11-专题十一 三角形、四边形综合题（精讲册）-【众相原创·减负中考】2026年中考数学配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦河北中考三角形、四边形综合题核心考点，严格对接中考说明，分析10年考频（如10年7考综合题、3考动点问题、4考旋转问题），归纳动点、旋转、平移、折叠四大常考类型，梳理典型题型及解题路径，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于融合中考真题（2021-2023河北26题）与核心素养培养，通过动点问题中构造全等证线段和定值、旋转问题中用相似求角度等实例，训练学生数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型观念）。提供辅助线作法、易错点解析等应试技巧，帮助学生掌握答题策略，教师可依此高效组织复习，提升中考得分率。

河北 数 学 基础精讲册 1 第二部分 河北中考解答题强化练 专题十一 三角形、四边形综合题（10年7考） 2 类型1 动点问题（10年3考） 1.【原创】如图，已知 ，点，分别在射线，上，点 在的平分线上，，且点到 的距离为4. 图1 图2 （1）点到 的距离为___. 4 3 （2）请证明: 的长为定值. 图1 解图1 解：证明：如解图1，过点作于点， 作于点 . 点在的平分线上， . 在和 中， ， ， . ， 四边形 为矩形， ， ， 的长为定值. 4 （3）若为的中点，直接写出点与点 的最大距离. 图1 解：点与点 的最大距离为4. 5 【解法提示】由（2）可知，四边形 为矩形， ， ， .又, 为等腰直角三角形，为 的中点， ， 当取最大值时，有最大值. 点 ， 分别在射线， 上，且， 当点与点重合时，取得最 大值，此时与重合. 点到的距离为4， 点到 的距离为4. 由等腰三角形三线合一可得， 点与点 的最大距离为4. 解图1 6 ①尺规作图：过点作直线的垂线，垂足为 （保留作图痕迹，不写作 图过程）； 图2 （4）如图2，若 . 解：作图如解图2. 解图2 7 ②在①的条件下，求 的长. 解：由（2）可知 ， . 在中，由勾股定理，得 . 解法， ， ，， . 解法， . 8 2.如图1和图2，在中，，，.点在 边上，点 ，分别在，边上，且，点从点出发沿折线 匀速移动，到达点时停止，而点在边上随点 移动，且始终保持 . 图1 图2 9 （1）当点在上时，求点与点 的最短距离； 图1 图2 解图1 解：如解图1，当点在上时，点与点 的最短距离就是 边上的高，此时垂直平分， ， ，即点与点 的最短距离为3. 10 （2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求 的长； 图1 解：如解图2，当点在上时， ， ， . 解图2 由（1）知 将的面积分成上下 两部分， ，， ， . 11 （3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线 的 距离（用含 的式子表示）； 图1 图2 12 解图3 ①如解图3，当时，点在上， . 由，得 . ， ； 解图4 ②如解图4，当时，点在 上， 此时， . 综上所述，当时，点到直线的距离为 ； 当时，点到直线的距离为 . 解：过点向直线作垂线，垂足为，则的长就是点到直线 的 距离. 13 （4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描 区域 （含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒.若 ，请直接写 出点 被扫描到的总时长. 图1 图2 解：点被扫描到的总时长为23秒 14 【解法提示】先计算的移动速度，再分两种情况讨论. 点从到 再到 共用时36秒，.当点在上时，如解图1，点从到 的过 程中点可以被扫描到，；当点在 上时，如解图 2和解图3，易知， . 解图1 解图2 解图3 15 设.当点与点重合时，，整理得 ，因式分 解，得，解得或, 点被扫描到时，点在 上的路径长为, 点被扫描到时，点 的总路径长为 ， 点被扫描到的总时长 （秒）. 解图1 解图2 解图3 16 类型2 旋转问题（10年4考；2023.26） 3.（2023河北26题13分）如图1和图2，平面内，在四边形 中， ，，，， ，点在边上，且 . 将线段绕点顺时针旋转到，的平分线 所在 直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为 ，连 接 . 图1 图2 备用图 17 （1）若点在上，求证： . 图1 证明： 将线段绕点顺时针旋转 得到， . 平分，. 又 ， ， . 18 （2）如图2，连接 . 图2 ①求的度数，并直接写出当时， 的值； 解：，， ， . 又，， ，， ， . 19 解图1 当时， 的值为13. 【解法提示】当时，如解图1，设交于点 平分， ， ， ，，即 ， ，， . ， ， ，，即， ， . 20 ②若点到的距离为2，求 的值. 图2 解图1 解：如解图1，当点在上时，过点作于点 ， . ，， ， . 在中，， 在 中， ， . ,, , ； 21 解图2 如解图2，当点在上时，，过点作 交 的延长线于点，延长交 的延长线于点 ， ， ， ，即，， ， . ，，， ， ，即，解得 ， . 综上所述，的值为或 . 22 （3）当时，请直接写出点到直线的距离（用含 的式子表示）. 图1 图2 备用图 解：点到直线的距离为 23 解图2 【解法提示】当时，点在上，如解图2，过点 作 于点，过点作，交的延长线于点 ， 则四边形是矩形，易证 ， .易知，，设 ， ，则，， ， ，整理得，即点到直线 的距离 为 . 24 4.（2021河北26题12分）在一平面内，线段，线段 ， 将这四条线段顺次首尾相接.把固定，让绕点从 开始逆时针旋转 角到某一位置时，， 将会跟随出现到相应的位置.#1 图1 图2 备用图1 备用图2 论证 如图1，当时，设与交于点，求证： . 证明：，， . 又，， . 25 发现 当旋转角 时， 的度数可能是多少？ 解图1 解：如解图1，当，，三点共线时， 是等边三角 形，此时 . 解图2 如解图2，当，，三点不共线时，取的中点 ，连 接，则 ， 四边形为菱形，， . 综上所述，的度数可能是 或 . 26 尝试 取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到 的距离. 图1 图2 备用图1 备用图2 27 解图3 解：如解图3， ， 当，，三点共线时， 取得最大值，为15. 过点作，过点作，过点作 ，垂 足分别是点，， . ， ， . 由，得 . 易知，， , ，即点到的距离为 . 28 拓展 ①如图2，设点与点的距离为，若的平分线所在直线交 于点，直接写出的长（用含 的式子表示）； 解： 图2 29 解图4 【解法提示】如解图4，过点作于点，连接 交 于点，连接，设，由题意得 .易得 ，，即， ， . ， ，即 ， ， ，即 . 30 ②当点在下方，且与垂直时，直接写出 的余弦值. 解： 的余弦值为 图1 图2 备用图1 备用图2 31 解图5 【解法提示】如解图5，过点作，垂足为 ，过 点作的延长线，垂足为，作，垂足为 ， 连接，过点作，交于点，连接 .设 ，则 ， ，解得， ， .易得 ，从而可得 ，， ， ， ， ， . 32 类型3 平移问题（2022.26） 5.已知直线，直线与，分别交于点， ， .将一个直角三角板按如图1所示放置，使点， 分别在直线，上， ， ， . 图1 图2 备用图 33 （1）若 ，分别求与 的度数. 图1 解：， ， . ， . ， . 34 （2）求 的度数. 图1 解图1 解：如解图1，过点作 ， ， ， . ， . 35 （3）将直角三角板沿 向右平移. 图2 ①如图2，当点与点重合时，若恰好平分，求 的值； 解：， ， . 恰好平分 ， . ， . ， ，解得 . 36 ②作的平分线，交直线于点 ，在整个平移过程中，直接写 出的度数（用含 的式子表示）. 图2 备用图 解：的度数为 或 ． 37 【解法提示】如解图1，； 如解图2，， ，平分， ， . 综上所述， 或 ． 解图1 解图2 38 6.（2022河北26题12分）如图1，在四边形中， ， ， ，，，于点.将 与该 四边形按如图方式放在同一平面内，使点与点重合，点在 上，其 中， ， . 图1 图2 图3 39 证明：， ， . 又，即 ， 四边形为矩形， ， . ，. ， . 在和中， . （1）求证： . 图1 40 （2）从图1的位置出发，先沿着方向向右平移（图2），当点 到达点后立刻绕点逆时针旋转（图3），当边旋转 时停止. ①边从平移开始，到绕点旋转结束，求边 扫过的面积； 图1 图2 图3 41 解：， ， , . 如解图，过点作，交的延长线于点 . ， ， ， ， 边平移扫过的面积为 . 边旋转扫过的面积为 ， 边扫过的面积为 . 42 ②如图2，点在上，且.若 右移的速度为每秒1个单 位长度，绕点旋转的速度为每秒 ，求点在 区域（含边界）内 的时长； 图2 解：由（1）可得， . ， . 在Rt中， ， , ， . 43 如解图，当点平移到与点 重合时， 设交于点，连接 . ， ， ， ，即 ， . ， 此时点在 内. 右移的速度为每秒1个单位长度， 在右移的过程中，点在 区域（含边界）内的时长为 秒. 44 在Rt 中， ， ， ， . ， . ， ， . ， ， ， . 旋转的速度为每秒 ， 在旋转的过程中，点在 区域（含边界）内的时长为 （秒）, 点在区域（含边界）内的时长为 秒. ③如图3，在旋转过程中，设，分别交于点， ，若 ，直接写出的长（用含 的式子表示）. 图3 解：的长为 46 【解法提示】，， .由（1）可得， 在 中， ， ，，， ， . 图3 47 类型4 折叠问题 7.【原创】如图，已知四边形，， ，连接 ， 将沿所在的直线折叠得到，且点在 上. 图1 图2 48 （1）如图1，求证： . 图1 证明：由折叠可得， . ，， ， . 又 ， ， ， . 49 （2）如图2，作交于点，交于点，且， . ①求 的值； 图2 解：如解图，连接.由（1）知 . ，， . 又，， . ，， . 在中，，即 , 解得，，， . ， . 50 又 ， ， ，即，解得 ， . ②求 的面积. 图2 解：由折叠及易得 . 如解图，作交于点. 由①易得 ， . 52 （3）若，且交于点，，求 的值. 图1 图2 解：令，，， . 由知，， ， ，整理，得 ， 解得或（不符合题意，舍去），即 . 53 54 $