6.1.5平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 6.1.5平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用 第六章　平行四边形 北师大版八年级数学下册 6.1.5 平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“平行线间的距离”及“平行四边形判定方法的综合运用”核心知识点设计，涵盖平行线间距离的定义、性质，以及平行四边形边、角、对角线三种判定方法的灵活运用，分层考查基础应用、推理证明与综合计算，助力掌握平行线间距离的特点，提升综合运用判定方法解决几何问题的能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于平行线间距离的说法，正确的是（ ） A. 平行线间的距离处处相等 B. 两条平行线间的距离是指两条平行线中一条上的点到另一条的垂线段 C. 两条平行线间的距离不固定，随点的位置变化而变化 D. 平行线间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的线段长度 2. 在同一平面内，两条平行线l₁∥l₂，点A、B在l₁上，点C、D在l₂上，若AB=5cm，CD=3cm，则线段AC和BD的关系是（ ） A. AC=BD B. AC∥BD C. 无法确定 D. AC⊥BD 3. 下列条件中，不能综合运用判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB∥CD，AD=BC B. AB=CD，AD∥BC C. OA=OC，OB=OD D. AB∥CD，AB=CD 4. 已知l₁∥l₂，两条平行线间的距离为4cm，若点P在l₁上，点Q在l₂上，则PQ的长度（ ） A. 等于4cm B. 大于或等于4cm C. 小于4cm D. 无法确定 5. 在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD之间的距离为3cm，若AD∥BC，AD=5cm，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 15cm² B. 12cm² C. 10cm² D. 无法计算 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的________到另一条直线的________的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2. 平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④________，选择其中两种方法即可判定一个四边形是平行四边形。 3. 已知l₁∥l₂，点M在l₁上，过点M作l₂的垂线，垂足为N，若MN=6cm，则l₁与l₂之间的距离为________cm。 4. 在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB与CD之间的距离为4cm，BC=6cm，则▱ABCD的面积为________cm²。 5. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AB与CD之间的距离为5cm，AB=8cm，CD=4cm，则四边形ABCD的面积为________cm²。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查平行线间的距离及平行四边形判定的简单运用。 （1）已知l₁∥l₂，点A在l₁上，点B、C在l₂上，且AB⊥l₂，AC=10cm，AB=6cm，求l₁与l₂之间的距离及BC的长度； （2）判断下列四边形是否为平行四边形，若是，选择两种不同的判定方法说明依据；若不是，说明理由：四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD； （3）已知两条平行线间的距离为5cm，过其中一条直线上一点作另一条直线的垂线，求垂线段的长度； （4）在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=5cm，求CD的长度。 解： 2. （12分）推理与计算题，综合运用平行线间距离和判定方法。 （1）求证：两条平行线间的距离处处相等（简要写出推理过程）； （2）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD=6cm，AB与CD之间的距离为4cm，求四边形ABCD的面积及周长（补充AD=BC的条件）； （3）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形（用两种方法证明）； （4）已知l₁∥l₂，点P、Q在l₁上，点R、S在l₂上，PR⊥l₂，QS⊥l₂，若PR=8cm，求QS的长度。 解： 3. （12分）综合几何题，结合平行线间距离与平行四边形性质、判定。 （1）在▱ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AB与AD之间的夹角为60°，求AB与CD之间的距离及AD与BC之间的距离； （2）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，AE=3cm，BC=7cm，求四边形ABCD的面积； （3）在四边形ABCD中，OA=OC，AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形； （4）已知l₁∥l₂，两条平行线间的距离为6cm，若一个平行四边形的一组对边分别在l₁、l₂上，且这组对边的长度为5cm，求这个平行四边形的面积。 解： 4. （12分）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，举出反例。 （1）两条平行线间的所有垂线段都相等； （2）一组对边平行，且这组对边之间的距离相等的四边形是平行四边形； （3）平行四边形的一组对边之间的距离处处相等； （4）对角线互相平分且一组对边平行的四边形是平行四边形。 解： 5. （12分）综合应用题，灵活运用多种判定方法及平行线间距离求解。 （1）在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AB∥CD，AB=CD，求证：四边形BEDF是平行四边形，且BE=DF； （2）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，AB=6cm，AB与CD之间的距离为5cm，求四边形ABCD的面积及OC的长度； （3）已知l₁∥l₂，点A、B在l₁上，点C在l₂上，AC⊥l₂，AC=4cm，AB=3cm，若四边形ABDC是平行四边形，求CD的长度及l₁与l₂之间的距离。 解： 6. （10分）拓展应用题，结合实际场景考查综合运用能力。 （1）一块平行四边形的草坪，相邻两边长分别为12米和8米，其中一组对边之间的距离为6米，求这块草坪的面积及另一组对边之间的距离； （2）一个平行四边形框架，一组对边平行且长度为10cm，这组对边之间的距离为7cm，若将框架拉成矩形，求矩形的面积及矩形的另一条边长。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.B 5.A 二、填空题：1.任意一点；垂线段 2.对角线互相平分 3.6 4.24 5.30 三、解答题：1.（1）距离6cm，BC=8cm；（2）是，方法①两组对边分别平行，②一组对边平行且相等；（3）5cm；（4）5cm 2.（1）略；（2）面积24cm²，周长28cm；（3）方法①一组对边平行且相等，②对角线互相平分；（4）8cm 3.（1）AB与CD距离4√3 cm，AD与BC距离5√3 cm；（2）21cm²；（3）提示：结合平行线性质证明△AOB≌△COD，得OB=OD；（4）30cm² 4.（1）正确，平行线间距离的性质；（2）错误，反例：等腰梯形；（3）正确，平行四边形对边平行，平行线间距离处处相等；（4）正确，结合对角线互相平分和一组对边平行可判定 5.（1）提示：证明DE∥BF且DE=BF；（2）面积60cm²，OC=5cm；（3）CD=3cm，距离4cm 6.（1）面积72平方米，另一组距离9米；（2）面积70cm²，另一条边长7cm 学习目标 掌握平行线间的距离的概念及性质. 探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”. 3. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明． 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流. 思考： 导入新知 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流. 枕木 铁轨 a b A B C D 实际问题 几何问题 1 平行线之间的距离 例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D. 求证：AC = BD. 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠1 =∠2 = 90°. ∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD， ∴ 四边形 ACDB 是平行四边形(平行四边形的定义). ∴ AC = BD(平行四边形对边相等). a b A B C D 1 2 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等 (如图，AC = BD).这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等). 定义总结 a b A B C D 1 2 例2 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 . A B C D E 分析：根据平行线之间的距离处处相等. 解析：设高为 h，则 S△ABD = BD·h = 16，h = 4，所以 S△ACE = AE·h = ×5×4 = 10. 10 典例精析 以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理. 做一做 提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图. 例3 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD 上，且 DM = BN，DF = BE . 求证：四边形 MENF 是平行四边形. M N A B C D E F 2 平行四边形性质与判定的综合运用 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC(平行四边形的定义)， ∴∠MDF =∠NBE. ∵ DM = BN，DF = BE， ∴△MDF≌△NBE . ∴ 四边形 MENF 是平行四边形. ∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB. ∴∠MFE =∠NEF. ∴ FM∥EN. M N A B C D E F 例4 如图，将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使 点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形. 证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E， ∵ DE∥AD′， ∴ ∠DEA =∠EAD′， ∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA， ∴ ∠DAD′ = ∠DED′. ∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形. ∴ DE = AD′. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥DC，AB = DC， ∴ CE∥D′B，CE = D′B， ∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形. 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题. C 返回 1． 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于点E，交CD于点F，直线MN交AB于点M，交CD于点N，交EF于点O.若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是(　　) A．MN B．OE C．EF D．OF 中考考法 13 返回 3 2． 如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB＝5 cm，BC＝4 cm.那么平行线l1，l2之间的距离为________cm. 中考考法 14 6 返回 3． 如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a，b之间的距离为3，则线段AC的长度为________． 中考考法 15 4． 返回 A 如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　) A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等　 D．l1与l2一定不相等 中考考法 16 5． 返回 D 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为(　　) A．1 cm B．9 cm C．4 cm或5 cm D．1 cm或9 cm 中考考法 17 6． 【解】如图．  ∵AC⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°. ∵a∥b，∴∠3＝∠1＝65°. ∴∠2＝90°－65°＝25°. 如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． (1)若∠1＝65°，求∠2的度数； 中考考法 18 (2)若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b之间的距离． 返回 中考考法 平行四边形 五种判定方法 对边平行,对边相等，对角相等 判定 性质 夹在两条平行线间的平行线段处处相等 课堂小结 EQ \F(1,2) EQ \F(1,2) EQ \F(1,2) 【解】设直线a与b之间的距离为h，∵AC⊥AB， ∴S△ABC＝AB·AC＝BC·h， 即×3×4＝×5h，∴h＝. ∴直线a与b之间的距离为. $