题号猜押08 广东深圳中考数学18题（12大考点，几何解答题）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押08 广东深圳中考数学18题（几何解答题） 考点1 尺规作图（垂直平分线） 1．(25-26九·广东深圳龙岗区龙岗中学·)如图，内接于，为的直径，直线与相切于点． 请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【来源】广东省深圳市龙岗区龙岗中学2025-2026学年第二学期九年级数学素养评价测试卷 【分析】根据尺规作图线段垂直平分线的步骤即可作图； 【详解】解：直线即为所作： 2．(25-26九下·广东深圳宝安区文汇学校·)利用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，不写作法． 如图1：已知，在内求作一点D，使． 【答案】见解析 【来源】广东 深圳市宝安区文汇学校2025-2026学年下学期九年级数学第3周巩固练习 【分析】作线段的垂直平分线，交点即为； 【详解】解：如图所示，点即为所求； 3．(25-26九·广东深圳福田区外国语学校·)如图，是矩形的对角线． 请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； 【答案】见解析 【来源】广东省深圳市福田区外国语学校2025-2026学年第二学期九年级3月素养练习数学试卷 【分析】作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求；； 【详解】解：如图，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， 4.(25-26九下·广东深圳光明区实验学校 ）如图，在中，，以为直径作，圆交于点P． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【来源】广东省深圳市光明区实验学校 下学期九年级全真模拟数学试题 【分析】本题考查了作图基本作图，切线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据题意作出图形即可； 【详解】解：如图所示； 考点2 尺规作图（角平分线） 1．(25-26九下·广东深圳罗湖区桂园中学·)如图，在中，交于点O，且． 用圆规和无刻度直尺在图中作的角平分线交于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由； 【答案】见解析【来源】广东深圳市罗湖区桂园中学2025-2026学年九年级下学期质量检测 数学试卷 【分析】按照用尺规作角平分线的步骤进行即可； 【详解】解：如图，的角平分线交于点E； 2．(2025·广东省深圳市·调研)如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上． 【实践与操作】请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与； 【答案】见解析；【来源】2025年广东省深圳市龙岗区调研二模数学试题 【分析】尺规作出的平分线交于点D，交于点即为所求； 【详解】解：如图所示，满足条件的与． 3．(25-26九下·广东深圳如图，如图2，点在以为直径的上，请在上求作一点，使得点平分．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【来源】广东省深圳市2024-2025年下学期九年级中考第二次模拟考试数学试卷 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于点P，则点P即为所求． 考点3 尺规作图（画垂线） 1.(25-26九下·广东深圳富源学校第三周周末作业）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】画图见解析；【来源】广东深圳宝安富源学校2025-2026学年下学期九年级数学第三周周末作业 【分析】按题意画出图形即可； 【详解】AD⊥CP，如图所示， 2.(25-26九下·广东深圳中科实验学自测数学）如图，在矩形中，是对角线，． 尺规作图：在上找一点E，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【来源】广东深圳市中科实验学校2025-2026学年下学期九年级阶段学情自测数学试题 【分析】根据尺规作图——垂直的作法逐步作图即可； 【详解】解：如图，点E即为所求； 3.(25-26九下·广东深圳南山实验教育集团）如图，为直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点． 尺规作图：过作的垂线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法） 【答案】见解析 【来源】广东省深圳市南实南山实验教育集团年级下学期第二次学业质量监测数学试卷（二模） 利用过直线外一点作已知直线的垂线的步骤进行求作即可； 【详解】解：如图所示，直线即为所求； （以为圆心，为半径画弧，交延长线于一点，分别以这点和点为圆心，大于它们之间距离的为半径，画弧交于一点，过这点与点作直线即可）； 考点4 尺规画图（平行线） 1．(2026·广东省深圳市·迪学校中考数学练习)如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． 尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； 【答案】见解析 【来源】2026年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学练习 【分析】延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件； 【详解】解：如图1，为所求； 2.(25-26九下·广东深圳福田区外国语学校）如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，于点，交半圆于点．连接． 利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】见解析 【来源】广东深圳市福田区外国语学校2025-2026学年第二学期4月素养练习九年级数学试卷 【分析】分别以点B、点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N，交于点P，再以点P为圆心，长为半径画弧，与前弧在下方交于点G，作射线，即． 【详解】解：直线即为所求． 考点5 尺规作图（画圆） 1．(2026·广东省深圳市宝安实验学校中考数学训练·)已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． 作线段的垂直平分线交于点，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】见解析 【来源】2026年广东省深圳市宝安实验学校中考数学训练 【详解】（1）解：如图，为所求， 2．(25-26九下·广东深圳福田区红岭教育集团石厦中学·)请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】见详解 【来源】广东深圳市福田区红岭教育集团石厦中学2025－2026学年九年级下学期第一次阶段练习数学试卷 【分析】作AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆； 【详解】如下图所示 3．(25-26九·广东深圳光明区实验学校·调研)如图，在中，． 实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． 【来源】广东深圳市光明区实验学校2025-2026学年第二学期九年级学情调研数学试卷 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可； 【详解】解：如图所示，、点O、点D即为所求． 考点6 尺规作图（作出菱形） 1．(25-26九下·广东深圳中考复习阶段）如图，在中，． 实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】见解析 【来源】2026年广东深圳市中考复习阶段模拟测试（4月）数学试题 【分析】①分别以B、C为圆心，为半径画弧，两弧交下方于点，连接即可； ②作的垂直平分线交于E，以E为圆心，为半径画弧，在下方交垂直平分线于点，连接即可； 【详解】解：①如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，， ∴四边形为菱形； 2．(2025·广东省深圳市·模拟)如图，点A在直线l外，点B在直线l上． (1)在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形） 【答案】见解析 【来源】2025年广东省深圳市初中学业水平考试数学考前模拟训练（一） 【分析】以为边作菱形得到如图①的菱形；以为边，为对角线作菱形得到如图②的菱形；以为对角线、为边作菱形得到如图③的菱形； 【详解】解：如图①②③； 3．(25-26九上·广东深圳南山区·期末)如图，在中，，． 请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【来源】广东省深圳市南山区2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形； 【详解】解：四边形为所求作的四边形； 考点7 证圆的切线 1．(25-26九·广东深圳红山中学·月考)中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． 求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 【来源】广东深圳市红山中学2025-2026学年九年级第二学期3月考试数学试卷 【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立； ． 【详解】（1）证明：连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 2．(25-26九下·广东深圳盐田区实验学校·)如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． 求证：是的切线； 【答案】见解析 【来源】广东深圳市盐田区实验学校2025-2026学年九年级下学期数学第四周周末作业 【分析】连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； 【详解】证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； 3．(25-26九下·广东深圳海旺学校·)如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上，且． 求证：与相切； 【答案】见解析； 【来源】广东深圳海旺学校2025-2026学年下学期九年级数学第三周限时训练 【分析】根据圆周角定理得到，再证明，得到，即可证明； ． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 是的直径， ； ， ， ， 为半径， 与相切； 4．(25-26九下·广东深圳宝安中（集团）校初中部·)如图，在菱形中，对角线、相交于点E，经过A、D两点，交对角线于点F，连接交于点G，且． 求证：是的切线； 【答案】见解析 【来源】广东省深圳宝安中（集团）校初中部2025--2026学年下学期九年级数学第3周练习试卷 【分析】本题考查了垂径定理，证明直线是圆的切线，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 连接，由垂径定理可得，从而可得，由菱形的性质可得，再结合等边对等角求出，即可得证； 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴由垂径定理可得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 考点8 特殊的四边形证明 1.(25-26九下·广东深圳高级中学3月学情自测）如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． 证明：四边形为菱形； 【答案】见详解 【来源】广东深圳市高级中学2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学 【分析】先证明和全等得，根据可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； 【详解】证明：， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， 点为中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 在中，，点为中点， ， 平行四边形是菱形； 2．(25-26九上·广东深圳南山区第二外国语学校（集团）学府中学·月考)如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接． (1)作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷 【分析】本题考查作图垂直平分线，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟悉三角形中位线定理和菱形的性质． （1）利用尺规作图作线段的垂直平分线，即可得到线段的中点F； （2）利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据对角相互垂直的平行四边形是菱形即可证明结论成立． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）证明：D，E分别是，的中点 ，， ，， ∵F是中点， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形 ∵，D是中点， ∵F是中点 ， 3．(25-26九上·广东深圳·月考)如图，的对角线，交于点，，，． 