精品解析：重庆市2026年九年级适应性考试数学试题

初2026届九年级适应性考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 抛物线（ ）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案对应的方框涂黑． 1. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，即乘积为 的两个数互为倒数． 【详解】解：根据倒数的定义，的倒数为； 故选：D． 2. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，只有D是扇形． 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某河流的水污染情况 B. 了解我市全体初中生每周做家务的时间 C. 调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况 D. 了解某校九（1）班全体学生的体重 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，普查适合调查范围小、无破坏性、需要准确结果的调查，根据普查适用条件对选项逐个判断即可． 【详解】解：普查的适用条件为调查范围较小，操作方便，调查不具有破坏性，且对结果准确度要求高； A选项，调查某河流的水污染，调查范围较大，不适宜普查； B选项，调查我市全体初中生每周做家务的时间，调查对象数量多，范围大，不适宜普查； C选项，调查某品牌圆珠笔的使用寿命，测试过程具有破坏性，不适宜普查； D选项，调查某校九(1)班全体学生的体重，调查对象数量少，范围小，操作方便，最适宜普查； 故选：D． 4. 如图，在 中，点D，E分别为， 边上的中点，连接．若 的面积为4，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，再利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】解：∵在 中，D，E分别为， 边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵ 的面积为4， ∴， ∴． 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定a与b的正负性及绝对值大小，利用有理数的运算法则进行判断． 【详解】解：由数轴可知，且， ，故D选项错误； 异号， ，故B选项错误； 的符号由绝对值较大的数决定，且， ，故C选项正确； ，， ， 即，故A选项错误． 6. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 7. 如图，在菱形 中，对角线 和相交于点O．若 ，，则 的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵在菱形 中，对角线 和相交于点O， ∴，， ∵， ∴. 8. 在反比例函数图象的每一支上，都随 的增大而增大．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数中，当时，函数图象分布在一、三象限，每个分支中，y随x增大而减小；当时，函数图象分布在二、四象限，在每个分支中，y随x增大而增大，据此解题即可． 【详解】根据题意，反比例函数图象的每个分支上，y随x的增大而增大， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象的增减性，时重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，为矩形 的对角线，点P是上一点，连接 并延长交 于点E，，连接 ．若点E是 的中点，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作于点H，由矩形的性质得到，，，根据可推出，；证明，可推出；证明，可得；设，则，求出，则，即的正切值为． 【详解】解：如图所示，过点P作于点H， ∵四边形 是矩形， ∴，，， ∵点E是 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴的正切值为． 10. 已知，其中， ，，，，…，为正整数，，，…，为平面直角坐标系内的点．下列说法： ①若，，则的值可能为 ，； ②若满足，，则由，，三点构成的三角形的面积是； ③若，，，，所构成的图形是四边形，则m的最小值为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要逐个判断三个说法的正误，结合正整数的性质和平面内点、三角形、四边形的定义，逐一分析即可． 【详解】解： 所有为正整数，总和为， 共个正整数，每个，总和初始最小值为，增量和为， ① 当，时，总和为，共个正整数， 若，则，，剩余，可取，，均为正整数，存在； 若，则剩余，可取，，均为正整数，存在； 故①正确； ② 当，时，总和为，共个正整数。 举例：取，，，，，，满足总和为 ， 三点为，，，三点共线，面积为 ，不是， 故②错误； ③当时，共 个正整数，总和为，构成四边形需要四个点互不重合，且无三点共线， 若，即增量和小于，总共有最多个坐标大于 ，最多得到个不同的点，无法得到四个不同的点，无法构成四边形； 当时，取四个点，，，，所有的和为， 四个点可构成四边形，满足条件， 最小值为， 故③正确； 综上，正确的说法有①和③，共 个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，根据负整数指数幂的运算法则，计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12. 不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现种可能，那么事件 的概率．本题中摸出红球的概率为红球数量与总球数的比值，据此即可求解． 【详解】解：袋中总球数为，红球有 个, 因此摸出红球的概率为 故答案为：． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组，若，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组中的两个方程相减可得，再结合已知得，即可求解． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴， 解得． 14. 某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】等量关系为：原价(降价百分率现售价，将相关数值代入求解，舍去不符合实际意义的解即可． 【详解】解：第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， 由此列方程得：， 解得，， 因为降价百分率不大于， 所以不合题意，舍去． 故答案为：． 15. 如图， 是等腰 的外接圆，， ．连接 并延长交 于点D，的角平分线交于点E，交 于点F，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点 ，过点 作交的延长线于点，过点 作于点，勾股定理求得，证明，进而根据相似三角形的性质求得，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点 ，过点 作交的延长线于点，过点 作于点， ∵ 是等腰 的外接圆， ∴， ∵， ∴垂直平分 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 16. 我们规定：一个四位数（a，b，c，d均不为0），若满足，则称这个四位数为“金九数”．例如：四位数2754，因为，所以四位数2754是“金九数”．按照这个规定，最小的“金九数”是______；一个“金九数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的A的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据“金九数”的定义求得最小值；进而化简，，根据与均是整数，得出是5的倍数，是7的倍数，结合，的取值范围是，因此或，再分别求得的值，即可求解． 【详解】根据定义，“金九数”满足：均不为0，，． 要使四位数最小，需高位尽可能小： 千位 最小取（不为0），则； 十位最小取（不为0），则 因此最小的“金九数”是 已知，，，，化简得： ，因此； 代入​得： ​ 该式为整数，故是5的倍数，即是5的倍数 第二个条件为整数： ，9与7互质，故是7的倍数， 根据题设条件，且b，d均不为0，变量a，c的取值范围为，，则的取值范围是，因此或： 当时，联立是5的倍数，可得，即与的和是 的倍数，故是5的倍数，所以a是5的倍数． 又a，c均为不为0的整数，故，此种情况无解． 当时，联立是5的倍数，可得，即是5的倍数，所以是5的倍数 又a，b，c，d均不为0，故， 所以的取值只能为0，即 ，得，，，所有数字非0，符合条件，； 因此满足条件的 是 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】不等式组的所有整数解为， ，． 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再确定不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， ， 18. 人教版《道德与法治》七年级下册的第四单元是生活在法治社会，为了解七年级学生对法律的掌握情况，某校组织了一次包含法律常识、法律意识与实践的综合性测试，随机抽取甲、乙两个班各20名学生的测试成绩（成绩为百分制且为整数），测试成绩用x表示，根据测定标准划分四个等级：A．，B．，C．，D．，学校对两个班学生测试成绩数据收集、整理如下： 甲班20名学生测试成绩是：98，98，97，96，96，92，92，92，92，90，86，86，83，82，80，80，79，77，75，69． 乙班20名学生测试成绩在B组中的数据是：89，89，89，88，87，85，82． 乙班20名学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班所抽取学生测试成绩统计表 班级 甲班 乙班 平均数 87 87 众数 a 89 中位数 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该年级甲班与乙班哪个班的学生对法律的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级参加此次测试的学生人数是480人，请你估计七年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数共是多少？ 【答案】（1），，； （2） 解：乙班学生的测试成绩较好，理由如下： 甲、乙两个班的测试的平均成绩都是87，甲班的中位数为88，乙班的中位数为，甲班的中位数小于乙班的中位数，从而得到乙班学生的测试成绩较好； （3）七年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数的求解以及意义，利用样本估计总体等内容，解题的关键是理解题意，掌握中位数，众数的求解以及意义等内容． （1）根据甲班的数据，求得最多的数，即可求得 ；先求得乙班B组所占的百分比，再求得A组的百分比，即可求得；根据乙班B组的数据，求解乙班的中位数即可； （2）比较甲、乙两个班的测试的平均成绩与中位数，可得出乙班学生的测试成绩较好； （3）先求得甲、乙两个班成绩不低于90分人数的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据甲班20名学生测试成绩可得，92出现了4次，次数最多，则众数为92，即； 由题意可得，乙班20名学生测试成绩在B组的人数为7，所占百分比为， 则A组的百分比为，则； ，即A组的数据个数为8， 则乙班测试数据按照从小到大排列之后，第10个数和第11个数分别为89,89， 则乙班测试数据的中位数为，则； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意可得，甲班学生成绩不低于90分的人数为10人， 乙班学生成绩不低于90分的人数为8人， 成绩不低于90分的人数占比为， 则（人）， 答：七年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数为人． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算分式的除法及整式的乘法，再根据二次根式的乘法和立方根求出x的值，最后代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 20. 学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的一种方法．现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）画垂直平分线，构造正方形． 小明画了平行四边形 ，连接，其中．请你利用尺规作图，作的垂直平分线，交于点E，交 于点F，交于点O，连接 ， ． （2）证明他的猜想 证明：∵，平分， ∴， ① ，， ∴在中，， ∴ ② ． 又在 中， ③ ∴，． 在和中， ∴（AAS）． ∴ ⑤ ∴， 又∵ ⑥ （已证）， ∴四边形是正方形． 【答案】（1） 作图如下， （2），，，，，． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，尺规作图等内容，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关基础性质． （1）根据题意，先作平行四边形，再作线段的垂直平分线，按照题意作图即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据全等三角形的判定方法可得，从而得到，再根据，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴，，， ∴在中，， ∴． 又在 中，， ∴，． 在和中， ∴（AAS）． ∴ ∴， 又∵（已证）， ∴四边形是正方形． 故答案为：，，，，，． 21. 某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． （1）两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ （2）两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 【答案】（1）A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料. （2）升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 【解析】 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运 千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据工作效率时间工作总量列出方程求解即可； （2）设B型机器人每小时增加 千克，则A型机器人每小时增加千克，根据工作总量工作效率工作时间，两种类型的机器人一共用了5小时完成，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运 千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意可得：， 解得：， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料． 【小问2详解】 解：设B型机器人每小时增加 千克，则A型机器人每小时增加千克， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴A型机器人每小时可以搬运：（千克）， 答：升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，与一次函数的图象交于C，D两点，且 ．一次函数，的图象分别与y轴交于点E，F． （1）求点E的坐标； （2）若的面积为15，求的长； （3）时，求x的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）令，代入求解即可； （2）作轴交于点，设，，则，联立，求得，，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴点E的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点， ∵ ， ∴设，，则， 联立，得，， 整理得， 解得或， 当时，，当时， ， ∴，， ∵的面积为15， ∴， 整理得，解得或， ∴，，， ∵ ，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴由图象得时，x的取值范围为或． 23. 如图，某运动公园有跑道和自行车道，C在A的正东方向上；B在A的北偏东的方向上600米处，在C的北偏西的方向上；D在A的南偏东的方向上，在C的南偏西的方向上． （1）求的长度： （2）小明和小刚两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有能相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最大距离是米．小明从A处沿方向以4米/秒匀速跑向C；同时小刚也从A处出发，骑自行车沿骑行，段的速度为米/秒，段的速度为6米/秒．小明与小刚在运动过程中，因两人距离的原因，对讲机从可相互通话→无法通话→恢复通话．从出发开始计时，经过多长时间他们刚好恢复正常通话． 【答案】（1）米： （2）200秒 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求出，，根据勾股定理即可求出答案； （2）根据题意求出恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中，利用勾股定理和解直角三角形求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ∴ 是等腰三角形，， 过点作于点 ，则， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的长度为米： 【小问2详解】 解：小刚从 到D的时间为（秒）， 小明从 到B的时间为（秒）， 此时两人的距离为米，大于米，处于无法通话的状态， 故恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中， 设经过秒，他们刚好恢复通话， 此时小明在 上，距离C点为米，小刚在上，距离C点为米，设分别为小明和小刚到达的地点，过点 作于点，则 ，， ， ∴， 当时，解得， 即．从出发开始计时，经过秒他们刚好恢复正常通话． 24. 抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点 ，抛物线的顶点为点 ，点 与点 关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，抛物线的对称轴与交于点 ，线段在直线上移动，记为，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点，当线段的长度最大时，求周长的最小值： （3）在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点 ，点为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵点，， ∴， ∴沿射线 方向平移个单位长度等价于向左平移1个单位长度，同时向下平移3个单位长度， ∴新抛物线， 将代入，得， ∴点 的坐标为， ∴， ①当点在上方时，如图，设抛物线交 轴的负半轴于点 ， 将 代入，得， ， 解得 或， ∴点 的坐标为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴点 即为所求的点， ∴点的坐标为； ②当点在下方时，如图，作点 关于的对称点，连接， 由对称的性质可得，，，， 由①可知，， ∴， ∴与抛物线的交点，即为所求的点， ∵，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先分析取最大值时，点的坐标，点的坐标为，求出直线的表达式为，则点，因此，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，此时点与点重合；再计算周长的最小值，作点关于直线的对称点，连接、、、，设抛物线的对称轴交 轴于点，先计算点，容易判断和都是等腰直角三角形，从而得到，，因此四边形是平行四边形，则．根据轴对称的性质求出点，且，因此，结合线段公理可知，当 、、三点共线时，取得最小值，此时的周长最小，用勾股定理计算出即可； （3）先根据点和点 的坐标，确定平移方式为向左平移1个单位长度，同时向下平移3个单位长度，从而得到新抛物线，进一步求出点．分两类讨论，当点在上方时，设抛物线交 轴的负半轴于点 ，利用抛物线求出点，进而可证明，则．易得是等腰直角三角形，则，进而得到，因此点 即为所求的点；当点在下方时，作点 关于的对称点，连接，由对称的性质可得，因此与抛物线的交点，即为所求的点．先求出直线的表达式，再与抛物线联立，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：先分析的长度最大的情况， ， ∴顶点 的坐标为，对称轴为直线， 将代入，得， ∴点 的坐标为， ∵点 与点 关于对称轴对称， ∴点 的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，即点与点重合； 再计算周长的最小值： 如图，作点关于直线的对称点，连接、、、，设抛物线的对称轴交 轴于点， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 将代入，得， ∴点 的坐标为， 由勾股定理可得，，， 由平移的性质可得，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点和点关于直线对称， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∵的周长为， ∴当 、、三点共线时，的周长取得最小值； 【小问3详解】 略 25. 点 为等边 内一个动点（含边界），连接，， ，点 在线段上，连接，，其中． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点 是的中点，且，求证：； （3）如图3，若点 是 的中点，点为内一点，连接 ，， ．当的值最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点 ，使得，连接、，延长 至点 ，使得，连接，设， ∵， ∴， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，则，结合可得，根据三角形外角的性质可得； （2）延长至点 ，使得，连接、，延长 至点 ，使得，连接，设，则，．容易证明，则，，进而得到，，进一步可证明．容易证明，则，进而证明，则，结合等量代换可得，利用三角函数可得； （3）将绕点 逆时针旋转，并放大到倍，得到，连接、，因此，，由勾股定理可得．根据线段公理，，当 、、、四点共线时，取得最小值．利用三角函数容易判断，，从而得到，，．根据等边三角形的性质容易判断点 是 的外心，因此，．将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则，进而得到，，因此．容易证明，则，因此． 【小问1详解】 解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点 逆时针旋转，并放大到倍，得到，连接、，设， 根据题意，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴当 、、、四点共线时，取得最小值， 如图， 、、、四点共线， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ 是等边三角形， 又∵点 为 的中点， ∴，，， 在中，，， 在中，， ∴， ∵垂直平分 ， ∴， ∴， ∴， 如图，将绕点 逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2026届九年级适应性考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 抛物线（ ）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案对应的方框涂黑． 1. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某河流的水污染情况 B. 了解我市全体初中生每周做家务的时间 C. 调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况 D. 了解某校九（1）班全体学生的体重 4. 如图，在 中，点D，E分别为 ， 边上的中点，连接．若 的面积为4，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形 中，对角线 和 相交于点O．若，，则 的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 为矩形 的对角线，点P是 上一点，连接 并延长交 于点E，，连接 ．若点E是 的中点，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，其中， ，，，，…，为正整数，，，…，为平面直角坐标系内的点．下列说法： ①若，，则的值可能为 ，； ②若满足，，则由，，三点构成的三角形的面积是； ③若，，，，所构成的图形是四边形，则m的最小值为 ． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____． 12. 不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组，若，则a的值是______． 14. 某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______． 15. 如图，是等腰 的外接圆，，．连接 并延长交于点D，的角平分线交 于点E，交于点F，连接，则的长度为______． 16. 我们规定：一个四位数（a，b，c，d均不为0），若满足，则称这个四位数为“金九数”．例如：四位数2754，因为，所以四位数2754是“金九数”．按照这个规定，最小的“金九数”是______；一个“金九数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的A的值是______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 人教版《道德与法治》七年级下册的第四单元是生活在法治社会，为了解七年级学生对法律的掌握情况，某校组织了一次包含法律常识、法律意识与实践的综合性测试，随机抽取甲、乙两个班各20名学生的测试成绩（成绩为百分制且为整数），测试成绩用x表示，根据测定标准划分四个等级：A．，B．，C．，D．，学校对两个班学生测试成绩数据收集、整理如下： 甲班20名学生测试成绩是：98，98，97，96，96，92，92，92，92，90，86，86，83，82，80，80，79，77，75，69． 乙班20名学生测试成绩在B组中的数据是：89，89，89，88，87，85，82． 乙班20名学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班所抽取学生测试成绩统计表 班级 甲班 乙班 平均数 87 87 众数 a 89 中位数 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ______， ______，______； （2）根据以上数据，你认为该年级甲班与乙班哪个班的学生对法律的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级参加此次测试的学生人数是480人，请你估计七年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数共是多少？ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的一种方法．现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）画垂直平分线，构造正方形． 小明画了平行四边形 ，连接 ，其中．请你利用尺规作图，作 的垂直平分线 ，交 于点E，交 于点F，交 于点O，连接 ， ． （2）证明他的猜想 证明：∵， 平分 ， ∴， ① ，， ∴在中，， ∴ ② ． 又在 中， ③ ∴，． 在和中， ∴（AAS）． ∴ ⑤ ∴， 又∵ ⑥ （已证）， ∴四边形是正方形． 21. 某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． （1）两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ （2）两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，与一次函数的图象交于C，D两点，且 ．一次函数，的图象分别与y轴交于点E，F． （1）求点E的坐标； （2）若的面积为15，求 的长； （3）时，求x的取值范围． 23. 如图，某运动公园有跑道和自行车道，C在A的正东方向上；B在A的北偏东的方向上600米处，在C的北偏西的方向上；D在A的南偏东的方向上，在C的南偏西的方向上． （1）求 的长度： （2）小明和小刚两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有能相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最大距离是米．小明从A处沿方向以4米/秒匀速跑向C；同时小刚也从A处出发，骑自行车沿骑行，段的速度为米/秒，段的速度为6米/秒．小明与小刚在运动过程中，因两人距离的原因，对讲机从可相互通话→无法通话→恢复通话．从出发开始计时，经过多长时间他们刚好恢复正常通话． 24. 抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点 ，抛物线的顶点为点 ，点 与点 关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，抛物线的对称轴与 交于点 ，线段在直线 上移动，记为，点 为直线下方抛物线上一动点，过点 作轴的垂线，交于点，当线段的长度最大时，求周长的最小值： （3）在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点 ，点 为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程． 25. 点 为等边 内一个动点（含边界），连接 ， ， ，点 在线段 上，连接 ，，其中． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点 是 的中点，且，求证：； （3）如图3，若点 是 的中点，点 为内一点，连接 ，， ．当的值最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $