专题04 相似三角形（重难专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 相似三角形 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 相似三角形的模型 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2023-2025 年山东中考中，相似三角形为几何核心必考点，每套试卷考查 1-3 题，分值 3-10 分。基础题以选择、填空题为主，单题 3 分，侧重模型识别与性质直接应用；中档及压轴题以解答题为主，常融入几何综合、代几综合压轴题，占 6-10 分，是压轴题的核心解题工具与得分抓手。 基础题仍以选择、填空题为主，聚焦相似模型的直接应用，结合尺规作图、折叠问题考查，分值稳定在 3-6 分； 解答题中，相似三角形仍将是几何综合、代几综合压轴题的核心载体，深度融合二次函数、特殊四边形、圆、旋转动态探究，侧重模型构造与综合推理，分值占比 6-10 分； 命题贴合新课标 “素养立意” 要求，弱化机械刷题，强化新情境、新设问中构造相似、运用相似解决问题的能力，开放探究类设问占比将有所提升。 重●难●要●点●剖●析 考向01 相似三角形模型 题型1 “A”字型 题目中两个三角形有公共角时可以考虑该模型 1．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 题型2 “8”字型 题目中两个三角形有对顶角时可以考虑该模型。 4．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 6．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 题型3 字母型 题目中出现大三角形中有小三角形并且两个三角形有公共边时可以考虑该模型。 7．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．    (1)求证：； (2)如图2，若是的直径，，，求直径的长； (3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由． 8．（2018·陕西西安·一模）如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 题型4 “K”字型 题目中出现一条直线上有三个相等的角时可以考虑该模型。 10．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 11．（2020·山东济南·二模）矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　 ． (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度． 12．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 题型5 旋转型 13．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 14．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 15．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论：平分；；的周长等于；是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·山东济南·一模）如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则______． 三、解答题 5．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 6．（2025·山东泰安·一模）在正方形纸片中，取边中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，若的度数是个定值．请说出度数并证明； （2）如图2、图3，连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请直接写出这个特殊关系． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．当，时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求的长． 7．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 8．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】 在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G．      （1）①如图①，若E，F分别是AB，AD的中点，则_________． ②如图②，若F是AD的中点，，则_________． 【类比探究】 在菱形ABCD中，，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G．    （2）①如图③，若E，F分别是AB，AD的中点，求的值； ②如图④，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图⑤，在四边形ABCD中，，且，E为AB的中点．若，请直接写出的值． 9．（2023·宁夏吴忠·一模）知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 10．（2025·山东临沂·二模）如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 相似三角形的模型 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2023-2025 年山东中考中，相似三角形为几何核心必考点，每套试卷考查 1-3 题，分值 3-10 分。基础题以选择、填空题为主，单题 3 分，侧重模型识别与性质直接应用；中档及压轴题以解答题为主，常融入几何综合、代几综合压轴题，占 6-10 分，是压轴题的核心解题工具与得分抓手。 基础题仍以选择、填空题为主，聚焦相似模型的直接应用，结合尺规作图、折叠问题考查，分值稳定在 3-6 分； 解答题中，相似三角形仍将是几何综合、代几综合压轴题的核心载体，深度融合二次函数、特殊四边形、圆、旋转动态探究，侧重模型构造与综合推理，分值占比 6-10 分； 命题贴合新课标 “素养立意” 要求，弱化机械刷题，强化新情境、新设问中构造相似、运用相似解决问题的能力，开放探究类设问占比将有所提升。 重●难●要●点●剖●析 考向01 相似三角形模型 题型1 “A”字型 题目中两个三角形有公共角时可以考虑该模型 1．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 题型2 “8”字型 题目中两个三角形有对顶角时可以考虑该模型。 4．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2025·四川成都·二模）菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①根据菱形的性质，证明，等量代换即可得证； ②先证明，再证明，根据，就可以证明，解答即可； （2）延长与交于点，连接，利用等边三角形的判定和性质，相似的判定和性质，分类解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：①证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，延长与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， 由①得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：如图，延长与交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ， ， ②当，， ， 同理①的方法可得， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 6．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)或，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【详解】（1）解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， （2）解：， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3 字母型 题目中出现大三角形中有小三角形并且两个三角形有公共边时可以考虑该模型。 7．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．    (1)求证：； (2)如图2，若是的直径，，，求直径的长； (3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)始终不变的点是半径的延长线与圆的交点． 【分析】（）根据等腰三角形的性质及圆周角的性质可知，再利用相似三角形的判定即可解答； （）根据圆周角的定理可知，再根据勾股定理可知，最后利用相似三角形的性质即可解答； （）根据相似三角形的判定与性质可知，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 又∵是的直径， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴， （3）解：延长，交圆于点M.    ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴始终不变的点是半径（或）的延长线与圆的交点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（2018·陕西西安·一模）如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【分析】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 理由：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 题型4 “K”字型 题目中出现一条直线上有三个相等的角时可以考虑该模型。 10．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 11．（2020·山东济南·二模）矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　 ． (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标； （2）设出点，代入反比例函数中得出，进而用m表示出，即可得出结论． （3）如图所示，过点E作于H，证明，得到，则． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 点F是的中点， ∴ 点F在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点E在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， 点E的横坐标为， （2）解：如图，设点， ∴， 点E，F在反比例函数的图象上， ， ， ， 在中，； （3）解：如图所示，过点E作于H， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，求角正切值，折叠的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 12．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点为的中点，理由见解析 【分析】（1）利用“两角法”证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ； （2）点为的中点时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角找出;（2）利用相似三角形的性质得出． 题型5 旋转型 13．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 14．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 15．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键． 首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、动点的函数图象问题，解题的关键是通过相似三角形得到边的关系，进而得出关于的函数表达式，再根据函数性质判断函数图象． 先求出的长度以及、的长度，通过角度关系证明，得出，根据边的关系求出关于的表达式，进而得出关于的函数表达式，根据函数性质确定函数图象． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 3．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论：平分；；的周长等于；是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可判断；通过相似三角形的判定与性质，解方程可判断；由垂直平分线的性质可判断；根据的结论求出、即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，即平分，故正确； 由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得或（舍去）， ∴，故正确； 的周长， ∵， ∴， ∵， 又因为， ∴， 即的周长，故正确； 由知，， ∴， 这就说明点不是线段的中点，故错误； 综上，正确， 故选：． 二、填空题 4．（2025·山东济南·一模）如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及相似三角形相关，考查学生的综合应用能力，有一定难度．连接，延长交于点，得出和，由勾股定理得出，同时过作，交于点，结合平行四边形的性质以及相似三角形的性质得出，列方程得出，进一步即可得出． 【详解】解：连接，延长交于点， 为中点， ， 沿翻折得到， ， ， ∵， ， 沿翻折得到， ， 在中，由勾股定理可得：， ， ， 过作，交于点， ∵四边形是平行四边形，， ， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， 设，则， ∴，即， 在中，，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴． 故答案为：． 三、解答题 5．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 6．（2025·山东泰安·一模）在正方形纸片中，取边中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，若的度数是个定值．请说出度数并证明； （2）如图2、图3，连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请直接写出这个特殊关系． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．当，时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求的长． 【答案】（1）是定值，，证明见解析；（2），；（3）或 【分析】（1）利用证明得，可得，即可求证； （2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证； （3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可． 【详解】（1）证明：∵正方形 ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 选择图2进行证明． 将沿折叠， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而E为中点， ∴， ∴； 选择图3进行证明． 将沿折叠， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而E为中点， ∴， ∴； （3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2， ∵，E为中点， ∴，而 ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点P在点H右侧，如图3， 同理可求，此时， ∵， ∴ ， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 7．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作图方法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． （2）根据，得，所以，同理：，设，则，，菱形的面积为，，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，，如图，    由作法得平分，垂直平分， ，，， ， ， ， 同理可得， 四边形为平行四边形， 又∵， 四边形为菱形， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴， ， ， 同理：， 设，则，， 菱形的面积为， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】 在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G．      （1）①如图①，若E，F分别是AB，AD的中点，则_________． ②如图②，若F是AD的中点，，则_________． 【类比探究】 在菱形ABCD中，，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G．    （2）①如图③，若E，F分别是AB，AD的中点，求的值； ②如图④，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图⑤，在四边形ABCD中，，且，E为AB的中点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①3②（2）①②证明见解析（3）的值为 【分析】（1）①设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，点分别是的中点，则，，，设，则， 则，然后通过即可求解； ②由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，则，最后代入求值即可； （2）①由四边形是菱形，得，，，分别是 的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设 ，则，则，，，由勾股定理得： ，则，求出 ， 再代入即可； ②在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，则，从而求证； （3）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，则，设，，则， ，又点为的中点，所以，则，解出的值即可． 【详解】解：（1）①设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴，设，则 ∴， ， ∴    ②∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， . ∴， ∴， ∴ ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴ 故答案为：①3    ②． （2）①∵四边形是菱形， . 分别是的中点， ， ， ，即， ． ， ， 是等边三角形， ． 同理可得是等边三角形， ． 设，则， ， ， ． 由勾股定理得， ， ， ． ②证明：在的延长线上取一点，连接，使得，如图①．   ， ，， ． 又， ， ． ， ， 为等边三角形， ， ，即． （3）的值为． （3）如图②，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．   ， 四边形是平行四边形，， ， ． ． ． ， ， ． 设，则． 为的中点， ， ， 整理，得， ， ， 或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（2023·宁夏吴忠·一模）知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 【答案】知识再现：10；问题探究：，见解析；实践应用： 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，锐角三角函数的应用，等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）知识再现，作于M，于N，利用正方形的性质得出，再利用同角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）问题探究，利用平行四边形的性质先证得由相似三角形的性质得出，再证明，再得出，结合，即可得出. （3）实践应用：作于H，设，由，，解出x，求出，再由（2）结论，求出． 【详解】解：（1）知识再现：作于M，于N，如下图： ∵四边形是正方形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， 设交于P， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）问题探究：，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）实践应用： 如图，作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由(2)可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：． 10．（2025·山东临沂·二模）如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4)存在，的值为 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，解方程即可求解； （）根据的面积梯形的面积的面积的面积解答即可求解； （）求出四边形的面积，根据题意得到，解方程即可求解； （）设为的中点，作于于，由是的中位线，得到，，求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则， 当四边形为矩形，， ∴， 解得， 即当为时，四边形为矩形； （2）解：∵， ， ∵， ， ∵的面积梯形的面积的面积的面积， ∴， 即； （3）解：存在，理由如下： 四边形的面积， 若的面积等于四边形的面积的三分之一， 则， 解得或， 即存在某一时刻或，使得的面积等于四边形的面积的三分之一； （4）解：存在，理由如下： 设为的中点，作于于，如图所示，则， ∵， ∴四边形是矩形， ， 为的中点，， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， ， ， 即， 解得或， 当时，， ∴不合题意，舍去， ， 存在某一时刻，使经过的中点，此时的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行线等分线段定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 18 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $