专题 方程与不等式（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以“考情-方法-应用”为逻辑链，系统整合方程与不等式6大题型，提炼24个解题通法，强化从基础计算到综合应用的能力递进，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元一次方程|3类/例3|去分母防漏乘、参数分类讨论|从解法步骤到实际问题等量建模| |二元一次方程组|3类/例6|代入消元法、方案整数解筛选|方程解法→参数同解问题→实际配套应用| |分式方程|3类/例9|增根检验、应用题双重验证|整式化转化→参数取值范围→行程工程模型| |一元二次方程|4类/例13|因式分解优先、韦达定理整体代入|解法选择→判别式应用→增长率面积模型| |不等式(组)|4类/例17|不等号变向规则、参数边界讨论|解集确定→整数解问题→方案优化设计| |综合应用|3类/例18|方程与不等式联动、函数取值结合|单一知识应用→多知识点综合→实际问题解决|

专题 方程与不等式 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.一元一次方程 2025年北京：第20题：分式方程应用题（行程）考点：时间差建模、检验 第24题：方程+不等式综合（取值范围）考点：结合函数、参数讨论 2025年广州：第21题：分式方程应用题（工程/行程）考点：建模、列方程、检验 第23题：一元二次方程综合考点：韦达定理、判别式、实际应用 2025年深圳：第18题：解不等式组 + 整数解考点：基础送分、步骤分 第 22 题：二元一次方程组 + 不等式（方案选择）考点：配套问题、最值方案 第23题：一元二次方程应用题（利润）考点：利润模型、列方程求解 1.基础必考：二元一次方程组、不等式组计算，分值固定，送分题。 2.重点高频：一元二次方程判别式、韦达定理，小题必考。 3.易错考点：分式方程增根、无解问题，解方程务必检验。 4.应用题热点：增长率、利润、方案选择、工程行程问题。 5.压轴小考点：含参数不等式、方程与函数结合取值范围 2.二元一次方程组 3.分式方程 4.一元二次方程 5.一元一次不等式（组） 6.综合抢分题型 题型1 一元一次方程 1.去分母每项都乘最小公倍数，不漏乘常数项； 2.去括号遇负号，内部全部变号； 3.实际问题找准等量关系，设小不设大，列式简洁。 类型一 基础解方程 【例1】（2026·湖南·模拟预测）解方程：． 【变式1】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【变式2】（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 类型二 含参数方程（解相同、无解） 【例2】（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则___________． 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 【变式2】（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 类型三 元一次方程实际应用：行程、工程、销售、和差倍分 【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【变式1】（2026·陕西西安·三模）某校组织七年级学生参加红色研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有30人没有座位．若租用同样数量的60座客车，则多出2辆车，且其余客车恰好坐满，求参加红色研学活动的总人数． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·一模）小红家准备购买一台冰箱，在购买时，共有两种优惠方案：选择用“国补”或“以旧换新”，如果用“国补”，则可获得的补贴（补贴金额最高不超过2000元）；如果用“以旧换新”，则可在原价基础上优惠580元，两种方案不能同时享受．若选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元，那么这台冰箱原价是多少元？ 题型2 二元一次方程组 1.系数有±1用代入法，系数相同 / 相反用加减法； 2.无解：系数成比例，常数不成比例； 3.方案题结合整数取值，筛选合理答案 类型一 代入消元、加减消元解方程 【例4】（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【变式1】（2026·广东·一模）解方程组． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）计算或解方程组： (1)； (2)． 类型二 含参数：同解、无解、无数组解 【例5】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 类型三 实际应用：购物、配套、租车、方案问题 【例6】（2026·河南驻马店·二模）某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． (1)求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． (2)现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 【变式1】（2026·湖南湘西·一模）问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【变式2】（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【变式3】（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 题型3 分式方程 1.先去分母化为整式方程，算出答案必须检验； 2.增根：使分母为 0 的根，代入整式方程求参数； 3.应用题双重检验：方程解 + 实际意义。 类型一 常规分式方程求解 【例7】（2026·广西玉林·一模）解方程：． 【变式1】（2026·浙江·一模）解分式方程：． 【变式2】（2026·江苏连云港·一模）解分式方程： 类型二 增根、无解求参数 【例8】（2026·黑龙江佳木斯·一模）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1】（2026·四川达州·一模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 类型三 分式方程应用题：行程、工程、效率问题 【例9】（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【变式2】（2026·江西新余·一模）清明节假期，某班师生共同到南昌汉代海昏侯国遗址博物馆参观学习，若部分同学计划花元请讲解人员进行讲解，后来临时增加名同学，总讲解费增加了元，但人均费用变为原来的． (1)求请讲解的同学人数． (2)参观结束后，同学们到文创店购买马蹄金造型徽章和青铜当卢书签，已知马蹄金造型徽章和青铜当卢书签的单价分别为元和元．若请讲解的每名同学都购买了一个马蹄金造型徽章或一张青铜当卢书签，且他们购买的总费用不超过元，求请讲解的同学最多购买马蹄金造型徽章的个数． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 题型4 一元二次方程 1.能因式分解绝不套公式，计算更快； 2.Δ=b2−4ac：Δ＞0 两不等实根，Δ＝0 两相等实根，Δ＜0 无实根； 3.韦达定理只代入系数，不解方程，快速求值； 4.增长率固定公式：a(1±x)2=b。 类型一 四种解法：直接开平、因式分解、配方、公式法 【例10】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【变式1】（2026·河南安阳·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 类型二 判别式 Δ，判断根的情况、求参数范围 【例11】（2026·辽宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是(    ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 类型三 韦达定理：两根和、两根积，整体代入求值 【例12】（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式3】（2026·湖南株洲·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 类型四 实际应用：增长率、面积、销售利润、循环问题 【例13】（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【变式1】（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 题型5 一元一次不等式（组） 1.