压轴09 带电粒子在独立场、组合场中的运动（压轴专练）（浙江专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴09 带电粒子在独立场、组合场中的运动(解析版) 命题预测 带电粒子在独立场和组合场中的运动是高考物理的核心高频考点，历年考频较高，尤其在压轴题中占比较大，涉及电场中的类平抛运动和磁场中的匀速圆周运动，组合场则常见“电场加速后磁场偏转”模型，强调几何约束、临界条件分析和时间计算。命题趋势正从传统二维匀强场向‌三维空间叠加场‌（如电场x、磁场y、重力场z）和‌非匀强、时变场‌（如方波电场、线性磁感应强度）演进，情境嵌入深度增强，紧密关联“天舟六号”粒子屏蔽、CR450电磁制动等国家科技工程，体现“无情境不命题”的导向。 备考需构建“‌三步建模法‌”：受力分析→轨迹分段→几何建模，以基础模型为核心，分阶段强化独立场和组合场的分段分析，刻意训练几何作图与临界问题，聚焦实际应用转化。 高频考法 1. 带电粒子在电场中的运动分析 2. 带电粒子在磁场中的运动分析 3. 带电粒子在组合场中的运动分析 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在电场中的常见运动及分析方法 1. 带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理 基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。 2. 带电粒子在电场中的常见运动及分析方法 常见运动 受力特点 分析方法 变速直线运动 合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上 1.动力学观点：a=，E=，v2-=2ad，适用于匀强电场 2.功能观点：W=qU=mv2-m，匀强和非匀强电场都适用 带电粒子在匀强电场中的偏转 进入电场时v0⊥E，粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角：tan θ==== 侧移距离：y0==，y=y0+Ltan θ=(+L)tan θ 粒子斜射入电场，粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直电场方向做匀速直线运动：x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动：y=v0tcos θ-t2 考向02 带电粒子在磁场中的运动 1. 带电粒子在磁场中运动 基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本公式 qvB=m，T= 重要结论 r=，T= 2. 带电粒子在有界磁场中的运动 1）解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本 思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 方法一：由公式求，Bqv=，得半径r= 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 方法一：由圆心角求，t=·T，其中轨迹对应的圆心角等于速度方向的偏向角 方法二：由弧长求，t= 图例 说明 P、M点速度垂线的交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点 S点的速度垂线与切点法线的交点 常用解三角形法，（如图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝ （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α 3. 五个典型模型 1）直线边界：粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)，轨迹关于入射点和出射点连线的中垂线对称，L=2rsin θ2。 2）圆形边界： ①沿半径方向射入圆形磁场的粒子必沿半径方向射出磁场(速度方向延长线过圆心，如图乙，两侧关于两圆心连线OO'对称)。 ②射入磁场的速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场的方向与半径的夹角也为θ，轨迹关于两圆心连线OO'对称，如图丙。 3）动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 4）磁聚焦与磁发散 若大量相同的带电粒子以相同的速度相互平行进入圆形区域的磁场，且带电粒子运动半径等于磁场圆半径(R=r)，这群粒子必从同一点离开磁场，即“磁聚焦”；反之，一群相同的粒子从同一点以相同的速度大小沿不同的方向进入磁场(R=r)，在离开磁场时的速度方向一定相互平行，即“磁发散”。 5）有阻力的螺旋运动 AI仿真互动课件：有阻力的带电粒子在磁场中运动（阻尼螺旋线） 网址：http://lab.physicalw.com/expt/2/26/131 考向03 带电粒子在组合场中的运动 AI仿真互动课件：带电粒子在独立场、组合场与叠加场中的运动（自绘电场与磁场） 网址：http://lab.physicalw.com/expt/2/26/148 1. 组合场的三种常见情况 1）电场与磁场分别位于不重叠的区域内； 2）电场、磁场在同一区域交替出现； 3）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内。 2. 带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在电场中的运动分析 1．（2026·吉林延边·一模）如图所示，是水平绝缘的传送带，左端是光滑绝缘水平面，在面上有水平向右的匀强电场，B处虚线是电场的边界线。右端是绝缘水平面，是光滑绝缘竖直半圆轨道的直径，半圆轨道的半径，半圆轨道所在的空间有匀强电场，与竖直方向的夹角。在D位置静止放置一个质量不带电的小物块Q，在面上的M位置静止释放一个带正电小物块P，P的电荷量，质量，小物块P与传送带和面之间的动摩擦因数都是，若小物块P能与Q碰撞，且碰后粘为一体。已知与之间的距离相等，都为，两个小物块都可以看成质点，重力加速度。试回答： (1)若传送带始终静止，释放点M距B点至少多远小物块P才能与Q碰撞？ (2)若传送带始终静止，释放点M到B点距离，小物块P与Q碰撞后在半圆轨道上对轨道的最大压力是多少？ (3)若传送带顺时针转动的速度，释放点M距B点的距离在什么范围内小物块P才能与Q碰撞？ 【答案】(1)0.1m (2)12N (3)x≥0.1m 【详解】（1）若传送带始终静止，若要使小物块P能与Q碰撞，则由能量关系 解得 （2）若传送带始终静止，释放点M到B点距离，则小物块P与Q碰撞前，由动能定理 解得 碰撞过程由动量守恒 解得 因，可知电场力与重力成120°角，两力的合力大小为F=2N，方向与竖直方向夹角为60°斜向下；即速度最大的位置与圆心连线与竖直方向的夹角为60°，从D点到该位置由动能定理 由牛顿第二定律 解得FN=12N 根据牛顿第三定律，小物块P与Q碰撞后在半圆轨道上对轨道的最大压力是12N； （3）要想能到达D点，则C点的最小速度满足关系 可知，则物块将一直在传送带上做减速运动，则由能量关系 解得x=0.1m 则要使小物块P能与Q碰撞，释放点M距B点的距离应该满足x≥0.1m。 题型解码 注意分阶段分析：电场加速、传送带摩擦、碰撞动量守恒、圆周运动向心力分析。关键在于判断临界条件（如最小释放距离、最大压力位置在合力方向最低点）。 2．如图所示，直角坐标系平面内，第三和第四象限对称存在以O为圆心、半径分别为d和的两圆弧栅极区域内存在方向均指向O点的径向电场，圆弧圆心角为。N上均匀分布带正电的粒子，可均匀持续地由静止发射出来，任一位置上的粒子经电场加速后都会从坐标原点O进入第一和第二象限。第一象限和第二象限分别存在连续两层紧邻的匀强电场，每层的宽度均为d，电场强度大小均为E，方向沿水平方向交替变化（，电场强度方向沿x轴负向；，电场强度方向沿x轴正向；，电场强度方向沿x轴负向；，电场强度方向沿x轴正向），分界线上恰好无电场。已知N板释放的粒子质量为m、电荷量为，N、M间电势差，粒子穿过栅极M时速度方向不变、且无数量损耗和能量损耗。粒子只在纸面内运动。不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求： (1)粒子从N出发，经电场加速后到达坐标原点O时的速度大小； (2)通过O点后，还能再次穿过y轴的粒子数与栅极N发射出的粒子总数之比； (3)通过坐标原点O时速度方向与x轴正方向夹角为的粒子，在第一象限电场中运动所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从N到O的过程中，电场力做功等于动能变化， 间电势差， 解得 （2）粒子进入第一、二象限时，速度方向与y轴正方向夹角设为，粒子沿y轴方向做匀速运动， 粒子沿x轴方向做匀减速运动，初速度 粒子沿x轴方向的加速度为 若能够再次穿过y轴，要求 代入数据，解得 所以满足条件的范围为， 由于粒子均匀分布，所以占比 （3）进入第一象限时与x轴正方向夹角为时，粒子沿x轴方向初速度大小为 沿x轴方向加速度大小依然为 在第一层区域，电场沿x轴负向，粒子做减速运动，有 解得 离开第一层电场的速度 在第二层区域内，电场沿x轴正向，因为粒子穿越第一层时电场力做负功，，穿越第二层过程电场力做正功，，因此粒子穿越第二层时的速度与进入第一层时的速度相同，可知粒子穿越第二层的时间 粒子穿越第一象限电场的总时间 题型解码 利用动能定理求进入O点速度；关注粒子在交替电场中运动的对称性（如进出每层电场时x方向速度大小不变），通过y方向匀速运动计算时间。 题型02 带电粒子在磁场中的运动分析 3．（2026·四川南充·二模）（多选）某质谱仪简化结构如图，在平面的区域存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在轴处放置照相底片，大量a、b两种离子（其初速度视为零）经电压为的加速电场加速后，由坐标原点开始，在轴左右两侧与轴均成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为和，，不考虑离子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中的速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】CD 【详解】A．a离子加速过程，根据动能定理有 解得，故A错误； B．b离子加速时，根据动能定理有 解得 离子在磁场中运动，根据牛顿第二定律，有 解得离子在磁场中运动的轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb，沿与y轴成θ角入射时，水平位移为x=2rbcos θ 亮线长度为Δx=2rb（1-cos θ） 代入cos θ=0.9 解得亮线长度，故B错误； C．由前面分析可知，解得a离子轨道半径 离子沿与y轴成θ角入射时，打在x轴上的水平位移为2racos θ，沿y轴入射时，水平位移为2ra（θ=0，cosθ=1），a离子的最小水平位移（沿θ角入射） 同理b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 可得两种离子的最近距离为Δxmin=xamin-xbmax 联立解得 ，故C正确； D．要完全分辨，需满足xamin＞xbmax 即 解得，故D正确。 故选CD。 题型解码 明确离子在加速电场中动能定理求速度，在磁场中由几何关系确定亮线范围；注意分辨条件涉及半径差异与电压波动的关系。 4．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图甲，真空圆柱微管道直径，水平线以下有垂直纸面向外的磁感应强度大小为的匀强磁场。电子流以速率、在纸面内与轴中心线成角射向管壁O点。左侧管上端M点入射的电子与轴中心线成角度，在O点反弹后（弹性碰撞）恰好不与左侧管壁MN发生碰撞。电子电荷量为，质量为，不计重力和各电子间相互作用。 (1)求； (2)某时刻从O点入射的大量电子，经过时间时，电子到达微管道内的不同位置。求此时刻电子到达位置区域的面积； (3)若电子撞击管道内壁后产生个次级电子（包含原电子），假设碰撞后原电子平行于微管道轴方向的动量变为零，垂直管道轴方向的动量等大反向后被次级电子均分： ①如果，要保证所有电子最终都无法飞出管道，求应满足的条件； ②现将微管道内的磁场换为竖直向上场强为的匀强电场，如图乙所示，如果，有某个电子经多次碰撞后信号电量被放大到倍（为正整数），则至少要多大。 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）电子速度最大时，其运动轨迹刚好与左壁相切，如图所示 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力可得 所以 （2）电子在磁场中运动的周期为 经过时间，电子转过的圆心角为 与轴线成入射的电子，在时刻，到达与竖直方向成30°的斜线上； 与轴线成入射的电子，在时刻刚好到达右边通道上，所有电子全部可能出现在一个扇形范围内，扇形圆心角，扇形半径 所以出现面积 得 （3）①设电子自入射开始直至第1次撞击通道壁的过程中，电子做匀速直线运动，电子轴向飞行距离为 每一次撞击后此电子的平行于管道轴动量被吸收，垂直于管道轴动量被垂直出射的2个电子均分，即在第次、第次撞击后的横向速度满足 撞击后电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周的圆心在出射点正下侧孔壁上。由洛伦兹力提供向心力，且设第i次撞击后电子运动半圆半径为，则有 为了使所有电子最终都无法飞出通道，电子纵向运动距离满足 故h最大值为，整理得 ②欲使存在某个电子信号电量被放大到至少倍，的最小值对应与轴线成入射的最大速度的电子。 电子自入射开始直至第1次撞击通道壁的过程中，轴向飞行距离为 第1次撞击后此电子的纵向动量被吸收，横向动量被垂直出射的3个电子均分，则撞出的每个电子的出射横向速度和纵向速度分别为， 此后每次撞击时，新次级电子的纵向速度重置为零，而横向速度减小为，故从撞击开始直至下一次撞击前的运动时间变为3倍。即在第次和第次撞击之间，电子沿轴向运动的距离为 电子沿轴向运动的时间为 而在第次、第次撞击后的横向速度满足 每次撞击产生的电子变为原来的3倍，故欲使信号电量被放大到至少倍，则应至少撞击次，故通道长度至少为 联立解得 代入得 题型解码 几何约束确定最大入射角；碰撞后动量分配与磁场中半圆运动结合，注意轴向距离累加与管道长度的比较。 题型03 带电粒子在组合场中的运动分析 5．（2026·湖南·模拟预测）（多选）如图甲所示，平面内有两条平行直线、相距为d，在两直线之间有与x轴平行的匀强电场E，在上方、下方分布着垂直平面的匀强磁场。时刻，一质量为m、电荷量为的粒子从O点沿y轴正方向以的速度进入磁场Ⅰ，随后在平面内运动，其速度可用图乙所示的直角坐标系内一点表示，，分别表示粒子速度在x、y轴上的分量。在图乙中，初始时K点位于图乙中a点，随后在磁场Ⅰ作用下K点沿以O为圆心的圆弧经s点移动到b点，之后粒子离开磁场Ⅰ进入电场，K点沿线段移动至c点，然后粒子进入磁场Ⅱ，K点沿以O为圆心的圆弧经w点移动到d点，之后粒子再次进入电场，K点沿线段回到a点。此后K点沿图乙中的曲线一直运动下去。已知过程和过程，电场E大小不变、方向相反。不计粒子重力。以下说法正确的是（　　） A．图乙中的s点坐标为，可知磁场Ⅰ的方向为垂直平面向外 B．、间的电场强度E的大小为 C．图乙中的w点坐标为，可知磁场Ⅱ的方向为垂直平面向外 D．对应图乙中的过程，电场力对粒子做功，对应过程，粒子克服电场力做功 【答案】AB 【详解】A．由题意，可画出粒子的运动轨迹如图所示 由s点的坐标知，粒子在磁场Ⅰ中顺时针运动，根据左手定则可判断磁场方向向外，故A正确； B．粒子在电场中沿y轴负方向做匀速运动，有 沿x轴正方向做匀加速运动， 又因为， 解得，方向沿x轴正方向，故B正确； C．w点坐标为，对应粒子运动是顺时针的，磁场Ⅱ方向向外。坐标错误，故C错误； D．图乙中过程，根据坐标值，根据功能关系可得粒子克服电场力做功为，故D错误。 故选AB。 题型解码 将速度矢量图与真实运动轨迹对应，通过图中坐标变化分析电场和磁场中的运动特征（如电场中速度分量线性变化）。 6．（2026·四川成都·二模）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为5s，宽为s，A是的中点；为电场和磁场的分界线，电子可穿过，不考虑边界效应。一个电荷量为e、质量为m的电子，从P点开始由静止被电场加速后垂直进入磁场，最后电子从磁场边界飞出，不计电子受到的重力。 (1)求电场强度的最大值E； (2)若要使电子在间垂直于飞出（不包含A、两点），求满足条件的飞出电子中，在磁场内运动时间的最大值t； (3)若电场和磁场的分界线存在薄隔离层，电子每次穿越隔离层的时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，要使电子从磁场边界飞出，求电场强度大小的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 电场强度取最大值时，电子在磁场中运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 在电场中，根据动能定理有 可得 （2）设电子在磁场中运动半周的次数为，轨道半径为，电子在间垂直于飞出，有， 根据几何关系有， 解得 取正整数，可得时，在磁场中运动时间最大，解得 （3）电场强度取最大值时，电子经过薄隔离层后的速度等于第一问中的最大速度，有 根据 解得电场强度的最大值为 电场强度取最小值时，设电子第一次经过薄隔离层后的速度为，再次经过薄隔离层后的速度为，有 可得 根据 可得，可得前后两次在磁场中运动的半径之比为 如图所示，根据几何关系有 可得 可得半径 对应的速度为 根据， 解得 可得电场强度大小的取值范围为 题型解码 由磁场中运动半径反推最大电场强度；注意电子在磁场中多次半圆运动的几何约束；能量损失导致速度衰减，需迭代计算半径变化。 7．（2026·河北保定·一模）如图，平面直角坐标系xOy中，y轴右侧存在一系列匀强磁场区域，磁场区域均是半径为R的圆，圆心在x轴上，相邻两磁场区域相切且磁场方向相反，磁感应强度大小均为B，磁场边界不含磁场。y轴右侧第一个磁场磁感应强度方向垂直纸面向里，与y轴相切于原点O，最右侧的磁场区域与一垂直于x轴的荧光屏相切于x轴上A点。虚线MN、PQ分别与圆形磁场区域的最上端、最下端相切，MN上方有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，PQ下方有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为2E。某粒子源能够向外发射比荷为的带电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)若粒子源在MN上方某处，由静止释放的粒子恰好在（R，R）处进入第一个磁场区域并从（2R，0）处射出，求粒子源位置的坐标； (2)若粒子源在原点O处，且能向xOy平面内各个方向发射粒子，射出粒子的速度大小均为求粒子在第一个磁场中运动的最长时间； (3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为，其余条件不变，求粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间。 【答案】(1)（R，2R） (2) (3)， 【详解】（1）由题意和几何知识可知，带电粒子在第一个磁场区域中运动周期，轨迹半径为 在磁场中由洛伦兹力提供向心力 解得 带电粒子在上方电场中做匀加速直线运动，可知粒子源的横坐标为R，设粒子源的纵坐标为y₁ 根据匀加速直线运动规律，其中 解得 即粒子源的位置坐标为（R，2R） （2）根据洛伦兹力提供向心力 轨迹半径为 由几何关系可知，当粒子从第一个磁场区域与x轴右交点处离开磁场时，带电粒子的偏转角最大如图1所示 则有，即 可知带电粒子的最大偏转角为60° 运动时间 （3）由第一小问的解析可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R 分析可知，当粒子从磁场区域最上方离开磁场时，整个运动过程粒子不会进入磁场和电场间的区域，粒子的运动时间最短，部分运动轨迹如图2所示 粒子在每个磁场中运动轨迹所对圆心角之和为180° 又粒子在磁场中运动的周期 则粒子在每个磁场中运动的时间均为 粒子每次在x轴上方电场中运动的时间为 同理可知，粒子每次在x轴下方电场中运动的时间为 当磁场区域为偶数个时，粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间为      当磁场区域为奇数个时，粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间为      题型解码 利用磁场边界相切条件确定轨迹圆心角；注意粒子在上下电场中加速度不同，通过对称性简化时间计算（如每次进出磁场位置对应电场运动时间相同）。 题型01 带电粒子在电场中的运动分析 1．（2026·辽宁·一模）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于AB，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，BM与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列说法正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在MN的中点处的速度大小为 D．MN的长度为0.6m 【答案】C 【详解】A．设弹性绳与BM夹角为，由受力分析垂直斜面方向有 则，运动过程中斜面弹力不变，由可知，物块上滑过程中受到的摩擦力不变，故A错误； B．设弹性绳与BM夹角为，由受力分析沿斜面方向牛顿第二定律有 又由几何关系 联立可得 代入数据，故B错误； C D．根据上述作出图像如图所示 可知物块从到的过程，图线的面积乘以质量即为合力做功，根据对称性可知 解得 设物块在中点处的速度，根据动能定理可得 解得，故C正确、D错误。 故选C。 2．（2026·湖北·一模）如图所示，水平固定的绝缘木板处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E。电荷量为的物块在木板上刚好能保持静止。在木板上的处钉一钉子，在处固定一光滑圆环，沿电场线方向。将一根轻质绝缘橡皮筋的一端系在钉子上，另一端穿过圆环与物块相连，橡皮筋遵循胡克定律，其原长等于间的距离。当物块处于延长线上的A点时，物块恰好要沿向右运动，此时A点与点间的距离为L。当物块位于B点，与的夹角为60°，也能恰好保持静止，则B、两点间的距离x和此时橡皮筋弹力F分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．设橡皮筋的劲度系数为，带正电的物块在木板上刚好能保持静止，说明物块所受摩擦力与电场力平衡，可知 当物块位于点时，物块恰好要沿向右运动，则 物块位于点时，设橡皮筋伸长量为，橡皮筋拉伸方向与夹角为，根据受力平衡，由余弦定理有 解得，故A正确，B错误； CD．由上述分析可知橡皮筋弹力，故CD错误。 故选A。 3．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。（提示：当时，则） A．小环C一定带正电 B．小环C的平衡位置在B的右侧距离B为d处 C．若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x（）后静止释放，小环C仍能回到平衡位置 D．若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x（）后静止释放，小环C将作简谐运动 【答案】BD 【详解】AB．设C在AB的连线的延长线上距离B为l处达到平衡，带电量为Q，根据库仑定律有 根据平衡条件有 解得（舍去）， 带电量可以为负，A错误、B正确； C．因C的平衡位置右侧电场方向向右，左侧电场方向向左，若小环C带电量为+q，将小环拉离平衡位置一小位移x（ �� ≪ �� ）后静止释放，不能回到平衡位置，C错误； D．环C带电，平衡位置不变，拉离平衡位置一小位移后，C受力为 利用近似关系化简得 回复力满足形式，故小环做简谐运动，D正确。 故选 BD。 4．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）如图所示，放置在竖直平面内的足够长粗糙直线轨道、与光滑四分之一圆弧轨道相切于点和点，圆弧轨道圆心为，半径为，和与竖直方向夹角都为，整个轨道处于电场强度大小、方向水平向左的匀强电场中。现有一个质量为、带电荷量为的小物块从点以的初速度沿方向运动，已知，小物块与、之间的动摩擦因数，重力加速度大小为，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块在点的加速度大小为 B．小物块第一次通过点前后瞬间对轨道的压力大小之比为 C．小物块速度第一次为0时的位置距点距离为 D．小物块最终将在轨道上做往复运动 【答案】AC 【详解】A．将重力、电场力分解到沿和垂直方向：沿方向：重力分量向下，电场力分量向上，大小抵消，合力仅为摩擦力，方向沿轨道向上。 垂直方向： 摩擦力。 加速度 大小为，故A正确。 B．从到由动能定理有 代入得 通过点前，压力 通过点后，圆周运动向心力 得 比值，故B错误； C．从到动能定理 得 设沿向上运动后速度为0，由于垂直方向上有 可知，小物块与面之间无压力，则没有摩擦力，小物块所受合力为 方向沿面向下，由动能定理有 联立解得 ，故C正确； D．结合上述分析可知，由于小物块在上运动不受摩擦力，则小物块再次滑上减速到零之后，停止在斜面上，故D错误。 故选AC。 题型02 带电粒子在磁场中的运动分析 5．（2026·山东德州·模拟预测）（多选）如图所示为磁谱仪的工作原理示意图。在纸面内建立坐标系，在的区域内分布着磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，点有一粒子源，不断沿垂直磁场方向发射质量为、电量为的带电粒子，所有粒子发射的速率范围为，速度方向被限制在以轴为中心轴、左右偏移的小角度内。点右侧沿轴放置一足够长荧光屏P，所有粒子经磁场偏转后都打在荧光屏P上。不计粒子重力，已知，下列说法正确的是（　　） A．所有粒子运动过程中距离轴最远位置的坐标最大值 B．所有粒子运动过程中距离轴最远位置的坐标最小值 C．所有粒子打在荧光屏上区域的长度为 D．所有粒子打在荧光屏上区域的长度为 【答案】AD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 得半径 当速度为时，半径 对于距离轴最远位置（即轨迹最高点）：当粒子速度方向偏向轴左侧（第二象限）角度 时，由左手定则及几何关系可知圆心在第一象限，坐标为 ，轨迹最高点纵坐标 当粒子速度方向偏向轴右侧（第一象限）角度 时，圆心在第四象限，坐标为 ，轨迹最高点纵坐标。 所有粒子中，坐标最大值出现在最大且向左偏角最大时，即 则 代入数据得 ，故 A 正确。 B．所有粒子中， 坐标最小值出现在 最小且向右偏角最大时，即 则，故 B 错误。 CD．对于打在荧光屏上的区域长度：粒子打在 轴上的坐标为（为速度与 轴夹角）。 的最大值对应 最大、，即 。 的最小值对应 最小、 最大，即 。 区域长度 ，故 D 正确，C 错误。 故选AD。 题型03 带电粒子在组合场中的运动分析 6．（2026·甘肃兰州·二模）如图甲所示的Oxy平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域Ⅰ、Ⅱ。区域Ⅰ内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直Oxy平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在Oxy平面内运动，在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。 (1)区域Ⅰ内电场强度大小和方向； (2)区域Ⅱ内磁感应强度大小和方向。 【答案】(1)，沿y轴正方向； (2)，垂直纸面向外 【详解】（1）粒子在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，可以判断出粒子做类平抛运动，根据曲线轨迹可知正粒子受到的电场力竖直向上，电场方向沿y轴正方向，设粒子初速度为 竖直方向有 水平方向有 由牛顿第二定律有 联立解得 （2） 粒子在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，可以判断粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，则粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 粒子做类平抛运动进入匀强磁场时的速度 联立解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据左手定则可知，磁感应强度方向垂直纸面向外 7．（2026·山东淄博·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从M点以初速度沿轴正方向发射，经电场偏转后从N点进入第Ⅲ象限，偏转后第一次离开磁场从坐标原点O射出，进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小及第Ⅲ象限匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从点进入第Ⅰ象限，第Ⅰ象限内适当区域有一垂直纸面向外的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转，离开磁场后继续运动从点进入第Ⅳ象限，速度方向与轴正方向成。求该圆形磁场区域的最小面积S及该粒子在第Ⅰ象限中做圆周运动的圆心的坐标； (3)粒子从点进入第Ⅳ象限，第Ⅳ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子进入该区域后，除受洛伦兹力外还受一方向始终与粒子速度方向相反的阻力，其大小与粒子速率成正比，粒子做半径减小的螺旋运动，其运动轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且粒子始终在第Ⅳ象限运动。求粒子从点到点的运动时间。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）带电粒子在静电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上，受到静电力的作用 根据运动学公式，有 联立可解得 竖直方向分速度为 所以粒子从N点进入磁场时的速度 速度方向与x轴正方向成60°。 进入第III象限的磁场后粒子做匀速圆周运动，设运动半径为，有 根据几何关系可知 解得 所以 （2）粒子进入第I象限的磁场后做圆周运动的半径为，有 解得 根据题干可知，穿出第I象限的磁场时粒子的速度方向与进入磁场时的速度方向相比，偏转了90°，设粒子进入圆形磁场的位置为A，穿出磁场时的位置为B，有 粒子运动的轨迹半径对应的圆心为，如图所示 弧线在圆形磁场中，所以圆形磁场面积最小时，应有 所以圆形磁场的最小面积为 根据角度和几何关系，可知 四边形是边长为L的正方形，所以 A点的坐标为 对应可求出点的横坐标为 纵坐标为 所以点的坐标为 （3）粒子从P点进入第IV象限后，受到洛伦兹力与阻力的共同作用，其中在阻力的作用下速度大小逐渐减小。洛伦兹力方向一直垂直速度方向，充当向心力，有 根据公式可知虽然速度减小，但运动的角速度是不变的，有 当粒子运动到与x轴相切时，角度转过了330°，所以 8．（2026·山东临沂·一模）某科研小组将威尔逊云室置于如图所示的匀强电场和匀强磁场中，用来显示带电粒子的运动径迹，进而研究带电粒子的性质。平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足，。在区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场；在区域内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成角射入（速度大小未知），在点以速度垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，。 (1)求该粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度E的大小及N、P两点之间的距离lNP。 (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t，以及D点的纵坐标。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且运动半径为r=d 洛伦兹力提供向心力，则 可得 （2）粒子在电场中做一个反向的平抛运动，则， 解得 由位移关系可得 可得 则 （3）由于阻力作用，粒子速度减小，故半径也减小，但是粒子运动的 周期与速度无关，由 可得 所以 又由粒子的运动轨迹可知 则粒子由C运动到D的时间为 设某时刻粒子的速度大小为v，方向如图所示，将速度分解为粒子到达D点时 把和f=kv作正交分解，则在x方向有 选择的微元过程，即上式两边同时乘以，并有； 对C点到D点全过程累加求和，且有 则 解得 9．（2026·辽宁·二模）如图所示，空间交替分布着高度均为、水平方向足够宽的匀强电磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，虚线边界有磁场无电场。区域Ⅰ、Ⅲ磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小相同，区域Ⅱ电场方向竖直向上，电场强度。区域Ⅰ磁场上边界虚线上P点有一粒子源，可沿纸面以的速度向磁场内发射带负电的粒子，粒子的比荷，不计粒子重力。设粒子从P点射出时的速度方向与竖直方向的夹角为，当时，粒子恰能从P点正下方进入区域Ⅱ，取。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若粒子能进入区域Ⅲ且不能从下边界离开区域Ⅲ，求满足的条件； (3)若，将区域Ⅲ的高度调整为，求粒子运动多长时间后其竖直位移大小为。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子恰能从P点下方进入电场，由几何关系有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动 解得 （2）当时，粒子不能进入Ⅱ、Ⅲ区域。粒子能进入区域Ⅲ且不能从下边界离开区域Ⅲ，设粒子在区域Ⅲ中竖直速度变为0时水平速度为，取向左为正，在磁场中由水平方向动量定理有 粒子在磁场中， 又由动能定理有 联立解得 （3）粒子经电场加速后，速度大小变为，根据动能定理有 解得 粒子在区域Ⅲ内做匀速圆周运动有 解得 粒子运动轨迹如图所示 粒子在区域Ⅲ内运动到最低点时竖直位移为，粒子第一次竖直位移为时，粒子在区域Ⅰ运动的时间 粒子在区域Ⅱ运动的时间 粒子在区域Ⅲ运动的时间 粒子第一次竖直位移为时需要的时间 粒子再次经过需要的时间为，故粒子第次竖直位移为时需要的时间为 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，轴水平向右、轴竖直向上，区域I存在平行于xOy平面的匀强电场，场强大小为，区域II存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，区域III存在竖直向上、场强大小为的匀强电场和垂直于xOy平面向外、宽度均为、磁感应强度大小依次为的个匀强磁场。在原点处将质量为、电荷量为的小球以大小为的初速度竖直向上抛出后，小球以速度大小为经过点，速度方向与轴正方向相同，之后经过与轴的交点，小球第一次经过时速度方向沿轴正方向。已知是相邻区域的边界且均与轴垂直，各区域竖直空间足够大，重力加速度为。 (1)求小球从点运动到点过程中合外力的冲量及区域I中的电场强度与轴正方向的夹角； (2)求小球经过点时的速度大小和在区域II运动时最大速度的大小； (3)若，求小球在区域III运动过程中最大水平位移的大小。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）设小球从到速度变化量为，由平行四边形定则得矢量三角形如图所示 的大小为，设与轴负方向夹角为，有 解得 由动量定理可知，该过程合外力的冲量 解得，方向与轴负方向夹角 对小球受力分析，水平方向有 竖直方向有 设小球从到经历的时间为，则 联立解得电场强度与轴正方向的夹角 （2）依题意，小球从到C所用时间为，则小球在C点时水平方向的分速度，则小球经过点时的速度大小 根据配速法，给小球配一个水平向右的速度，大小满足 可得 设与等大反向，与的合速度为，则小球的运动可看成以速度大小为的匀速圆周运动和速度大小为的匀速直线运动的合运动，如图所示 根据几何关系可得 可知当与方向相同时，在区域II运动时的速度最大，为 （3）小球在区域III运动，由于可知，电场力与重力刚好平衡，则小球在每个磁场中相当于只受洛伦兹力作用，由于洛伦兹力总不做功，则小球的速度大小保持不变，当小球的速度刚好为竖直方向时，此时小球在区域III中运动的水平位移最大。 小球经过第1个磁场，沿竖直方向，根据动量定理可得 同理可得小球经过第2个磁场，沿竖直方向，根据动量定理可得 小球经过第3个磁场，有 小球经过第个磁场，有 则小球经过个磁场后，竖直方向有 可得 当时，可得 当时，可得 可知小球在第64个磁场中的某处，速度方向变为竖直方向，设此时在第64个磁场中沿水平方向通过的位移为，则有 解得 故小球在区域III运动过程中最大的水平位移为 11 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴09 带电粒子在独立场、组合场中的运动(原卷版) 命题预测 带电粒子在独立场和组合场中的运动是高考物理的核心高频考点，历年考频较高，尤其在压轴题中占比较大，涉及电场中的类平抛运动和磁场中的匀速圆周运动，组合场则常见“电场加速后磁场偏转”模型，强调几何约束、临界条件分析和时间计算。命题趋势正从传统二维匀强场向‌三维空间叠加场‌（如电场x、磁场y、重力场z）和‌非匀强、时变场‌（如方波电场、线性磁感应强度）演进，情境嵌入深度增强，紧密关联“天舟六号”粒子屏蔽、CR450电磁制动等国家科技工程，体现“无情境不命题”的导向。 备考需构建“‌三步建模法‌”：受力分析→轨迹分段→几何建模，以基础模型为核心，分阶段强化独立场和组合场的分段分析，刻意训练几何作图与临界问题，聚焦实际应用转化。 高频考法 1. 带电粒子在电场中的运动分析 2. 带电粒子在磁场中的运动分析 3. 带电粒子在组合场中的运动分析 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在电场中的常见运动及分析方法 1. 带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理 基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。 2. 带电粒子在电场中的常见运动及分析方法 常见运动 受力特点 分析方法 变速直线运动 合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上 1.动力学观点：a=，E=，v2-=2ad，适用于匀强电场 2.功能观点：W=qU=mv2-m，匀强和非匀强电场都适用 带电粒子在匀强电场中的偏转 进入电场时v0⊥E，粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角：tan θ==== 侧移距离：y0==，y=y0+Ltan θ=(+L)tan θ 粒子斜射入电场，粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直电场方向做匀速直线运动：x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动：y=v0tcos θ-t2 考向02 带电粒子在磁场中的运动 1. 带电粒子在磁场中运动 基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本公式 qvB=m，T= 重要结论 r=，T= 2. 带电粒子在有界磁场中的运动 1）解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 圆心的确定 半径的确定 时间的确定 基本 思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 方法一：由公式求，Bqv=，得半径r= 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 方法一：由圆心角求，t=·T，其中轨迹对应的圆心角等于速度方向的偏向角 方法二：由弧长求，t= 图例 说明 P、M点速度垂线的交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点 S点的速度垂线与切点法线的交点 常用解三角形法，（如图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝ （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α 3. 五个典型模型 1）直线边界：粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)，轨迹关于入射点和出射点连线的中垂线对称，L=2rsin θ2。 2）圆形边界： ①沿半径方向射入圆形磁场的粒子必沿半径方向射出磁场(速度方向延长线过圆心，如图乙，两侧关于两圆心连线OO'对称)。 ②射入磁场的速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场的方向与半径的夹角也为θ，轨迹关于两圆心连线OO'对称，如图丙。 3）动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 4）磁聚焦与磁发散 若大量相同的带电粒子以相同的速度相互平行进入圆形区域的磁场，且带电粒子运动半径等于磁场圆半径(R=r)，这群粒子必从同一点离开磁场，即“磁聚焦”；反之，一群相同的粒子从同一点以相同的速度大小沿不同的方向进入磁场(R=r)，在离开磁场时的速度方向一定相互平行，即“磁发散”。 5）有阻力的螺旋运动 AI仿真互动课件：有阻力的带电粒子在磁场中运动（阻尼螺旋线） 网址：http://lab.physicalw.com/expt/2/26/131 考向03 带电粒子在组合场中的运动 AI仿真互动课件：带电粒子在独立场、组合场与叠加场中的运动（自绘电场与磁场） 网址：http://lab.physicalw.com/expt/2/26/148 1. 组合场的三种常见情况 1）电场与磁场分别位于不重叠的区域内； 2）电场、磁场在同一区域交替出现； 3）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内。 2. 带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在电场中的运动分析 1．（2026·吉林延边·一模）如图所示，是水平绝缘的传送带，左端是光滑绝缘水平面，在面上有水平向右的匀强电场，B处虚线是电场的边界线。右端是绝缘水平面，是光滑绝缘竖直半圆轨道的直径，半圆轨道的半径，半圆轨道所在的空间有匀强电场，与竖直方向的夹角。在D位置静止放置一个质量不带电的小物块Q，在面上的M位置静止释放一个带正电小物块P，P的电荷量，质量，小物块P与传送带和面之间的动摩擦因数都是，若小物块P能与Q碰撞，且碰后粘为一体。已知与之间的距离相等，都为，两个小物块都可以看成质点，重力加速度。试回答： (1)若传送带始终静止，释放点M距B点至少多远小物块P才能与Q碰撞？ (2)若传送带始终静止，释放点M到B点距离，小物块P与Q碰撞后在半圆轨道上对轨道的最大压力是多少？ (3)若传送带顺时针转动的速度，释放点M距B点的距离在什么范围内小物块P才能与Q碰撞？ 题型解码 注意分阶段分析：电场加速、传送带摩擦、碰撞动量守恒、圆周运动向心力分析。关键在于判断临界条件（如最小释放距离、最大压力位置在合力方向最低点）。 2．如图所示，直角坐标系平面内，第三和第四象限对称存在以O为圆心、半径分别为d和的两圆弧栅极区域内存在方向均指向O点的径向电场，圆弧圆心角为。N上均匀分布带正电的粒子，可均匀持续地由静止发射出来，任一位置上的粒子经电场加速后都会从坐标原点O进入第一和第二象限。第一象限和第二象限分别存在连续两层紧邻的匀强电场，每层的宽度均为d，电场强度大小均为E，方向沿水平方向交替变化（，电场强度方向沿x轴负向；，电场强度方向沿x轴正向；，电场强度方向沿x轴负向；，电场强度方向沿x轴正向），分界线上恰好无电场。已知N板释放的粒子质量为m、电荷量为，N、M间电势差，粒子穿过栅极M时速度方向不变、且无数量损耗和能量损耗。粒子只在纸面内运动。不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求： (1)粒子从N出发，经电场加速后到达坐标原点O时的速度大小； (2)通过O点后，还能再次穿过y轴的粒子数与栅极N发射出的粒子总数之比； (3)通过坐标原点O时速度方向与x轴正方向夹角为的粒子，在第一象限电场中运动所用的时间t。 题型解码 利用动能定理求进入O点速度；关注粒子在交替电场中运动的对称性（如进出每层电场时x方向速度大小不变），通过y方向匀速运动计算时间。 题型02 带电粒子在磁场中的运动分析 3．（2026·四川南充·二模）（多选）某质谱仪简化结构如图，在平面的区域存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在轴处放置照相底片，大量a、b两种离子（其初速度视为零）经电压为的加速电场加速后，由坐标原点开始，在轴左右两侧与轴均成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为和，，不考虑离子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中的速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 题型解码 明确离子在加速电场中动能定理求速度，在磁场中由几何关系确定亮线范围；注意分辨条件涉及半径差异与电压波动的关系。 4．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图甲，真空圆柱微管道直径，水平线以下有垂直纸面向外的磁感应强度大小为的匀强磁场。电子流以速率、在纸面内与轴中心线成角射向管壁O点。左侧管上端M点入射的电子与轴中心线成角度，在O点反弹后（弹性碰撞）恰好不与左侧管壁MN发生碰撞。电子电荷量为，质量为，不计重力和各电子间相互作用。 (1)求； (2)某时刻从O点入射的大量电子，经过时间时，电子到达微管道内的不同位置。求此时刻电子到达位置区域的面积； (3)若电子撞击管道内壁后产生个次级电子（包含原电子），假设碰撞后原电子平行于微管道轴方向的动量变为零，垂直管道轴方向的动量等大反向后被次级电子均分： ①如果，要保证所有电子最终都无法飞出管道，求应满足的条件； ②现将微管道内的磁场换为竖直向上场强为的匀强电场，如图乙所示，如果，有某个电子经多次碰撞后信号电量被放大到倍（为正整数），则至少要多大。 题型解码 几何约束确定最大入射角；碰撞后动量分配与磁场中半圆运动结合，注意轴向距离累加与管道长度的比较。 题型03 带电粒子在组合场中的运动分析 5．（2026·湖南·模拟预测）（多选）如图甲所示，平面内有两条平行直线、相距为d，在两直线之间有与x轴平行的匀强电场E，在上方、下方分布着垂直平面的匀强磁场。时刻，一质量为m、电荷量为的粒子从O点沿y轴正方向以的速度进入磁场Ⅰ，随后在平面内运动，其速度可用图乙所示的直角坐标系内一点表示，，分别表示粒子速度在x、y轴上的分量。在图乙中，初始时K点位于图乙中a点，随后在磁场Ⅰ作用下K点沿以O为圆心的圆弧经s点移动到b点，之后粒子离开磁场Ⅰ进入电场，K点沿线段移动至c点，然后粒子进入磁场Ⅱ，K点沿以O为圆心的圆弧经w点移动到d点，之后粒子再次进入电场，K点沿线段回到a点。此后K点沿图乙中的曲线一直运动下去。已知过程和过程，电场E大小不变、方向相反。不计粒子重力。以下说法正确的是（　　） A．图乙中的s点坐标为，可知磁场Ⅰ的方向为垂直平面向外 B．、间的电场强度E的大小为 C．图乙中的w点坐标为，可知磁场Ⅱ的方向为垂直平面向外 D．对应图乙中的过程，电场力对粒子做功，对应过程，粒子克服电场力做功 题型解码 将速度矢量图与真实运动轨迹对应，通过图中坐标变化分析电场和磁场中的运动特征（如电场中速度分量线性变化）。 6．（2026·四川成都·二模）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为5s，宽为s，A是的中点；为电场和磁场的分界线，电子可穿过，不考虑边界效应。一个电荷量为e、质量为m的电子，从P点开始由静止被电场加速后垂直进入磁场，最后电子从磁场边界飞出，不计电子受到的重力。 (1)求电场强度的最大值E； (2)若要使电子在间垂直于飞出（不包含A、两点），求满足条件的飞出电子中，在磁场内运动时间的最大值t； (3)若电场和磁场的分界线存在薄隔离层，电子每次穿越隔离层的时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，要使电子从磁场边界飞出，求电场强度大小的取值范围。 题型解码 由磁场中运动半径反推最大电场强度；注意电子在磁场中多次半圆运动的几何约束；能量损失导致速度衰减，需迭代计算半径变化。 7．（2026·河北保定·一模）如图，平面直角坐标系xOy中，y轴右侧存在一系列匀强磁场区域，磁场区域均是半径为R的圆，圆心在x轴上，相邻两磁场区域相切且磁场方向相反，磁感应强度大小均为B，磁场边界不含磁场。y轴右侧第一个磁场磁感应强度方向垂直纸面向里，与y轴相切于原点O，最右侧的磁场区域与一垂直于x轴的荧光屏相切于x轴上A点。虚线MN、PQ分别与圆形磁场区域的最上端、最下端相切，MN上方有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，PQ下方有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为2E。某粒子源能够向外发射比荷为的带电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)若粒子源在MN上方某处，由静止释放的粒子恰好在（R，R）处进入第一个磁场区域并从（2R，0）处射出，求粒子源位置的坐标； (2)若粒子源在原点O处，且能向xOy平面内各个方向发射粒子，射出粒子的速度大小均为求粒子在第一个磁场中运动的最长时间； (3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为，其余条件不变，求粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间。 题型解码 利用磁场边界相切条件确定轨迹圆心角；注意粒子在上下电场中加速度不同，通过对称性简化时间计算（如每次进出磁场位置对应电场运动时间相同）。 题型01 带电粒子在电场中的运动分析 1．（2026·辽宁·一模）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于AB，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，BM与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列说法正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在MN的中点处的速度大小为 D．MN的长度为0.6m 2．（2026·湖北·一模）如图所示，水平固定的绝缘木板处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E。电荷量为的物块在木板上刚好能保持静止。在木板上的处钉一钉子，在处固定一光滑圆环，沿电场线方向。将一根轻质绝缘橡皮筋的一端系在钉子上，另一端穿过圆环与物块相连，橡皮筋遵循胡克定律，其原长等于间的距离。当物块处于延长线上的A点时，物块恰好要沿向右运动，此时A点与点间的距离为L。当物块位于B点，与的夹角为60°，也能恰好保持静止，则B、两点间的距离x和此时橡皮筋弹力F分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。（提示：当时，则） A．小环C一定带正电 B．小环C的平衡位置在B的右侧距离B为d处 C．若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x（）后静止释放，小环C仍能回到平衡位置 D．若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x（）后静止释放，小环C将作简谐运动 4．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）如图所示，放置在竖直平面内的足够长粗糙直线轨道、与光滑四分之一圆弧轨道相切于点和点，圆弧轨道圆心为，半径为，和与竖直方向夹角都为，整个轨道处于电场强度大小、方向水平向左的匀强电场中。现有一个质量为、带电荷量为的小物块从点以的初速度沿方向运动，已知，小物块与、之间的动摩擦因数，重力加速度大小为，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块在点的加速度大小为 B．小物块第一次通过点前后瞬间对轨道的压力大小之比为 C．小物块速度第一次为0时的位置距点距离为 D．小物块最终将在轨道上做往复运动 题型02 带电粒子在磁场中的运动分析 5．（2026·山东德州·模拟预测）（多选）如图所示为磁谱仪的工作原理示意图。在纸面内建立坐标系，在的区域内分布着磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，点有一粒子源，不断沿垂直磁场方向发射质量为、电量为的带电粒子，所有粒子发射的速率范围为，速度方向被限制在以轴为中心轴、左右偏移的小角度内。点右侧沿轴放置一足够长荧光屏P，所有粒子经磁场偏转后都打在荧光屏P上。不计粒子重力，已知，下列说法正确的是（　　） A．所有粒子运动过程中距离轴最远位置的坐标最大值 B．所有粒子运动过程中距离轴最远位置的坐标最小值 C．所有粒子打在荧光屏上区域的长度为 D．所有粒子打在荧光屏上区域的长度为 题型03 带电粒子在组合场中的运动分析 6．（2026·甘肃兰州·二模）如图甲所示的Oxy平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域Ⅰ、Ⅱ。区域Ⅰ内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直Oxy平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在Oxy平面内运动，在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。 (1)区域Ⅰ内电场强度大小和方向； (2)区域Ⅱ内磁感应强度大小和方向。 7．（2026·山东淄博·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从M点以初速度沿轴正方向发射，经电场偏转后从N点进入第Ⅲ象限，偏转后第一次离开磁场从坐标原点O射出，进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小及第Ⅲ象限匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从点进入第Ⅰ象限，第Ⅰ象限内适当区域有一垂直纸面向外的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转，离开磁场后继续运动从点进入第Ⅳ象限，速度方向与轴正方向成。求该圆形磁场区域的最小面积S及该粒子在第Ⅰ象限中做圆周运动的圆心的坐标； (3)粒子从点进入第Ⅳ象限，第Ⅳ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子进入该区域后，除受洛伦兹力外还受一方向始终与粒子速度方向相反的阻力，其大小与粒子速率成正比，粒子做半径减小的螺旋运动，其运动轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且粒子始终在第Ⅳ象限运动。求粒子从点到点的运动时间。 8．（2026·山东临沂·一模）某科研小组将威尔逊云室置于如图所示的匀强电场和匀强磁场中，用来显示带电粒子的运动径迹，进而研究带电粒子的性质。平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足，。在区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场；在区域内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成角射入（速度大小未知），在点以速度垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，。 (1)求该粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度E的大小及N、P两点之间的距离lNP。 (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t，以及D点的纵坐标。 9．（2026·辽宁·二模）如图所示，空间交替分布着高度均为、水平方向足够宽的匀强电磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，虚线边界有磁场无电场。区域Ⅰ、Ⅲ磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小相同，区域Ⅱ电场方向竖直向上，电场强度。区域Ⅰ磁场上边界虚线上P点有一粒子源，可沿纸面以的速度向磁场内发射带负电的粒子，粒子的比荷，不计粒子重力。设粒子从P点射出时的速度方向与竖直方向的夹角为，当时，粒子恰能从P点正下方进入区域Ⅱ，取。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若粒子能进入区域Ⅲ且不能从下边界离开区域Ⅲ，求满足的条件； (3)若，将区域Ⅲ的高度调整为，求粒子运动多长时间后其竖直位移大小为。 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，轴水平向右、轴竖直向上，区域I存在平行于xOy平面的匀强电场，场强大小为，区域II存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，区域III存在竖直向上、场强大小为的匀强电场和垂直于xOy平面向外、宽度均为、磁感应强度大小依次为的个匀强磁场。在原点处将质量为、电荷量为的小球以大小为的初速度竖直向上抛出后，小球以速度大小为经过点，速度方向与轴正方向相同，之后经过与轴的交点，小球第一次经过时速度方向沿轴正方向。已知是相邻区域的边界且均与轴垂直，各区域竖直空间足够大，重力加速度为。 (1)求小球从点运动到点过程中合外力的冲量及区域I中的电场强度与轴正方向的夹角； (2)求小球经过点时的速度大小和在区域II运动时最大速度的大小； (3)若，求小球在区域III运动过程中最大水平位移的大小。 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴09 带电粒子在独立场、组合场中的运动(答案版) 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在电场中的运动分析 1．【答案】(1)0.1m (2)12N (3)x≥0.1m 【详解】（1）若传送带始终静止，若要使小物块P能与Q碰撞，则由能量关系 解得 （2）若传送带始终静止，释放点M到B点距离，则小物块P与Q碰撞前，由动能定理 解得 碰撞过程由动量守恒 解得 因，可知电场力与重力成120°角，两力的合力大小为F=2N，方向与竖直方向夹角为60°斜向下；即速度最大的位置与圆心连线与竖直方向的夹角为60°，从D点到该位置由动能定理 由牛顿第二定律 解得FN=12N 根据牛顿第三定律，小物块P与Q碰撞后在半圆轨道上对轨道的最大压力是12N； （3）要想能到达D点，则C点的最小速度满足关系 可知，则物块将一直在传送带上做减速运动，则由能量关系 解得x=0.1m 则要使小物块P能与Q碰撞，释放点M距B点的距离应该满足x≥0.1m。 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从N到O的过程中，电场力做功等于动能变化， 间电势差， 解得 （2）粒子进入第一、二象限时，速度方向与y轴正方向夹角设为，粒子沿y轴方向做匀速运动， 粒子沿x轴方向做匀减速运动，初速度 粒子沿x轴方向的加速度为 若能够再次穿过y轴，要求 代入数据，解得 所以满足条件的范围为， 由于粒子均匀分布，所以占比 （3）进入第一象限时与x轴正方向夹角为时，粒子沿x轴方向初速度大小为 沿x轴方向加速度大小依然为 在第一层区域，电场沿x轴负向，粒子做减速运动，有 解得 离开第一层电场的速度 在第二层区域内，电场沿x轴正向，因为粒子穿越第一层时电场力做负功，，穿越第二层过程电场力做正功，，因此粒子穿越第二层时的速度与进入第一层时的速度相同，可知粒子穿越第二层的时间 粒子穿越第一象限电场的总时间 题型02 带电粒子在磁场中的运动分析 3．【答案】CD 4．【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）电子速度最大时，其运动轨迹刚好与左壁相切，如图所示 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力可得 所以 （2）电子在磁场中运动的周期为 经过时间，电子转过的圆心角为 与轴线成入射的电子，在时刻，到达与竖直方向成30°的斜线上； 与轴线成入射的电子，在时刻刚好到达右边通道上，所有电子全部可能出现在一个扇形范围内，扇形圆心角，扇形半径 所以出现面积 得 （3）①设电子自入射开始直至第1次撞击通道壁的过程中，电子做匀速直线运动，电子轴向飞行距离为 每一次撞击后此电子的平行于管道轴动量被吸收，垂直于管道轴动量被垂直出射的2个电子均分，即在第次、第次撞击后的横向速度满足 撞击后电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周的圆心在出射点正下侧孔壁上。由洛伦兹力提供向心力，且设第i次撞击后电子运动半圆半径为，则有 为了使所有电子最终都无法飞出通道，电子纵向运动距离满足 故h最大值为，整理得 ②欲使存在某个电子信号电量被放大到至少倍，的最小值对应与轴线成入射的最大速度的电子。 电子自入射开始直至第1次撞击通道壁的过程中，轴向飞行距离为 第1次撞击后此电子的纵向动量被吸收，横向动量被垂直出射的3个电子均分，则撞出的每个电子的出射横向速度和纵向速度分别为， 此后每次撞击时，新次级电子的纵向速度重置为零，而横向速度减小为，故从撞击开始直至下一次撞击前的运动时间变为3倍。即在第次和第次撞击之间，电子沿轴向运动的距离为 电子沿轴向运动的时间为 而在第次、第次撞击后的横向速度满足 每次撞击产生的电子变为原来的3倍，故欲使信号电量被放大到至少倍，则应至少撞击次，故通道长度至少为 联立解得 代入得 题型03 带电粒子在组合场中的运动分析 5．【答案】AB 6．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 电场强度取最大值时，电子在磁场中运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 在电场中，根据动能定理有 可得 （2）设电子在磁场中运动半周的次数为，轨道半径为，电子在间垂直于飞出，有， 根据几何关系有， 解得 取正整数，可得时，在磁场中运动时间最大，解得 （3）电场强度取最大值时，电子经过薄隔离层后的速度等于第一问中的最大速度，有 根据 解得电场强度的最大值为 电场强度取最小值时，设电子第一次经过薄隔离层后的速度为，再次经过薄隔离层后的速度为，有 可得 根据 可得，可得前后两次在磁场中运动的半径之比为 如图所示，根据几何关系有 可得 可得半径 对应的速度为 根据， 解得 可得电场强度大小的取值范围为 7．【答案】(1)（R，2R） (2) (3)， 【详解】（1）由题意和几何知识可知，带电粒子在第一个磁场区域中运动周期，轨迹半径为 在磁场中由洛伦兹力提供向心力 解得 带电粒子在上方电场中做匀加速直线运动，可知粒子源的横坐标为R，设粒子源的纵坐标为y₁ 根据匀加速直线运动规律，其中 解得 即粒子源的位置坐标为（R，2R） （2）根据洛伦兹力提供向心力 轨迹半径为 由几何关系可知，当粒子从第一个磁场区域与x轴右交点处离开磁场时，带电粒子的偏转角最大如图1所示 则有，即 可知带电粒子的最大偏转角为60° 运动时间 （3）由第一小问的解析可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R 分析可知，当粒子从磁场区域最上方离开磁场时，整个运动过程粒子不会进入磁场和电场间的区域，粒子的运动时间最短，部分运动轨迹如图2所示 粒子在每个磁场中运动轨迹所对圆心角之和为180° 又粒子在磁场中运动的周期 则粒子在每个磁场中运动的时间均为 粒子每次在x轴上方电场中运动的时间为 同理可知，粒子每次在x轴下方电场中运动的时间为 当磁场区域为偶数个时，粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间为      当磁场区域为奇数个时，粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间为      题型01 带电粒子在电场中的运动分析 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】BD 4．【答案】AC 题型02 带电粒子在磁场中的运动分析 5．【答案】AD 题型03 带电粒子在组合场中的运动分析 6．【答案】(1)，沿y轴正方向； (2)，垂直纸面向外 【详解】（1）粒子在区域Ⅰ中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，可以判断出粒子做类平抛运动，根据曲线轨迹可知正粒子受到的电场力竖直向上，电场方向沿y轴正方向，设粒子初速度为 竖直方向有 水平方向有 由牛顿第二定律有 联立解得 （2） 粒子在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，可以判断粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，则粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 粒子做类平抛运动进入匀强磁场时的速度 联立解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据左手定则可知，磁感应强度方向垂直纸面向外 7．【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）带电粒子在静电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上，受到静电力的作用 根据运动学公式，有 联立可解得 竖直方向分速度为 所以粒子从N点进入磁场时的速度 速度方向与x轴正方向成60°。 进入第III象限的磁场后粒子做匀速圆周运动，设运动半径为，有 根据几何关系可知 解得 所以 （2）粒子进入第I象限的磁场后做圆周运动的半径为，有 解得 根据题干可知，穿出第I象限的磁场时粒子的速度方向与进入磁场时的速度方向相比，偏转了90°，设粒子进入圆形磁场的位置为A，穿出磁场时的位置为B，有 粒子运动的轨迹半径对应的圆心为，如图所示 弧线在圆形磁场中，所以圆形磁场面积最小时，应有 所以圆形磁场的最小面积为 根据角度和几何关系，可知 四边形是边长为L的正方形，所以 A点的坐标为 对应可求出点的横坐标为 纵坐标为 所以点的坐标为 （3）粒子从P点进入第IV象限后，受到洛伦兹力与阻力的共同作用，其中在阻力的作用下速度大小逐渐减小。洛伦兹力方向一直垂直速度方向，充当向心力，有 根据公式可知虽然速度减小，但运动的角速度是不变的，有 当粒子运动到与x轴相切时，角度转过了330°，所以 8．【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且运动半径为r=d 洛伦兹力提供向心力，则 可得 （2）粒子在电场中做一个反向的平抛运动，则， 解得 由位移关系可得 可得 则 （3）由于阻力作用，粒子速度减小，故半径也减小，但是粒子运动的 周期与速度无关，由 可得 所以 又由粒子的运动轨迹可知 则粒子由C运动到D的时间为 设某时刻粒子的速度大小为v，方向如图所示，将速度分解为粒子到达D点时 把和f=kv作正交分解，则在x方向有 选择的微元过程，即上式两边同时乘以，并有； 对C点到D点全过程累加求和，且有 则 解得 9．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子恰能从P点下方进入电场，由几何关系有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动 解得 （2）当时，粒子不能进入Ⅱ、Ⅲ区域。粒子能进入区域Ⅲ且不能从下边界离开区域Ⅲ，设粒子在区域Ⅲ中竖直速度变为0时水平速度为，取向左为正，在磁场中由水平方向动量定理有 粒子在磁场中， 又由动能定理有 联立解得 （3）粒子经电场加速后，速度大小变为，根据动能定理有 解得 粒子在区域Ⅲ内做匀速圆周运动有 解得 粒子运动轨迹如图所示 粒子在区域Ⅲ内运动到最低点时竖直位移为，粒子第一次竖直位移为时，粒子在区域Ⅰ运动的时间 粒子在区域Ⅱ运动的时间 粒子在区域Ⅲ运动的时间 粒子第一次竖直位移为时需要的时间 粒子再次经过需要的时间为，故粒子第次竖直位移为时需要的时间为 10．【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）设小球从到速度变化量为，由平行四边形定则得矢量三角形如图所示 的大小为，设与轴负方向夹角为，有 解得 由动量定理可知，该过程合外力的冲量 解得，方向与轴负方向夹角 对小球受力分析，水平方向有 竖直方向有 设小球从到经历的时间为，则 联立解得电场强度与轴正方向的夹角 （2）依题意，小球从到C所用时间为，则小球在C点时水平方向的分速度，则小球经过点时的速度大小 根据配速法，给小球配一个水平向右的速度，大小满足 可得 设与等大反向，与的合速度为，则小球的运动可看成以速度大小为的匀速圆周运动和速度大小为的匀速直线运动的合运动，如图所示 根据几何关系可得 可知当与方向相同时，在区域II运动时的速度最大，为 （3）小球在区域III运动，由于可知，电场力与重力刚好平衡，则小球在每个磁场中相当于只受洛伦兹力作用，由于洛伦兹力总不做功，则小球的速度大小保持不变，当小球的速度刚好为竖直方向时，此时小球在区域III中运动的水平位移最大。 小球经过第1个磁场，沿竖直方向，根据动量定理可得 同理可得小球经过第2个磁场，沿竖直方向，根据动量定理可得 小球经过第3个磁场，有 小球经过第个磁场，有 则小球经过个磁场后，竖直方向有 可得 当时，可得 当时，可得 可知小球在第64个磁场中的某处，速度方向变为竖直方向，设此时在第64个磁场中沿水平方向通过的位移为，则有 解得 故小球在区域III运动过程中最大的水平位移为 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $