河北雄安部分高中2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题

高一4月数学 参考答案及评分意见 1.C【解析】因为x=1十3i,所以复数之的虚部为3.故选C. 2.D【解析】a=2,b=1,a,b的夹角为60°， .a·b=2X1×cos60°=1，.a+2b|=√(a+2b)z=√a2十4a·b+4b2=23.故选D. 3.A【解析】由题意得，圆柱的截面有可能为圆面，圆锥的截面有可能为圆面， 圆台的截面有可能为圆面，正四面体的截面一定不是圆面故选A. 4A【解析】因为A=日6=2，所以6snA=2×2-1. 因为满足条件的三角形有2个，所以bsin A<a<b,即1<a<2.故选A. 5B【解析喏a=1,6=0清足a十1D6=0,此时a十生-1+-2，不为纯虚数， i (a+16=0不是复数a+b牛为纯虚数的充分条件。 :a+6+ia+6+DX-D=a+1-6i, i×(-i) 若复数a十b生为纯虚数，则a十1=0,6≠0，(a十1D6=0, (a十1D6=0是复数a+牛为纯虚数的必要条件。 ,a十1)b=0”是“复数Q士6十为纯虚数”的必要不充分条件.故选 6.C【解析】因为a∥d,a=(1,m),d=(3,6),所以16-3m=0,解得m=2,即a=(1,2). a·(b+c)=-4+2t<0, 因为b=(-5,t),c=(1,0),所以b十c=(一4，t).若a与b十c的夹角为钝角，则 解得 t一2×(-4)≠0， t<2且t≠一8.故选C. 7.D【解析】因为a=1,bcos A=1+cosB,所以bcos A=a(1十cosB). 由正弦定理，得sin Bcos A=sinA+sin Acos B, 所以sin Bcos A-cos Bsin A=sinA,即sin(B-A)=sinA. 在镜角三角形ABC中，一2<B-A<受，0<A<受， 所以B-A=A,即B=2A,所以C=π一A-B=元-3A.故选D. 8.C【解析】因为EM·E=|EM·|E|·cos(EM,EN)≤EM·|EN|=4|E|,所以转化为求 |EN的最大值.因为E≤|EF|十3=8，所以EM·EN≤32.故选C 9.BC【解析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱 柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误. 数学答案第1页（共5页） 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确. 一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和60°n<360°，即n<6,故C正确. 棱台的侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错误故选BC. 。2i2i(1-i) 10.ABD【解析】由复数之满足1+iD·之=2i,得之=1十一1+D(1-D=1+i, 所以z2=(1+i)2=2i,故A正确； 复数x=1十i的共轭复数是1-i,在复平面内对应的点为(1，-一1)，位于第四象限，故B正确； 复数：=1+i对应的点为(1,1)，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为（一1，D, 所以所得向量对应的复数应为一1十i,故C错误； 由1十i是关于x的方程x2十ax十b=0的一个根，得另一个根为1一i, l+i+1-i=2=-a, a=-2, 所以】 解得 所以a十b=0,故D正确.故选ABD. (1+i)(1-i)=2=b,b=2, 1.ABC【解析】连接AC.在△ACD中，cosD=AD+DC-AC_4+16-AC20-AC 2AD·DC 16 16； 在△ABC中，sB=AB+BC-AC_9+25-AC=34-AC 2AB·BC 30 30 B+D=元，∴cosB+cosD三20AC+34AC=0,解得AC9-572 30 23 cos D-20-AC2-7 23s如D=血B-4,故A正确 572 由正弦定理，得2R ≤AC23V98670圆0的周长为2R=Y60元，放B正确。 sinB4√30 60 23 由题意D0·Di=Di·Dd·cos∠ODA=|Di·2DA=2Di:=2,故C正确， .1 SAABC= 2 XABXBCXsin B=1》 2X3X5x4Y30_30V30 23 23 SXADXDCXsin D-2X2X4X1730-16130 23 23 四边形ABCD的面积S=SAA十SAM-46,而-2√0，故D错误.故选ABC. 23 12.2b 【解析】由题意得a·b.b=2b2,6 7b1b-6‘1b=2b. 13.9【解析】将直观图还原为原图，如图 数学答案第2页（共5页） 在直观图中，O'B'=A'B'=3,则O'A'=3√2，故在原图中，OA=2O'A'=6√2，OB=O'B'=3, 所以AB=√OA+OB2=√72+9=9，所以原四边形ABCD的边AB的长为9. 1410【懈标osA-2,nA-:∠CD-音，∠ACB--A-名--A, ∠AcD=∠ACB音-骨-Aisn∠ACD-sn行-A小- 2sinA-y② 14 AD CD 在△ADC中，“sin/ACD-sinA“ 2=CD,CD=4. √2I√2I 147 在Rt△BCD中，BD=2CD=8,∴.AB=AD+BD=8+2=10. 15.解：(1)由2a+b与ka-b垂直，得(2a十b)·(ka-b)=0,即2k|a2+(k-2)a·b-|b|2=0.…3分 因为a=(2,1),b=(-1,1),所以|a|=√5，|b|=√2，a·b=-1,所以10k+2-k-2=0,解得k=0.…6分 (2)因为a=(2,1),b=(-1,1),所以|a|=√5，|b|=√2，a·b=-1, 所以xa+b|2=x2a2+2xa·b+b2=x2|a2+2xa·b+b|2 =5x-2x+2=e-》+8 …10分 所以当一号时，a十取得最小值，为 …13分 16.解：(1)由复数x1=1十mi,x2=(m2-6m+7)-2i, 得之=之1十之2=1十mi十(m2-6m十7)-2i=(m2-6m十8)十(m-2)i.…3分 复数之为实数，m一2=0，解得m=2.…5分 0-1}00-12-1g+2…8分 1一42 5 5 “产2的实部大于1，…">1，解得m<-2. 5 即实数m的取值范围是（一∞，一2）. …10分 (3),之2在复平面内所对应的点位于直线y=x上，.一2=m2一6m十7，解得m=3.…13分 之1=1十3i,.之1|=√/1十9=√/10，…15分 17解：1由5BC CD,nC- 24 2×200×100×sinC=9600,解得sinC-25: …2分 7 因为C为钝角，所以cosC=√I-sinC= 251 …4分 由余弦定理得，BD=√BC2十CD2-2BC·CD·cosC 数学答案第3页（共5页） 2002+1002-2×200×100× A 25 =60√17≈247.4（米）.…6分 (2)S△BcD= Bc·cD·sinC 2BC·CD=10000,当且仅当C=时等号成立， 2 所以当△BCD是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，此时BD=√/002+200=1005.…8分 设∠ABD=a,a0,3)月 2πY 在△ABD中，由正弦定理得， AD AB 005=2005.7 10分 sin a sin 3 则S△ABD= 2AD·AB·sinA= 3 3 3 …13分 3 当且仅当2a- -音，即a=号时等号成立，此时AB=AD=105, 所以应设计观赏步道AB=AD=100√5米.…15分 18解：1)因为B励-3D元，所以市-店-3AC-3市，即市-}店+Ad. …2分 因为A正-A店，A-入AC,所以A心-号A正+A.…4分 4λ1 又因为D,E,5三点共线，所以十爱-1，解得入 2· …5分 (2)由1)得A市=A成+是Ad 因为A范-2A店，所以C范-A应-AC-A店-Ad …6分 所以.店-（仔A店+A⊙列：（号店-d小-a+号·A-A心 39 8X9+ 8X3X1Xcos60°- 416 …8分 因为a01-}+d-√+后·a+品A-品+名xx1Xs60+品-8 4 1成-号店-d-√-a店·a+A衣-√骨-3x1xm60+1- 9 所以os∠DPE=cos(AD,C克)=Ai.C应 16 -v21 …11分 ADIICEI3 14 4 、2 (3)因为E为边AB的中点，所以HA+HB=2H正， 则(HA+Hi).H心-2Hi.H心-2Hi·|H心1cosπ=-2H|·|H心1.…13分 数学答案第4页（共5页） 由1HC+|H龙=|c|=8,|H心≥0，|Hi|≥0， 得8=|HC1+H龙|≥2√HC·HE, 即|H元引·|HE|≤16，当且仅当|H元=|2引=4时，等号成立.…15分 所以(HA+HB)·HC=-2HE1·HC1≥-2×16=-32， 即(HA十HB)·HC的最小值为-32.… …17分 19.解：(1)由asin B+btan Bcos A-2 bsin C及正弦定理， 得sin Asin B+sin Btan Bcos A=2 sin Bsin C.…2分 因为sinB>0,所以sinA+0B·cosA=2snC,即nAcos B十sin Beos A=2 2sin Ceos B. 所以sin(A十B)=2 sin Ccos B,即sinC=2 sin Ccos B.…5分 因为sinC>0,所以cosB-7,因为B∈(0，x),所以B=子 …7分 (2)由正弦定理，得。 b=3=23,所以a=25sinA,c=23sinC, sin A sin C sin B3 2 所以a十c=2√5sinA+2W3sinC=2√3(sinA十sinC).…9分 又因为snA十sinC=sinA十sm(x-A-B)=sinA十sin-A-sinA+sn行asA-eo径nA 2π 2π =nA+gsA=(sin+oin,m4+ 所以a+c=25(sinA+sinc)=6sinA+ ………………………11分 0<A<, 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<A< 元 6 2 ，……13分 0<C--A< 2 因为<A+<行所以<snA+)≤1… …15分 所以3√3<a十c≤6，则33+3<a+b+c≤9， 所以△ABC周长的取值范围为(3√5十3,9].…17分 数学答案第5页（共5页）高一4月数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数x=1+3i,则复数之的虚部为 A.1 B.i C.3 D.3i 2.已知平面向量a,b的夹角为60°，|a=2,b|=1,则|a+2b|= A.2 B.√7 C.2√7 D.23 3.下面几何体的截面一定不是圆面的是 A.正四面体 B.圆柱 C.圆锥 D.圆台 4,在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为a,bc,且A=否b=2.若满足条件的三角形有 2个，则a的取值范围为 A.(1,2) B.[1,2] C.(3,2] D.(3,+∞) 5,设ab∈R,i是虚数单位，则“(a+Db=0是复数a十b十为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知向量a=(1,m),b=(一5，t),c=(1,0),d=(3,6),且a∥d.若a与b十c的夹角为钝 角，则实数t的取值范围为 A.(2,8)U(8,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞，-8)U(-8,2) D.(-o∞，2) 7.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,bcos A=1十cosB,则C= A.3A a C.π-2B D.元-3A 8.如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=6,以AB为直径在 D 长方形内作半圆E,以BC为直径在长方形外作半圆F,M, N分别是半圆E和半圆F上的动点，则EM·EV的最大 值为 64 A.8 .3 C.32 D.16 第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中正确的是 A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.六条棱长均相等的四面体是正四面体 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D.棱台的侧面都是等腰梯形 10.已知复数之满足(1十i)·之=2i,则下列说法正确的是 A.2=2i B.复数？的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C将复数：对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为一厄： D.若复数之是关于x的方程x2十a.x十b=0(其中a,b∈R)的一个根，则a+b=0 11.如图，四边形ABCD内接于半径为R的圆O,其中AB=3,BC=5,CD=4,DA=2,则 下列结论正确的有 A.sin D=4 30 23 B.圆0的周长为98670 60 元 C.DO.DA=2 D.四边形ABCD的面积为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若非零向量a,b满足2b2=a·b,则向量a在向量b上的投影向量为 13.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其 中A'B'=3,B'C'=5,则在原四边形ABCD中，AB的长为 O B C 14.在△ABC中，B=D是边AB上-点，BC1CD,AD=2,且cmA-2则边AB的 长为 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知向量a=(2,1),b=(-1,1). (1)若2a+b与ka一b垂直，求实数k的值； (2)求|xa+b的最小值及对应的x的值. 16.(15分)已知复数之1=1+mi,之2=(m2-6m十7)一2i(m∈R,i为虚数单位). (1)若之=x1十之2为实数，求实数m的值； (2)若2的实部大于1，求实数m的取值范围： (3)若之2在复平面内所对应的点位于直线y=x上，求|之1. 17.(15分)某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示的四边形ABCD.考虑露营客人 娱乐休闲的需求，在四边形ABCD中，将三角形ABD的区域设立成花卉观赏区，三角 形BCD的区域设立成烧烤区，边AB,BC,CD,DA修建观赏步道，边BD修建隔离防 护栏，其中CD=100米，BC=20米，∠A= (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔 离防护栏（√17≈4.123，精确到0.1米）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积 最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ D 烧烤区 花卉观赏区 第3页（共4页） 18.(17分)如图，在△ABC中，E为边AB的中点，D为边BC上一点，且BD=3DC线段 CE与AD交于点P,直线DE与直线AC相交于点F. (1)若A=入AC,求入的值； (2)若AC=1,AB=3,∠BAC=60°，求∠DPE的余弦值； (3)若CE=8,H为中线CE上的动点，求(HA+HB)·HC的最小值. 19.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3,且asin B+btan Bcos A= 2bsin C. (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围. 第4页（共4页）