两边同乘除负数，不等号方向必须反转； 2.不等式组解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了； 3.数轴表示：空心不含等号，实心含等号； 4.参数题先解不含参不等式，再锁定边界分类讨论。 类型一 解一元一次不等式 【例14】（2025·陕西西安·二模）解不等式：． 【变式1】（2026·浙江丽水·一模）解不等式：． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式，并求出最大的整数解． 类型二 解不等式组，求解集、整数解 【例15】（2026·湖南岳阳·一模）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【变式1】（2025·天津南开·二模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【变式2】（2026·重庆·一模）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 类型三 含参数不等式组：有无解、整数解个数限制 【例16】（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【变式1】（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【变式2】（2026·四川广安·二模）若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围为___． 【变式3】（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 类型四 不等式方案设计、最值应用 【例17】（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【变式1】（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）学校安排名学生外出研学一天，旅游公司有，两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： 型车（辆） 型车（辆） 可乘载人数（名） (1)求，两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； (2)公司现有型和型中巴车共辆可以调配使用，已知每辆型中巴车每天的租金元，每辆型中巴车每天的租金元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆型中巴车？ 【变式3】（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 题型6 方程与不等式综合 1.先解方程，再代入不等式限制范围； 2.数形结合，看函数图像高低判断不等关系； 3.大题步骤写完整，取值、取舍规范，稳拿步骤分。 【例18】（2026·湖北孝感·一模）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【变式1】（2026·四川成都·一模）为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． (1)求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【变式3】（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 1．（2026·浙江宁波·一模）把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北荆州·模拟预测）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 7．（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组： (1)； (2)． 8．（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 9．（2026·辽宁本溪·一模）某服装店直接从工厂购进A，B两款服装进行销售，进货价如表： 价格/类别 A款 B款 进货价（元/件） 70 80 (1)该服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，服装店第二次至少购进A款服装多少件？ 10．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 方程与不等式 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.一元一次方程 2025年北京：第20题：分式方程应用题（行程）考点：时间差建模、检验 第24题：方程+不等式综合（取值范围）考点：结合函数、参数讨论 2025年广州：第21题：分式方程应用题（工程/行程）考点：建模、列方程、检验 第23题：一元二次方程综合考点：韦达定理、判别式、实际应用 2025年深圳：第18题：解不等式组 + 整数解考点：基础送分、步骤分 第 22 题：二元一次方程组 + 不等式（方案选择）考点：配套问题、最值方案 第23题：一元二次方程应用题（利润）考点：利润模型、列方程求解 1.基础必考：二元一次方程组、不等式组计算，分值固定，送分题。 2.重点高频：一元二次方程判别式、韦达定理，小题必考。 3.易错考点：分式方程增根、无解问题，解方程务必检验。 4.应用题热点：增长率、利润、方案选择、工程行程问题。 5.压轴小考点：含参数不等式、方程与函数结合取值范围 2.二元一次方程组 3.分式方程 4.一元二次方程 5.一元一次不等式（组） 6.综合抢分题型 题型1 一元一次方程 1.去分母每项都乘最小公倍数，不漏乘常数项； 2.去括号遇负号，内部全部变号； 3.实际问题找准等量关系，设小不设大，列式简洁。 类型一 基础解方程 【例1】（2026·湖南·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】先考虑利用去括号法则去掉方程左边的括号，再根据等式的性质，将含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1得到方程的解． 【详解】去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【变式1】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键． 【详解】解， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 【变式2】（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 类型二 含参数方程（解相同、无解） 【例2】（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 【变式2】（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 【答案】 【分析】把代入，即可解答． 【详解】解：是关于x的方程的解， ∴可得， 解得． 类型三 元一次方程实际应用：行程、工程、销售、和差倍分 【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母 【分析】设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得 解得 则 ， 答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）某校组织七年级学生参加红色研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有30人没有座位．若租用同样数量的60座客车，则多出2辆车，且其余客车恰好坐满，求参加红色研学活动的总人数． 【答案】480人 【分析】设原计划租用45座客车x辆，根据总人数相同列方程求解． 【详解】解：设原计划租用45座客车x辆， 根据题意得， 解得 ∴（人） 答：参加红色研学活动的总人数为480人． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·一模）小红家准备购买一台冰箱，在购买时，共有两种优惠方案：选择用“国补”或“以旧换新”，如果用“国补”，则可获得的补贴（补贴金额最高不超过2000元）；如果用“以旧换新”，则可在原价基础上优惠580元，两种方案不能同时享受．若选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元，那么这台冰箱原价是多少元？ 【答案】这台冰箱原价是3200元 【分析】设这台冰箱原价是x元，再根据选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这台冰箱原价是x元， 由题意得，解得． 检验：当时，补贴金额为元， 因为，所以符合题意． 答：这台冰箱原价是3200元． 题型2 二元一次方程组 1.系数有±1用代入法，系数相同 / 相反用加减法； 2.无解：系数成比例，常数不成比例； 3.方案题结合整数取值，筛选合理答案 类型一 代入消元、加减消元解方程 【例4】（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 【变式1】（2026·广东·一模）解方程组． 【答案】 【分析】利用加减消元法解题，两个式子相加消去未知数，再代入方程①求出的值． 【详解】解： ①+②得：， 解得： 把代入①得：， 解得： ∴原方程组的解是 【变式2】（2026·广西南宁·一模）计算或解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和除法，然后计算加法即可求解； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 得，则 将代入中，得，则 ∴方程组的解为． 类型二 含参数：同解、无解、无数组解 【例5】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：方程组的两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 类型三 实际应用：购物、配套、租车、方案问题 【例6】（2026·河南驻马店·二模）某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． (1)求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． (2)现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 【答案】(1)A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元 (2)6件 【分析】（1）设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件．分别列出甲乙两商店所需的费用，然后根据费用一样建立一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元． 依题意得 解得 答：A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元． （2）解：设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件． 则在甲商店购买总费用为， 在乙商店购买总费用为． 当时， 解得． 答：购买6件A种劳动工具时，在甲、乙两商店购买的总费用一样． 【变式1】（2026·湖南湘西·一模）问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【答案】(1)每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元 (2)29.68元 【分析】（1）设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元，根据当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意用油车需花费的总费用减去电车需花费的总费用进行求解即可. 【详解】（1）解：设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元， 根据题意得， 解得； 答：每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元． （2）解：（元） 答：小张这次出游比小李节省了29.68元． 【变式2】（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【答案】平方米 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值，进而可求解． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴每一个小长方形的面积为平方米， ∴该试验田的面积为平方米． 【变式3】（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 【答案】(1)方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； (2)1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 【分析】（1）设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，由x、y均为非负整数，求解即可； （2）设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得， 因为x、y均为非负整数，所以对y进行取值： 当时，；当时，；当时，； ∴有三种方案： 方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元； 方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元； 方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； （2）解：设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和， 则， 解得， 答：1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 题型3 分式方程 1.先去分母化为整式方程，算出答案必须检验； 2.增根：使分母为 0 的根，代入整式方程求参数； 3.应用题双重检验：方程解 + 实际意义。 类型一 常规分式方程求解 【例7】（2026·广西玉林·一模）解方程：． 【答案】 【分析】首先去分母，把分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程可得：，再把求出的解代入原分式方程的最简公分母进行检验． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 【变式1】（2026·浙江·一模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【变式2】（2026·江苏连云港·一模）解分式方程： 【答案】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 类型二 增根、无解求参数 【例8】（2026·黑龙江佳木斯·一模）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 【变式1】（2026·四川达州·一模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘去分母得：， 整理得，， 移项合并得，， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴的取值范围是且． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【答案】 【分析】先将原分式方程化为整式方程，再根据增根求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， ∵原分式方程无解 ∴， 解得， ∴， 解得：． 类型三 分式方程应用题：行程、工程、效率问题 【例9】（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【分析】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【答案】 【分析】设大巴车的平均速度是 ，根据中巴与大巴的时间差列分式方程求解即可. 【详解】解：设大巴车的平均速度是 ， 由题意得：， 解得：， ∴中巴车的平均速度为：， 经检验，是分式方程的解， 答：中巴车的平均速度是． 【变式2】（2026·江西新余·一模）清明节假期，某班师生共同到南昌汉代海昏侯国遗址博物馆参观学习，若部分同学计划花元请讲解人员进行讲解，后来临时增加名同学，总讲解费增加了元，但人均费用变为原来的． (1)求请讲解的同学人数． (2)参观结束后，同学们到文创店购买马蹄金造型徽章和青铜当卢书签，已知马蹄金造型徽章和青铜当卢书签的单价分别为元和元．若请讲解的每名同学都购买了一个马蹄金造型徽章或一张青铜当卢书签，且他们购买的总费用不超过元，求请讲解的同学最多购买马蹄金造型徽章的个数． 【答案】(1)请讲解的同学有人； (2)请讲解的同学最多购买了个马蹄金造型徽章． 【分析】（1）设请讲解的同学有人，总费用为元，则原来请讲解的同学有人，费用为元，根据人均费用变为原来的可列出方程，解方程并检验可得答案； （2）设请讲解的同学购买了个马蹄金造型徽章，根据他们购买的总费用不超过元可得，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）设请讲解的同学有人， 据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：请讲解的同学有人； （2）设请讲解的同学购买了个马蹄金造型徽章，则购买了张青铜当卢书签， ∵他们购买的总费用不超过元， ∴， 解得：， 答：请讲解的同学最多购买了个马蹄金造型徽章． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】(1) 制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟 (2) 分钟 【分析】（）通过设制作一对“花扣”和“一字扣”的时间为未知数，根据两种盘扣的制作时间差、总用时这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组得到两种盘扣各自的制作时间； （）设升级后“一字扣”的制作时间为未知数，结合升级前的时间和时间增加的倍数关系，表示出升级后“花扣”的制作时间，再根据两种盘扣在固定时长内制作数量的比例关系列出分式方程，求解并检验后，得到升级后“一字扣”的制作时间． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟， 根据题意列方程组：， 解得， 答：制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟． （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需要分钟，则每对“一字扣”增加的时间为分钟，对应每对“花扣”增加的时间为分钟，升级后制作一对“花扣”的时间为： 根据题意列方程：， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解，符合实际意义， 答：升级后制作一对“一字扣”需分钟． 题型4 一元二次方程 1.能因式分解绝不套公式，计算更快； 2.Δ=b2−4ac：Δ＞0 两不等实根，Δ＝0 两相等实根，Δ＜0 无实根； 3.韦达定理只代入系数，不解方程，快速求值； 4.增长率固定公式：a(1±x)2=b。 类型一 四种解法：直接开平、因式分解、配方、公式法 【例10】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式1】（2026·河南安阳·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程-因式分解法，进行计算，即可． （1）根据解一元二次方程-因式分解法，即可； （2）根据解一元二次方程-因式分解法，即可． 【详解】（1）解：， 原方程因式分解为：， ∴，， ∴，． （2）解：， 移项得：， 整理得，， 提公因式得，， ∴，， ∴，． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 类型二 判别式 Δ，判断根的情况、求参数范围 【例11】（2026·辽宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 且 解得 且. 【变式1】（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是(    ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，根的情况由判别式判断，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，， ∴． ∴该一元二次方程有两个相等的实数根． 【变式2】（2026·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， ∴， 解得． 类型三 韦达定理：两根和、两根积，整体代入求值 【例12】（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ． 【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，， ∴． 【变式2】（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果. 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中， ∴由根与系数的关系可得 ，， 对所求式子因式分解得 将，代入得 原式． 【变式3】（2026·湖南株洲·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ． 类型四 实际应用：增长率、面积、销售利润、循环问题 【例13】（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 【变式1】（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，再结合已知总场数列方程判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为36，因此列方程得． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1)该款迷你无人机的月平均增长率为； (2)每架迷你无人机的售价应降低20元． 【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 题型5 一元一次不等式（组） 1.两边同乘除负数，不等号方向必须反转； 2.不等式组解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了； 3.数轴表示：空心不含等号，实心含等号； 4.参数题先解不含参不等式，再锁定边界分类讨论。 类型一 解一元一次不等式 【例14】（2025·陕西西安·二模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（2026·浙江丽水·一模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式，并求出最大的整数解． 【答案】 不等式的解集为，最大的整数解为 【分析】通过去分母，去括号，未知数的系数化为1，求解，进而求得整数解． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 解得：， ∴最大整数解为． 类型二 解不等式组，求解集、整数解 【例15】（2026·湖南岳阳·一模）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【变式1】（2025·天津南开·二模）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组． （1）按照一元一次不等式的解法即可得； （2）按照一元一次不等式的解法即可得； （3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得； （4）结合数轴，找出两个不等式解集的公共部分即可得不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得： 化系数为1： （2）解： 移项，合并同类项得： 化系数为1： （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下∶ （4）解：不等式组的解集为：． 【变式2】（2026·重庆·一模）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为 或或或或． 类型三 含参数不等式组：有无解、整数解个数限制 【例16】（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 【变式1】（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∵不等式无解, ∴ ∴． 【变式2】（2026·四川广安·二模）若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围为___． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集为，再根据整数解的个数得到关于的一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：， 解第一个不等式得，； 解第二个不等式得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为 ∴， 解得． 【变式3】（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 类型四 不等式方案设计、最值应用 【例17】（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 【变式1】（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）学校安排名学生外出研学一天，旅游公司有，两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： 型车（辆） 型车（辆） 可乘载人数（名） (1)求，两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； (2)公司现有型和型中巴车共辆可以调配使用，已知每辆型中巴车每天的租金元，每辆型中巴车每天的租金元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆型中巴车？ 【答案】(1)种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人 (2)①种；②租了辆型中巴车时，总租车费用最少 【分析】（1）设种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． ②设当租了辆型中巴车时，总租车费用为元，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人， 根据题意得：， 解得：， 答：种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人； （2）解：①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车， 根据题意得：，解得：， 两种车都要租，， ，且为正整数， ， 学校共有种租车方案； ②设租了辆型中巴车，总租车费用为元， 根据题意得：， ， 越大，越小，由①可知，最大取， 租了辆型中巴车时，总租车费用最少． 【变式3】（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 题型6 方程与不等式综合 1.先解方程，再代入不等式限制范围； 2.数形结合，看函数图像高低判断不等关系； 3.大题步骤写完整，取值、取舍规范，稳拿步骤分。 【例18】（2026·湖北孝感·一模）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 【变式1】（2026·四川成都·一模）为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) A类餐盒每个的价格为1元 (2) 购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元 【分析】（1）设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，结合题意列不等式得到，设总费用为，由此列式，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程有意义， ∴A类餐盒每个的价格为1元； （2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元， 设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（元）， ∴， ∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元． 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． (1)求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； (2)购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【分析】（）设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递，根据题意得 ，然后解分式方程并检验即可； （）设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元，根据题意得，得出的取值范围，再表示出总费用，然后根据一次函数的性质求出最小费用即可． 【详解】（1）解：设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递， 根据题意得 ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， ∴（件）， 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元， 根据题意得， 化简得， 解得， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵为整数， ∴的最小值为，此时最小值为：（万元）， 答：购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【变式3】（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 (2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可； （2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 1．（2026·浙江宁波·一模）把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，点用实点覆盖，无等号，点用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得，第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，数轴表示为， 故选：B． 2．（2026·湖北荆州·模拟预测）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找准两种出钱方案对应的等量关系，分别列出方程后联立即可得到正确方程组. 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元时，总钱数比物价多3元， ∴； ∵每人出7元时，总钱数比物价少4元， ∴； 联立可得方程组， 故选：C. 3．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 4．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 5．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 6．（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 7．（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)不等式组的解集为 【分析】（1）把方程化为，再进一步解方程即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ， ， ，即， ， ∴，； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 8．（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2) ；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 9．（2026·辽宁本溪·一模）某服装店直接从工厂购进A，B两款服装进行销售，进货价如表： 价格/类别 A款 B款 进货价（元/件） 70 80 (1)该服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，服装店第二次至少购进A款服装多少件？ 【答案】(1)A款服装购进20件，B款服装购进30件 (2)至少购进60件A款服装 【分析】（1）设购进A款服装x件，购进B款服装y件，服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，据此列出方程组并解方程组即可； （2）设第二次购进m件A款服装，则购进件B款服装，服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意，设购进A款服装x件，购进B款服装y件， ∴， ∴． 答：A款服装购进20件，B款服装购进30件； （2）由题意，设第二次购进m件A款服装，则购进件B款服装， ∴． ∴． 答：至少购进60件A款服装． 10．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1) 2.2元 (2) 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可. 【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得： ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ， （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $