河北省保定市定州市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

合)点单1阳组姓量气，以中 数学试题 ,中泽t为n,国 注意事项： 为e=馆年 】答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答意卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非透择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第三节】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.五棱锥 2.已知z=一3，则这= (径 A.1-3i B.1+3i C.3-i D.3+i 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“b>2c是“snB>m2C”的. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 封 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知a,b是同一平面内的两个不共线的向量，若c=3a十xb,d=ya一钻，且c/d,则 A.xy+12=0:量不Bxy-12=0:最誉C.4红十3y=08D.4x-3y=0 5.欧拉公式e°=cos0十isin0是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一，已为 (+)-525 i,则an20= B c-号 n-g 里 6.已知D是△ABC的重心，AB=3,AC=2,∠BAC=哥则Ad在A店上的投影向量为 A猫 BA丽 C号A丽 DA福 7,如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选择与塔底B在同一水平面内的 两个测量点C与D,先测得∠BCD=45,∠BDC=105°，CD-40米，并 在点C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB= A602-206米 B05=206米 3 3 c60E+206米 D.603+20,5米 3 3 【高一数学第1页（共4页】 &.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB1BC,侧面BCC,B,是正方 小水 形，BC-2AB=2,M是线段BC,上的动点，当AM+B,M取得最 小值时，△ABM的面积为 AS B.后的路冷的前火4的 示号 c9 D.32 写在 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项特合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于平面向量a,b,c,下列结论不正确的是 A.若a十b=0,则1a|=|b .若a·b=0,则a=0或b=0 项是符合 C若a⊥b,a⊥c,则b=c D.若a·b=a·c,则b=c 10.如图，封闭图形ABC由线段AB,BC和曲线AC组成，其中A,O,B三点共线， OB=20A=6,曲线AC是以O为圆心，OA为半径的一段弧，且AC所对的圆 心角为受，将该图形绕着AB所在的直线旋转一周得到旋转体，则 (S D.e ,例成 A该旋转体由子个球体和1个圆锥体组成 B该旋转体由号个球体和1个圆维体组成 () C.该旋转体的表面积为18x十9，√5元 D.该旋转体的体积为72x 已知 且已知△ABC的内角A,BC的对边分别为a6c,若C=号且△ABC的面积S-吹则 A.acos B+bcos A=√3 1). Ba十6>2万水1前幸内若容讯衣重的8武冰应数面暗他器客利随济个 深 C.sin 1E(lx=cos A+cos B) 多 用容已将调单整容点来门 D关于B的方程/3如B士osB一2B1存在2个不相等的实数根-青 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共1巧分家圆且，（不销的本容利 12.已知21=2-i,x2=3十2i,则21一x2的虚部为▲ 刻高 13.如图，△AB'C是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的 直观图，A',C分别在y,x轴上，且A'B=BC'=3,A'B⊥ B'C',A'B'OC',则在△ABC中，BC= 14.已知向量a,b,c满足a=6,b=5,a·b=18,且(c-a)·(c 2b)=一12，则1c-b1的最大值为△ 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本圆共5小题，共7分解答应写出文字说明，证明过程成演算步厚 15.(13分) 已知向量a-(1,-3),b=(-1,1). (1)求a+2b1, (2)求向量a+2b与2a-b夹角的余弦值。 型日数合节闲水州即限出的小国后金行其，行面小和，小nn 5套州的车作合信有的方食品，位明的过州在 04张0-0，-4月 16.(15分) y4加得，自单、%后0分 已知复数1十V②i是关于士的方程斗a+6=0(a,bER)的-个复数根 1)求a,b的值， (2)若复数0一b +m2-2m+3mim∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值 范围. 17.(15分) 一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器内部装满了水，容器壁厚度忽略 不计. (1)求该容器的表面积与容积； (2)若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为22，将圆柱体容器内的水全部倒入圆 锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的 高度， 【高一数学第3页（共4页）】 17分) 如图，在长方形ABCD中，AB=,AD+2,E是CD的巾点，P是线段肥上的点（含 端点)、 )若序=2F.用A丽，A而表示A, 2)求AC.AF的取值范围： (3)延长AP到点G,使得CGLAE,若AF=0,求BG 0 入合大用得二国夏人人， 一下只，中京数个面的个时容食心共，食小性处共通在血 级加得州0机四同体对的的合对 出n 9.(17分) 如图，在平有四边形AB0D中，AB=BC=CD号A6,a 0品-号*m8m 封 (2)判断2cos∠BAD一c0s∠BCD是否为定值若是，求出该定值；若不是，说明理由. 3若ABBD<区AB,设△ABD,△BCD的面积分别为SS,求号的取催范围 D 的内面平为一国年县放已算置山的，相A春的B物，图时 一△真单响，联志单单的人可改两线今点店 【高一数学第1页（共4页】数学试题参考答案 1.D三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五 棱锥的顶点数为6. 2.C之=-33=-1+3i,则泛=i(-1-3i)=3-i. 3.A由b>2c,得sinB>2sinC>2 sin Ccos C=sin2C,即sinB>sin2C;由sinB>sin2C, 得sinB>2 sin Ccos C,则b>2 ccos C,不一定满足b>2c.故“b>2c”是“sinB>sin2C”的充 分不必要条件， 4A由c/a,得号-号4搭理得y十12-0 5B由题可知am(0十)=2，侧吧。-2解特n0=号：则m9-。-号 1-tan20 4 6.D 因为D是△ABC的重心，所以A心=号A店+号AC,则A心在A店上的投影向量为 A动恋店+花.成=应. |AB12 27 BC CD 7.C由题可知∠CBD=30,则sin∠BDC-sin∠CBD则BC=80sin105°=80sin(45+60) =202+6)米.因为∠BCA=30,所以AB=BC-20,6十60,2米. 3 8.A如图，将△BB1C1沿着BC1翻折，使其与△ABC1共面，可知当 A,M,B1三点共线时，AM十B1M取得最小值.过B1作B1N⊥ BC1,因为BC=√2AB=2,侧面BCC1B1是正方形，所以BC1= 2W2,B,N=√2=AB,易知AB⊥BC1,则M为BN的中点，则AM M =B,M=10 ,AB,=V5,则△AB,M的边AB,上的高为 (0)-(受)产-1，则△AB,M的面积为3×后×1= 2 9.BCD由a十b=0,得a=-b,则|a=b,A正确.由a·b=0,得a=0或b=0或a⊥b,B 不正确.若a⊥b,a⊥c,则b,c不一定相等，C不正确.若a·b=a·c,则a⊥(b一c),D不 正确. 10.BC 由题可知，该旋转体由2个球体和1个圆锥体组成，半球体的半径为3，圆锥体的底面 半径为3，高为6，母线长为3√5，则该旋转体的表面积为2π×32+π×3×3√5=18π+ 95x,体积为管×3+XX6-36元故选BC 3 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 1.AcD因为C-号，所以S-t-号b血C-a6,则：= 由sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,可得c=acos B+bcos A=√3，A正确. 因为c2=a2+b2-2 abcosC,所以3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥a+b)2 42,当且仅当a -b时，等号成立，则a+6≤25，B不正确c0sA+cosB=cosA十cos(管-A）=2osA sinA=n(A+吾).由0<A<得君<A+音<誓，因为管<1<爱，所以sm1∈ {zx=cosA十cosB,C正确.V3sinB十cosB-2sinB √52√3sin2B+2 sin Bcos B-√3 2sin B sin 2B-3cos 2B sin(2) 2sin B sin B =1,则sin(2B一)=sinB.由0<B<行，得号< 2B-于<，则2B-晋-B或2B-号+B=元，得B=否或B-F,D正确 12.一3之1-之2=一1一3i,虚部为-3. 13.9由题可知，A'C'=O'A'=3√2，则在实物图中，OA=6√2，OC=6,AB=3,则BC= √32+(6√2)2=9. 14.5如图，记OA=a,OB=b,OC=c,OD=2b,则0A=6, 0D-10os乙A0D-日合-号可得AD-8取AD 的中点E,则c-a=O元-OA=AC=A+E元，c-2b= O元-O币=DC-D2+EC=-AE+E式，则(c-a)·(c- 2b)=(AE+EC)·(-A立+EC)=EC-A=EC2-16=-12,则EC1=2,故C是以E 为圆心，2为半径的圆上的动点，c-b=OC-O成=BC.易得BE=A0=3,所以1< BC≤5. 15.解：(1)因为a=(1,-3),b=(-1,1),所以a+2b=(-1,-1),…2分 则|a十2b=√(-1)2十(-1)2=√2.…5分 (2)因为a=(1,-3),b=(一1,1)，所以2a一b=(3,一7)，…7分 则|2a-b|=√32十(-7)7=√58.…10分 设a+2b与2a-b的夹角为0，则cos0=a+2b):2a-b)--1X3+(-1)X(-)_ a+2b 2a-b √2X√58 2√29 29· …13分 16.解：(1)由题可得(1+√2i)2+a(1+√2i)+b=a+b-1+(2√2+√2a)i=0,…3分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 a+b-1=0, 则 5分 2√2+√2a=0, a=-2, 解得 …7分 6=3. (2)由(1)可得a二6i+m22m+3mi=g十m2-2m+3mi 8分 =2i-3+m2-2+3mi=n2-2m-3+(3m十2)i,…11分 m2-2m-3<0, 则 13分 3m+2>0, 解得-号<m<3,即m的取值范围为（一号，）. …15分 17.解：(1)因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面半径为1，高为2，·2分 则该容器的表面积为2πX12十2πX1X2=6π，…4分 容积为πX12X2=2π.… 6分 (2)由题可得圆锥体容器的高为2.… 7分 设水面的高度为，半径为，则2。-名，即乃-2，… 9分 则5(r2十4π+2xr)h=2元，… 11分 则(r2十2r十4)(2-r）=6,… 12分 整理得r3=2,… …14分 则r=2,h=2-2,即圆锥体容器中水面的高度为2一2.…15分 18.解：1)因为E=2F,所以A京-子A+}A应 2分 又E是CD的中点，所以A范=A市+D成=A市+A馆， …3分 从而A-子A+(AD+?A)-8A+3AD. …4分 (2)(方法-)因为F是线段BE上的点，所以A市=A应+(1-x)A=xA市+(1-)A (0≤x≤1).… 6分 又AC-A市+A店，所以AC.A萨=(Ai+A)·[xAD+(1-)A店】 …7分 =xA市2+(1+号)Ad·A店+(1-号)A=16-4z. 8分 由0≤x≤1，得12≤16-4x≤16，故AC.A户的取值范围为[12,16].…10分 (方法二)AC.AF-|AC1AF|cos∠CAF, …5分 分别记E,B在AC上的射影为E1,B1, 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 由向量的投影可知，当F运动到点E处时，AC.A市取得最小值AC1AEI,当F运动到 点B处时，AC·A户取得最大值AC1AB1. …6分 记AC,BE的交点为0，易得OE=BE=- 3,0A= 3AC=45 3 …7分 则0e,-8S-250B-20E,-4 D 15，…8分 ,AB=8/5 则AE,-6Y5 , …9分 则1AC1AE11=12,AC11AB1|=16,故AC.AF的取值范围为[12,16].…10分 (3)由题可知AE⊥BE,… …11分 因为AE=22,AF三0，所以EF=2三BE.…12分 又AE⊥CG,所以BE/CG, …13分 侧哈把号从面花-本-×+应)-+正， …14分 成-G-破=花证-茄， 15分 则心-需A-A店.A市+a市- …16分 则EG=|G=√26 2 …17分 19.解：设AD=2x,则AB=BC=CD=√2x.…1分 （D油0-发得BD=52.2分 在△BCD中，coS∠BCD=BC2+CD2-BD2_2x2+2x2-5x 1 2BC·CD 4x2 …4分 (2)在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD =4x2-4x2c0s/BCD.… …5分 在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD =6x2-4V2x2c0S∠BAD,… 6分 则4x2-4x2coS∠BCD=6x2-4V2x2c0s∠BAD,… 7分 得2cos∠BAD-cOS∠BCD=号， 8分 放v2cos∠BAD-cOs∠BCD是定值，且该定值为2 9分 (3)S,-2AB·ADsin∠BAD=√Exsi∠BAD, 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 S.BCCDin_BCDinBCD, …10分 则(g)°-2sDaD-2I-os∠BAD sin∠BCD 1-cos2/BCD 11分 由(2)可知2cos∠BAD-cos∠BCD=7,则2cos2∠BAD=coS2∠BCD十oS∠BCD+ ……12分 则()= -cos'∠BCD-cos∠BCD+ 1+4cos∠BCD 4 1-cos2∠BCD 1-cos2∠BCD 13分 设BD=AAB(1<A<√2)，则coS∠BCD= BC2+CD2-BD22x2+2x2-22x22-λ2 2BC·CD 4x2 2 由1<2，得0<oos/BCD<- …14分 今-g时子广-11- 713 ……15分 易知函数y=-计+号（公，星）内单调逢诚，则号-4十+号3， 则<（爱）< …16分 则号的值煮为(，号 …17分 如 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】