小升初奥数培优应用题：优化问题 （讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：优化问题 【知识点梳理】 “优化问题”在小学奥数中主要体现为“最佳方案选择”，即在满足特定条件（如人数、数量、时间）的前提下，通过比较不同策略的成本或收益，找出最省钱、最省时或最高效的方案。这类问题不仅考察计算能力，更考察逻辑思维与统筹规划能力。 1. 核心解题策略 (1) 单价分析法（性价比）： 1　 将不同包装、不同促销方式下的商品转化为单位价格（如元/千克、元/个）。 2　 原则：优先选择单位价格低的方案。 3　 注意：需考虑是否会产生浪费（如买多了用不完）或是否刚好满足整除关系。 (2) 枚举比对法： 1　 当方案数量有限或变量较少时，列出所有可能的合理组合。 2　 步骤：确定变量范围 -> 列举极端情况（全A、全B）-> 列举中间混合情况 -> 计算各方案总成本 -> 比较得出最小值。 (3) 临界点与凑单策略： 1　 针对“满减”、“满赠”、“阶梯定价”等活动，计算临界数量。 2　 思考：是多买一点凑够优惠门槛划算，还是按实际需求量购买划算？需计算“边际成本”。 (4) 空位最小化原则（租车/租船）： 1　 在资源分配问题中，总费用 = 单价 × 数量。 2　 原则：优先使用“人均/单位成本低”的大资源（大车/大船），并尽量坐满/装满，减少空置浪费。若剩余人数较少，需比较“再租一辆大车”与“改租小车”的成本。 2. 常见题型模型 (1) 促销优惠类 1　 直接打折：原价 × 折扣率。 2　 满减/满赠：注意“满”的条件是金额还是数量。买赠问题中，实际单价 = 支付金额 ÷ (购买数量 + 赠送数量)。 3　 组合优惠：如“第二件半价”，需计算两件的总均价。 (2) 分段计费类 1　 特点：不同区间单价不同（如出租车费、电费、水费）。 2　 方法：分段计算，最后求和。公式：总费用 = 第一段固定费 + (总量 - 第一段限额) × 第二段单价。 (3) 资源调配类（租车/住宿） 1　 特点：有大、小两种规格，价格不同，容量不同。 2　 方法： a. 算出大、小规格的“单位人均成本”。 b. 优先租单位成本低的大规格。 c. 处理余数：比较“余数单独租小规格”与“调整大规格数量（退一大换几小）”的费用。 3. 解题规范步骤 (1) 审：看清需求总量、限制条件（是否可拆分、是否有最低消费）。 (2) 算：计算各选项的单位成本或构建费用函数。 (3) 列：列出2-3种最可能的优选方案（通常是全大、全小、混合）。 (4) 比：精确计算各方案总价。 (5) 答：给出具体方案及最少/最大数值。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 牛奶促销：大盒装1升售价10元，小盒装200毫升售价2.5元。小明要买恰好2升牛奶，怎样买最省钱？ 【详解】 2升 = 2000毫升。 方案一：全买大盒。2000 ÷ 1000 = 2盒。费用：2 × 10 = 20元。 方案二：全买小盒。2000 ÷ 200 = 10盒。费用：10 × 2.5 = 25元。 方案三：混合。1大盒（1000ml）+ 5小盒（1000ml）。费用：10 + 5×2.5 = 22.5元。 比较：20 < 22.5 < 25。 【答案】买2盒大盒装最省钱，共20元。 2. 公园门票：成人票30元，儿童票15元。团体票（10人及以上）每人20元。3位老师带7名学生去公园，怎么买票最省钱？ 【详解】 总人数：3 + 7 = 10人。 方案一：分开买。3×30 + 7×15 = 90 + 105 = 195元。 方案二：买团体票。10 × 20 = 200元。 195 < 200。 【答案】分开买票最省钱，共195元。 3. 文具店笔记本每本4元，实行“买5送1”活动。班级需要42本笔记本，最少花多少钱？ 【详解】 “买5送1”即每组6本，花费5×4=20元。 42 ÷ 6 = 7组。 正好7组，无剩余。 总费用：7 × 20 = 140元。 【答案】最少花140元。 4. 甲店铅笔0.5元/支，乙店铅笔0.6元/支但“买10送3”。买52支铅笔去哪家店？ 【详解】 甲店：52 × 0.5 = 26元。 乙店：“买10送3”即付10支钱得13支。 52 ÷ 13 = 4组。 需付款：4 × 10 = 40支。 乙店费用：40 × 0.6 = 24元。 24 < 26。 【答案】去乙店更划算。 5. 饮料大瓶2.5升8元，小瓶500毫升2元。要买恰好5升，最少多少钱？ 【详解】 5升 = 5000毫升。 大瓶单价：8÷2500 = 0.0032元/ml。 小瓶单价：2÷500 = 0.004元/ml。 优先大瓶。5000 ÷ 2500 = 2瓶。 费用：2 × 8 = 16元。 若混买：1大（2500ml）+ 5小（2500ml）= 8 + 10 = 18元。 【答案】最少16元。 【进阶提升篇】 6. 旅行社方案：A案：大人全价240元，小孩半价；B案：团体5人以上每人180元。4大2小选哪种？ 【详解】 A案：4×240 + 2×120 = 960 + 240 = 1200元。 B案：(4+2)×180 = 6×180 = 1080元。 1080 < 1200。 【答案】选B方案。 7. 旅行社方案：A案：大人全价240元，小孩半价；B案：团体5人以上每人180元，2大4小选哪种？ 【详解】 A案：2×240 + 4×120 = 480 + 480 = 960元。 B案：6×180 = 1080元。 960 < 1080。 【答案】选A方案。 8. 书店甲店打七五折，乙店“满200减60”。买标价400元的书，去哪家？ 【详解】 甲店：400 × 0.75 = 300元。 乙店：400里有2个200，减2×60=120元。实付400-120=280元。 280 < 300。 【答案】去乙店。 9. 租车：大车限乘50人，租金900元；小车限乘30人，租金600元。140人去春游，怎么租最省钱？ 【详解】 大车人均：900÷50=18元。小车人均：600÷30=20元。优先大车。 140 ÷ 50 = 2辆……40人。 方案一：2大 + 2小（40人需2小，因1小坐不下）。 费用：2×900 + 2×600 = 1800 + 1200 = 3000元。 方案二：1大 + 3小（剩90人，3小正好90人）。 费用：1×900 + 3×600 = 900 + 1800 = 2700元。 方案三：3大（150人，空10位）。 费用：3×900 = 2700元。 比较：方案二和三均为2700元。通常优选空位少或车辆管理方便的，此处费用相同。 【答案】租1辆大车3辆小车，或3辆大车，最少2700元。 10. 袜子“买3送1”，每双8元。买20双最少花多少？ 【详解】 每组4双，花费3×8=24元。 20 ÷ 4 = 5组。 费用：5 × 24 = 120元。 【答案】120元。 11. 打印店：前20页每页1元，超过部分每页0.5元。印60页多少钱？ 【详解】 前20页：20 × 1 = 20元。 后40页：40 × 0.5 = 20元。 总计：40元。 【答案】40元。 12. 出租车：起步价12元（3km），超3km每千米2.4元（不足1km按1km计）。行程9.1km多少钱？ 【详解】 9.1km按10km计。 超出：10 - 3 = 7km。 费用：12 + 7×2.4 = 12 + 16.8 = 28.8元。 【答案】28.8元。 【高阶思维篇】 13. 牙膏大号100g 12元，小号50g 7元。促销：买2大送1小。需至少500g，最少花多少？ 【详解】 组合：2大+1小 = 250g，花费24元。 需500g，即2个组合。 重量：500g。费用：24 × 2 = 48元。 若全买大：5大 = 500g，5×12=60元。 【答案】48元。 14. 采摘园A：门票30元/人，苹果5元/kg，限摘5kg。园B：无门票，苹果9元/kg。3人要摘12kg，去哪？ 【详解】 园A：3人门票90元。限摘3×5=15kg > 12kg，可行。 苹果费：12×5=60元。总计：150元。 园B：12×9=108元。 108 < 150。 【答案】去园B。 15. 运货：大车载重10吨运费600元，小车载重6吨运费400元。运58吨，最少运费？ 【详解】 大车每吨60元，小车每吨约66.7元。优先大车。 58 ÷ 10 = 5辆……8吨。 方案一：5大 + 2小（8吨需2小，因1小只载6吨）。 费用：5×600 + 2×400 = 3000 + 800 = 3800元。 方案二：4大（40吨），剩18吨。18÷6=3小。 费用：4×600 + 3×400 = 2400 + 1200 = 3600元。 方案三：6大（60吨，空2吨）。 费用：6×600 = 3600元。 比较：3600元最低。 【答案】租4大3小或6大，最少3600元。 16. 手机套餐：A月租18元，通话0.2元/分；B无月租，0.45元/分。通话多久费用相同？100分钟选谁？ 【详解】 18 + 0.2x = 0.45x 0.25x = 18 x = 72分钟。 100分钟时： A：18 + 20 = 38元。 B：45元。 38 < 45。 【答案】72分钟费用相同；100分钟选A套餐。 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：优化问题 【知识点梳理】 “优化问题”在小学奥数中主要体现为“最佳方案选择”，即在满足特定条件（如人数、数量、时间）的前提下，通过比较不同策略的成本或收益，找出最省钱、最省时或最高效的方案。这类问题不仅考察计算能力，更考察逻辑思维与统筹规划能力。 1. 核心解题策略 (1) 单价分析法（性价比）： 1　 将不同包装、不同促销方式下的商品转化为单位价格（如元/千克、元/个）。 2　 原则：优先选择单位价格低的方案。 3　 注意：需考虑是否会产生浪费（如买多了用不完）或是否刚好满足整除关系。 (2) 枚举比对法： 1　 当方案数量有限或变量较少时，列出所有可能的合理组合。 2　 步骤：确定变量范围 -> 列举极端情况（全A、全B）-> 列举中间混合情况 -> 计算各方案总成本 -> 比较得出最小值。 (3) 临界点与凑单策略： 1　 针对“满减”、“满赠”、“阶梯定价”等活动，计算临界数量。 2　 思考：是多买一点凑够优惠门槛划算，还是按实际需求量购买划算？需计算“边际成本”。 (4) 空位最小化原则（租车/租船）： 1　 在资源分配问题中，总费用 = 单价 × 数量。 2　 原则：优先使用“人均/单位成本低”的大资源（大车/大船），并尽量坐满/装满，减少空置浪费。若剩余人数较少，需比较“再租一辆大车”与“改租小车”的成本。 2. 常见题型模型 (1) 促销优惠类 1　 直接打折：原价 × 折扣率。 2　 满减/满赠：注意“满”的条件是金额还是数量。买赠问题中，实际单价 = 支付金额 ÷ (购买数量 + 赠送数量)。 3　 组合优惠：如“第二件半价”，需计算两件的总均价。 (2) 分段计费类 1　 特点：不同区间单价不同（如出租车费、电费、水费）。 2　 方法：分段计算，最后求和。公式：总费用 = 第一段固定费 + (总量 - 第一段限额) × 第二段单价。 (3) 资源调配类（租车/住宿） 1　 特点：有大、小两种规格，价格不同，容量不同。 2　 方法： a. 算出大、小规格的“单位人均成本”。 b. 优先租单位成本低的大规格。 c. 处理余数：比较“余数单独租小规格”与“调整大规格数量（退一大换几小）”的费用。 3. 解题规范步骤 (1) 审：看清需求总量、限制条件（是否可拆分、是否有最低消费）。 (2) 算：计算各选项的单位成本或构建费用函数。 (3) 列：列出2-3种最可能的优选方案（通常是全大、全小、混合）。 (4) 比：精确计算各方案总价。 (5) 答：给出具体方案及最少/最大数值。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 牛奶促销：大盒装1升售价10元，小盒装200毫升售价2.5元。小明要买恰好2升牛奶，怎样买最省钱？ 2. 公园门票：成人票30元，儿童票15元。团体票（10人及以上）每人20元。3位老师带7名学生去公园，怎么买票最省钱？ 3. 文具店笔记本每本4元，实行“买5送1”活动。班级需要42本笔记本，最少花多少钱？ 4. 甲店铅笔0.5元/支，乙店铅笔0.6元/支但“买10送3”。买52支铅笔去哪家店？ 5. 饮料大瓶2.5升8元，小瓶500毫升2元。要买恰好5升，最少多少钱？ 【进阶提升篇】 6. 旅行社方案：A案：大人全价240元，小孩半价；B案：团体5人以上每人180元。4大2小选哪种？ 7. 旅行社方案：A案：大人全价240元，小孩半价；B案：团体5人以上每人180元，2大4小选哪种？ 8. 书店甲店打七五折，乙店“满200减60”。买标价400元的书，去哪家？ 9. 租车：大车限乘50人，租金900元；小车限乘30人，租金600元。140人去春游，怎么租最省钱？ 10. 袜子“买3送1”，每双8元。买20双最少花多少？ 11. 打印店：前20页每页1元，超过部分每页0.5元。印60页多少钱？ 12. 出租车：起步价12元（3km），超3km每千米2.4元（不足1km按1km计）。行程9.1km多少钱？ 【高阶思维篇】 13. 牙膏大号100g 12元，小号50g 7元。促销：买2大送1小。需至少500g，最少花多少？ 14. 采摘园A：门票30元/人，苹果5元/kg，限摘5kg。园B：无门票，苹果9元/kg。3人要摘12kg，去哪？ 15. 运货：大车载重10吨运费600元，小车载重6吨运费400元。运58吨，最少运费？ 16. 手机套餐：A月租18元，通话0.2元/分；B无月租，0.45元/分。通话多久费用相同？100分钟选谁？ 学科网（北京）股份有限公司 $