专项复习提优五 平行四边形 单元测试 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学平行四边形单元复习卷，涵盖选择、填空、解答题型，融合中考真题与创新题，梯度设计适配单元巩固与能力提优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形性质、中位线、判定|结合2025中考题（如第2题），基础巩固与真题导向| |填空题|8/24|中点性质、面积计算、动点问题|第18题多情况讨论动点，培养分类思想与模型意识| |解答题|8/66|判定应用、新定义（等垂四边形）、综合探究|第25题新定义问题，第26题结合等边三角形探究，发展推理能力与创新意识|

专项复习提优五 平行四边形 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为( ). A. 6cm B. 3cm C. 9 cm D. 12cm 2.(2025·资阳中考)三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是( ). A. 12cm B. 24cm C. 28cm D. 30cm 3.(2025·山西中考)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是( ). A. B. C. D. 4.(2025·江苏苏州吴江区期末)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，添加下列条件后，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是( ). A. AD=BC B. AB=DC C. AB∥CD D. ∠B=∠D 5.如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD 的顶点B,C,D的坐标分别是(-5,0),(0,0),(2,3),则顶点A的坐标是( ). A. (-2,3) B. (-3,2) C. (-2,2) D. (-3,3) 6.如图,在▱ABCD中,AB=3,∠ABC与∠BCD 的平分线交于点E,若点E恰好在边AD 上,则BE²的值为( ). A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 7.如图,在长方形ABCD 中,若AB=3,BC=4,EB∥DF,且BE 与DF 之间的距离为3,则AE 的长是( ). A. B. C. D. 8.如图,E 为▱ABCD外一点,且EB⊥BC于点B,ED⊥CD 于点D,若∠E=50°,则∠A 的度数为( ). 学科网（北京）股份有限公司 A. 135° B. 125° C. 130° D. 35° 9.(2025·石家庄长安区一模)根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是( ). 10.如图(1),在▱ABCD中,AD>AB,∠ABC是锐角,在BD上取两点M,N,使四边形 ANCM 为平行四边形，现有图(2)中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案为( ). A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形AECF 为平行四边形(图中不再添加点和线). 12.如图,在▱ABCD中,AD=6,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF= . 13.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA 的中点,连接DE,EF,FD,则图中平行四边形的个数为 . 14.如图，点 P 是平行四边形ABCD内一点，△PAB 的面积为5，△PAD 的面积为3,则△PAC 的面积为 . 15.如图,在▱ABCD中,BE⊥AD 于点E,BF⊥CD 于点F,若BE=2,BF=3,▱ABCD 的周长为20,则平行四边形的面积为 . 16.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,CF交BE于点G,若 则BG= . 17.(2025·河南平顶山新城区期中)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,M,N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，E，F 分别为DM，MN的中点，则 EF 长度的最大值为 . 18.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6cm,AD=10cm,点 P在边AD 上以每秒1cm的速度从点 A 向点D 运动，点Q 在BC 边上以每秒4cm的速度从点C 出发，在C，B间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点D 时停止运动，同时点Q 也停止运动.设运动时间为t s(t>0)，开始运动以后，当t 的值为 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形. 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,E 和 F 为对角线AC 上的两点, 求证：四边形ABCD 为平行四边形. 20.(6分)如图,在▱ABCD中,∠ABC 的平分线交AD 于点E,∠BCD 的平分线交AD 于点F,交BE于点G,AD=6,EF=3.求AF 的长度. 21.(8分)(2025·安徽六安金寨期末)如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠ADC 的平分线与边AB 相交于点E,P 是DE 的中点,若AD=5,CD=9,求PO 的长. 22.(8分)(2025·四川广安期末)如图,E 为 中边DC 的延长线上一点，且CE=DC,连接AE，分别交 BC,BD 于点F,G,连接AC交BD 于点O,连接OF. (1)求证:BF=CF; (2)判断AB 与OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论. 23.(8分)如图，四边形ABCD 为平行四边形，线段AC为对角线，E，F 分别为线段 BC,AD 的中点,连接EF 交AC 于点O. (1)求证：四边形 AECF 为平行四边形； (2)若OF=3,求CD 的长. 24.(8分)如图,平行四边形 ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,AE 平分 ,交 BC 于点E，且 (1)求证:AB=AE; (2)若 连接OE. ①若 求平行四边形 ABCD 的面积； ②设 试求k与m满足的关系。 25.(10分)(2025·吉林长春农安期末)如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作等垂四边形.如图(1)，在四边形ABCD 中，若 且 则四边形 ABCD 为等垂四边形.如图(2)和图(3)，已知四边形 ABCD 为等垂四边形， (1)在图(2)中,若 则 的度数为 °； (2)在图(3)中,若CD∥AB,CM,AN 分别平分，请判断四边形 CMAN 是否为等垂四边形，并说明理由. 26.(12分)已知 是等边三角形，D是边 BC上的一个动点(点 D 不与点B，C重合)， 是以AD 为边的等边三角形，过点 F 作BC 的平行线交射线AC 于点E，连接 BF. (1)如图(1),求证: (2)请判断图(1)中四边形 BCEF 的形状，并说明理由. (3)若点 D 在边BC 的延长线上，如图(2)，其他条件不变，请问(2)中结论还成立吗?如果成立，请说明理由. 1. B 2. B 3. C [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD.∵O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，∴OE 是△ACD 的中位线, 故A，B，D错误，不符合题意；C正确，符合题意.故选 C. 4. B 5. D 6. D [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=3,,BC=AD, ∴∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+∠DCB=180°. ∵∠ABC 与∠BCD 的平分线交于点 E,点 E 恰好在边AD 上, ∴∠AEB=∠ABE,∠DEC=∠DCE,∠CBE+∠BCE= ∴AE=AB=3,DE=DC=3,∠BEC=180°-(∠CBE+∠BCE)=90°,∴BC=AD=AE+DE=3+3=6, 故选D. 7. C [解析]过点E作EH⊥DF于点H,则EH=AB=3,∠A=∠EHD=90°. ∵EB∥DF,∴∠EDH=∠AEB, ∴△AEB≌△HDE,∴DE=BE,DH=AE.在Rt△AEB中,设AE=x,则 BE=DE=4-x,则 解得 故选 C. 8. C [解析]∵EB⊥BC,ED⊥CD, ∴∠EBC=∠EDC=90°. ∵四边形 BCDE 的内角和为360°,∠BED=50°, 又四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠BCD=130°.故选 C. 9. C[解析]A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意；B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；C.由“内错角相等，两直线平行”，可得一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； D.由“内错角相等，两直线平行”，可得两组对边分别平行， ∴该四边形是平行四边形，故不符合题意.故选 C. 10. A [解析]方案甲:如图,连接AC. ∵在▱ABCD 中,O 为BD的中点, ∴OB=OD,OA=OC. ∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确，故符合要求. 方案乙:∵在▱ABCD 中,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM, ∵AN⊥BD,CM⊥BD, ∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°. ∵∠ABN=∠CDM,∠ANB=∠CMD,AB=CD, ∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM. 又AN∥CM，∴四边形 ANCM 为平行四边形，方案乙正确，故符合要求. 方案丙：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,∠ABN=∠CDM. ∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD, ∵∠BAN=∠DCM,AB=CD,∠ABN=∠CDM, ∴△ABN≌△CDM(ASA), ∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,∴∠ANM=∠CMN, ∴AN∥CM,∴四边形ANCM 为平行四边形,方案丙正确，故符合要求.综上，3种方法都正确.故选 A. 11. BE=DF 12.3 [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6.∵E,F分别是BD,CD的中点, 13.3 [解析]∵点 D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,DE∥AC,FE∥AB,且 DF= ∴有 3个平行四边形，分别为□AFED,□DFEB,□DFCE. 14.2 15.12 [解析]∵▱ABCD 的周长为 20,∴2(AD+CD)=20,∴AD+CD=10①.∵S▱ABCD=AD·BE=CD·BF, ∴2AD=3CD②,联立①②,解得 AD=6,∴▱ABCD 的面积为AD·BE=6×2=12. 16.6 [解析]取 BE的中点 H,连接FH与CH,如图所示, ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB,DC=AB. ∵F是AE 的中点, H 为BE 的中点,∴FH 为△ABE 的中位线, ∵E 是CD 的中点, 又 FH∥CD,∴四边形 CEFH 为平行四边形, [解析]如图,连接DN. ∵E,F 分别为DM,MN的中点, ∴当 DN 最大时,EF 最大. 由题意，得当点 N 与点 B 重合时，DN 最大，最大值为3 ,∴EF 长度的最大值为 18.4或 或8 [解析]∵四边形ABCD 平行四边形，∴BC=AD=10cm,AD∥BC,即PD∥BQ. 若PD=BQ,则以 P,D,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形.由题意,得点 P 到点 D 的时间为t=10÷1=10(s),点 Q 到点 B 的时间为t=10÷4=2.5(s). 根据题意，分四种情况： ①当0<t≤2.5 时,AP=t cm,CQ=4t cm,则 PD=(10-t) cm,BQ=(10-4t) cm, ∴10-4t=10-t,解得t=0(舍去); ②当2.5<t≤5 时,AP=t cm,BQ=(4t-10) cm,则PD=(10-t) cm,∴4t-10=10-t,解得t=4; ③当5<t≤7.5 时,AP=t cm,BQ=(30-4t) cm,则PD=(10-t) cm,∴30-4t=10-t,解得 ④当7.5<t≤10 时,AP=t cm,BQ=(4t-30) cm,则PD=(10-t) cm,∴4t-30=10-t,解得t=8. 综上所述，当t的值为4或 或8时,以 P,D,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形. 19.∵AB∥CD,∴∠EAB=∠FCD. 在△AEB 和△CFD 中 ∴△AEB≌△CFD(AAS),∴AB=CD.又AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 20.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE. 同理可得DF=CD,∴AE=DF, 即AF+EF=DE+EF,∴AF=DE. ∵AD=6,EF=3,∴AF+DE=AD-EF=3, 21.∵▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AD=5,CD=9, ∴AB∥DC,AB=CD=9,OD=OB, ∴∠CDP=∠AED. ∵DP平分∠ADC,∴∠CDP=∠ADP, ∴∠ADP=∠AED,∴AE=AD=5, ∴EB=AB-AE=9-5=4. ∵P 是DE 的中点,O是BD 的中点, 22.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BA∥DC,BA=DC,∴∠BAF=∠E. ∵CE=DC,∴BA=CE. 在△ABF 和△ECF 中 ∴△ABF≌△ECF(AAS),∴BF=CF. (2)AB∥OF,AB=2OF.证明如下: ∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,∴AO=CO. 由(1),得BF=CF,∴OF 是△ABC 的中位线, ∴OF∥AB,且 即AB∥OF,AB=2OF. 23.(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC. ∵E,F 分别为线段BC,AD 的中点, 又AF∥CE,∴四边形AECF 为平行四边形. (2)∵四边形 AECF 为平行四边形,∴OA=OC. ∵AF=DF,∴OF 为△ACD 的中位线, ∴CD=2OF=2×3=6. 24.(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°. ∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°, ∴∠AEB=60°=∠BAE=∠ABE, ∴△ABE 是等边三角形,∴AB=AE. (2)①∵ ②∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=mBC. 易证△BOE 的边BE 上的高等于△BDC 的边BC上的高的一半,底 BE 等于 BC 的m 倍. 设△BDC中BC边上的高为h,BC 的长为b, ∴2-m=k,∴m+k=2. 25.(1)70 [解析]∵∠ACD=40°,AC⊥BC, ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=130°. ∵∠DAB=∠DCB,∴∠DAB=130°. (2)四边形 CMAN 是等垂四边形.理由如下： ∵CD∥AB,∴∠ACD=∠CAB. ∵CM,AN 分别平分∠ACD,∠CAB, ∴∠DCM=∠BAN. ∵四边形ABCD 为等垂四边形,∴∠DAB=∠DCB, ∴∠DAB-∠BAN=∠DCB-∠DCM,即∠MCN=∠MAN. ∵AC⊥CN,∴四边形 CMAN 是等垂四边形. 26.(1)∵△ABC和△ADF 都是等边三角形, ∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°. 又∠FAB=∠FAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠FAB=∠DAC. 在△AFB 和△ADC 中, ∴△AFB≌△ADC(SAS). (2)四边形 BCEF 是平行四边形.理由如下： 由(1),得△AFB≌△ADC,∴∠ABF=∠C=60°. 又∠BAC=∠C=60°,∴∠ABF=∠BAC,∴FB∥AC. 又 BC∥EF,∴四边形 BCEF 是平行四边形. (3)成立.理由如下： ∵△ABC 和△ADF 都是等边三角形, ∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°. 又∠FAB=∠BAC-∠FAE,∠DAC=∠FAD-∠FAE, ∴∠FAB=∠DAC. 在△AFB 和△ADC 中, ∴△AFB≌△ADC(SAS),∴∠AFB=∠ADC.又∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,∴∠ADC=∠EAF,∴∠AFB=∠EAF,∴BF∥AE.又 BC∥EF,∴四边形 BCEF 是平行四边形. $