5.3.2 解分式方程 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 5.3.2解分式方程 第五章　分式与分式方程 北师大版八年级数学下册 5.3.2 解分式方程 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“解分式方程”核心知识点设计，涵盖解分式方程的基本步骤、去分母转化为整式方程、检验增根、含参数的分式方程求解，分层考查基础应用与能力提升，助力掌握解分式方程的方法，理解增根的意义，提升方程求解能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 解分式方程的关键步骤是（ ） A. 去分母，将分式方程转化为整式方程 B. 直接合并同类项 C. 移项，将常数项移到等号右边 D. 两边同时平方，消去分母 2. 解分式方程$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$$时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. x+1 = 2x B. x = 2(x+1) C. 2x = x+1 D. x(x+1) = 2 3. 下列关于解分式方程的说法，正确的是（ ） A. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程的解，一定是原分式方程的解 B. 解分式方程后，不需要检验 C. 若去分母后得到的整式方程无解，则原分式方程也无解 D. 增根是原分式方程的解 4. 解分式方程$$\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x} = 0$$，正确的解是（ ） A. x=3 B. x=2 C. x=1 D. x=-3 5. 分式方程$$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$$的解的情况是（ ） A. 解为x=2 B. 解为x=3 C. 无解 D. 有无数个解 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 解分式方程的一般步骤：去分母、解________、检验、写出原方程的解。 2. 去分母时，需在方程两边同时乘所有分母的________，确保每一项都要乘，避免漏乘常数项。 3. 增根是去分母后得到的________的解，但使原分式方程的分母为0，因此增根不是原分式方程的解。 4. 解分式方程$$\frac{3}{x+2} = \frac{1}{x}$$，去分母得________，解得x=________，检验后可知该解是原方程的解。 5. 若分式方程$$\frac{k}{x-1} = \frac{1}{x}$$有增根，则增根为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）解下列分式方程（要求写出完整步骤，包括检验）。 （1）$$\frac{1}{x} = \frac{3}{x+2}$$ （2）$$\frac{2}{x-3} = \frac{1}{x}$$ （3）$$\frac{5}{x} - \frac{1}{x-2} = 0$$ （4）$$\frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-1}$$ 解： 2. （12分）解下列含常数项的分式方程（要求写出完整步骤，包括检验）。 （1）$$\frac{1}{x} + 2 = \frac{3}{x}$$ （2）$$\frac{2}{x-1} - 1 = \frac{3}{1-x}$$ （3）$$\frac{x}{x-2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{x-2}$$ （4）$$\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x(x+2)}$$ 解： 3. （12分）解下列复杂分式方程（要求写出完整步骤，包括检验）。 （1）$$\frac{x}{x-1} = \frac{3}{2(x-1)} + 2$$ （2）$$\frac{2x}{x+1} - 1 = \frac{1}{x+1}$$ （3）$$\frac{1}{x-2} = \frac{1-x}{2-x} - 3$$ （4）$$\frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{x-2} + 1$$ 解： 4. （12分）判断下列分式方程是否有解，若有解，求出方程的解；若无解，说明理由。 （1）$$\frac{2}{x-3} = \frac{3}{x}$$； （2）$$\frac{1}{x+2} = \frac{3}{x^2 - 4}$$； （3）$$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{1-x} = 1$$； （4）$$\frac{x}{x+3} = \frac{x}{x-3}$$。 解： 5. （12分）解答下列含参数的分式方程问题。 （1）已知分式方程$$\frac{2}{x-1} = \frac{a}{x}$$的解为x=2，求a的值； （2）若分式方程$$\frac{k}{x-2} + 3 = \frac{1-x}{2-x}$$有增根，求k的值； （3）当m为何值时，分式方程$$\frac{m}{x+1} = \frac{2}{x-1}$$的解为x=3？ 解： 6. （10分）根据题意，列出分式方程并求解（要求写出完整步骤，包括检验）。 （1）一个数x的倒数与3的差等于这个数的一半，求这个数x； （2）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工x个，乙每小时加工4个，甲加工60个零件所用的时间比乙加工60个零件所用的时间少1.5小时，求甲每小时加工的零件数x； （3）A、B两地相距36千米，一辆汽车从A地开往B地，实际每小时行驶的速度比原计划快2千米，结果提前1小时到达，求原计划每小时行驶的速度x千米。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.A 3.C 4.A 5.C 二、填空题：1.整式方程 2.最简公分母 3.整式方程 4.3x = x+2；1 5.x=1 三、解答题：1.（1）x=1（检验略）；（2）x=-3（检验略）；（3）x=2.5（检验略）；（4）x=5（检验略） 2.（1）x=1（检验略）；（2）x=6（检验略）；（3）无解（增根x=2）；（4）x=2（检验略） 3.（1）x=2.5（检验略）；（2）x=2（检验略）；（3）无解（增根x=2）；（4）无解（增根x=2） 4.（1）有解，x=9；（2）无解（增根x=-2）；（3）无解；（4）有解，x=0 5.（1）a=1；（2）k=2；（3）m=4 6.（1）方程$$\frac{1}{x} - 3 = \frac{x}{2}$$，解为x=-2（检验略）；（2）方程$$\frac{60}{4} - \frac{60}{x} = 1.5$$，解为x=5（检验略）；（3）方程$$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = 1$$，解为x=8（检验略） 学习目标 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法. 1 分式方程的解法 思考：你能求出上一节课列出的分式方程 (1) 如何把它转化为熟知的整式方程呢？ “去分母” 的解吗？ 6x 解：方程两边同乘 2x，得 检验：将x = 104.4代入原分式方程中，左边 = = 右边，因此 x = 104.4 是原分式方程的解. 174×6 - 174×3 = 5x 解得 x = 104.4 (2) 方程各分母最简公分母是： x = 104.4 是原分式方程的解吗？ 例1 解方程： 解：方程两边都乘最简公分母 x(x - 2)，得 解这个方程，得 x = -3. 检验：把 x = -3 代入原方程的左边和右边，得 所以 x = -3 是原方程的解． 典例精析 在解方程 时，小亮的解法如下： 议一议 方程两边同乘 (x - 2)，得 1 - x + 5 = -1 - 2(x - 2)， 解得 x = 2. x = 2 是原分式方程的解吗？ 想一想： 为什么 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？ x = 2 使得原分式方程的分母为 0 . 使得原分式方程的分母为 0 的根，我们称为原方程的增根. 方法总结 注意：因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 将所得的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的根是原方程的根；否则，这个根不是原方程的根。 检验方法： 检验过程可以简单地写成：“经检验，x=a是原方程的根。” 例2 解方程： . 解：方程两边都乘最简公分母 2x，得 解这个一元一次方程，得 x = 4. 经检验：x = 4 是原方程的根. 且不存在增根． D 返回 1． A．3＝－2x－5 B．3＝2x－5(1－2x) C．3(2x－1)＝2x(1－2x)－5 D．3＝－2x－5(1－2x) 中考考法 10 返回 C 2． 中考考法 11 x＝5 返回 3． 中考考法 12 4． 返回 －1 中考考法 13 5． 【解】方程两边同时乘(x－1)(2x＋1)， 得2(2x＋1)＝3(x－1)，解得x＝－5. 经检验，x＝－5是原分式方程的根． 解方程： 中考考法 14 方程两边同时乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3， 解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的增根． 所以原分式方程无解． 返回 中考考法 6． 中考考法 16 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【解】第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立； 中考考法 返回 中考考法 分式 方程的解法 容易犯的错误 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 课堂小结 解分式方程＝－5时，去分母正确的是(　　) [2025株洲期末]已知关于x的方程＝的解是x＝1，则a的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 若分式方程＋k＝(其中k为常数)产生增根，则增根是________． 如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝________. (1)＝； 【解】方程两边同时乘(2x＋5)(5x－2)，得2x(5x－2)＋5(2x＋5)＝(2x＋5)(5x－2)，解得x＝. 经检验，x＝是原分式方程的根． (2)＋＝1； (3)－1＝. [2025广东]在解分式方程＝－2时，小李的解法如下： 第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2， 第二步：1－x＝－1－2， 第三步：－x＝－1－2－1， 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：所以原分式方程的解为x＝4. 小李的解答过程不正确．正确解答过程如下： ＝－2， 1－x＝－1－2(x－2)， 1－x＝－1－2x＋4， －x＋2x＝－1＋4－1，解得x＝2，经检验，x＝2是增根． 所以原方程无解． $