5.3.3 分式方程的应用 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 5.3.3分式方程的应用 第五章　分式与分式方程 北师大版八年级数学下册 5.3.3 分式方程的应用 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“分式方程的应用”核心知识点设计，涵盖行程问题、工程问题、利润与折扣问题、浓度问题及和差倍比问题，分层考查基础应用与能力提升，助力掌握分式方程解决实际问题的步骤，提升分析问题、建立方程、求解检验的综合能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 列分式方程解决实际问题的关键是（ ） A. 直接设未知数 B. 找到题目中的等量关系，建立分式方程 C. 快速求解方程 D. 不用检验方程的解 2. 甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲的速度是x千米/小时，乙的速度是4千米/小时，甲比乙提前1小时到达B地，已知A、B两地相距20千米，则可列分式方程为（ ） A. $$\frac{20}{x} - \frac{20}{4} = 1$$ B. $$\frac{20}{4} - \frac{20}{x} = 1$$ C. $$\frac{20}{x} + \frac{20}{4} = 1$$ D.$$\frac{20}{4} + \frac{20}{x} = 1$$ 3. 某工厂计划加工一批零件，原计划每天加工x个，12天完成，实际每天多加工3个，10天完成，则下列分式方程正确的是（ ） A. $$\frac{12x}{x+3} = 10$$ B. $$\frac{10x}{x+3} = 12$$ C. $$\frac{12x}{x-3} = 10$$ D. $$\frac{10x}{x-3} = 12$$ 4. 商店购进一批商品，进价为每件x元，售价为每件120元，若按售价的8折出售，仍可获利20%，则可列分式方程为（ ） A. $$\frac{120×0.8 - x}{x} = 20\%$$ B. $$\frac{x - 120×0.8}{x} = 20\%$$ C. $$\frac{120 - 120×0.8}{x} = 20\%$$ D. $$\frac{120×0.8 - x}{120} = 20\%$$ 5. 下列关于分式方程应用的说法，正确的是（ ） A. 列分式方程时，不需要考虑未知数的实际意义 B. 求解后无需检验，直接写出答案即可 C. 若方程的解不符合实际意义，应舍去 D. 所有实际问题都可以用分式方程解决 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题、设未知数、找________、列分式方程、解分式方程、检验、写出答案。 2. 行程问题中，路程、速度、时间的关系为：路程=速度×时间，由此可变形为：时间=________。 3. 工程问题中，工作总量、工作效率、工作时间的关系为：工作总量=工作效率×工作时间，通常把工作总量看作________。 4. 甲、乙两人合作完成一项工程，甲单独做需x天，乙单独做需y天，则两人合作每天完成工程的________，合作完成这项工程需________天。 5. 某商品原价为x元，打8折后的售价为________元，若打折后仍可获利50元，进价为100元，则可列分式方程为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）行程问题（要求列出分式方程，写出完整求解步骤，包括检验）。 （1）A、B两地相距48千米，一辆汽车从A地开往B地，实际每小时行驶的速度比原计划快4千米，结果提前1小时到达，求原计划每小时行驶的速度； （2）甲、乙两人分别从相距30千米的两地相向而行，甲每小时走x千米，乙每小时走3千米，两人同时出发，2小时后相遇，求甲的速度。 解： 2. （12分）工程问题（要求列出分式方程，写出完整求解步骤，包括检验）。 （1）某车间加工一批零件，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成，两人合作几天可以完成这项工程的一半？ （2）某工厂计划加工一批零件，原计划每天加工20个，15天完成，实际每天加工的零件数比原计划多5个，实际多少天可以完成任务？ （3）甲、乙两人合作加工一批零件，甲每小时加工x个，乙每小时加工12个，两人合作4小时完成了全部零件的$$\frac{2}{3}$$，已知全部零件共有180个，求甲每小时加工的零件数。 解： 3. （12分）利润与折扣问题（要求列出分式方程，写出完整求解步骤，包括检验）。 （1）商店购进一批衬衫，进价为每件80元，售价为每件120元，当卖出这批衬衫的$$\frac{3}{4}$$时，不仅收回了全部成本，还盈利200元，求这批衬衫共有多少件？ （2）某商品按进价提高50%后标价，再打8折出售，售价为每件120元，求该商品的进价； （3）一件商品的进价为x元，按售价的9折出售，仍可获利20%，已知售价为180元，求商品的进价x。 解： 4. （12分）浓度与和差倍比问题（要求列出分式方程，写出完整求解步骤，包括检验）。 （1）现有浓度为20%的盐水500克，需加水多少克，才能稀释成浓度为10%的盐水？ （2）一个分数的分子比分母小3，若分子加上2，分母不变，这个分数的值为$$\frac{1}{2}$$，求这个分数； （3）甲的速度是乙的速度的$$\frac{3}{2}$$倍，甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲比乙提前2小时到达，已知A、B两地相距60千米，求乙的速度。 解： 5. （12分）综合应用题（要求列出分式方程，写出完整求解步骤，包括检验）。 （1）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工x个，乙每小时加工的零件数比甲少2个，甲加工80个零件所用的时间与乙加工60个零件所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件； （2）A、B两地相距120千米，一辆货车从A地开往B地，每小时行驶x千米，一辆客车从B地开往A地，每小时行驶的速度比货车快20千米，两车同时出发，3小时后相遇，求货车的速度； （3）某工程队承包一项工程，原计划每天施工x米，15天完成，实际每天施工的长度比原计划多3米，结果提前2天完成任务，求原计划每天施工的长度。 解： 6. （10分）拓展应用题（要求列出分式方程，写出完整求解步骤，包括检验）。 （1）小明从家到学校，步行每小时走5千米，骑自行车每小时走15千米，若小明骑自行车比步行少用40分钟，求小明家到学校的距离； （2）某工厂接到一批订单，若安排甲车间单独生产，需10天完成；若安排乙车间单独生产，需15天完成，现安排甲、乙两车间合作生产3天后，剩下的由乙车间单独完成，还需多少天才能完成订单？ 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 二、填空题：1.等量关系 2.路程÷速度 3.1（单位1） 4.$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$；$$\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$$（或$$\frac{xy}{x+y}$$） 5.0.8x；$$0.8x - 100 = 50$$ 三、解答题：1.（1）原计划每小时12千米（检验略）；（2）甲每小时12千米（检验略） 2.（1）3天（检验略）；（2）12天（检验略）；（3）甲每小时27个（检验略） 3.（1）20件（检验略）；（2）进价100元（检验略）；（3）进价135元（检验略） 4.（1）加水500克（检验略）；（2）分数为$$\frac{1}{4}$$（检验略）；（3）乙每小时10千米（检验略） 5.（1）甲每小时8个，乙每小时6个（检验略）；（2）货车每小时10千米（检验略）；（3）原计划每天19.5米（检验略） 6.（1）距离5千米（检验略）；（2）还需7.5天（检验略） 学习目标 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法. 1 列分式方程解决实际问题 某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元. (1)你能找出这一情境中的等量关系吗? 第一年出租的房屋间数 = 第二年每间房屋的租金 = 第二年出租的房屋间数 第一年每间房屋的租金 + 500 出租房屋间数 = 所有出租房屋租金 ÷ 每间房屋租金 则第二年每间房屋的租金为 (x + 500) 元，根据题意，得 (2)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 解：设第一年每间房屋的租金为 x 元， 解得 x = 8000. 答：第一年每间房屋的租金为 8000，第二年每间房屋的租金为 8500. 例1 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工 10 个这种工艺品，师傅加工 300 个这种工艺品所用的时间是徒弟加工 120 个这种工艺品所用时间的 2 倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 分析 : 问题中有怎样的等量关系? 如何分别用代数式表示师傅加工 300 个这种工艺品、徒弟加工 120 个这种工艺品所用的时间 ? 解: 设徒弟每天加工这种工艺品个，则师傅每天加工这种工艺品 (x + 10) 个，根据题意，得 解这个方程，得 x = 40. 经检验，x = 40 是所列方程的根.40 + 10 = 50. 所以，师傅每天加工这种工艺品 50 个，徒弟每天加工这种工艺品 40 个. 1.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是 15 元，今年 7 月的水费是 30 元.已知今年7月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水的价格. 练一练 解：设该市去年居民用水的价格为 x 元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的根. 答：该市今年居民用水的价格为 2 元/m3. 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ 典例精析 设乙单独完成这项工程需要 x 月. 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 工作时间(月) 工作效率之和 工作总量 甲单独 两队合作 1 解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的 ， 可知乙队的施工速度快. 例3 某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 行程问题：路程 = 速度×时间 类比 例2 方法分析下这道题 路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 提速后 提速前 s x s + 50 x + v 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间 等量关系： 设提速前列车的平均速度为 x km/h，其中s，v是已知值. 解：提速前列车的平均速度为 x km/h， 依题意得 方程两边乘 x(x + v)，得 s(x + v)＝x(s + 50). 检验：由 v，s 都是正数，得 时，x(x + v)≠0. 所以，原分式方程的解是 答：提速前列车的平均速度为 km/h. A 返回 1． 中考考法 15 返回 B 2． “行人守法，安全过街”反映了城市的文明程度．如图，官渡区森林公园路口的斑马线A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝8 m，在绿灯亮时，小官共用13 s通过AC路段，其中通过BC路段时的速度是通过AB路段时速度的1.6倍，则小官通过AB路段时的速度是(　　) A．0.5 m/s B．1 m/s C．1.5 m/s D．2 m/s 中考考法 16 3． 我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 中考考法 17 返回 中考考法 4． 返回 D 甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成时间比乙工程队单独完成时间少6天．若两个工程队同时施工4天后，再由乙工程队单独完成，则乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同．则甲工程队单独完成这项工程所需的时间是(　　) A．30天 B．28天 C．18天 D．12天 中考考法 19 5． 返回 10 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50 kg，两种糖的质量和单价如下表．商店以糖的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖________kg.   甲种糖 乙种糖 质量/kg 20 30 单价/元 25 15 中考考法 20 6． 250 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点 P的纵坐标是________． 中考考法 21 【点拨】 返回 中考考法 7． 书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是8：5，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度． 中考考法 23 返回 中考考法 8． 中考考法 25 (1)求每个A种挂件的价格； 中考考法 (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 返回 中考考法 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二找三设四列五解六验七答 321法 课堂小结 学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为480元和450元，且A种礼物比B种礼物多15份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是(　　) A．15元　 　B．元　 　C．12元　 　D．18元 【解】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意得－＝22.解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意． 所以一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”可知不善行者的速度是善行者速度的，∴＝，解得m＝250，经检验m＝250是方程的根且符合题意，∴两图象交点P的纵坐标是250. 【解】由题意，得AB＝1.2＋c＋d＝1.2＋2c＝(1.2＋4a)m， AD＝0.8＋a＋b＝(0.8＋2a)m. ∵AB与AD的比是8：5， ∴＝，解得a＝0.1. 经检验，a＝0.1是所列方程的根，且符合题意． ∴c＝2a＝0.2，b＝a＝0.1，d＝c＝2a＝0.2， ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m， 0.2 m，0.2 m. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． 【解】设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元． 根据题意，得－＝7，解得x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意． 所以每个A种挂件的价格为25元． 【解】设该游客购买y个A种挂件，则购买(y＋5)个B种挂件， 由(1)得每个B种挂件的价格为×25＝20(元)， 根据题意，得25y＋20(y＋5)≤600，解得y≤， 由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件． $