专题05 随机变量的分布列及数字特征（7大题型专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题05 随机变量的分布列及数字特征 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分布列的性质 1 题型二、求离散型随机变量的分布列（重点） 2 题型三、求离散型随机变量的均值（重点） 7 题型四、求离散型随机变量的方差（重点） 10 题型五、均值、方差的性质 14 题型六、两点分布的均值、方差 16 题型七、利用均值和方差进行决策（难点） 18 B 综合攻坚·能力跃升 25 题型一、分布列的性质 1．设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【详解】， 所以 2．离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由分布列的性质可得，即，解得. 3．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3， 所以， 因此. 故选：C. 4．若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为______． X 0 1 2 3 P a b 【答案】/ 【详解】由题设，可得， 由，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 题型二、求离散型随机变量的分布列 5．有一个数字生成器，它可以等可能地生成这四个数字．定义随机变量X为生成的数字，再定义两个新的随机变量，． (1)求随机变量X的概率分布列． (2)求Y的概率分布列． (3)求Z的概率分布列． (4)求和． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析； (4)，. 【分析】 【详解】（1）由于数字生成器是等可能的，X的每个取值的概率都是， 所以X的概率分布列为： X 1 2 3 4 （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由于X的取值互不相同，Y的取值也互不相同．Y的概率分布由X的概率分布直接决定．所以Y的概率分布列为： Y 1 4 9 16 （3）随机变量，当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由于X的取值互不相同，Z的取值也互不相同， 所以Z的概率分布列为： Z 3 5 7 9 （4）计算累积概率：的取值中小于等于10的有． ． 的取值中小于等于7的有． ． 6．4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 7．甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 8．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条，当它们相交时，；当它们平行时，的值为它们之间的距离；当它们异面时，.求随机变量的分布列. 【答案】 0 1 【详解】的可能取值为， 若2条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意1个顶点的棱有3条，所以； 若2条棱平行，则它们的距离为1或，而正方体中距离为的棱共有6对，则； . 所以随机变量的分布列如下： 0 1 9．2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． (1)求甲队员通过测试的概率； (2)若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 【答案】(1) (2)的情况：0，10，20；对应概率：，， 【分析】 【详解】（1）由条件知甲同学通过测试的概率为． （2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为， 根据题意乙同学通过测试的概率为， 所以乙同学没有通过测试的概率为， 则，10，20， 因， ， . 10．四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列． 【答案】分布列见解析 【详解】设所亮灯数为，则可能的取值为0，2，4，8， 设4个小朋友，，，的妈妈分别为，，，， 当，即0个小朋友站对， 则站在，，身边，有种站法，假设站在身边，即分成两种情况： ①站在身边，则，分别站在，，有1种站法， ②不站在身边，则站在或身边，还有两种可能， 若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法， 若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法， 所以， 当，即恰有1个小朋友站对， 从，，，中选1个小朋友站对，有种站法，假设站在身边，还有两种可能： 若站在身边，则，分别站在，，有1种站法， 若站在身边，则，分别站在，，有1种站法， 所以， 当，即恰有2个小朋友站对，从，，，中选2个小朋友站对，有种站法， 所以， 当，即4个小朋友都站对，只有1种站法， 所以， 所以亮灯数的分布列为： 0 2 4 8 题型三、求离散型随机变量的均值 11．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 【答案】A 【详解】由条件可知，，，， 所以. 12．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】设投篮总次数的数学期望为，对投中情况分类讨论， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，该情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 所以，解得． 13．体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的均值，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，X的所有取值为1，2，3． ， ， 即，解得或（舍）， 所以p的取值范围是． 故选：A 14．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 15．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 16．某人进行3场比赛（任何一场比赛均分出胜负），规则如下：第1场获胜的概率为；若上一场获胜，则本场获胜的概率为；若上一场失败，则本场获胜的概率为. (1)分别求第2场、第3场获胜的概率； (2)设X为3场中获胜的总场数，求X的数学期望． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】【小问1】 第2场获胜的概率： 设表示“第i场获胜”，已知，则， 根据全概率公式：. 第3场获胜的概率： 已知，则， 根据全概率公式：. 【小问2】 方法1： 为3场中获胜的总场数，的可能取值为0，1，2，3， ； ； ； ， . （2）方法2： 设表示第场胜，表示第场败，则服从分布， 且. 根据数学期望具有线性性质： . 题型四、求离散型随机变量的方差 17．已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】由分布列的性质，所有概率和为1，得：① 由得：② 联立①②得，解得：，. 由方差公式， 可得， 代入公式得：. 18．甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以， 即的取值范围为. 19．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】 【详解】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 20．若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析. (2)， 【分析】 【详解】（1）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， ，或， ，或， ，或， ，或， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）由（1）可得 21．为了让学生更加了解学习红色文化，学校购买了一些书籍．其中《永恒的力量：八一》，《永恒的力量：方志敏》与《永恒的力量：安源》三本是红色文化书籍，另外《西游记》与《红楼梦》非红色文化书籍，并做好形状大小外观等一样的书签，某位同学随机排列这五张书签，并依次抽取.若抽到红色文化书籍则停止，否则继续抽取书签． (1)求这五张书签共有多少种不同的排列方式？ (2)求停止时已抽取非红色文化书籍书签数的期望值和方差． 【答案】(1)120 (2)， 【分析】 【详解】（1）由题意结合全排列可知： 五张书签共有：种 （2）设停止时已抽取非红色文化书籍书签数为， 易知的可能取值为：， , , , 所以， 题型五、均值、方差的性质 22．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 23．（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意得，解得， 所以，， ，． 24．已知离散型随机变量X，Y满足，，则______. 【答案】1 【详解】因为，， 所以. 25．盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 【答案】7 【详解】设第n次取出的数字为，则，， 所以，， 设第1次取出的数字是k，则第2次只能从剩下的5个数字中取， 此时第2次取出的数字的期望为， 对所有可能的k求期望，可得， 同理，对任意的，， 所以，． 26．（多选）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 0.25 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 27．设，为随机变量，，，，则（    ） A．22 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【详解】因为随机变量，满足，，， 所以，，即，解得， 所以，由方差公式得. 题型六、两点分布的均值、方差 28．设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【答案】B 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，， 所以 这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 当从增大到时，随增大而递增； 当从增大到时，随增大而递减， 因此，当在内增大时，方差先增大后减小. 故选：B. 29．已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（    ） X 0 1 P 0.2 0.8 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中， 所以， 又因为，所以， 故A、B、C错误，D正确. 故选：D 30．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可知：， 随机变量X的分布列为 X 0 1 P 由两点分布可知：，故A正确，D错误； 所以，，故B正确，C错误； 故选：AB. 31．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 【答案】①②④ 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 故答案为：①②④． 32．某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 【答案】/ 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 33．若随机变量服从两点分布，则的最大值为______. 【答案】 【详解】服从两点分布，设成功的概率为p， 可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为. 故答案为：. 题型七、利用均值和方差进行决策 34．已知甲，乙两家工厂生产同一种产品，该产品在同一工厂生产流程分为相互独立的制造和检测两步：在制造环节，可能会生产出次品；在检测环节，可能会将合格品检测为次品或将次品检测为合格品．现已知甲，乙工厂的次品率分别为，，检测正确（合格品最终检测为合格品，次品最终检测为次品）率分别为，，已知． (1)若，，设一件产品在两家工厂分别经过检测后检测正确的产品数量为X，Y，试比较E（X）和E（Y）的大小关系； (2)为提高产品质量，两家工厂决定将产品检测环节转移至对方工厂进行．以各自合格品经过检测，并经过对方工厂检测后的检测正确率计，若，试判断该方案能否有效提高生产质量． 【答案】(1) (2)若两工厂的次品率均大于（或等于），则该方案对此无帮助； 若两工厂的次品率均小于，则该方案对此有帮助； 若两工厂的次品率一个大于（或等于），一个小于（或等于），则该方案对前者无帮助，对后者有帮助．（两个等号不能同时成立） 证明见详解. 【分析】 【详解】（1）由题意得产品数量X，Y的取值为0，1， 甲，乙工厂的次品率分别为，，检测正确率分别为， 故产品数量X的分布列为 ， 产品数量的分布列为 ， ，，，，又 ． （2）交换前检测正确率为 ，， 设甲工厂的合格品经过乙工厂检测后的正确率为，乙工厂的合格品经过甲工厂检测后的正确率为， 则， ， ， ，，， 当时，，； 当时，，； 综上所述：若两工厂的次品率均大于（或等于），则该方案对此无帮助； 若两工厂的次品率均小于，则该方案对此有帮助； 若两工厂的次品率一个大于（或等于），一个小于（或等于），则该方案对前者无帮助，对后者有帮助．（两个等号不能同时成立） 35．某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【答案】(1)，. (2)75 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 36．某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 37．为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：I．随机选一个选项；II．随机选两个选项；III．随机选三个选项． (1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； (2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3， 所以的分布列为 0 2 3 则数学期望． （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则的所有可能取值为0，2，3， 则， 所以； 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， 所以； 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，的所有可能取值为：0，6， 则， 所以． 要使唯独选择方案最好，则，解得，故的取值范围为. 38．甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】(1)的分布列见解析 (2)甲应该选择项目二，理由见详解 【分析】 【详解】（1）由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P （2）对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 39．高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】(1) (2)（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【分析】 【详解】（1）记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． （2）（ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 一、单选题 1．（2025·26高二下·河南·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 2．（2024·25高二下·广东清远·期末）某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，解得. 故选：A. 3．（2024·25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则，， 所以，． 故选：A. 4．（2024·25高二下·河北沧州·期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（    ） A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52 【答案】C 【详解】由已知可得，的分布列为 0 3 所以，， . 故选：C. 5．（2023·24高二下·甘肃庆阳·期末）若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】，故随机变量的值只能为， ，解得或， 所以. 故选：B 6．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D 7．（2024·25高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得、的分布列如下表所示： 由分布列的性质可得，所以，， 所以，，， 所以，， 设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有， 则， 当且仅当时取等号，所以，， 因为函数在上单调递减， 所以，． 故选：B. 二、多选题 8．（2024·25高三·江苏·一轮复习）口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量，若则随机变量的取值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【详解】口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中， ∴摸到红球的概率是，白球的概率是，而即得3分：表示这3次摸的都是白球且， ∴，解得， ∴的可能取值为3，4，5，6. 故选：BCD. 9．（2023·24高二下·福建福州·期末）已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 【详解】对于AB，当时，， ， ， 所以，， 所以，， 所以A正确，B错误， 对于CD，当时，， , ， ， ， 所以， ， 所以，， 所以，所以C错误，D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键是要弄清每次交换球后，盒子中蓝球和黄球的个数，考查计算能力，属于中档题. 三、填空题 10．（2023·24高二下·江苏泰州·期末）设随机变量的分布列为（），则实数的值为______. 【答案】15 【详解】由概率的基本性质知：，解得. 故答案为：15. 11．（2025·26高三上·湖北黄石·期末）随机将这6个数分成两组，其中A组2个数，B组4个数，A组最小的数为组最小的数为b，记，则__________. 【答案】 【详解】6个数分成两组，共有种分组方法， 当时，中含有1，共5种情况，有4种情况，有1种情况； 当时，中含有2不含1，共4种情况，有4种情况； 当时，中含有3不含1,2，共3种情况，有3种情况； 当时，中含有4不含1,2,3，共2种情况，有2种情况； 当时，中含有5不含1,2,3,4，共1种情况，有1种情况； . 故答案为： 四、解答题 12．（2025·河南南阳·模拟预测）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为． （2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，． 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 13．（2025·26高三上·浙江绍兴·期末）袋中装有标有数字1到6的六个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字. (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)已知取出的三个小球的标号和为奇数，求的概率； (3)计算随机变量的数学期望. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）记事件A：取出的三个球的标号和为奇数，事件B： ； （2）， ； （3）随机变量的取值为：3，4，5，6， ，， ，， 的分布列为： 3 4 5 6 P . 14．（2025·26高三上·江苏苏州·期末）为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 【答案】(1)． (2)有理由认定李老师是投篮高手，理由见解析． 【分析】 【详解】（1）投篮的次数的可能值为1，2，3， 1 2 3 所以， 由于，所以． （2）有理由认定李老师是投篮高手，理由如下： 投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定李老师是投篮高手． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机变量的分布列及数字特征 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分布列的性质 1 题型二、求离散型随机变量的分布列（重点） 1 题型三、求离散型随机变量的均值（重点） 3 题型四、求离散型随机变量的方差（重点） 4 题型五、均值、方差的性质 5 题型六、两点分布的均值、方差 6 题型七、利用均值和方差进行决策（难点） 7 B 综合攻坚·能力跃升 9 题型一、分布列的性质 1．设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．5 B．10 C．12 D．15 2．离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 4．若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为______． X 0 1 2 3 P a b 题型二、求离散型随机变量的分布列 5．有一个数字生成器，它可以等可能地生成这四个数字．定义随机变量X为生成的数字，再定义两个新的随机变量，． (1)求随机变量X的概率分布列． (2)求Y的概率分布列． (3)求Z的概率分布列． (4)求和． 6．4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 7．甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 8．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条，当它们相交时，；当它们平行时，的值为它们之间的距离；当它们异面时，.求随机变量的分布列. 9．2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． (1)求甲队员通过测试的概率； (2)若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 10．四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列． 题型三、求离散型随机变量的均值 11．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 12．某同学每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为（   ） A．4 B． C．3 D． 13．体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的均值，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 15．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 16．某人进行3场比赛（任何一场比赛均分出胜负），规则如下：第1场获胜的概率为；若上一场获胜，则本场获胜的概率为；若上一场失败，则本场获胜的概率为. (1)分别求第2场、第3场获胜的概率； (2)设X为3场中获胜的总场数，求X的数学期望． 题型四、求离散型随机变量的方差 17．已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 18．甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 20．若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 21．为了让学生更加了解学习红色文化，学校购买了一些书籍．其中《永恒的力量：八一》，《永恒的力量：方志敏》与《永恒的力量：安源》三本是红色文化书籍，另外《西游记》与《红楼梦》非红色文化书籍，并做好形状大小外观等一样的书签，某位同学随机排列这五张书签，并依次抽取.若抽到红色文化书籍则停止，否则继续抽取书签． (1)求这五张书签共有多少种不同的排列方式？ (2)求停止时已抽取非红色文化书籍书签数的期望值和方差． 题型五、均值、方差的性质 22．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 23．（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 24．已知离散型随机变量X，Y满足，，则______. 25．盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 26．（多选）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 0.25 则（   ） A． B． C． D． 27．设，为随机变量，，，，则（    ） A．22 B．6 C．8 D．4 题型六、两点分布的均值、方差 28．设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 29．已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（    ） X 0 1 P 0.2 0.8 A． B． C． D． 30．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 31．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 32．某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 33．若随机变量服从两点分布，则的最大值为______. 题型七、利用均值和方差进行决策 34．已知甲，乙两家工厂生产同一种产品，该产品在同一工厂生产流程分为相互独立的制造和检测两步：在制造环节，可能会生产出次品；在检测环节，可能会将合格品检测为次品或将次品检测为合格品．现已知甲，乙工厂的次品率分别为，，检测正确（合格品最终检测为合格品，次品最终检测为次品）率分别为，，已知． (1)若，，设一件产品在两家工厂分别经过检测后检测正确的产品数量为X，Y，试比较E（X）和E（Y）的大小关系； (2)为提高产品质量，两家工厂决定将产品检测环节转移至对方工厂进行．以各自合格品经过检测，并经过对方工厂检测后的检测正确率计，若，试判断该方案能否有效提高生产质量． 35．某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 36．某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 37．为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：I．随机选一个选项；II．随机选两个选项；III．随机选三个选项． (1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； (2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？ 38．甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 39．高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 一、单选题 1．（2025·26高二下·河南·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．（2024·25高二下·广东清远·期末）某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 3．（2024·25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 4．（2024·25高二下·河北沧州·期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（    ） A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52 5．（2023·24高二下·甘肃庆阳·期末）若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·25高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024·25高三·江苏·一轮复习）口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量，若则随机变量的取值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2023·24高二下·福建福州·期末）已知甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，现同时从甲、乙两盒中各取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2023·24高二下·江苏泰州·期末）设随机变量的分布列为（），则实数的值为______. 11．（2025·26高三上·湖北黄石·期末）随机将这6个数分成两组，其中A组2个数，B组4个数，A组最小的数为组最小的数为b，记，则__________. 四、解答题 12．（2025·河南南阳·模拟预测）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 13．（2025·26高三上·浙江绍兴·期末）袋中装有标有数字1到6的六个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字. (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)已知取出的三个小球的标号和为奇数，求的概率； (3)计算随机变量的数学期望. 14．（2025·26高三上·江苏苏州·期末）为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值． (1)求的值； (2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $