专题三 动态平衡 平衡中的临界与极值问题 讲义 -2027届高三物理一轮复习

专题三 动态平衡 平衡中的临界与极值问题 讲义 考点一　动态平衡问题 动态平衡模型分析方法 矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定 水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大 挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小 相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似 辅助圆法: (1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。 (2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定 正弦定理 一．解析法 1．对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3．根据自变量的变化确定因变量的变化。 类型一　合成法和正交分解法的应用 典例1：(2025·河北保定一模)如图，质量为0.2 kg的小球A在水平力F作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g取10 m/s2。则以下说法正确的是(　　) A.B对A的支持力大小为2 N B.水平地面对B的摩擦力方向水平向右 C.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F减小 D.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，地面对B的支持力减小 [答案]B [解析]　对A受力分析，如图所示，根据平衡条件，B对A的支持力FN＝＝4 N，故A错误;对A、B整体受力分析，在水平方向，根据平衡条件，摩擦力与水平力F等大反向，即摩擦力水平向右，故B正确;对A受力分析，则F＝mgtan θ，增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F增大，故C错误;对A、B整体受力分析，在竖直方向，根据平衡条件，地面对B的支持力与A、B的重力二力平衡，大小相等，与θ角无关，即地面对B的支持力不变，故D错误。 类型二　相似三角形法的应用 物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 典例2： (多选)(2025·江西鹰潭模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　) A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝ B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝ C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小 D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大 [答案]AC [解析]　对小球受力分析如图所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图所示闭合三角形。由图可知力的三角形与几何三角形△AOO'相似，则有，得FN＝，FT＝，故A正确，B错误;缓慢地拉绳，小球由A到B的过程中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，由上式可知，FN不变，FT变小，故C正确，D错误。 二．图解法的应用 类型一　“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 典例3：图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是(　　) A．货物A对玻璃棚的压力不变 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力越来越小 [答案]　C[解析]　对货物A受力分析，其动态图如图所示。货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大。同时，玻璃棚对货物的支持力变小，由牛顿第三定律知，货物A对玻璃棚的压力越来越小。故C项正确。 类型二　“一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡问题 1．圆周角法：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 典例4：(2025·河北沧州联考)如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端分别与轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同(均处于拉伸状态)，且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120°夹角。现使OP、OQ的夹角不变，在保持O点不动的情况下，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中(　　) A．OP上的作用力一直减小 B．OQ上的作用力一直减小 C．OP上的作用力先增大后减小 D．OQ旋转至水平位置时，OQ上作用力最大 [答案]　A[解析]　初状态系统平衡时，两弹簧弹力相等，合力与两弹簧夹45°斜向左上方，则由O点受力平衡知：OP、OQ两绳拉力合力斜向下与OP夹45°角。保持O点不动，则两弹簧伸长状态不变，合力不变，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转70°，此过程OP、OQ合力不变，而两力夹角不变，根据力三角形法可作图如示： 由图可以看出，在旋转70°的过程中，表示OP的拉力TOP长度一直在减小，说明OP上的作用力一直减小；表示OQ的拉力TOQ长度先增大后减小，说明OQ上的作用力先增大后减小；当OQ旋转至水平位置时，OQ对应的圆周角为180°－60°－45°＝75°<90°，说明此时OQ拉力不是最大值。故A正确，B、C、D错误。 考点二　平衡中的临界与极值问题 1.临界、极值问题特征 (1)临界问题:当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 常见的临界状态有: ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题:平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决临界和极值问题的三种方法 极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 物理 分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 典例5：(2025·山东临沂模拟)如图所示，半径均为R的光滑球和不光滑的半球由同种材料制成的，球和半球放置在竖直墙壁的左侧。当半球的球心到竖直墙壁的距离大于2.2R时，半球将向左滑动。当半球球心到墙壁的距离为L时，即使给球体向下沿通过球心的竖直方向施加的力再大，半球和球始终保持静止，则L的最大值为(　　) A.R B.R C.R D.R [答案]　D[解析]　设半球质量为m，则光滑球质量为2m，对光滑球和不光滑的半球受力分析，如图所示，当半球的球心到竖直墙壁的距离为2.2R时，由几何关系，有sin θ＝＝0.6，对整体，根据平衡条件可得Ff＝FN2＝2mgtan θ，FN3＝mg＋2mg，又Ff＝μFN3，联立解得μ＝0.5。给球体向下沿通过球心的竖直方向施加力，半球和球始终保持静止，需要满足(F＋2mg)tan α≤μ(mg＋F＋2mg)，即tan α≤μ，当半球球心到墙壁的距离为最大值L时，有tan α＝μ，由几何关系，有L＝2Rsin α＋R，联立解得L＝R，故D正确。 典例6：如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为(　　) A．mg　　　　　　　 B．mg C．mg D．mg [答案]　C[解析]　由对称性可知，AC绳和BD绳与竖直方向的夹角相等，设均为θ，由几何关系可知sin θ＝＝，则θ＝30°。对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan 30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，BD绳对D点的拉力F1方向一定，又F1与在D点施加的力F3的合力和F2等值反向，如图所示，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3min＝F2sin 60°＝mg，C正确。 典例7：如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　) A． B． C． D． [答案]　B[解析]　对机器人受力分析如图所示，由平衡条件得，mgsin 30°≤μmgcos 30°，解得μ≥，故机器人的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于，B正确，A、C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $