专题8.5 正态分布（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦正态分布核心知识点，从正态密度曲线的几何直观特征入手，系统梳理正态分布定义、3σ原则及标准正态分布转换方法，构建从直观感知到抽象应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（典例+变式）结合实际案例（如身高、成绩分布），发展数学抽象与直观想象素养。课中助力教师分层教学，课后练习题强化应用，帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

专题8.5 正态分布 教学目标 1．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态密度曲线的特征及曲线所表示的意义；会用正态分布解决实际问题． 2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ), (μ－2σ，μ＋2σ), (μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小． 3．会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某一范围内的概率． 4．通过对正态密度曲线、正态分布等概念的理解，发展数学抽象素养；在根据正态密度曲线的对称性理解概念、解决问题的过程中，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 认识正态密度曲线的特征及曲线所表示的意义． 2.难点 求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率(3σ原则). 知识点01 正态密度曲线 1.正态密度曲线： 函数P(x)＝e－，x∈R的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，其中μ和σ为参数(σ>0,μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线，如图3所示. (1) , (2) 图3 2．正态密度曲线的特征： (1) 当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． (2) 曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态密度曲线对称轴的位置)． (3) σ越大(说明标准差越大，数据的集中程度越弱)，曲线越扁平；σ越小(说明标准差越小，数据的集中程度越强)，曲线越尖陡． (4) 在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1. 【即学即练】 1．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（  ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 知识点02 正态分布 1．正态分布： 若X是一个随机变量，若对任给区间(a,b],P(a<X≤b)是正态密度曲线下方和x轴上(a,b]上方所围成的图形的面积(如图4)，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2). 这里，μ是随机变量的均值，σ是随机变量的标准差，即E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 图4 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．例如某些物理量的测量误差，某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等，正常条件下生产出来的产品尺寸，等等． 2.3σ原则： (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【即学即练】 1．已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 2．某校1000名学生的某次测试成绩，正态分布密度函数的曲线如图所示，则成绩位于区间的人数大约是（  ）参考数据：    A．341 B．498 C．683 D．997 知识点03 标准正态分布 1.标准正态分布： μ＝0且σ＝1时的正态分布N(0,1)称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率． 注：对任意的非标准正态分布X～N(μ，σ2)，可通过Z＝将其转化为标准正态分布Z～N(0,1)． 【即学即练】 1．已知随机变量，，则=____________ 2．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 题型01 正态密度函数 【典例1】已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中正确的有（  ） A. 为偶函数； B.的最大值是； C.在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； D.关于对称． 【变式3】已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是给出以下四个命题： ①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立； ②如果随机变量ξ服从N(μ,σ2)，且F(x)＝P(ξ<x)，那么F(x)是R上的增函数； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是100； ④随机变量ξ服从N(μ,σ2)，P(ξ<1)＝，P(ξ>2)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 其中，真命题的序号为_______（所有真命题的序号） 【变式4】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【变式5】已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； （2）求此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数百分比. 题型02 正态曲线的特点及其辨析 【典例1】已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 正态曲线的特点： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 【变式1】函数(其中)的图象可能为（  ） A．   B．   C．  D．   【变式2】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式5】如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（  ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 题型03 利用正态曲线的性质求概率 【典例1】已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 (1) 正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，因此P(X＜a)＝1－P(X≥a)．　 (2) 正态密度曲线关于直线x＝μ对称，因此正态密度曲线在关于直线x＝μ对称的区域面积相等，即概率相等：P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)． (3) 由正态密度曲线的意义知P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)． 【变式1】已知随机变量，且，则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2】已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 【变式3】已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【变式4】已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 题型04 利用正态曲线的对称性求参数 【典例1】已知随机变量，若，，则a的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】已知随机变量服从正态分布，若，，则（  ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【变式2】已知随机变量，，则的最大值为（  ） A．9 B． C． D． 【变式3】随机变量，若，则 ． 【变式4】已知随机变量，若，，则 ． 【变式5】已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且． (1)求参数，的值． (2)求． 附：若，则，    题型05 利用3σ原则求概率 【典例1】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（  ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 服从正态分布的变量在3个特殊区间内取得的概率值(定值)： 如图5，若X～N(μ， σ2)，则随机变量X取值 图5 ① 落在区间内的概率约为68.3%，即P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683； ② 落在区间内的概率约为95.4%，即P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ) ≈0.954； ③ 落在区间内的概率约为99.7%，即P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ) ≈0.997. 【变式1】已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 【变式2】为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（  ） 附：，，． A．18 B．27 C．34 D．55 【变式3】已知随机变量服从正态分布，若，则等于（  ） [附：] A． B． C． D．D． 【变式4】（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（  ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【变式5】设，试求： (1)； (2)． 题型06 标准正态分布的应用 【典例1】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（  ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． （1）μ＝0且σ＝1时的正态分布N(0,1)称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率． （2）非标准正态分布转化为标准正态分布： 对任意的非标准正态分布X～N(μ，σ2)，可通过Z＝将其转化为标准正态分布Z～N(0,1)． 【变式1】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（  ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择自行车 D．如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车 【变式2】随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【变式3】随机变量，，若，则 . 题型07 正态分布的实际应用 【典例1】在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 正态分布问题的解题策略： 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 注：在解决正态分布应用题时，首先将实际问题与正态分布“挂钩”；其次掌握正态分布的性质，特别是正态密度曲线的对称性以及各个区间上概率之间的关系． 【变式1】“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（  ） A．16 B．18 C．20 D．25 【变式2】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（  ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【变式3】（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（  ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【变式4】（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（  ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【变式5】袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ．【参考数据：；；】 【变式6】在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 题型08 正态分布与其他章节的融合 【典例1】某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【变式1】已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【变式2】在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【变式3】近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 1．设随机变量，则X的密度函数为（  ） A． B． C． D． 2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（  ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 4．设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（  ） A． B． C． D． 5．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（  ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 6．某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：)近似服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在到之间的钢管数约为（  ） A．4200根 B．4500根 C．4800根 D．5200根 7．（多选）已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（  ） A．的方差为3 B． C． D． 8．（多选）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（  ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 9.（多选）在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（  ） A．若随机变量，则服从标准正态分布 B． C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 10．若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，则该正态密度函数的解析式为_______________． 11．某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 12．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列； (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 13．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 14．向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.5 正态分布 教学目标 1．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态密度曲线的特征及曲线所表示的意义；会用正态分布解决实际问题． 2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ), (μ－2σ，μ＋2σ), (μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小． 3．会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某一范围内的概率． 4．通过对正态密度曲线、正态分布等概念的理解，发展数学抽象素养；在根据正态密度曲线的对称性理解概念、解决问题的过程中，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 认识正态密度曲线的特征及曲线所表示的意义． 2.难点 求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率(3σ原则). 知识点01 正态密度曲线 1.正态密度曲线： 函数P(x)＝e－，x∈R的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，其中μ和σ为参数(σ>0,μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线，如图3所示. (1) , (2) 图3 2．正态密度曲线的特征： (1) 当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． (2) 曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态密度曲线对称轴的位置)． (3) σ越大(说明标准差越大，数据的集中程度越弱)，曲线越扁平；σ越小(说明标准差越小，数据的集中程度越强)，曲线越尖陡． (4) 在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1. 【即学即练】 1．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（  ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【分析】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【解析】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解析】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D. 知识点02 正态分布 1．正态分布： 若X是一个随机变量，若对任给区间(a,b],P(a<X≤b)是正态密度曲线下方和x轴上(a,b]上方所围成的图形的面积(如图4)，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2). 这里，μ是随机变量的均值，σ是随机变量的标准差，即E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 图4 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．例如某些物理量的测量误差，某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等，正常条件下生产出来的产品尺寸，等等． 2.3σ原则： (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【即学即练】 1．已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解析】由题意知， 则， 故选：B. 2．某校1000名学生的某次测试成绩，正态分布密度函数的曲线如图所示，则成绩位于区间的人数大约是（  ）参考数据：    A．341 B．498 C．683 D．997 【答案】A 【分析】利用条件得出，进而求出，即可得到结果. 【解析】由题图知，又， 故则成绩位于区间的人数大约是. 故选：A. 知识点03 标准正态分布 1.标准正态分布： μ＝0且σ＝1时的正态分布N(0,1)称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率． 注：对任意的非标准正态分布X～N(μ，σ2)，可通过Z＝将其转化为标准正态分布Z～N(0,1)． 【即学即练】 1．已知随机变量，，则=____________ 【答案】0.7 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【解析】由题意可知，. 故答案为：0.7 2．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【解析】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 题型01 正态密度函数 【典例1】已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解析】 ， . 故选：B. 【变式1】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由正态分布密度函数的概念即得. 【解析】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 【变式2】（多选）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中正确的有（  ） A. 为偶函数； B.的最大值是； C.在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； D.关于对称． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【解析】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故选：ABC. 【变式3】已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是给出以下四个命题： ①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立； ②如果随机变量ξ服从N(μ,σ2)，且F(x)＝P(ξ<x)，那么F(x)是R上的增函数； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是100； ④随机变量ξ服从N(μ,σ2)，P(ξ<1)＝，P(ξ>2)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 其中，真命题的序号为_______（所有真命题的序号） 【答案】①②④ 【分析】利用正态分布曲线的关于对称，且P(ξ<x) 随着x的增加而变大，为期望，为方差，为标准差，即可判断各项的正误. 【解析】画出正态分布N(μ,σ2)的密度曲线如图．由图可得： ①图像关于x＝μ对称，故①正确； ②F(x)表示密度曲线与x轴围成的面积，随着x的增加，F(x)＝P(ξ＜x)也随着增加，故②正确； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图像的对称性，可得P(ξ>2)＝P(ξ<0)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 故④正确． 故答案为：①②④. 【变式4】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【答案】f(x)＝ ，，μ＝20，σ2＝2. 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义即可求解. 【解析】解：由图可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20， 由，解得σ＝， 所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝ ，， 随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 【变式5】已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； （2）求此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数百分比. 【答案】（1）P(x)= ，x∈(-∞，+∞)；（2）34.135%. 【分析】（1）由密度函数图象得和，从而可得密度函数． （2）由正态分布的概率公式可得． 【解析】解：设农民工年均收入ξ~N(μ，σ2)，结合图象可知μ=8000，σ=500. （1）此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式 P(x)= ＝ ，x∈(-∞，+∞). （2）因为P(7500≤ξ≤8500)=P(8000-500≤ξ≤8000+500)=0.6827， 所以P(8000≤ξ≤8500)=P(7500≤ξ≤8500)=0.34135. 即此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数占总体的34.135%. 题型02 正态曲线的特点及其辨析 【典例1】已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【解析】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 正态曲线的特点： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 【变式1】函数(其中)的图象可能为（  ） A．   B．   C．  D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 【变式2】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【解析】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C. 【变式3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 【变式4】两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【解析】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C. 【变式5】如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（  ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【解析】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 题型03 利用正态曲线的性质求概率 【典例1】已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【解析】因为随机变量X服从正态分布，且， 所以 . 故选：A. (1) 正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，因此P(X＜a)＝1－P(X≥a)．　 (2) 正态密度曲线关于直线x＝μ对称，因此正态密度曲线在关于直线x＝μ对称的区域面积相等，即概率相等：P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)． (3) 由正态密度曲线的意义知P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)． 【变式1】已知随机变量，且，则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【解析】随机变量，且, 故， 故选：A. 【变式2】已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 【答案】D 【分析】根据正态分布的曲线的对称性及曲线表示的意义即可求解. 【解析】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 则. 又因为， 所以. 故选：D. 【变式3】已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.4 【分析】根据正态曲线的对称性易得. 【解析】因为，所以，又， 由正态曲线的对称性，可得. 故答案为：0.4. 【变式4】已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【解析】因为，所以，因此． 故答案为：． 题型04 利用正态曲线的对称性求参数 【典例1】已知随机变量，若，，则a的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得，故，求出a的值. 【解析】因为，， 所以，即，所以. 故选：B． 【变式1】已知随机变量服从正态分布，若，，则（  ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【解析】由已知得正态曲线关于直线对称， ， ，解得， 故选：C． 【变式2】已知随机变量，，则的最大值为（  ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性得到，再用代换1法求最大值即可. 【解析】因为，， 所以. 由正态分布的对称性，可得. 因为， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 【变式3】随机变量，若，则 ． 【答案】 【分析】已知随机变量，即均值，利用正态分布的对称性以及所给的概率等式来求解的值. 【解析】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得. 故答案为：. 【变式4】已知随机变量，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求出值. 【解析】随机变量，由，得， 又，则，因此，解得. 故答案为： 【变式5】已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且． (1)求参数，的值． (2)求． 附：若，则， 【答案】(1)，; (2)0.1359 【分析】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数； （2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值. 【解析】（1）由题设，而，则，可得. （2）由（1）知：， 正态曲线关于对称 ，即， 所以，故， 由，则， 所以， 综上，.    题型05 利用3σ原则求概率 【典例1】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（  ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【答案】D 【分析】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D. 【解析】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布． 该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误； 该地小麦株高的方差约为，B选项错误； 因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误； 因为，该地株高超过130cm的小麦约占， 则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确. 故选：D. 服从正态分布的变量在3个特殊区间内取得的概率值(定值)： 如图5，若X～N(μ， σ2)，则随机变量X取值 图5 ① 落在区间内的概率约为68.3%，即P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683； ② 落在区间内的概率约为95.4%，即P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ) ≈0.954； ③ 落在区间内的概率约为99.7%，即P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ) ≈0.997. 【变式1】已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解析】由题意知， 则， 故选：B. 【变式2】为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（  ） 附：，，． A．18 B．27 C．34 D．55 【答案】B 【分析】由题知，根据正态分布对称性可得，据此估计出，然后利用对称性估计参加夏令营的人数即可. 【解析】， 则，， ， 则参加夏令营的人数约为人. 故选：B. 【变式3】已知随机变量服从正态分布，若，则等于（  ） [附：] A． B． C． D．D． 【答案】C 【分析】由，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【解析】由题意，知， 则， 所以要使得，则， 故选:C. 【变式4】（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（  ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 【变式5】设，试求： (1)； (2)． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）（2）根据正态分布的对称性即可求解. 【解析】（1）， ，， ． （2） ， ． 题型06 标准正态分布的应用 【典例1】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（  ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【解析】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． （1）μ＝0且σ＝1时的正态分布N(0,1)称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率． （2）非标准正态分布转化为标准正态分布： 对任意的非标准正态分布X～N(μ，σ2)，可通过Z＝将其转化为标准正态分布Z～N(0,1)． 【变式1】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（  ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择自行车 D．如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车 【答案】BCD 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解析】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C正确； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D正确. 故选：BCD． 【变式2】随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【解析】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 【变式3】随机变量，，若，则 . 【答案】 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【解析】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 题型07 正态分布的实际应用 【典例1】在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【解析】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得 ，则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 正态分布问题的解题策略： 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 注：在解决正态分布应用题时，首先将实际问题与正态分布“挂钩”；其次掌握正态分布的性质，特别是正态密度曲线的对称性以及各个区间上概率之间的关系． 【变式1】“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（  ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】B 【分析】由题可得，即可求得. 【解析】小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布， ， 该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为， 故选：B. 【变式2】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（  ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【变式3】（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（  ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【解析】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 【变式4】（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（  ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【答案】AD 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解析】依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A正确； ，， 因为， 所以，故B错误； ，故C错误； 因为， ， 又，， 又与的密度曲线大致如下，所以， 所以，所以李明应选择公交车，故D正确． 故选：AD． 【变式5】袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ．【参考数据：；；】 【答案】95.45%/0.9545 【分析】由正态分布的概率公式估计即得. 【解析】由题意可知，可设误差为，则服从正态分布， ， 故合格率约为95.45%． 故答案为：95.45% 【变式6】在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【解析】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 题型08 正态分布与其他章节的融合 【典例1】某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64； (2)1587； (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 【变式1】已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【解析】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 【变式2】某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】(1)62； (2)71；v (3)455. 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. （2）由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. （3）由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 【变式2】在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为； (2)8186； (3)分布列见解析， 【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【解析】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 【变式3】近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；②； (2)28 【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可. （2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果. 【解析】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 1．设随机变量，则X的密度函数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解析】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A. 2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【解析】由题，，则，又，， 故选：D 3．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（  ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【分析】由正态分布的性质求概率． 【解析】由正态分布的图象和性质得 ． 故选：B． 4．设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【解析】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D. 5．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（  ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【答案】C 【分析】由正态分布概念判断A正确，由对称性得出B正确，根据原则和对称性判断C错误，D正确. 【解析】对于A选项：由，得出，，故平均分为82.5，A正确； 对于B选项：因为，由对称性可知成绩在95分以上（含95分） 人数和70分以下（含70分）人数相等，故B正确； 对于C选项：， 则，故C错误； 对于D选项：， 所以，则超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：C. 6．某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：)近似服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在到之间的钢管数约为（  ） A．4200根 B．4500根 C．4800根 D．5200根 【答案】C 【分析】利用正态分布的特征，求出即可计算出这批钢管内径在到之间的钢管根数. 【解析】∵， ∴， ∴， 故这批钢管内径在到之间的钢管数约为根. 故选：C. 7．（多选）已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（  ） A．的方差为3 B． C． D． 【答案】BD 【分析】分析可知，可判断A；利用正态分布的性质可判断B；利用正态密度曲线的特征可判断C；利用原则可判断D. 【解析】因为随机变量服从正态分布，所以，，则的方差为9，故A错误； 因为，故B正确； 因为正态密度曲线中间高，两边低，且， 所以，故C错误； 因为，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（  ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】ABC 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：ABC. 9.（多选）在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（  ） A．若随机变量，则服从标准正态分布 B． C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 【答案】BCD 【分析】借助正态分布中的意义与标准正态分布的意义可判断A；利用正态分布的性质计算即可得的值可判断B；由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断CD. 【解析】对于A，因为，则， 若随机变量，则服从标准正态分布， 故时，才服从标准正态分布，故A错误； 对于B，， ， 由正态分布的对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由， 可得， 所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为： ，故C正确； 对于D，由，可得， 所以， 又，所以由条件概率公式可得， 所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为，故D正确. 故选：BCD. 10．若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，则该正态密度函数的解析式为_______________． 【答案】 【分析】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【解析】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 故答案为： 11．某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 【答案】185.5 【分析】由题意知，转化为标准正态分布求出PVP的范围. 【解析】由题意知，则， 因为，所以，所以， 所以该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于185.5. 故答案为：185.5. 12．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列； (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析； (2)； (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【解析】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以 ， 所以高二年级学生体能检测合格. 13．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1)0.8186； (2)分布列见解析，1 【分析】（1）利用正态分布概率公式来分段计算即可； （2）利用二项分布来计算分布列和期望即可. 【解析】（1）因为零件的直径服从正态分布，所以， 则， 即. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 由题意知的所有可能取值为   故，， ，， ， 故X的分布列为 0 1 2 3 4 ∵满足二项分布，的数学期望为. 14．向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． (1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； (2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 【答案】(1)0．8186； (2)方案一，理由见解析 【解析】（1），则，，结合正态分布的性质：和 ． 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186． （2）设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， ． 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， ，，且 ，． 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案一． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $