精品解析：安徽蚌埠市2025-2026学年高一下学期4月期中质量检测数学（北师大版）

2025级高一4月期中质量检测 数学（北师大版） 满分150分，时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 2. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 3. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】由，得， 由为的中点， 得. 4. 函数的图象大致为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故函数为偶函数， 函数的图象关于轴对称，排除AC选项， 当时，，则，此时，排除B选项， 选项D满足以上特点. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的值域结合指数函数、对数函数的性质求解问题. 【详解】，即，.故选D. 6. 阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再代入数据得到，从而求出，，即可得到关系式，最后代入计算可得. 【详解】依题意可得，所以， 又，即， 所以，即，则，， 所以， 则， 即当时，该振子的位移. 故选：D 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍. 即，即， 又，则， 故， 当时，， 则在上单调递减， 由，得，即， 则. 8. 已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干恒成立的条件，求出，再利用向量三角不等式求出最小值. 【详解】解：由题意得，，由， 得，即，化简得. 令，开口向上，要使恒成立，则， 解得. 又， ， 所以的最小值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的模判断A，利用平面向量平行、垂直的坐标表示判断BC，利用投影向量公式可判断D． 【详解】，故A正确； ， 因为，则，解得，故B正确； 当时，可得，解得，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 10. 函数的部分图象如图，下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象求函数的解析式，即可得到选项 A 错误； 利用 可知选项 B 正确； 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C正确；利用函数图象平移的原则可知选项D错误. 【详解】设函数的最小正周期为，由图知，，故，则. 因为函数图象最高点为，所以， 所以，解得，因为，所以，故A错误； ，，故函数的图象关于直线对称，故B正确； 当时，， 故函数在上的值域为，故C正确； 由题意得，， 将函数的图象向右平移个长度单位得到，故D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 图象的对称轴为直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数值，求得，可判定A正确；化简函数的解析式，画出函数的图象，结合图象，可判定B、C正确，D错误. 【详解】由函数， 对于A，由，所以A正确； 对于B，当时，； 当时，， 所以， 画出函数的图象，如图所示，则函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，可得，此时在上单调递减，所以C正确； 对于D，由函数图象，可得的对称轴为，所以D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为__________.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 故弧长为. 13. 已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，因为函数在区间上有4个零点，可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知为的重心，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律求解. 【详解】如图，延长交于点，则为的中点， . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象变换规律得到的解析式； （2）作出在上的图象，借助图象求出的范围. 【小问1详解】 将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得， 再把横坐标缩短为原来的，得， 再向右平移个单位长度，得， 则. 【小问2详解】 函数，当时， ，， 函数的图象如下： 要使方程在区间上恰有两个实数根， 等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点， 由图可知． 16. 已知. （1）化简并求的值； （2）若，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可，利用诱导公式计算可求的值； （2）由已知可得，利用诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 ，； 所以 ； 【小问2详解】 由（1）知，由，可得， 所以. 17. 在直角梯形中，//. （1）求； （2）若与共线，求的值； （3）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，求得的坐标，利用数量积的坐标运算即可求得结果； （2）根据（1）中所求点的坐标，写出与的坐标，根据向量共线的坐标表示，即可求得参数值； （3）设，求出点的坐标，再求得关于的函数关系，进而求得函数的最小值即可求得结果. 【小问1详解】 过作，易知，又，故可得； 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示： 则，， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 故， 若与共线，则，解得. 【小问3详解】 设，则，易知， 则 则， 对，其对称轴，故其最小只能为； 故的最小值为. 18. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. （1）求的值； （2）若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； （3）已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）先求出 ，再根据向量的数量积公式求出 、和，最后代入向量夹角公式求出夹角的余弦值； （3）先设出点的坐标，再根据平行四边形的性质得到 ，最后列出方程组求解点的坐标. 【小问1详解】 因为 且， 又因为三点共线，所以， 所以，即， 所以 ，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得，， ， 所以， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）得， 所以， ， 由四边形为平行四边形得， 设，且点的坐标为，则， 所以，解得， 即. 19. 已知函数，其中. （1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，是的一个零点. （i）若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值； （ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数相邻对称轴间距为半个周期，求出的最小正周期，再代入周期公式求解. （2）（i）先通过平移变换得到的解析式，利用零点条件结合确定，再求出的所有零点，结合恰有8个零点的条件，找到区间的最小长度. （ii）分别求出和在上的值域，根据“任意存在使得”等价于的值域包含于的值域，列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 因为两个相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为，所以，解得. 【小问2详解】 （i）由题意得，， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以或， 解得或， 因为，所以， 所以. 令，则， 所以或， 解得或. 因为函数在且上恰好有8个零点， 要使最小，则需找到跨度最小的连续8个零点. 的零点为或， 通过比较不同起始零点的连续8个零点区间的长度， 区间的长度为，区间的长度为， 所以的最小值为. （ii）由（i）知，， 设在上的值域为在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以 当时，，所以， 所以，所以 当时，，所以， 所以， 所以， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一4月期中质量检测 数学（北师大版） 满分150分，时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. 1 D. -1 2. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 3. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（   ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 10. 函数的部分图象如图，下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 图象的对称轴为直线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为__________.（结果保留） 13. 已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________. 14. 已知为的重心，，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 16. 已知. （1）化简并求的值； （2）若，求. 17. 在直角梯形中，//. （1）求； （2）若与共线，求的值； （3）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 18. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. （1）求的值； （2）若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； （3）已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 19. 已知函数，其中. （1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，是的一个零点. （i）若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值； （ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $