热点03 平面直角坐标系与一次函数6大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点03 平面直角坐标系与一次函数 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 坐标特征、平移、轴对称、中心对称变换 题型02 自变量取值范围、函数图像识别 题型03 一次函数解析式、k/b几何意义 题型04 一次函数与方程不等式结合 题型05 一次函数生活实际应用题 题型06 一次函数简易几何综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：平面直角坐标系与一次函数是江苏中考数学的核心基础函数模块，是后续二次函数、反比例函数学习的基石，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-18分，是基础题与中档题的重要来源，也是几何与代数综合题的 “桥梁”。 1.高频考点分布 · 平面直角坐标系：坐标特征、对称与平移变换为基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-4分； · 一次函数的图像与性质：解析式求法、k/b的几何意义、图像识别为必考考点，占3-6分； · 一次函数与方程/不等式结合：是中档题高频考点，常以选择、填空形式考查，占2-4分； · 一次函数实际应用与几何综合：是解答题高频考点，常作为基础解答题出现，占4-8分。 2.命题特点 · 基础题以课本变式为主，侧重坐标变换、函数图像性质的理解； · 应用题常结合行程、工程、利润等生活场景，考查建模与函数应用能力； · 几何综合题侧重一次函数与三角形、四边形的结合，考查数形结合思想； · 新情境试题逐年增多，常结合科技、生活背景考查函数的实际意义。 3.高频失分点 · 混淆点的对称、平移变换规则，如关于x轴/y轴对称时坐标符号变化错误； · 忽略一次函数的隐含条件，如一次项系数k≠0、实际应用中自变量的取值范围； · 对k的几何意义理解不清，无法判断函数的增减性； · 一次函数与不等式结合时，不能准确从图像中读取解集； · 实际应用中，未结合自变量的实际意义确定函数的取值范围。 预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出数形结合与实际应用： · 基础题难度不变，仍以坐标变换、函数性质的基础考查为主； · 情境化应用题占比提升，将更多结合江苏本地生活、交通等背景，考查建模能力； · 一次函数与几何、方程不等式的综合题区分度增强，侧重考查数形结合与转化思想； · 对函数图像的分析能力要求进一步提高，如结合图像分析实际问题中的变量关系。 题型01 坐标特征、平移、轴对称、中心对称变换 解｜题｜策｜略 ①坐标特征速记： · 象限内点：第一象限(+,+)、第二象限(−,+)、第三象限(−,−)、第四象限(+,−)； · 坐标轴上点：x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0； · 角平分线上点：一、三象限角平分线上横纵坐标相等，二、四象限角平分线上横纵坐标互为相反数。 ②平移变换规则：上加下减纵坐标，左减右加横坐标，点(x,y)： · 向上平移a个单位：(x,y+a)；向下平移a个单位：(x,y−a)； · 向左平移a个单位：(x−a,y)；向右平移a个单位：(x+a,y)。 ③对称变换规则： · 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反，即(x,y)→(x,−y)； · 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反，即(x,y)→(−x,y)； · 关于原点中心对称：横纵坐标都取反，即(x,y)→(−x,−y)。 ④易错点：平移/对称时，混淆坐标变化的方向，可结合坐标系画图辅助理解。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 例2（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例4（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）若点在x轴上，则点P的坐标是__________． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式4】（2026江苏无锡·一模）点关于原点对称的点的坐标是______． 【变式5】（2026·江苏盐城·一模）如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 题型02 自变量取值范围、函数图像识别 解｜题｜策｜略 ① 自变量取值范围的判断规则： · 整式函数：自变量为全体实数； · 分式函数：分母不为0； · 二次根式函数：被开方数非负； · 实际问题中的函数：自变量需同时满足数学意义和实际意义（如人数、长度为非负数）。 ② 函数图像识别技巧： · 看起点：判断自变量的初始取值和对应的函数值； · 看趋势：上升、下降或水平线段，对应函数的增减性或不变性； · 看拐点：函数图像的转折点，对应实际问题中的关键节点（如到达终点、速度变化）； · 看终点：判断自变量的取值范围和函数的最终值。 ③ 解题关键：结合实际情境，将文字描述转化为图像信息，排除不符合题意的选项。 例1（2026·江苏徐州·一模）若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 例2（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距． 【变式3】（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 题型03 一次函数解析式、k/b几何意义 解｜题｜策｜略 ① 一次函数解析式求法： · 待定系数法：设解析式y=kx+b(k≠0)，代入图像上两个点的坐标，列二元一次方程组求解k和b； · 平移法：直线平移时k不变，根据平移方向和距离调整b的值。 ② k和b的几何意义： · k（斜率）：决定函数的增减性和倾斜方向：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小；∣k∣越大，直线越陡； · b（截距）：直线与 y 轴交点的纵坐标，直线与 y 轴交于(0,b)；当b>0时，交点在 y 轴正半轴；b<0时，交点在 y 轴负半轴。 ③ 易错点：忽略一次函数的定义条件k≠0，导致漏解；混淆k和b对图像的影响。 例1（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【变式2】（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若二次函数的图象的顶点在直线上，求； (3)设时，当时，则的函数值的取值范围是_________； 题型04 一次函数与方程不等式结合 解｜题｜策｜略 1 一次函数与一元一次方程：直线y=kx+b与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解； ② 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； ③ 一次函数与一元一次不等式： · 不等式kx+b>0的解集，是直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围； · 不等式kx+b<0的解集，是直线y=kx+b在x轴下方部分对应的x的取值范围； · 两个一次函数比较大小：图像在上方的函数值更大，根据图像的上下位置确定x的取值范围。 ④ 解题核心：利用数形结合思想，将代数问题转化为图像问题，直观求解。 例1（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 题型05 一次函数生活实际应用题 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 审：分析实际问题中的变量关系，确定自变量和因变量； · 设：设出一次函数解析式，明确自变量的取值范围； · 列：根据题意，列出关于解析式参数的方程，求解解析式； · 用：结合解析式解决实际问题，如求最值、特定值等； · 验：检验解是否符合自变量的取值范围和实际意义。 ② 高频模型： · 行程问题：路程 = 速度 × 时间，常结合匀速运动、相遇、追及场景； · 费用问题：分段计费，如水费、电费、话费，常以分段一次函数形式考查； · 利润问题：利润与销量、单价的关系，结合一次函数的增减性求最值。 ③ 易错点：忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合题意；未结合k的正负判断函数的增减性，求最值时出错。 例1（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【变式3】（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 (1)因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______． (2)求销售利润随的函数表达式； (3)这14天中日销售利润不低于930元的有______天． 题型06 一次函数简易几何综合 解｜题｜策｜略 1 核心解题思想：数形结合，将几何问题转化为代数计算，或用函数图像解决几何问题。 ② 高频考点与方法： · 求交点坐标：联立一次函数解析式与几何图形（如坐标轴、其他直线）的方程，解方程组求交点； · 求线段长度：利用两点间距离公式，或结合坐标差求水平/竖直线段的长度； · 求图形面积：以坐标轴上的线段为底，用点的纵坐标/横坐标的绝对值为高，计算三角形、四边形的面积； · 对称与最值：结合一次函数图像，利用对称点求最短路径问题。 ③ 解题技巧： · 建立坐标系，将几何图形的顶点用坐标表示； · 利用一次函数的解析式表示出关键线段的长度； · 结合几何图形的性质（如平行、垂直），确定一次函数的斜率（平行的直线k相等，垂直的直线k互为负倒数）。 例1（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【变式1】（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 【变式2】（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线把分成面积相等的两部分，则的值为___________． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 6．（2026·山东枣庄·一模）平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______． 7．（2026·江苏南京·模拟预测）一次函数经过定点______． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ． 9．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 10．（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 11．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数图象是如图所示的线段，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当x为多少时，y是30元； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点03 平面直角坐标系与一次函数 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 坐标特征、平移、轴对称、中心对称变换 题型02 自变量取值范围、函数图像识别 题型03 一次函数解析式、k/b几何意义 题型04 一次函数与方程不等式结合 题型05 一次函数生活实际应用题 题型06 一次函数简易几何综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：平面直角坐标系与一次函数是江苏中考数学的核心基础函数模块，是后续二次函数、反比例函数学习的基石，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在10-18分，是基础题与中档题的重要来源，也是几何与代数综合题的 “桥梁”。 1.高频考点分布 · 平面直角坐标系：坐标特征、对称与平移变换为基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-4分； · 一次函数的图像与性质：解析式求法、k/b的几何意义、图像识别为必考考点，占3-6分； · 一次函数与方程/不等式结合：是中档题高频考点，常以选择、填空形式考查，占2-4分； · 一次函数实际应用与几何综合：是解答题高频考点，常作为基础解答题出现，占4-8分。 2.命题特点 · 基础题以课本变式为主，侧重坐标变换、函数图像性质的理解； · 应用题常结合行程、工程、利润等生活场景，考查建模与函数应用能力； · 几何综合题侧重一次函数与三角形、四边形的结合，考查数形结合思想； · 新情境试题逐年增多，常结合科技、生活背景考查函数的实际意义。 3.高频失分点 · 混淆点的对称、平移变换规则，如关于x轴/y轴对称时坐标符号变化错误； · 忽略一次函数的隐含条件，如一次项系数k≠0、实际应用中自变量的取值范围； · 对k的几何意义理解不清，无法判断函数的增减性； · 一次函数与不等式结合时，不能准确从图像中读取解集； · 实际应用中，未结合自变量的实际意义确定函数的取值范围。 预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出数形结合与实际应用： · 基础题难度不变，仍以坐标变换、函数性质的基础考查为主； · 情境化应用题占比提升，将更多结合江苏本地生活、交通等背景，考查建模能力； · 一次函数与几何、方程不等式的综合题区分度增强，侧重考查数形结合与转化思想； · 对函数图像的分析能力要求进一步提高，如结合图像分析实际问题中的变量关系。 题型01 坐标特征、平移、轴对称、中心对称变换 解｜题｜策｜略 ①坐标特征速记： · 象限内点：第一象限(+,+)、第二象限(−,+)、第三象限(−,−)、第四象限(+,−)； · 坐标轴上点：x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0； · 角平分线上点：一、三象限角平分线上横纵坐标相等，二、四象限角平分线上横纵坐标互为相反数。 ②平移变换规则：上加下减纵坐标，左减右加横坐标，点(x,y)： · 向上平移a个单位：(x,y+a)；向下平移a个单位：(x,y−a)； · 向左平移a个单位：(x−a,y)；向右平移a个单位：(x+a,y)。 ③对称变换规则： · 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反，即(x,y)→(x,−y)； · 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反，即(x,y)→(−x,y)； · 关于原点中心对称：横纵坐标都取反，即(x,y)→(−x,−y)。 ④易错点：平移/对称时，混淆坐标变化的方向，可结合坐标系画图辅助理解。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 例2（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可． 【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 例4（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据点在第二象限得到，的取值范围，再判断点横纵坐标的正负，即可确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征， ∴点在第四象限． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）若点在x轴上，则点P的坐标是__________． 【答案】 【分析】直接利用轴上的点的坐标特点：纵坐标为0，得出的值，进而得出答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标是． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为， 即点关于轴对称的点的坐标是． 【变式4】（2026江苏无锡·一模）点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键． 【变式5】（2026·江苏盐城·一模）如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 题型02 自变量取值范围、函数图像识别 解｜题｜策｜略 ① 自变量取值范围的判断规则： · 整式函数：自变量为全体实数； · 分式函数：分母不为0； · 二次根式函数：被开方数非负； · 实际问题中的函数：自变量需同时满足数学意义和实际意义（如人数、长度为非负数）。 ② 函数图像识别技巧： · 看起点：判断自变量的初始取值和对应的函数值； · 看趋势：上升、下降或水平线段，对应函数的增减性或不变性； · 看拐点：函数图像的转折点，对应实际问题中的关键节点（如到达终点、速度变化）； · 看终点：判断自变量的取值范围和函数的最终值。 ③ 解题关键：结合实际情境，将文字描述转化为图像信息，排除不符合题意的选项。 例1（2026·江苏徐州·一模）若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴自变量的取值范围是． 例2（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解得． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距． 【答案】 60 或 【分析】由图象可知，甲、乙两地的距离为，轿车和货车一起行驶了3小时相遇，则速度和为，再根据小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地，求出货车的速度．两车相距需分两种情况讨论：①在轿车出现故障前；②在轿车出现故障后． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两地的距离为， 则轿车和货车的速度和， 由图象可知，小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地， 则货车的速度， ①在轿车出现故障前两车相距，则； ②在轿车出现故障后两车相距，货车独自行驶了， 则轿车和货车共同行驶了，行驶时间为， 即行驶总时间为， 综上可知，轿车出发或时两车相距． 【变式3】（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 题型03 一次函数解析式、k/b几何意义 解｜题｜策｜略 ① 一次函数解析式求法： · 待定系数法：设解析式y=kx+b(k≠0)，代入图像上两个点的坐标，列二元一次方程组求解k和b； · 平移法：直线平移时k不变，根据平移方向和距离调整b的值。 ② k和b的几何意义： · k（斜率）：决定函数的增减性和倾斜方向：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小；∣k∣越大，直线越陡； · b（截距）：直线与 y 轴交点的纵坐标，直线与 y 轴交于(0,b)；当b>0时，交点在 y 轴正半轴；b<0时，交点在 y 轴负半轴。 ③ 易错点：忽略一次函数的定义条件k≠0，导致漏解；混淆k和b对图像的影响。 例1（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 例2（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】结合已知两点横纵坐标的大小关系，得到关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：，是直线 上的两点，且， 随的增大而减小 根据一次函数的性质可得 解得 【变式2】（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若二次函数的图象的顶点在直线上，求； (3)设时，当时，则的函数值的取值范围是_________； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入解析式，求出的关系式，进而表示出顶点坐标，代入一次函数解析式进行求解即可； （3）待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ，解得， ∴； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标在直线上， ∴， 整理，得，解得， ∴或； 综上：或； （3）解：当时，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为0， ∴． 题型04 一次函数与方程不等式结合 解｜题｜策｜略 1 一次函数与一元一次方程：直线y=kx+b与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解； ② 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； ③ 一次函数与一元一次不等式： · 不等式kx+b>0的解集，是直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围； · 不等式kx+b<0的解集，是直线y=kx+b在x轴下方部分对应的x的取值范围； · 两个一次函数比较大小：图像在上方的函数值更大，根据图像的上下位置确定x的取值范围。 ④ 解题核心：利用数形结合思想，将代数问题转化为图像问题，直观求解。 例1（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 例2（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 例3（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小， 当大于交点横坐标时，， 又当时，， ， 不等式两边同乘得：， 移项得：． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 题型05 一次函数生活实际应用题 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 审：分析实际问题中的变量关系，确定自变量和因变量； · 设：设出一次函数解析式，明确自变量的取值范围； · 列：根据题意，列出关于解析式参数的方程，求解解析式； · 用：结合解析式解决实际问题，如求最值、特定值等； · 验：检验解是否符合自变量的取值范围和实际意义。 ② 高频模型： · 行程问题：路程 = 速度 × 时间，常结合匀速运动、相遇、追及场景； · 费用问题：分段计费，如水费、电费、话费，常以分段一次函数形式考查； · 利润问题：利润与销量、单价的关系，结合一次函数的增减性求最值。 ③ 易错点：忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合题意；未结合k的正负判断函数的增减性，求最值时出错。 例1（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【答案】(1) (2)100元或180元 (3)100元 【详解】（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 【变式3】（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 (1)因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______． (2)求销售利润随的函数表达式； (3)这14天中日销售利润不低于930元的有______天． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）设每次降价的百分率为a，根据题意可列出关于a的一元二次方程，解出a的值即得出答案； （2）根据利润（标价进价）销量储存和损耗费，即可得(元)，进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可； （3）依题意可列出关于的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图像法解一元二次不等式，分别求出的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即每次降价的百分率为； （2）解：结合（1）得，第一次降价后的价格为（元）， 当时， ， 当时， ， 综上可知：， （3）解：当时，， 解得：， 此时为天利润不低于元， 当时，， 解得， ，， ， 此时第到天利润不低于元， （天）， 综上所述，共有天利润不低于元． 题型06 一次函数简易几何综合 解｜题｜策｜略 1 核心解题思想：数形结合，将几何问题转化为代数计算，或用函数图像解决几何问题。 ② 高频考点与方法： · 求交点坐标：联立一次函数解析式与几何图形（如坐标轴、其他直线）的方程，解方程组求交点； · 求线段长度：利用两点间距离公式，或结合坐标差求水平/竖直线段的长度； · 求图形面积：以坐标轴上的线段为底，用点的纵坐标/横坐标的绝对值为高，计算三角形、四边形的面积； · 对称与最值：结合一次函数图像，利用对称点求最短路径问题。 ③ 解题技巧： · 建立坐标系，将几何图形的顶点用坐标表示； · 利用一次函数的解析式表示出关键线段的长度； · 结合几何图形的性质（如平行、垂直），确定一次函数的斜率（平行的直线k相等，垂直的直线k互为负倒数）。 例1（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 【变式1】（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 【答案】 【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定在上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可． 【详解】解：整理函数得， 当时，，因此该一次函数恒过定点， 当时，可分段写为： ， 其图象为折线，端点坐标为，，， 当一次函数过点时，将点代入解析式得： ， 解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求， 当时，一次函数解析式为，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点， 根据函数图象可知：当时，两个函数有2个公共点， 因此满足的条件是． 【变式2】（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）把，代入，解出即可； （2）求出直线与直线交点M坐标，及，求出，进而求出结论； （3）点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，得出直线与相切于点，分两种情况：当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，或当点在x轴下方，且直线与相切于点时，分别求出即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ， 或； （3）解：， ∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N， ，，， ，的半径为3， ∵直线经过点，有且只有一点满足， ∴直线与相切于点， ∴分两种情况： 当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 把，代入直线，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 当点在x轴下方，且直线与相切于点时， 同理，， 同理，得出直线的函数表达式为； 综上，直线的函数表达式为或． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线把分成面积相等的两部分，则的值为___________． 【答案】0.6 【分析】首先，将直线，变形得出，知直线恒过定点，然后根据题意得直线过点，再将此点代入即可得出的值． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴直线恒过定点． ∵直线，把分成面积相等的两部分， ∴直线过线段的中点． ∵， ∴直线过点． 把点代入，得，解得． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之求出m的范围，从而得出答案． 【详解】解：A、若点在第一象限，则，解得，故点可能在第一象限； B、若点在第二象限，则，解得，故点可能在第二象限； C、若点在第三象限，则，该不等式组无解，故点不可能在第三象限； D、若点在第四象限，则，解得，故点可能在第四象限． 2．（2026·江苏无锡·一模）已知一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把代入函数解析式得， 解得． 3．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与轴的交点坐标为， 不等式的解集是． 故选：A． 5．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 【详解】解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 6．（2026·山东枣庄·一模）平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______． 【答案】 【分析】需先明确关于x轴对称的点的坐标特征，再根据该特征计算点P的对称点坐标． 【详解】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点为， ∴点关于x轴对称点坐标为． 7．（2026·江苏南京·模拟预测）一次函数经过定点______． 【答案】 【分析】将一次函数解析式整理为关于参数的多项式形式，根据定点的定义，无论参数取何值，点的坐标都满足解析式，因此令含项的系数为，即可求解得到定点坐标． 【详解】解：将给定一次函数解析式变形得， 因为一次函数经过定点，即无论取任意实数，等式恒成立， 所以令的系数为，即：， 解得 ， 将代入解析式，得 ， 因此该一次函数恒过定点． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图像解答即可求解． 【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 9．（2025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)乙车减速前的速度为千米小时，． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式． 【详解】（1）解：（小时）， ∴， 甲车的速度为（千米小时）， 故答案为：，； （2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时， 根据图象，得， 解得， ∴乙车减速前的速度为千米小时， （千米）， ∴， ∴， 乙车减速后的速度为（千米小时）， 则， ∴线段所表示的与的函数关系式为． 10．（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【答案】(1)点E的坐标为 (2)点F的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 11．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数图象是如图所示的线段，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当x为多少时，y是30元； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【答案】(1)当x为时，y是30元/ (2)当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使W最小 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的运用． （1）根据题意，运用待定系数法即可得到当时，y与x的函数关系式为，令当时，代入计算即可求解； （2）由题意可得，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 当时，， 解得，即当x为时，y是30元； （2）解：由题意可得：， ∴当时，W取得最小值42000，此时； ∴当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使W最小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $