安徽省合肥市庐江县柯坦中学2025-2026学年八年级下学期 期中数学试题（4月）

柯坦中学八年级下学期期中考试 数学试题 注意事项： 满分150分，时间为120分钟。 一、选择题（本大愿共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的， 1.若一个八边形的每个外角都是x°，则x的值为 e0.4444eeeege0。e040e00et05 A30 B.45 C.135 D.150 2.下列各式中，是最简二次根式的是 44.000+04000000004044e044000440400年 月 B.√20 C.15 D.0.4 3.下列三组数中，是勾股数的是 】 A2,3,4 B.4,5,6 C.3.9、7 D.12,16,20 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行 四边形的是… 【】 A.AB//DC.AD//BC B.AB//DC,AD=BC C.AB=DC,AD=BC D.OA=OC.OB=OD D 第4题图 第5题图 第6题图 5.古诗资美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香.”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10c,忽见它 随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察，发现荷花偏离原位置50c(如图)，则水的深度BC为【】 A.90 cm B.100 cm C.120 cm D.125 cm 6.如图，□ABCD中，EF∥AB,GH∥AD,则图中共有平行四边形的个数为 …【 】 A9个 B.8个 C.7个 D.6个 7.如果一个三角形的三边长分别为1，k,3,则化简7一√4k2一36k+81一√(2火一3)7的结果是…【】 A.1 B.-5 C.13 D.19-4 8.如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP,BP=8,CP=12,点D,E,F,G分别是AP,BP,BC,AC的 中点，若四边形DEFG的周长为22，则AP的长为 …【】 第8题图 A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在R△ABC中，∠BAC=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作 正方形，若阴影部分的面积关系满足4(S,十S:)=S,,则下列说法正确的是…【】 1 A.AB-2AC B.AB=AC C.2AB=BC D.2AC=BC 第9题图 第10题图 10.如图，在R1△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，AC=4V2,点P为BC上任意一点，连接PA,以 PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为…【】 A.2√2 B.4V2 C.2 D.4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.要使二次根式√/工一2026有意义，则实数x的取值范围是 12.已知直角三角形的斜边长为√13，周长为5+√13，则它的面积为 13.如图，点E在□ABCD的边BC上，BE=CD.若∠EAC=20°，∠B十∠D=80°，则∠ACD的度数 为 第13题图 14.我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a,b,c称为勾股数. (1)若5,13，k是一组勾股数，则k= (2)在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中 a 6 9 12 14 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 则当a=20时，b+c的值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：(3+2)2+(1+2)(1-√2) 16.如果一个n边形的内角和为1800°，求n的值 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图所示，池底某点反射的光OA从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去， 就会感觉点O的位置升高到O'处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现 象.已知O,O',B三点共线，AB=8dm,O'B=6dm,O'A=10dm,OA= 17dm,池水看起来变浅了多少？（即求O0'的长度） 第17题图 18.某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为（√35+2）米.现在要在正方形绿地内修建四个大 小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为(W7+1)米、宽为（万一1）米，除去修建花坛的地方，其 它地方全部修建成通道，求通道的总面积 第18题图 五、（本大愿共2小题，每小题10分，满分20分）】 19.运动不息，健康常在.如图，为了满足市民健身需求，市政部门沿湖边修建了四边形ABCD环湖步 道，已知AB=16km,AD=20km,BC=13km,点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向 5km处. (1)求证：AB⊥BD: (2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点A飞到点C 处，求无人机飞行的直线距离.（结果保留根号） 第19题图 20.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在AD上，点F在BC上，连接EF,使EF恰好 经过点O (1)求证：ED=FB: (2)若AC⊥BD,ED+CF=5,AC=6,求BD的长. B 第20题图 六、（本题满分12分） 21.阅读材料，解答问题： 材料1：由于(5+2)(5一2)=1，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们 称这两个代数式互为有理化因式： 1 3-√2 3-√2 材料2： 3+2 (3+2)(w3-2)(3)2-(2)2 =尽一巨=5一反，这样进行二次根式计 3-2 算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化， 问题： (1)①/6的一个有理化因式是 ②一3一√7的一个有理化因式是 1 1 1一十…十 (2)计算：万+55+厅7+3 2025+√J2027 (3)已知a=√/2025-√2024，b=2026一√2025，试比较a,b的大小，并说明理由. 七、（本题满分12分） 22.综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为： 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和. 【定理证明】勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理 而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形， 请用它验证勾股定理：c2=a2+b2; 【定理应用】 (1)如图2，在5×6网格中，△ABC是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点B到边AC的距离； (2)如图3，在△ABC中，AB=AC,点E是高CD上一点，∠DEB=2∠EBC.若EB=10,ED=6, 求AB的长 图」 图2 图3 第22题图 八、（本題满分14分） 23.如图，在□ABCD中，AD⊥AC,AD=AC,点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G,CH⊥ DE,垂足为H,CH的延长线与AB相交于点F,连接FG. (1)若DG=√10，AG=1,求AB的长； (2)当AE=AD时，求∠BCH的度数： (3)当点E在线段AB上运动时，试探究DG,CF,FG三者之间的数量关系. D 第23题图八年级数学参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分】 题号 3 45 6 7 9 10 答案 B D B C A A D B D 9.B在Rt△ABC中，设AB=c,AC=b,BC=a,,∠BAC=90°，.由勾股定理可得b2+c2=a2,则b2+ c-a=0,则s+s:-×}+×x9y'+号AB·Ac名x() -日×✉()+×✉》'+6-名×}°-[【}+)-经门+6 -（+片）+26-晋0+-》+2=数8，=，4《s+s=s4x分 R a2,即2bc=a2=b2+c2,则b2-2bc十c2=0,∴.(b-c)2=0,则b-c=0,即b=c,∴AB=AC.故选B. 10.D设PQ与AC相交于点O,过点O作OP'⊥BC于点P',如图，∴.'BAC= 90°，∠B=45°，∴∠ACB=45°，".·四边形PAQC是平行四边形，∴.O为对角 线AC和PQ的中点，∴0C=2AC-22,PQ=2OP,由OP'⊥BC,可得 ∠OPC=90°，∴.∠COP'=∠OCP'=45°，.CP'=OP',由勾股定理得， CP2+OP2=OC2,∴.2OP2=(22)2,解得OP'=2,根据垂线段最短，可得OP≥OP'=2,∴.PQ= 2OP≥4，当OP⊥BC时，线段PQ有最小值4.故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.x≥202612.313.90 14.(1)12(2)200 (1)当最大时，k2=52+132,k=√194不是正整数，舍去：当13是最大边时，由勾股定理得52+2= 132,解得k=12或=一12（舍去），符合题意； (2)由表格得规律：c=b十2，根据勾股定理得：a2+b2=c2,将a=20代人得，202+b2=(b十2)2，解得b= 99,∴.c=b+2=101,.b+c=200. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解：原式=9+62+2+1-(2)2 =9+6W2+2+1-2 =10十62，……… (8分) 16.解：由题意得，(n一2)×180°=1800°，解得n=12. (8分) 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：.AB=8dm,O'B=6dm,O'A=10dm, ∴.AB2+0B8=82+62=64+36=100(dm),0A2=102=100(dm), ,AB2十0B2=OA2,.∠AB0=90°，…(4分) 在Rt△AB0中，由勾股定理得OB=√OA2-AB2=√/17-82=l5(dm), .O0=OB-O'B=15-6=9(dm), 答：池水看起来变浅了9dm,…(8分) 18.解：由题意得，通道的总面积为： (35+2)2-4×(W7+1)(w7-1) =35+4十4√35-4×(7-1) =39+4v35-24 =4√35+15(m2). 通道的总面积为(4√35十15)m2.… (8分) 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解： (1),点B在点D的正西方向，点C在点D的正北方向5km处 .BD⊥CD,CD=5km,BC=13km,∴.BD=√132-5=12(km), .'AB=16 km,AD=20 km, ∴AB2+BD2=162+122=202=AD2, .△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，.AB⊥BD;…(5分) (2)如图，作AP⊥CD,交CD延长线于点P,则四边形ABDP是长方形， D .∠P=90°，DP=AB=16km,AP=BD=12km,∴.CP=5+16=21(km), ∴AC=√21+12=365(km),.线段AC的长度为3√65km ∴无人机飞行的直线距离为3√65km (10分) 20.解： (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .DO=BO,AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO. 又.∠EOD=∠FOB,∴.△ODE≌△OBF(ASA), ED=FB;…（5分) (2)ED+CF=5,ED=FB,∴.FB+CF=5,即BC=5. :四边形ABCD是平行四边形，AC=6,00=AC=3,OB=0D。 AC1BD,∠B0C=90°，.OB=V52-32=4,.BD=2OB=8. (10分) 六、（本题满分12分） 21解： (1)①本题答案不唯一，如6,3√6等； ②本题答案不唯一，如3一√7或一3十√7等：……(2分) (2)原式=，。 √5-3 √7-√5 3-√7 十十 (3+5)(5-3)(5+7)(7-5)(W7+3)(3-7) √2027-√/2025 (W2025+√2027)（√2027-√2025） V5一3,7-5+3-7++2027二√2025=w②027一3 2 2 2 2 …（7分) (3) 1 √/2025+√204 aV2025-√2024(W202a5+V2o24)(W2025-V2024）=v202+v2024, 同理6-2产20 y =√2026+√2025， 八0a<方，…a>b.m (12分) 七、（本题满分12分） 22.解：【定理证明】，外面大正方形的面积=c2,里面小正方形的面积十4个直角三角形的面积=(b一a)2+ 4X2ab,c2=6-a)2+4X2b,整理，得c2=a2+b2. (3分) 【定理应用】 (D△ABC的面积=3X4-合×1X3-司×2X3-号×1×4=5.5，过点B作BMLAC-于M,由勾殷 定理得AC=√+=√17，△ABC的面积=5.5=2×7×BM,解得BM=17 17,.点B 到边AC的距离为17， 17；… (7分) (2):∠DEB=2∠EBC,∠DEB=∠EBC+∠ECB,∴.∠EBC=∠ECB,.EB=EC=l0,在Rt△BDE 中，由勾股定理得BD=√102-62=8，设AB=x,则AD=x-8,AB=AC,∴.AC=x,在 Rt△ACD中，由勾股定理得x2=(x-8)2十162，解得x=20,即AB=20.:(12分) 八、（本题满分14分） 23.解： (1),AD⊥AC,∴.∠CAD=90°，∴.AD=√DG2-AG=√(W/10)-1=3, ,AD=AC,.△ACD是等腰直角三角形，∴.CD=√2AD=3N2, ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD=3vZ;…(4分) (2)AD⊥AC,AD=AC,.△ACD是等腰直角三角形， .∠ADC=∠ACD=45°，，四边形ABCD是平行四边形， .∠BAD=∠BCD,AB/CD,.∠BCD=∠BAD=180°-∠ADC=180°-45°=135， AE=AD,∴∠ADB=∠ABD=180-∠BAD)=2(180-1359=2.5, ∴∠CDH=∠ADC-∠ADE=45°-22.5=22.5°， CH⊥DE,∠CHD=90°， ∠DCH=90°-∠CDH=90°-22.5°=67.5°， .∠BCH=∠BCD-∠CDH=135°-67.5°=67.5°影…(9分) (3)DG=CF+FG,理由如下： 如图，延长CF交DA的延长线于点P,:∠CAD=90°，∠PAC=90°， ∴∠CHD=∠PAC=90°， ∠CGH+∠GCH=∠CPA+∠GCH=90°，∴.∠CGH=∠CPA, ,∠DGA=∠CGH,.∠GDA=∠CPA, ,∠GAD=∠PAC,AD=AC,.△ADG≌△ACP(AAS), ∴.DG=CP,AG=AP,,∠BAD=135°，∠CAD=90°， ∴.∠BAC=∠BAD-∠CAD=45°，∠PAC=90°， .∠PAF=∠PAC-∠BAC=45°，.∠PAF=∠GAF, 又.'AF=AF,.△PAF≌△GAF(SAS),FP=FG, CP=CF十FP,CP=DG,DG=CF+FG.…(14分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分.