发射速率均为的题干中的带电粒子，求带电粒子在两板间运动的最长时间。 14．（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 15．（2026·江苏·模拟预测）离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为R1和R2的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心O为坐标原点，沿圆筒轴线向右为x轴正方向建立坐标。在和处，垂直于x轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿x轴正向、大小为E的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿x轴正方向、大小为B的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿x轴方向单位长度的离子数），其中k为常量，氙离子质量为M，电子质量为m，电子元电荷量为e，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在x处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没有与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式。 16．（2026·湖南岳阳·一模）有一粒子源位于边长为2L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为。质量为m，电荷量为+q的相同带电粒子，忽略粒子重力及粒子间相互作用。求： (1)若只加竖直向下的匀强电场，为使垂直于平面ABCD射出的粒子能打在F点，求所加电场的场强E的大小； (2)若只加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度，粒子运动到正方体侧面的最短时间t； (3)当所加竖直向下的匀强电场时，再在竖直方向加一竖直向下的匀强磁场，使所有粒子都能汇聚于正方体底面的中心O1，求所加磁场的磁感应强度B2。 17．（2026·辽宁大连·一模）如图是研究离子在电磁场中加速和偏转的装置。离子首先进入由个金属圆筒组成的直线加速器，在圆筒间的电场中加速，在圆筒中做匀速直线运动，直线加速器接电压大小不变，周期为的交变电压。某正离子从圆筒处由静止加速，以速度沿中心轴线进入圆筒1，继续加速后从点进入由电场和磁场组成的偏转区域，该区域为边长为的立方体，为中点，以为原点建立空间坐标系，、和分别平行轴、轴和轴，加速器中心轴与轴重合。关闭圆筒4以后的加速电场，当仅在沿方向加磁感应强度大小为的匀强磁场时，离子恰好打在点。不计重力，求： (1)圆筒4的长度； (2)该离子的比荷； (3)将一足够大的荧光屏垂直轴放置，屏中心到点的距离为。撤掉偏转区域方向的磁场，同时加上沿方向的匀强电场和匀强磁场，除了偏转区域外，其他空间不存在电场和磁场，求离子打在荧光屏上的位置的坐标。 18．（2026·辽宁鞍山·二模）如图甲，在xOy平面内平行y轴的虚线MN左侧有一圆形区域，该区域与x轴和MN分别相切于P点和Q点，其内存在匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外。MN和y轴间的区域存在沿y轴负方向的匀强电场。从P点先后发射出两个相同的带正电的粒子，初速度大小均为，粒子1的速度方向沿着y轴正方向，粒子2速度方向与x轴负方向夹角30°。粒子1在磁场I中偏转后从Q点沿x轴正方向进入电场，并从坐标原点O离开电场，粒子1到O点时，粒子2刚进入电场。已知粒子的质量为m、电荷量为q，匀强电场的电场强度，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求圆形匀强磁场区域的半径； (2)求两个粒子从P点先后发射的时间差； (3)若在除且以外的全部立体空间还存在磁感应强度为的匀强磁场Ⅱ，磁场方向沿y轴负方向，如图乙所示。求粒子2第一次到达y轴时与粒子1的距离。 19．（2026·吉林长春·二模）如图，在空间直角坐标系中放置一个以轴为中心轴线、半径为的圆柱形绝缘筒，圆筒足够长。筒内空间存在沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为和。质量为电荷量为的电子以初速度在点第一次与筒壁发生碰撞，沿平面且与轴正方向成角。每次碰撞后，电子垂直于筒壁方向的速度分量与碰前该方向速度分量大小相等、方向相反，平行于筒壁的速度分量大小为该方向碰前速度分量大小的一半、方向不变。忽略电子和筒壁的作用时间。 (1)若将电子在两次碰撞之间的运动分解为沿轴方向的直线运动和垂直于轴平面的匀速圆周运动，求圆周的半径。 (2)求从第一次碰撞到第三次碰撞的时间。 (3)求第三次碰撞点的坐标。 20．（2026·浙江·二模）如图所示，垂直纸面的金属薄板M、N与荧光屏平行放置，板N中间有一小孔O。当频率为的光照射板M时有光电子逸出，光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），从小孔O飞出的电子直接进入N板右侧由螺线管线圈产生的匀强磁场中，小孔O与荧光屏中心P点连线为整个装置的中轴线。已知金属薄板M的逸出功为，普朗克常量为h，匀强磁场的磁感应强度大小为B，电子的电荷量为e，质量为m。不考虑电子重力及电子间的相互作用力，求 (1)螺线管内的磁场方向； (2)求光电子从O点射入螺线管时的速度大小范围； (3)从O点射出的电子分布在一个顶角（已知）很小的圆锥内，调整荧光屏到N板的距离，就能使速度大小相同的电子束正好打在荧光屏同一点上，实现磁聚焦。若要实现将最大速度的光电子聚焦在P点，求螺线管的最小半径及N板到荧光屏的最小距离（当很小时，，）。 34 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $