专题04 三角形与四边形（课件）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 三角形与四边形 三角形 11 3 12 2 四边形点 命题透视 1．呈现 “新材料、新情境、新问题” 的特点，以文字、图形、网格、折叠 / 旋转操作、动态几何为主要载体，突出对逻辑推理、直观想象、数学建模核心素养的考查，常融入传统文化（如古代建筑、几何图案）与生活应用，强调几何直观与严谨证明 2．从命题内容上看，三角形部分重点考查全等、相似、勾股定理及特殊三角形的性质与判定，常结合折叠、旋转等变换进行证明与计算；四边形部分聚焦平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，常与三角形综合，考查特殊四边形的判定及动态问题；整体命题趋势是 “三角形为基础、四边形为载体、变换为手段”，强调逻辑推理与数形结合. 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 三角形的性质与判定 ①广东・T18：等腰三角形性质与折叠计算 ②浙江・T16：直角三角形与三角函数 ①湖南・T20：直角三角形与勾股定理综合 ②山东・T17：等边三角形与旋转 ①北京・T16：等边三角形与旋转全等 ②四川・T18：等腰三角形与分类讨论 三角形全等与相似 ①广东・T22：三角形全等证明与线段计算 ②江苏・T21：三角形相似判定与比例 ①河南・T19：三角形相似判定与比例计算 ②重庆・T20：手拉手全等模 ①湖北・T21：手拉手全等模型综合 ②安徽・T18：三角形相似与面积比 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 特殊四边形的性质 ①江苏・T18：矩形的性质与折叠问题 ②浙江・T19：菱形的判定与对角线 ①四川・T17：菱形的判定与对角线计算 ②福建・T18：矩形的性质与动点 ①广西・T19：正方形的性质与面积计算 ②湖南・T17：平行四边形的判定 四边形与三角形综合 ①山东・T23：平行四边形与三角形相似综合 ②安徽・T21：矩形与直角三角形 ①重庆・T25：矩形与直角三角形综合 ②江苏・T22：正方形与全等三角形 ①江西・T22：正方形与全等三角形综合 ②浙江・T23：菱形与三角形相似 几何变换与动态问题 ①安徽・T22：三角形旋转与动点最值 ②福建・T20：四边形折叠与线段 ①福建・T24：四边形折叠与存在性问题 ②山东・T22：三角形旋转与最值 ①辽宁・T23：正方形旋转与线段最值 ②北京・T24：四边形动点与存在性 命题预测 一、命题形式 将继续以图形、折叠/旋转、网格、动态情境为主要载体，融入传统文化（如几何图案、古代建筑）与生活应用，突出对逻辑推理、直观想象、数学建模核心素养的考查，强调“从图形中发现规律，用推理证明结论”。 二、核心考点预测 1）三角形：重点考查全等与相似、勾股定理及特殊三角形性质，常结合折叠、旋转等变换进行综合计算与证明。 2）四边形：聚焦平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，多与三角形综合，考查判定证明及动态问题。 3）综合趋势：压轴题将以“几何变换+特殊图形+动点问题”为主，强化分类讨论与数形结合，同时函数与几何综合的比重会进一步提升。 考点一：三角形 考点二：四边形 考点一：三角形 题型一：特殊三角形性质与判定 题型二：三角形全等证明与计算 题型三：三角形相似判定与比例计算 题型四：解直角三角形（三角函数综合） 题型五：三角形多结论判断题 题型六：三角形线段/周长/面积最值问题 题型七：三角形新定义几何问题 题型八：三角形尺规作图与计算证明 题型九：三角形动点与存在性问题 题型十：三角形手拉手模型 题型十一：三角形与圆综合 必备知识 知识1 特殊三角形的性质与判定 知识2 全等三角形的性质与判定 知识3 相似三角形的性质与判定 命题预测 ►题型一 特殊三角形性质与判定 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．  (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． （1）解：∵等腰直角三角形中， ，，， ， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵，∴； （2）∵，，∴， 设，则：， ， ∵等腰直角三角形中， ，， ∴， ∴， ►题型一 特殊三角形性质与判定 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．  (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． ∵是的中点，∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； ►题型一 特殊三角形性质与判定 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．  (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ►题型一 特殊三角形性质与判定 1．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．  (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时， 的值最小为的长， 在中， ， ∴， ∴的最小值为． ►题型一 特殊三角形性质与判定 2．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． ►题型一 特殊三角形性质与判定 2．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 解：探究发现： ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴； ►题型一 特殊三角形性质与判定 2．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， 在中， ． ∵将线段绕点逆时针旋转得， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， ∴由探究发现可得：． ►题型一 特殊三角形性质与判定 2．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 拓展延伸：如图，延长交于点， 过点作于点，连接， 设，∵是半圆的直径， ∴， ∵， 在中， ， ∴，∴， ∴， ∴． ∴由探究发现可得：， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ． 在中， ， ∴， 解得：， ∴ ►题型二 三角形全等证明与计算 ►题型二 三角形全等证明与计算 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． ►题型二 三角形全等证明与计算 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系 _____． （1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ，， ，， ， ，， ， ， ； ►题型二 三角形全等证明与计算 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转， 点与点重合，得到， ，， ， ，E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ►题型二 三角形全等证明与计算 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，， ，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． ►题型二 三角形全等证明与计算 2．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想：如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________ ． (2)类比探究：如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请直接写出的值． （1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ． P ∟ ►题型二 三角形全等证明与计算 2．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想：如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________ ． (2)类比探究：如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请直接写出的值． ． Q ∟ （2）解：不成立， ，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ►题型二 三角形全等证明与计算 2．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想：如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________ ． (2)类比探究：如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请直接写出的值． ． （3）解：①如图： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴； ►题型二 三角形全等证明与计算 2．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想：如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________ ． (2)类比探究：如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当，且时，若，请直接写出的值． ． ②如图： 当时， ∵， ∴，∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． ►题型三 三角形相似判定与比例计算 有平行截线 用判定定理1 底和腰的比相等 普通三角形判定相似思路 有一对等角 找 另一对等角 夹边成比例 有两边对应成比例 找 夹角相等 第三边也成比例 特殊三角形判定相似思路 直角三角形 找 一对锐角相等 两组直角边的比相等 斜边和直角边成比例 等腰三角形 找 顶角相等 一组底角相等 ►题型三 三角形相似判定与比例计算 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵， 即， ∴，， ，作于点， ∵，∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ►题型三 三角形相似判定与比例计算 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． （3）设，由旋转的性质得 ，则， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，作于点， ∵， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． ►题型三 三角形相似判定与比例计算 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，， ，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若， 将绕点逆时针旋转至， 点恰好落在边上， 求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． ►题型三 三角形相似判定与比例计算 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，， ，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 解：[问题解决] ①∵， ∴， ∴， ∴； 平行 ＝ ②∵， ， ∴，， ， ，； ►题型三 三角形相似判定与比例计算 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． 方法应用： ①为旋转得到， ， 令，则， ， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ►题型三 三角形相似判定与比例计算 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，， 即， 解得：， ，， H ∟ 若， 时，， 若，时， ， 作于点，∴， ， ， D ∟ ►题型三 三角形相似判定与比例计算 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． H ∟ D ∟ 若，时，如图， ， ，， ，． 综上所述：满足条件时，或或． ►题型四 解直角三角形（三角函数综合） 1．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） （1）解： ∵， ∴四边形是矩形，∴； 在中，分米， 分米， ∴ 分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； ►题型四 解直角三角形（三角函数综合） 1．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） （2）如图所示，过点E作于H， 延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米， ， ， ∴ 分米， ►题型四 解直角三角形（三角函数综合） 1．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴ 分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． ►题型四 解直角三角形（三角函数综合） 2．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） （1）解：过点C作， ∵垂直于，∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴ ， ∴ ， 64 53 ►题型四 解直角三角形（三角函数综合） 2．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） （2）解：过点D作， 过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴ ， ∵为， ∴ ， ∵， ∴，∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ►题型五 三角形多结论判断题 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到 ， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． B 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． ►题型五 三角形多结论判断题 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 解：如图1，过点作， 交于点， ∵在正方形中， ∴ ， ，， ∴、是等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ►题型五 三角形多结论判断题 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ ∴， 设， ∵， ， ∴，故结论②正确； ∴，即是等腰三角形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴，故结论①正确， ►题型五 三角形多结论判断题 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确， ►题型五 三角形多结论判断题 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 过点作，如图2； 设，由 可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， ∵， ， ∴不一定等于，， ∴ 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有: 、、、， 共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． C ►题型六 三角形线段/周长/面积最值问题 1．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时，． 解：∵正方形纸片的边长为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴当点在线段上运动时， 点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ）  A．1 B．2 C．3 D．4 连接， ∵在正方形中，，，， ∴在中， ∵， ∴， ∴的最小值为．故③正确； ►题型六 三角形线段/周长/面积最值问题 1．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时，． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ）  A．1 B．2 C．3 D．4 如图，达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得: ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故④错误． ►题型六 三角形线段/周长/面积最值问题 1．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时，． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（    ）  A．1 B．2 C．3 D．4 在中，，， ∴随着的增大而增大， ∵ ， ∴当最大时，有最大值，有最大值， 此时，点N与点D重合， 过点作于点G，作于点P， ∵，∴四边形是矩形， ∴， 当取得最大值时，也是最大值， ∵， ∴有最小值， ∴在中，有最大值， 即有最大值， ∴点到的距离最大．故②正确． 综上所述，正确的共有3个． C ►题型六 三角形线段/周长/面积最值问题 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ）  A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵， ，，， 过点作于点，在上取一点， 使得延长交于点， 则四边形是矩形， ∴ ． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵， ，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， ►题型六 三角形线段/周长/面积最值问题 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ）  A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 当点与点重合时，与重合时， 最小此时， ， 故错误，符合题意； 故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，， 过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值 故正确，不符合题意； ►题型六 三角形线段/周长/面积最值问题 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ）  A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 当与重合时， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 当与重合时，过作， 则四边形是矩形，如下图， ►题型七 三角形新定义几何问题 1．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ． 解：，， ， ，， 若为“反直角三角形”， ①当时， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，； D ∟ ②当时， 过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ，； M ∟ ►题型七 三角形新定义几何问题 ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 1．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ． 或 ►题型七 三角形新定义几何问题 1．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ． 解：根据题意，点向上平移2个单位， 得到 点， ∴，， ∴， ， ∴， 根据题意， 将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴， ， ∴， ∴点的坐标为， ►题型八 三角形尺规作图与计算证明 2．（2025年山东省威海市中考数学真题） 问题提出:已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决: （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移: （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 解：（1）如图1中，连接， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ，，； （2）如图中，连接，  由题意，， ， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，∴， ， ►题型八 三角形尺规作图与计算证明 2．（2025年山东省威海市中考数学真题） 问题提出:已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决: （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移: （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） （3）如图中，  由题意知，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ． ►题型九 三角形动点与存在性问题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， ►题型九 三角形动点与存在性问题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； ►题型九 三角形动点与存在性问题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． （3）解：∵为等边三角形， 点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时，， ，∴， ∵点D的坐标为，∴点Q的坐标为； ∴，∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 当时，， ，∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ►题型九 三角形动点与存在性问题 2．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． （1）解：如图，∵为中点，∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形 （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动， 设的外接圆为 如图，设与交于点，连接，   ►题型九 三角形动点与存在性问题 2．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时， 取得最大值为 ∴的最大值为 ►题型十 三角形手拉手模型 ►题型十 三角形手拉手模型 1．（2025年黑龙江省龙东地区中考数学试卷）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：(1)若时，如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 解:（1）①证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，∴在中， ， ∵， ， ∴， ∴． ►题型十 三角形手拉手模型 1．（2025年黑龙江省龙东地区中考数学试卷）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：(1)若时，如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． ②解：，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，∴在中， ， ∵， ， ∴，∴． ►题型十 三角形手拉手模型 1．（2025年黑龙江省龙东地区中考数学试卷）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：(1)若时，如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． ►题型十 三角形手拉手模型 2．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． （1）证明：在中， ， 在中， ， 点是的中点， 在中，， 在中，， ， ， 是等边三角形； ►题型十 三角形手拉手模型 2．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． （2）①（1）中的结论还成立， 理由如下： 如图，延长交于点， 分别延长相交于点， 由旋转角为可得， ， 又 ， ， ，是的中位线， ，， 同理可得，， ，是的中位线， ，， 是等边三角形； ►题型十 三角形手拉手模型 2．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． ②如图，点E在以点A为圆心， 3为半径的圆上， 延长至点G，使， 延长至点P．使， 连接、、、， ，， ， ， ，， 同理， ，， ， ，， ，， ，F为中点， ∴，， ►题型十 三角形手拉手模型 2．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． ， 同理，， ，， ， ， ， 当三点共线时，取得最大值，此时最大， ►题型十 三角形手拉手模型 2．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 即绕点A顺时针旋转240度时， 最大，延长交于点， 分别延长相交于点， 由①得是的中位线， 是的中位线， ， ， 是等边三角形， ， 3 ►题型十一 三角形与圆综合 1．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．  (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． （1）解：∵， 且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； ►题型十一 三角形与圆综合 1．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．  (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． （3）解： 存在常数，，使等式 成立； 理由如下：如图，设与交于点， ∵平分，∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得： ， ∵，∴， ∴，． 知识01 特殊三角形的性质与判定   等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性质 (1)两腰相等. (2)两底角相等（简写成“等边对等角”）. (3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. (4)是轴对称图形，有一条对称轴. (1)三边相等. (2)三个内角相等，都等于60°. (3)是轴对称图形，有三条对称轴. (4)等边三角形三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重合. (1)两锐角之和等于90°. (2)斜边上的中线等于斜边的一半. (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半. (4)勾股定理： 两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a，b为直角边，c为斜边）. 判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（依据“等角对等边”） (1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)勾股定理的逆定理：若，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形. 面积 （a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高）. （a为等边三角形的边长）   S=（a，b为直角边，c为斜边，m为斜边上的高）. 判定方法 文字描述 图示 SSS 三边对应相等的两个三角形全等.   ASA 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 知识02 全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 全等三角形的判定： AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.   SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.   知识03 相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 知识03 相似三角形的性质与判定   判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似．   2.相似三角形的判定 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】奋进小组根据小明和小红的发现， 讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题提出与解决】奋进小组根据小明和小红的发现， 讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 最小值时，求的面积． 解：（1）由折叠的性质得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴； （2），证明如下， 如图1，连接，   由旋转性质得， ，又， ∴， ∴； 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题提出与解决】奋进小组根据小明和小红的发现， 讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； （3）如图2，∵， ∴， 由旋转性质得，， ∴，∴， 设，则， 在中，由 得 ， 解得， ∴； 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题提出与解决】奋进小组根据小明和小红的发现， 讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． （4）如图，连接，则，当A、F、D共线时取等号， 此时最小， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ， ∴， ∴，即，∴， ∴． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，于点，点在上（不与点，重合），连接，交于点．  (1)求和的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)将沿着翻折后得到，点落在点处，连接，当时，直接写出的值． （1）解：， ， ， ， ， ； （2）已知是以为腰的等腰三角形， 分以下两种情况讨论： ①当时，， ，， ，， ，， ，即， ，解得． ， 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，于点，点在上（不与点，重合），连接，交于点．  (1)求和的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)将沿着翻折后得到，点落在点处，连接，当时，直接写出的值． 在中，由勾股定理， 得， ，解得； ②当时，， ， ，即， ，， ， ，， 设，则， 在中，由勾股定理，得 ， ，解得， ；综上所述，的长为或； 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，于点，点在上（不与点，重合），连接，交于点．  (1)求和的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)将沿着翻折后得到，点落在点处，连接，当时，直接写出的值． （3）如图，连接交于点，过点作，交的延长线于点． ，， 由折叠的性质可知，， ，， 又， ， 四边形是菱形，， ， ， ，， ，即， 解得， ， 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，于点，点在上（不与点，重合），连接，交于点．  (1)求和的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)将沿着翻折后得到，点落在点处，连接，当时，直接写出的值． ， 。 ， 四边形是菱形，， ， ，， ，， ， ，即， 解得， ， ． 3．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， 3．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针 旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   3．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． （3）如图，将 绕点B顺时针旋转， 得到 连接，  由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 考点二：四边形 题型一、平行四边形的判定与性质综合 题型二、矩形折叠与计算 题型三、菱形性质与面积、对角线综合 题型四、正方形旋转、全等、相似综合 题型五、特殊四边形的多结论判断 题型六、四边形中的动点问题 题型七、四边形线段、周长、面积最值 题型八、中点四边形模型应用 题型九、四边形与坐标系综合 题型十、特殊四边形存在性问题 题型十一、四边形与三角形综合证明 题型十二、四边形新定义与阅读理解 必备知识 知识1 特殊四边形的性质 知识2 特殊四边形的判定 命题预测 ►题型一 平行四边形的判定与性质综合 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 解：如图，连接，交于， 过作于， ∵，，∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，，∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 而，， ∴，∴， ∴， ∴； ►题型一 平行四边形的判定与性质综合 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：(1)；(2)． （1）证明： ∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ►题型二 矩形折叠与计算 1.折叠的性质： (1) 折叠的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； (2) 对应点的连线被折痕所在直线垂直平分。 2.当涉及直角时，常利用勾股定理、相似三角形的性质或锐角三角函数的定义建立方程来解决问题。当题中涉及中点时，常利用中线或中位线的知识解决问题。当折叠背景为平行四边形时，要考虑平行四边形的性质，常利用角平分线和平行线构造等腰三角形解决问题。 ►题型二 矩形折叠与计算 1．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 . 解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ， , , , ; 或，如图： ， , , , ; 综上， 的度数可以是或或． 或或 ►题型二 矩形折叠与计算 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 解：∵矩形，∴， ∵翻折，∴， 当点在矩形内部时， 作，交于点， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； ►题型二 矩形折叠与计算 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴，∴， ∴， ∵折叠，∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的， 路径长为: ， ∴点的运动路径总长为：； ►题型三 菱形性质与面积、对角线综合 1．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．  (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． （1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于，， ； ； ►题型三 菱形性质与面积、对角线综合 1．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．  (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： ►题型三 菱形性质与面积、对角线综合 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．  (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解： 由 解得，，， ∵的长是一元二次方程 的根，∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分，∴， ∴，∴ 答：点的坐标为． ►题型三 菱形性质与面积、对角线综合 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．  (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （2）解：根据题意可知， ，， 如图，作于点， 则， ∵，，， ∴，作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积 ， ►题型三 菱形性质与面积、对角线综合 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．  (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 当时，， ∴的面积 ， 综上所述， ， 答：的面积关于运动时间t的函数解析式为 ►题型三 菱形性质与面积、对角线综合 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．  (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）解：如图，当时， ，点和点重合， ，， ， 假设在对角线上存在一点， 使得是含角的等腰三角形， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，， 设，则， ∵，∴， ∴，∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点， 使得是含角的等腰三角形， ，，． ►题型四 正方形旋转、全等、相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折， 使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 解：（1）∵正方形， 边长为4， ∴ ，∴， ∵翻折， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ； ►题型四 正方形旋转、全等、相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折， 使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． （2）当时，如图， 作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴， ∵，∴， 又∵折叠，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴，∵， ∴， ， ∴， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴； ►题型四 正方形旋转、全等、相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折， 使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． ②当时，如图： 作于点， 延长交于点， 作于点，则：， 四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； ►题型四 正方形旋转、全等、相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． （3）连接，，交于点， 作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠，∴，， ，， ∴，， ∴， 又∵， ∴，∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时， ，值最小； ►题型四 正方形旋转、全等、相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 如图： ∵， ，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． ►题型五 特殊四边形的多结论判断 1`．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 解：①∵四边形是平行四边形， ∴，；即结论①正确； ②∵中，， ∴， ∵，， ∴≌∴ ∵∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形；即结论②正确； ③∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ►题型五 特殊四边形的多结论判断 1`．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． ∵，∴， ∵， ∵，， ∴， 即结论③错误． ④因为点关于的对称点是点，连接交于点，当点与重合时， 的值最小即为的长． ∵菱形中， ∴， ∵，∴， ∴， ►题型五 特殊四边形的多结论判断 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 在和中，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴ ， 即结论④正确． ①②④ ►题型五 特殊四边形的多结论判断 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论： ①； ②； ③； ④． 正确的是 （填写序号）． 解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点，∴， ∴，∴， ∵点为的中点，∴， ∴，∴， ∴，故①正确； ∵正方形，∴，即， ∴， ∵正方形，∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ►题型五 特殊四边形的多结论判断 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论： ①； ②； ③； ④． 正确的是 （填写序号）． ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ， ∴， 故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ►题型五 特殊四边形的多结论判断 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论： ①； ②； ③； ④． 正确的是 （填写序号）． ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ①④ ►题型六 四边形中的动点问题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上．  (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． （1）解：，理由如下： ∵正方形，∴， ∵是直角三角形，， ∴，当点E与点A重合时，则： ， ∴， 又∵， ∴，∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上， 的延长线与的延长线交于点P， ∴，∴， ∵ ，∴， ∵，，∴， ►题型六 四边形中的动点问题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上．  (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 在和中， ∴，∴ （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，，作于点， 则：，  ∴，∴， ∴， ∵，∴为的中位线， ∴， H ∟ ∵，，∴， 又∵，∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∵，∴． ►题型六 四边形中的动点问题 2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．  (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． （1）解：当重合时，如下图： ， 以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即，解得：（负的舍去）， ， ， ， 7 （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时， 即点在线段上运动，如下图： ， ►题型六 四边形中的动点问题 2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．  (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． ， ， ， ， ，解得：， ， ； ►题型六 四边形中的动点问题 2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．  (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即:， 解得：， ， ． ►题型七 四边形线段 / 周长 / 面积最值 1．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 5 ►题型七 四边形线段 / 周长 / 面积最值 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段， 菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴， 当且仅当、、依次共线时， 取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴ ， ∴四边形是矩形 ►题型七 四边形线段 / 周长 / 面积最值 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ∴， 即的最小值为， ►题型八 中点四边形模型应用 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 ►题型八 中点四边形模型应用 解：连接交于O， ∵四边形是菱形，∴， ∵点E、F、G、H分别是边 和的中点， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积: ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， B ►题型八 中点四边形模型应用 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ）  A．4 B．5 C．8 D．10 解：如图：连接，交于点O，因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，； ，； ，； ， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． B ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ．∴ 在中 ． O ►题型九 四边形与坐标系综合 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． （1）解：∵点A的横坐标为， 且点在反比例函数的图象上， 代入得：，， 作轴，轴，如图， ∵，∴， ， ，， ，， ∵，， ∵，点的坐标为，， ，，， ， 在反比例函数的图像上， 代入得：， ∴反比例函数解析式为； ►题型九 四边形与坐标系综合 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____ 、____ ． （2）解：∵、分别在反比例函数 和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． ►题型九 四边形与坐标系综合 2．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．  (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． （1）解：由题意可知， 点在一次函数的图象上， 则，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得，则，； （2）解：①过点A作轴交于点H， 过点E作交于点M， 过点D作交于点N， 如图，则， ∴， ∴，∴， ∵点D的横坐标为4，∴点D的纵坐标为， ∵，∴， ►题型九 四边形与坐标系综合 2．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．  (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ►题型九 四边形与坐标系综合 2．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．  (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ②一次函数的图象 与y轴交于点C，令， 则，∴， ∵，∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∵点， ∴， ∵，∴点M与点K重合，， ∴点， ►题型九 四边形与坐标系综合 2．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．  (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 设直线的解析式为 ，则 ，解得， ∴，设点， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴， 解得，或， ∵D的横坐标大于1，∴， ∴， 故点． 1．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，．（1）求的长； 【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ►题型十 特殊四边形存在性问题 ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 解：（1）∵， ∴，∴， ∴，∴， ∵，，， ∴， ∴，∴； 1．（2025·山东·中考真题） 【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ►题型十 特殊四边形存在性问题 （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 1．（2025·山东·中考真题）【图形感知】如图1，在四边形中，已知，，． ►题型十 特殊四边形存在性问题 ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得， ，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵ ， ∴点在对角线上 ∴， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，∴； 1．（2025·山东·中考真题）【图形感知】如图1，在四边形中，已知，，． ►题型十 特殊四边形存在性问题 （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，，   ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． ►题型十 特殊四边形存在性问题 2．（2024·宁夏·中考真题） 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：把点代入 ，得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ，， ， 根据题意得，点的坐标为， 则， 把代入，得： ►题型十 特殊四边形存在性问题 2．（2024·宁夏·中考真题） 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， ， ►题型十 特殊四边形存在性问题 2．（2024·宁夏·中考真题） 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ， ，， ， ， 又， ， 解得：， （不合题意，故舍去）， ∴的值为； ►题型十一 四边形与三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 解：（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴，∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下，∵为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ，∴， ►题型十一 四边形与三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴ ， ∴， ∵，∴， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，∴． ►题型十一 四边形与三角形综合证明 2．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中， ，求的长． （1）解：∵是等腰三角形， ，， ∴当时， 此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，， 此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， E ∟ ►题型十一 四边形与三角形综合证明 2．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中， ，求的长． 在和中， ∴， ∴，， ∴在中， ， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴． E ∟ ►题型十二 四边形新定义与阅读理解题型 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． [探究发现]： 解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； ►题型十二 四边形新定义与阅读理解题型 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； ►题型十二 四边形新定义与阅读理解题型 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ，， ，设，则， ， 为中点，，， 四边形是菱形，， 四边形是矩形，， ，， [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： ， ， ， ， ； ►题型十二 四边形新定义与阅读理解题型 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 当四边形是菱形时， 延长交于，如图： 设，则 ， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ，△是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时， 的值为或． 知识01 特殊四边形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 知识02 特殊四边形的判定 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形   1）平行四边形+ 一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等   平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 1．问题提出（1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：； 问题解决（2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且于点．若，求小路的最小值．（小路的宽度均忽略不计） （1）证明：∵正方形， ∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴； （2）如图，过作，过作， 两条平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 过作交于，而， ∴，， 同理可得：四边形是平行四边形， ∴，结合（1）可得：， ∴， 1．问题提出（1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：； 问题解决（2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且于点．若，求小路的最小值．（小路的宽度均忽略不计） ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，________； 【类比探究】（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． （1）解：如图， 延长交于， ， ，， 四边形、是正方形， 是正方形的对角线， 是正方形的对角线， 、、三点共线，， ，， ，， ， ； 2．在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，________； 【类比探究】（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． （2）解：连接、， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ， ． 2．在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，________； 【类比探究】（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． （3）解：，， 设，，， 则，， ， ， ， ， ，， ，，解得， ，， ， ， ， ， ，， ，. ． 3．已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且．①求证：；②若，，求的长． 解：（1）①四边形是菱形． 证明如下：由折叠的性质，得， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是菱形． ②四边形是矩形，， ，， ， 设，则， ， 解得，， ， ． 3．已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且．①求证：；②若，，求的长． （2）①四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，得，， ，， 在和中， ，， ，， ． ②设，， ，， ， 由折叠的性质，得，， ， ， ，， ，解得， ． 4．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴； 4．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图，连接， ∵，， 即是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 4．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． （2）如图，过点作，垂足为， 过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ， ∴，， ∵， ∴（）， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 4．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． （3）如图；过点作， 垂足为，过点作， 垂足为，∵， ∴ ， ∵在菱形中，是的角平分线， ，∴， ∵，∴（）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，设， 则，， ，， 4．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得． ① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． ， ， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图，，， ， ， ，， 的面积存在最小值为． $