江西萍乡市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 萍乡市高二期中数学卷聚焦数列、导数、统计核心知识，融入国务院春秋假政策等现实情境，通过分层设问（如解答题19题三问）考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高二学段期中能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等比数列前n项和、导数计算|基础概念辨析，如第3题导数公式正误判断| |多选|3/18|函数单调性、回归分析|选项分层设计，如第10题区分相关关系与确定性关系| |填空|3/15|数列递推、切线方程|简洁性与区分度，如第13题结合导数几何意义| |解答|5/77|等差数列求和、函数极值、线性回归|综合应用导向，如17题以景区定价为背景构建回归模型与优化问题|

绝密★启用前 准考证号　　　　　　姓名 （在此卷上答题无效） 萍乡市2025—2026学年度高二期中考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设等比数列的前项和为，且公比为，若，则 A．7 B．8 C．12 D．14 2．已知函数的导函数为，且 ，则 A． B． C． D． 3．下列求导结果正确的是 A． B． C． D． 4．在数列中，若，则的值为 A． B． C． D． 5．某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表． 治愈 未治愈 合计 服用新药 67 33 100 服用旧药 48 52 100 合计 115 85 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是 A．有99.5%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 B．有99.5%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 C．有99%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 D．有99%的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知数列满足：，，若对于，都有，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的导函数为，则下列说法正确的是 A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 10．在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据 进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是 A．体能测试得分与日常锻炼时间正相关 B．该样本数据的相关系数为4.8 C．该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上 D．某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分 11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是 A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 萍乡市2025—2026学年度高二期中考试 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，，则________． 13．已知函数，直线与曲线相切于点， 则________． 14．已知数列的前项和为，，，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知数列为等差数列，前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 设函数． （1）当时，求的最小值； （2）求在上的极值． 17．（本小题满分15分） 2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示： 门票价格（元/人） 30 40 50 60 70 日游客人数（千人） 21 20 14 8 7 （1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元/人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元/人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数广告费） 参考数据：，． 参考公式：线性回归方程，． 18．（本小题满分17分） 设数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）证明：函数在上存在唯一零点； （2）设函数． （i）讨论的极值点的个数； （ii）设数列满足：，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $萍乡市2025一2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题(8×5=40分)：DCBAD;CDB. 【8解析】当n≥2时，由a,=-a 2a+得：n2a,-(n-)a1=n,于是 n n2an=[n2an-(n-1)2a-]+[n-1)2a-1-(n-2)2a-2]+…+(22a2-1'a)+1a1 =n+m-)++1=+D,即a,="+,当n=1时4=1也满足，a,=”+ 2 2n 2n .n.3 对VneN,tan+二+ 22 +3≥0恒成立，则-1≤7+6n+35 n+1 令y=n2+6n+35 -+4, n+1 =n+1+30 +4≥2m+10×30 n+ n+1 当且仅当n+1=√30时，等号成立，这与n∈N矛盾，考虑当n+1=5时，y=15,当 n+1=6时，y=15,故-1≤ymim=15,即1≥-15 二、多项选择题(3×6=18分)：ACD;AC;ACD. 【说明：第10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分：第9,11题全部选 对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分.】 【11解析】由已知rf)+2nr=对)+1，得)-f四-1-2血x,设g=f x3 ，得g四=寸)f四-1-2血x，令gx>0,得0<r<,所以g)=因在 x2 x∈(0，Ve)上单调递增，在x∈[Ve,+oo)上单调递减，所以g(3)>g(4),即4f(3)>3f(4), A选项正确； 设adc,即因+ex·由70=0，得c=0,所/上0” 从而f'(x)= --nx,令f)>0,得0<x<e,所以f)在x∈0，c)上单调递增，在 x∈[e,+oo)上单调递减，可得B错误； x∈(L,e)时，f(x)>f(I)=0,x∈[e,+oo)时，x→+0时，f(x)→0，f(x)>0,所以 x∈(L,+o)时，f(x)>0恒成立，C项正确； 由f(x)在x∈[e,+o)上单调递减，e<4<e,所以f(e)>f(4)>f(e2),又f(2)=f(4), 所以f(e)>f(2)>f(e),D选项正确 三、填空题3×5=15分)：12.64：13.写14.2 【14解析】由己知a+2=(-)-an+n,得a+2+(-l)”a,=n, 当n为奇数时，an+2-an=n;当n为偶数时，a+2+an=n. 所以S12=a1+a2+.+a2=a1+a;+a5+a,+ag+a11+(a2+a4)+(a6+ag)+(a0+a12) =a1+(a1+1)+(a1+4)+(a1+9)+(a1+16)+(a1+25)+(2+6+10)=6a1+73=85, 所以a1=2 四、解答题（共77分） 15.(1)设等差数列{a,}的首项为a,公差为d, 由题意可知a,=a+2d=6,S3=3a1+ 1X2d=3a+3d=122分 得a1=2,d=2.故an=2n6分 (2)由(1)可知a,=2n,则a1=2n+2,令b,=1 andn+l 所以bn= 11 1-11_1 anan+12n(2n+2)4n(n+1)4nn+1 10分 则前n项和T,为：Tn=b,+b2+b+…+b, -0-r目日】 13分 l6.(1)函数f(x)的定义域为R,当k=0时，f(x)=xe+1,f'(x)=e(x+1), 令f'(x)=e(x+1)>0,得x>-1, 2分 所以f(x)在x∈(-o0,-1)上单调递减，在x∈[-1，+o)上单调递增， 4分 所以fx)=f1)=1- .6分 e (2)由己知，f'(x)=e(x-k+1), 8分 ①当k≤1时，f'(x)>0在x∈(0，+o)上恒成立，f(x)在x∈(0，+0)上单调递增 所以f(x)在x∈(0，+o)上没有极值： 11分 ②当k>1时，令f'(x)=0,得x=k-1.则f(x)在x∈(0，k-1)上单调递减， 在x∈(k-1,+o)上单调递增.所以f(x)在x∈(0，+o)上的极小值为f(k-1)=-e-+1, f(x)没有极大值. .14分 综上所述，当k≤1时，f(x)在x∈(0，+o)上没有极值； 当k>1时，f(x)在x∈(0，+o)上的极小值为f(k-)=-e-+1,f(x)没有极大值15分 170南题意得：=60+40+50+60+70)=50，少=21+20+14+8+7)=142分 6=-400 -0.4,=14-(-0.4)×50=344分 1000 所以y关于x的线性回归方程为=-0.4x+34.… .6分 (2)设门票净收入为T,则Tn=xwn-n,由(1)x=10时，=-0.4×10+34=30 8分 故Tn=10×30(2 3)-n=60- 300 30 10分 Tn+1≤Tn 200≤3” 若要使T最大，则 In1≤Tn' 代入可得 3"-≤200 ,又因为n∈N,故n=5,14分 所以当门票定价为10元时，日广告费用为5千元时门票净收入最大. 15分 18.(1)由2Sn=3an-3,当n=1时，2S,=3a1-3,S=41,解得a1=3.1分 当n≥2，n∈N*,2S1=301-3,则a,=301,即%2=3,3分 aa-l 故{an}是公比为3的等比数列，a1=3,所以an=3”,4=3也适合此式，an=3”4分 (2)因为0n=3”,所以b,=l0g3a2m-1=2n-1,5分 从而Tn=a,b1+ab2+…+anbn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)3”, 3T=1x32+3×33+5×34+…+(2n+1)×3m+1, 7分 两式相减得：-2T,=3+2(32+33+…+3)-(2n-)×3+ 9分 =3+2×30-3-（2m-)-31=(2-2n)-3-6,解得7，=(a-)-31+310分 1-3 (3)由(2)得不等式(-3)<T,+3,可变为元(-3)<(n-1)3+6 2 当n为奇数时，入<n-1 3 11分 记g(n)=n-1 330216 +3,所以2<gm)a,gn+2）-gm=2+3-2 9.30 令2、16 >0,得n≥1. 9.3n 12分 ”≥引且取奇数时，8四单词谴指。此时g@心=8)=子，即A<子 14分 当n为偶数时，-入<n-1+ 3,所以-2<gm)m, 6 .15分 同理可知，A≥2,8m单调递指，此时g。=g2-号，所以-2<号 即 9 16分 综上所述，实数2的取值范围为（儿，3 9’3 17分 19（1)由已知g=h(c+)-sin,xe),则g)=于 -cosx>0恒成立.1分 +1 所以8)在xe(兮m)上单词递增， ，2分 又gS)=ln(5+1）-1<0,gr)=na+1)>0, 3分 一∈（行，π），便gX=0,间题得证； (2)(D由己知()=n(x+)-mx（m>1,x>-》,可得A)=x-m2-2m】 x+m (x+1)(x+m)2 令h'(x)=0,得x=0或X=m2-2m.6分 ①当1<m<2时，函数h(x)在(-1，m2-2m)上单调递增，在(m2-2m,0)上单调递减，在 (0,+o)上单调递增，所以h(x)有2个极值点；…。 …7分 ②当m=2时，函数h(x)在(-1，+oo)上单调递增，所以h(x)没有极值点： 8分 ③当m>2时，函数h(x)在（-1,0)上单调递增，在(0，m2-2m)上单调递减，在 (m2-2m,+0)上单调递增，所以h(x)有2个极值 点 9分 综上所述，当1<m<2时，h(x)有2个极值点；当m=2时，h(x)没有极值点；当m>2时， h(x)有2个极值点 10分 (i)由(i)知，当m=2时，函数h(x)在（-1，+o)上单调递增，则当x∈(0，+o)时， Mx)>h(0）=0,即1n(x+1）>2（K>0）.l13分 x+2 由已知，易知0<an1=ln(a,+I)<an,则数列{an}单调递减，且0<an≤a1=1. 8,42m≥2)，即得 百0O6女5P 82≥0.又a=12所以6>nN17分