求证：四边形是菱形； 【答案】（1）见解析； 【来源】广东省深圳市2025--2026学年九年级上学期1月考前检测试卷 【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论； 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵AE∥BD，OE∥AB， ∴四边形ABOE是平行四边形， ∵AB＝OB， ∴四边形ABOE是菱形； 4．(25-26九上·广东深圳大学附属中学·)在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：四边形是菱形； 【答案】见解析； 【来源】广东深圳大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月学情况反馈数学试题 （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； 【详解证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 考点9 菱形的面积 1.(25-26九下·广东深圳1月测）如图，的对角线，交于点，四边形是菱形若，，求的长． 【答案】2 【来源】广东省深圳市2025--2026学年九年级上学期1月考前检测试卷 【分析】连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果． 【详解】解：连接BE，交OA于F，如图所示： ∵四边形ABOE是菱形， ∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE， ∵S四边形ABOE＝4， S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE， ∴BE＝4， ∴BF＝2， ∴OB＝＝＝， ∴BD＝2OB＝2． 2.(25-26九下·广东深圳4月二模）如图，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 【答案】 【来源】2026年广东深圳市中考复习阶段模拟测试（4月）数学试题 【分析】作交于F，设，根据30度角的性质可知，根据菱形的面积公式求出，即可求出菱形的周长． 【详解】 解：如图，作交于F， 设， ∵， ∴， ∵菱形的面积为2， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴菱形的周长． 3．(25-26九上·广东深圳南山区·期末)如图，在中，，． 若，，求菱形的面积． 【答案】 【来源】广东省深圳市南山区2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴， ∴． 考点10 直角三角形与锐角三角函数 1．(25-26九下·广东深圳南山二外（集团）海德学校）如图是某路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，测得，一个长为6.5米的梯子斜靠在灯杆上，调整梯子的位置，直至恰好与点在同一直线上，此时梯子底部距灯杆底部2.5米． (1)填空：______； (2)通过查阅资料，这种路灯的灯臂的长为2米，请你根据以上数据计算出路灯距离地面的高度．（结果精确到0.1，） 【答案】(1)米 (2)路灯距离地面的高度约为米 【来源】广东省深圳市南山二外（集团）海德学校初中部2025-2026九年级下学期 第1周学情自测试卷 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得， 然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作， 交的延长线于点， 先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长， 再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的值，从而列出方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵米， 米， (米)， 故答案为：米； （2）解：过点作， 交的延长线于点， ∵， ∴， 在中， 米， (米) ， 在中，， 在中， ， ∵， ， 解得： (米)， ∴路灯距离地面的高度约为米． 2．(25-26九下·广东深圳盐田区实验学校·)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【来源】广东深圳市盐田区实验学校2025-2026学年九年级下学期数学第四周周末作业 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 3．(25-26九下·广东深圳布心中学·)如图，中，，，的平分线与边交于点，与外角的平分线交于点． (1)求的值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【来源】广东深圳市布心中学2025—2026学年九年级下学期数学第一次质量检测试题 【分析】（1）根据三线合一定理可知，，即可利用勾股定理求出，则； （2）解法一：由得（1），过点作，垂足为，由角平分线性质可得，在中，通过，求得即可． 解法二：过点作，垂足为，由角平分线性质可得，进而可得，可知，设，在中，由，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，的平分线与边交于点， ∴，． 在中， ． ∴． （2）解法一： 过点作，垂足为． 由（1）可知， ∵平分，，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴ ∴点到直线的距离为． 解法二： 过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴． 又∵ ∴ ∴． 设 在中， 即 解得： ∴点到直线的距离为． 4．(25-26九下·广东深圳民治中学教育集团·)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 【答案】3cm 【来源】广东深圳市民治中学教育集团2025-2026学年下学期九年级第一次数学素养练习试卷 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据三角函数进行计算，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ． ． 在中，，， ， ． 答：的长为3cm． 考点11 相似三角形判定（求线段的长） 1．(25-26九下·广东深圳盐田区实验学校·)如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．是的切线； 若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】 【来源】广东深圳市盐田区实验学校2025-2026学年九年级下学期数学第四周周末作业 【分析】由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 2.(25-26九下·广东深圳如图1，是的直径，点在直线上，切于点． 若，在不增加新的点的前提下，求的长 【答案】见解析 【来源】广东深圳市民治中学教育集团2025-2026学年下学期九年级第一次数学素养练习试卷 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 问题：；先导角证明，再由勾股定理得，则；证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； 【详解】解：问题：求的长； 解答如下：∵是的直径，切于点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 3．(24-25九下·广东深圳宝安区海韵学校·月考)如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，点为上一点，连接． 若为的切线，直径，，求的长． 【答案】 【来源】广东省 深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题 【分析】根据直角三角形的性质可得，，再证，进而可得，则可得，再证，则，求得，进而可得． 【详解】解：∵中，，为斜边中线，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 考点12 求阴影部分的面积 1．(25-26九下·广东深圳顺德区乐从镇九年级4月统考）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D．与相切； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】 【来源】2026年广东省佛山市顺德区乐从镇九年级4月镇统考数学试卷 【分析】先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答 【详解】解：在中，， ∴ ∴，， ∴， ∵点D是的中点 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为． 2．(25-26九下·广东深圳外国语学校周末）如图，在中，是直径，是圆上一点，连接，过点作交于点，延长交于点是延长线上一点，连接，已知，．是的切线； 求证：若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【来源】广东省深圳市宝安区外国语学校2026年九年级数学周末试卷 【分析】结合等腰三角形性质、等边三角形性质、勾股定理求出相关线段长度，数形结合得到阴影部分的面积，由三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】 解：， ， 是等边三角形， ， 在中，则由勾股定理可得， ，， 如图所示，阴影部分的面积． 1．(2026·广东省深圳市·宝安区民治中学中考数学训练)如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接与相切吗？请说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)与相切，理由见解析 【来源】2026年广东省深圳市宝安区民治中学中考数学训练 【分析】本题考查基本作图-作垂线，切线的判定，等边对等角．掌握作垂线的方法，以及切线的判定的方法，是解题的关键． （1）根据作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，等边对等角，得到，，再根据等量代换，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂直平分线l为所求． （2）证明：是的切线，理由如下： 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线． 2．(2026九·广东省深圳市·宝安九年级练习)如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，． (1)求证：； (2)尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】2026年广东省深圳市宝安九年级练习 【分析】本题主要考查尺规作图，切线的性质，圆周角定理． （1）由切线得到，由是圆O直径得到，则，由，得到，则； （2）过点作的垂线即可． 【详解】（1）证明：∵直线与圆O相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∵是圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）方法1： 如图，直线l是圆O的切线； 方法2：方法3： 方法4： 方法5： 3．(2026·广东省深圳市·龙岗知行学校周测)如图，是的直径，C是上的一点．    (1)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)5 【来源】2026年广东省深圳市龙岗知行学校周测 【分析】（1）根据题意进行尺规作图，使得P为的中点； （2）连接交AC于点D，由（1）可知P为的中点，则，由，得，，由勾股定理求得，设的半径为r，列出方程求解即可． 【详解】（1）如图所示，P为的中点．（以下是作图参考）                    （2）连接交AC于点D， 由（1）可知P为的中点，则， ∵，    ∴，，   在中， 设的半径为r， 在中，   解得： 即⊙O的半径为5． 4．(2025·广东省深圳市·三模)如图，是的直径，点，在上，交的延长线于点． (1)请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：______，使得直线是的切线，并加以证明； (2)尺规作图：作点关于直径的对称点，连接交于点保留作图痕迹，不写作法若，，直接写出的长． 【答案】(1)平分，见详解 (2)． 【来源】2025年广东省深圳市福田外国语学校中考数学三模试卷 【分析】（1）连接，添加平分，则，加上，所以，可证明，利用得到，则题目可证； （2）如图，过点作的垂线交于点，交于点，根据垂径定理，，则平分，则C，M关于直径对称．由垂径定理得到，可证明≌，进而证明∽，然后利用相似比可求出的长即可． 【详解】（1）解：当平分时，直线是的切线． 理由如下： 连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而为的半径， 直线是的切线； 故答案为：平分； （2）如图，过点作的垂线交于点，交于点，、G即为所求； 平分，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 而，， ， ， ， ， 即， 解得． 5．(25-26九下·广东深圳高级中学·)如图，在中，，以为直径的与边交于点D，点E为边上点． (1)下列条件：①；②E是的中点；③．请从中选择一个能证明直线是的一条切线的条件，并写出证明过程； (2)在（1）的条件下，若，求的直径． 【答案】(1)①或②或③，证明见详解； (2) 【来源】广东深圳高级中学2025-2026学年下学期九年级数学第三周周末练习试卷 【分析】（1）添加条件①：，连接，则，由是的直径，可证，代换即可证，则，即可证明直线是的切线； 添加条件②：为的中点，连接，则，由是的直径，得，所以，可推导出，即可证明直线是的切线； 添加条件③：，连接，则，由，可证，则，代换得，即可证明直线是的切线． （2）由，且，求得，再证明，得，而，于是得到结论． 【详解】（1）解：选①， 证明：连接，则， 是的直径， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线； 选②点E为的中点， 证明：连接，则， ， 是的直径， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线； 选③， 证明：连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线； （2）由（1）得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的直径长为． 6．(25-26九下·广东深圳罗湖区桂园中学·)如图，在中，交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)①用圆规和无刻度直尺在图中作的角平分线交于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由； ②在①的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【来源】广东深圳市罗湖区桂园中学2025-2026学年九年级下学期质量检测 数学试卷 【分析】（1）由等腰三角形的性质、平行四边形对边平行的性质得，再由等腰三角形的判定得，从而得，由矩形的判定即可证明四边形是矩形； （2）①按照用尺规作角平分线的步骤进行即可； ②过点E作于点F，由（1）及（2）①的结论得，由余弦函数可求得，由勾股定理求得，利用面积关系即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：①如图，的角平分线交于点E； ②如图，过点E作于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：． 7．(25-26九下·广东深圳宝安区文汇学校·调研)如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】广东深圳市宝安区文汇学校2025-2026学年下学期九年级数学3月素养调研试题 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求正切值，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由得到，进而得到，由，，得到，，即可得出，即可得证； （2）设，则，，设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，即，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． （2）解：∵， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴在中，． 8．(25-26九下·广东深圳宝安区富源学校·调研)如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】广东深圳市宝安区富源学校2025-2026学年九年级下学期三月学情调研数学试题 【分析】（1）（1）根据题意结合角平分线定义，平行线性质推出，进而得到，再结合，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定定理证明，即可解题； （2）利用直角三角形性质和菱形性质推出，进而得到，根据菱形性质得到，结合勾股定理求出，再根据菱形的面积为，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，对角线，交于点O， ，， ，， ，即有， ， ， ， 菱形的面积为， ， 解得． 9．(25-26九·广东深圳福田区外国语学校·)如图，是矩形的对角线． (1)请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； (2)在（1）条件下，若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】广东省深圳市福田区外国语学校2025-2026学年第二学期九年级3月素养练习数学试卷 【分析】（1）作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求；； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理进行求解，再根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， ∵是垂直平分线， ∴，， ∴． 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求； （2）解：连接， ∵四边形是菱形， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，，即， 解得， ， 菱形的面积． 10．(25-26九下·广东深圳高级中学·)如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】广东深圳市高级中学2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学 【分析】（1）先证明和全等得，根据可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接交于点H，根据菱形性质得，，进而得，在中，由勾股定理得，继而得，再证明是的中位线得，然后证明和相似，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）证明：， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， 点为中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 在中，，点为中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， 点为中点， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 点为中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 设， ， 解得：， ． 11．(25-26九上·广东深圳深圳大学附属中学·期末)太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】：如图，点 是桥塔顶部一点， 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部 处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在 处测得 处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内； 【数据应用】： （1）请根据以上数据求桥塔 的高度(结果精确到1米．参考数据： )； 【方案反思】： （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ． 【答案】（1）；（2）56米和 【来源】广东省深圳市深圳大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键； （1）延长交于点，则，分别解，，求得，进而根据，，即可求解； （2）依题意由（1）可得只需要求得的长度，则只需要数据，即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长交于点，则， 在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵沿水平方向由点 飞行米到达点 处， ∴， 解得；， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔 的高度约为米； （2）考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据， 由（1）可得只需要求得的长度， ∴只需数据，则原数据采集方案( ，米， ）中至多可以删减的数据为56米和， 故答案为：56米和． 12．(25-26九上·广东深圳坪山区·期末)如图，在矩形中，为矩形的一条对角线． (1)请用直尺和圆规完成以下作图： 分别在、上取点P、Q，使，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、，请证明四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，当，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)25 【来源】广东省深圳市坪山区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）连接、，由等腰三角形的性质得和，结合矩形的性质得到，即可判定，则四边形为平行四边形，再结合，即可证明平行四边形为菱形； （3）与的交点为O，由（2）菱形得和，利用矩形的性质证明，有，利用勾股定理即可求得，再结合菱形的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，点P、Q即为所求； （2）解：如图，连接、： ∵，， ∴，． 又∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形为菱形． （3）解：如图，与的交点为O， 由（2），∵四边形为菱形． ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， 又∵四边形为菱形． ∴四边形的周长为25． 13．(2025·广东省深圳市·中考数学试卷)如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】(1)见解析 (2)①30°；② (3)见解析 【来源】2025年广东省深圳市中考数学试题 （回忆版） 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可； （3）利用尺规作图作，即可． 【详解】（1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： 14．(2024·广东省深圳市·中考试卷)如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年广东省深圳市中考数学试卷（回忆版） 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 15．(25-26九下·广东深圳龙岗区同心实验学校·月考)如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)作的角平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【来源】广东省深圳市龙岗区同心实验学校2025-2026学年下学期九年级3月月考数学试卷 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可； （2）①按照尺规作图方法画图即可； ②证明，得出为等腰直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是半圆的直径， ， 即， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：①如图，为所作； ②平分， ， ，， 而， ， ， 为等腰直角三角形， ． 16．(25-24下·广东深圳罗湖区滨河实验中学·期中)如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【来源】广东省深圳市罗湖区滨河实验中学2025-2024学年下学期中考数学模拟试卷 【分析】（1）连接，证明，求出，证明，得出是的切线； （2）设，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ∵为的半径， 是的切线． （2）解：设，， ，，， ，， ， ， ． 17．(25-26九上·广东深圳深圳外国语学校·期末)7．如图，是的直径，点C在上，D为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线． （2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析；（2）4；（3） 【来源】广东省深圳市深圳外国语学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）连接PC，根据圆周角定理得∠APC=2∠B，结合题意推出∠APC+∠DAB=180°，从而由平行线的判定得到AD∥PC，进而利用平行线的性质进行证明即可； （2）连接AC、PC，在△ADC中根据勾股定理求得AC=4，根据直角三角形边之间的关系推出∠CAD=60°，从而根据平行线的性质推出∠CAD=∠ACP=60°，得出△APC是等边三角形，进而求得⊙P的半径； （3）结合图形可知S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC，从而利用梯形的面积公式及扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， 连接PC，则∠APC=2∠B， ∵2∠B+∠DAB=180°， ∴∠APC+∠DAB=180°， ∴AD∥PC， ∵∠ADC=90°， ∴∠DCP=90°， ∴PC⊥DC， 故直线CD为⊙P的切线； （2）如图2，连接AC、PC， ∵DC=，AD=2，∠ADC=90°， ∴AC= ∴∠CAD=60°， 由（1）得AD∥PC， ∴∠CAD=∠ACP=60°， 又PA=PC， ∴△APC是等边三角形， ∴PC=PA=AC=4， 故⊙P的半径是4； （3）∵S梯形ADCP= （AD+PC）×CD=（2+4）×=，S扇形APC== ， ∴S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC=， 故阴影部分的面积为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 广东深圳中考数学18题（几何解答题） 考点1 尺规作图（垂直平分线） 1．(25-26九·广东深圳龙岗区龙岗中学·)如图，内接于，为的直径，直线与相切于点． 请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 2．(25-26九下·广东深圳宝安区文汇学校·)利用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，不写作法． 如图1：已知，在内求作一点D，使． 3．(25-26九·广东深圳福田区外国语学校·)如图，是矩形的对角线． 请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； 4.(25-26九下·广东深圳光明区实验学校 ）如图，在中，，以为直径作，圆交于点P． 请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） 考点2 尺规作图（角平分线） 1．(25-26九下·广东深圳罗湖区桂园中学·)如图，在中，交于点O，且． 用圆规和无刻度直尺在图中作的角平分线交于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由； 2．(2025·广东省深圳市·调研)如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上． 【实践与操作】请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与； 3．(25-26九下·广东深圳如图，如图2，点在以为直径的上，请在上求作一点，使得点平分．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 考点3 尺规作图（画垂线） 1.(25-26九下·广东深圳富源学校第三周周末作业）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）； 2.(25-26九下·广东深圳中科实验学自测数学）如图，在矩形中，是对角线，． 尺规作图：在上找一点E，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） 3.(25-26九下·广东深圳南山实验教育集团）如图，为直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点． 尺规作图：过作的垂线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法） 考点4 尺规画图（平行线） 1．(2026·广东省深圳市·迪学校中考数学练习)如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． 尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； 2.(25-26九下·广东深圳福田区外国语学校）如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，于点，交半圆于点．连接． 利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 考点5 尺规作图（画圆） 作线段的垂直平分线交于点，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 2．(25-26九下·广东深圳福田区红岭教育集团石厦中学·)请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 3．(25-26九·广东深圳光明区实验学校·调研)如图，在中，． 实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． 考点6 尺规作图（作出菱形） 1．(25-26九下·广东深圳中考复习阶段）如图，在中，． 实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 2．(2025·广东省深圳市·模拟)如图，点A在直线l外，点B在直线l上． 在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形） 3．(25-26九上·广东深圳南山区·期末)如图，在中，，． 请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） 考点7 证圆的切线 1．(25-26九·广东深圳红山中学·月考)中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． 求证：是的切线． 2．(25-26九下·广东深圳盐田区实验学校·)如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． 求证：是的切线； 3．(25-26九下·广东深圳海旺学校·)如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上，且． 求证：与相切； 4．(25-26九下·广东深圳宝安中（集团）校初中部·)如图，在菱形中，对角线、相交于点E，经过A、D两点，交对角线于点F，连接交于点G，且． 求证：是的切线； 考点8 特殊的四边形证明 1.(25-26九下·广东深圳高级中学3月学情自测）如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． 证明：四边形为菱形； 2．(25-26九上·广东深圳南山区第二外国语学校（集团）学府中学·月考)如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接． (1)作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接．求证：四边形是菱形． 3．(25-26九上·广东深圳·月考)如图，的对角线，交于点，，，． 求证：四边形是菱形； 4．(25-26九上·广东深圳大学附属中学·)在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：四边形是菱形； 考点9 菱形的面积 1.(25-26九下·广东深圳1月测）如图，的对角线，交于点，四边形是菱形若，，求的长． 2.(25-26九下·广东深圳4月二模）如图，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 3．(25-26九上·广东深圳南山区·期末)如图，在中，，． 若，，求菱形的面积． 考点10 直角三角形与锐角三角函数 1．(25-26九下·广东深圳南山二外（集团）海德学校）如图是某路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，测得，一个长为6.5米的梯子斜靠在灯杆上，调整梯子的位置，直至恰好与点在同一直线上，此时梯子底部距灯杆底部2.5米． (1)填空：______； (2)通过查阅资料，这种路灯的灯臂的长为2米，请你根据以上数据计算出路灯距离地面的高度．（结果精确到0.1，） 2．(25-26九下·广东深圳盐田区实验学校·)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 3．(25-26九下·广东深圳布心中学·)如图，中，，，的平分线与边交于点，与外角的平分线交于点． (1)求的值； (2)求点到直线的距离． 4．(25-26九下·广东深圳民治中学教育集团·)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 考点11 相似三角形判定（求线段的长） 1．(25-26九下·广东深圳盐田区实验学校·)如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．是的切线； 若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 2.(25-26九下·广东深圳如图1，是的直径，点在直线上，切于点． 若，在不增加新的点的前提下，求的长 3．(24-25九下·广东深圳宝安区海韵学校·月考)如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，点为上一点，连接． 若为的切线，直径，，求的长． 考点12 求阴影部分的面积 1．(25-26九下·广东深圳顺德区乐从镇九年级4月统考）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D．与相切； 若，，求阴影部分的面积． 2．(25-26九下·广东深圳外国语学校周末）如图，在中，是直径，是圆上一点，连接，过点作交于点，延长交于点是延长线上一点，连接，已知，．是的切线； 求证：若，，求图中阴影部分的面积． 1．(2026·广东省深圳市·宝安区民治中学中考数学训练)如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接与相切吗？请说明理由． 2．(2026九·广东省深圳市·宝安九年级练习)如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，． (1)求证：； (2)尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法） 3．(2026·广东省深圳市·龙岗知行学校周测)如图，是的直径，C是上的一点．    (1)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的半径． 4．(2025·广东省深圳市·三模)如图，是的直径，点，在上，交的延长线于点． (1)请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：______，使得直线是的切线，并加以证明； (2)尺规作图：作点关于直径的对称点，连接交于点保留作图痕迹，不写作法若，，直接写出的长． 5．(25-26九下·广东深圳高级中学·)如图，在中，，以为直径的与边交于点D，点E为边上点． (1)下列条件：①；②E是的中点；③．请从中选择一个能证明直线是的一条切线的条件，并写出证明过程； (2)在（1）的条件下，若，求的直径． 6．(25-26九下·广东深圳罗湖区桂园中学·)如图，在中，交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)①用圆规和无刻度直尺在图中作的角平分线交于点E，保留作图痕迹，不用写出作法和理由； ②在①的条件下，当，时，求的长． 7．(25-26九下·广东深圳宝安区文汇学校·调研)如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 8．(25-26九下·广东深圳宝安区富源学校·调研)如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 9．(25-26九·广东深圳福田区外国语学校·)如图，是矩形的对角线． (1)请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； (2)在（1）条件下，若，求菱形的面积． 10．(25-26九下·广东深圳高级中学·)如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 11．(25-26九上·广东深圳深圳大学附属中学·期末)太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】：如图，点 是桥塔顶部一点， 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部 处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在 处测得 处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内； 【数据应用】： （1）请根据以上数据求桥塔 的高度(结果精确到1米．参考数据： )； 【方案反思】： （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ． 12．(25-26九上·广东深圳坪山区·期末)如图，在矩形中，为矩形的一条对角线． (1)请用直尺和圆规完成以下作图： 分别在、上取点P、Q，使，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、，请证明四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，当，时，求四边形的周长． 13．(2025·广东省深圳市·中考数学试卷)如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 14．(2024·广东省深圳市·中考试卷)如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 15．(25-26九下·广东深圳龙岗区同心实验学校·月考)如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)作的角平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求的长． 16．(25-24下·广东深圳罗湖区滨河实验中学·期中)如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 17．(25-26九上·广东深圳深圳外国语学校·期末)7．如图，是的直径，点C在上，D为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线． （2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $