6.1.2平行四边形的对角线的性质 课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 6.1.2平行四边形的对角线的性质 第六章　平行四边形 北师大版八年级数学下册 6.1.2 平行四边形的对角线的性质 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“平行四边形的对角线的性质”核心知识点设计，涵盖平行四边形对角线互相平分的核心性质，结合之前所学的边、角性质，分层考查基础应用、推理证明与综合计算，助力巩固平行四边形对角线的性质，提升几何推理与综合解题能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 平行四边形的对角线具有的性质是（ ） A. 互相垂直 B. 互相平分 C. 相等 D. 互相垂直且相等 2. 在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若OA=3cm，则AC的长度为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 3. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB=4cm，OD的长度为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 4. 在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若OA=2cm，OB=3cm，则▱ABCD的周长可能为（ ） A. 10cm B. 12cm C. 16cm D. 20cm 5. 下列关于平行四边形对角线性质的说法，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形 C. 若平行四边形的对角线相等，则它是矩形 D. 平行四边形的对角线互相垂直 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 平行四边形的对角线________，即平行四边形两条对角线相交，交点是每条对角线的________。 2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=10cm，则OA=________cm，OC=________cm。 3. 在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若△AOB的面积为6cm²，则▱ABCD的面积为________cm²。 4. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=5cm，BD=12cm，则OD=________cm，OC=________cm。 5. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=6cm，OA=4cm，OB=3cm，则△AOB的周长为________cm。 三、解答题（共70分） 1. （10分）根据平行四边形对角线的性质，完成下列计算。 （1）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=4cm，求AC的长度； （2）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=14cm，求OB和OD的长度； （3）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=3cm，OB=5cm，求△AOD的周长（提示：结合平行四边形对边相等）； （4）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=12cm，BD=16cm，求OA、OB的长度。 解： 2. （12分）利用平行四边形对角线性质进行简单推理与计算。 （1）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：OA=OC，OB=OD（简要写出推理过程）； （2）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2x-1，OC=x+2，求x的值及AC的长度； （3）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD=2OA，且AC=8cm，求BD的长度及OB的长度； （4）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的面积为8cm²，求▱ABCD的面积。 解： 3. （12分）结合平行四边形的边、角、对角线性质，解决基础几何问题。 （1）在▱ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，对角线AC、BD相交于点O，求OA的取值范围； （2）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，OA=4cm，求OB的长度（提示：结合平行四边形对角线互相平分）； （3）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，求证：▱ABCD是矩形； （4）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=OB，求证：▱ABCD是矩形。 解： 4. （12分）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，举出反例。 （1）平行四边形的对角线相等； （2）平行四边形的对角线互相平分且相等； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （4）平行四边形的对角线把平行四边形分成四个全等的三角形。 解： 5. （12分）综合应用题，利用平行四边形对角线性质求解。 （1）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=5cm，OB=7cm，AB=8cm，求△AOB的面积； （2）在▱ABCD中，周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长少4cm，求平行四边形各边的长度； （3）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF交AD于点E，交BC于点F，求证：OE=OF。 解： 6. （10分）拓展应用题，结合平行四边形对角线性质解决实际问题。 （1）一块平行四边形的菜地，对角线长分别为16米和12米，对角线相交于点O，求点O到各顶点的距离； （2）一个平行四边形框架，对角线相交于点O，若框架的相邻两边长分别为10cm和12cm，对角线AC=18cm，求对角线BD的长度（提示：利用三角形三边关系）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 二、填空题：1.互相平分；中点 2.5；5 3.24 4.6；5 5.13 三、解答题：1.（1）8cm；（2）OB=OD=7cm；（3）11cm（结合AD=BC，需补充边长条件，合理即可）；（4）OA=6cm，OB=8cm 2.（1）略；（2）x=3，AC=10cm；（3）BD=16cm，OB=8cm；（4）32cm² 3.（1）1cm＜OA＜4cm；（2）4cm（合理即可）；（3）提示：利用勾股定理逆定理证明∠ABC=90°；（4）提示：对角线相等的平行四边形是矩形 4.（1）错误，反例：一般平行四边形；（2）错误，一般平行四边形对角线不相等；（3）正确，平行四边形的判定定理；（4）错误，分成四个面积相等的三角形，不一定全等 5.（1）12cm²；（2）AB=CD=8cm，BC=AD=12cm；（3）提示：利用平行四边形性质证明△AOE≌△COF 6.（1）点O到各顶点距离分别为8米和6米；（2）BD的长度范围为4cm＜BD＜38cm（结合三角形三边关系求解） 学习目标 探索并掌握平行四边形对角线性质. 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算. 思考：同学们,老人这样分地合理吗？ 导入新知 上节课我们研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B C D O 边： 角： 平行四边形的性质 对边相等且平行. 对角相等，邻角互补. A B C D O 如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系? 猜一猜 OA = OC，OB = OD 1 平行四边形的对角线的性质 这个结论正确吗？证明看看！ 度量法 A B C D O 5.5 cm 5.5 cm 7.5 cm 7.5 cm 剪拼法 A B C D ( C ) ( A ) ( D ) OA = OC， OB = OD OA = OC， OB = OD 动手操作 O 证一证 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA = OC，OB = OD. A C D B O 3 2 4 1 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 几何语言： ∵□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴ OA = OC，OB = OD. 要点归纳 1. 在 □ ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，OA = 12 cm，OB = 19 cm，则 AC = cm，BD = cm. B C D A O 24 38 练一练 例1 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F. 求证：OE = OF. A B C D F E O 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ODE = ∠OBF， ∠DOE = ∠BOF. ∴△DOE≌△BOF(AAS). ∴ DO = OB，AD∥BC. ∴ OE = OF. 总结 你能利用平行四边形的性质判定老人这样分地合理吗? 老二 老大 老三 老四 △AOD≌△COB S1 S2 S3 S4 S1 = S3 △AOB≌△DOC S2 = S4 △AOB与△AOD 等底同高 S1 = S2 ∴ S1 = S2 = S3= S4 E 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形. 【尝试·思考】 还记得小学学过的梯形的 “样子” 吗 ? 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义。 两组对边 分别平行 一组对边平行 一组对边不平行 一组对边平行、另一组对边 不平行的四边形叫作梯形。 如图，平行的两边称为梯形 的底，较短的底通常称为上底， 较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形. 上底 下底 腰 腰 高 【尝试·交流】 等腰梯形是轴对称图形吗? 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现? 与同伴进行交流。 归纳：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等。 B 返回 1． 如图，在平行四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，则下列结论中正确的是(　　) A．AC＝DB B．DO＝OB C．∠BAC＝∠DAC D．∠ACB＝∠BAC 中考考法 15 返回 C 2． 如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积是(　　) A．12　 B．16　 C．24　 D．32 中考考法 16 B 返回 3． 如图，在▱ABCD中，AD＝5，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝12，则△BOC的周长为(　　) A．10　 B．11 C．12 D．17 中考考法 17 4． 返回 C [2025武汉二模]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD，△ABE为正三角形，若∠ABC＝80°，则∠DEC的大小是(　　) A．90°　 B．120° C．140°　 D．160° 中考考法 18 5． 返回 2 (答案不唯一) 平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的值可以为________________．(写出一个即可) 中考考法 19 6． (－4，－4) 如图，已知A(1，－3)，B(3，2)，C(－2，1)，则▱ABCD的顶点D的坐标为__________． 中考考法 20 【点拨】 返回 中考考法 7． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD. ∴∠OBE＝∠ODF. 又∵∠BOE＝∠DOF，∴△OBE≌△ODF(ASA)． ∴OE＝OF. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F. (1)求证：OE＝OF. 中考考法 22 返回 中考考法 平行四边形 对角线互相平分 对角线的性质 课堂小结 连接AC，BD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分，即AC，BD的中点是同一点．设顶点D的坐标为(x，y)．∵A(1，－3)，B(3，2)，C(－2，1)，∴AC的中点坐标为，BD的中点坐标为，∴解得∴顶点D的坐标为(－4，－4)． 【解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝BD＝1＝AD，OA＝AC＝. ∴AD2＋OD2＝2＝OA2， ∴△AOD是等腰直角三角形，且∠ADO＝90°. ∴∠AOD＝45°. 又∵EF⊥AC，∴∠AOF＝∠AOD＋α＝90°，解得α＝45°. ∴当α＝45°时，EF⊥AC. (2)若AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝α，则当α为多少时，EF⊥AC? $