高频考点08 几何中基础证明24大题型专练（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦几何证明四大核心模块，以“考向-知识-方法-题型”体系构建训练，提炼全等判定、四边形证明、相似条件、圆切线证明等可迁移方法，逻辑链清晰。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形|3命题点（1典例+3变式+3预测题）|五大判定定理+隐含条件（公共边/角等）|定义-判定-性质-综合应用，渗透转化思想| |特殊四边形|5命题点（1典例+3变式+3预测题）|逐级升级（先证平行四边形）+直接判定|平行四边形-特殊四边形判定链，强化逻辑推理| |相似三角形|4命题点（1典例+3变式+3预测题）|AA/SAS/SSS条件清单（找等角/比例线段）|从全等拓展到相似，培养数形结合思维| |圆中证明|5命题点（1典例+3变式+3预测题）|切线证明两法（连半径证垂直等）+线段/角证明依据|圆的性质与三角形、四边形综合，发展几何直观|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频考点08 几何中基础证明专练 内容概览 01命题探源考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津(4大命题，点+12道中考预测题，中考必考·(3-12)分) 考点一全等三角形相关证明 考点二特殊四边形相关证明 命题1全等三角形中基础证明 命题1证明四边是平行四边形 命题2全等三角形与尺规作图综合 命题2证明四边形是矩形 命题3利用全等三角形的证明进行求解 命题3证明四边形是菱形 命题4证明四边形是正方形 命题5特殊四边形中综合证明 考点三相似三角形相关证明 考点四圆中相关证明 命题1利用两角证明两个三角形相似 命题1圆中切线的证明 命题2利用三边对应成比例证明相似 命题2圆中证明线段相等 命题3利用两边对应成比例及其夹角相等证明 命题3圆中切线的证明 命题4相似三角形综合判定 命题4圆中证明线段相等 每个考点中考预测题★3道 04好题速递分层闯关（精选7道最新名校模拟试题+5道中考闯关题） 命题探源 考向解密 考点 考向 命题特征 1.已知条件，利用SSS、SAS、ASA、 1.中考基础/中档必考点，选择、填空、解答题均有 全等三角 AAS、HL证明两个三角形全等； 涉及，分值38分，属必拿分基础题； 形证明 2.结合平行线、角平分线、等腰三角 2.侧重考查全等判定定理的灵活应用，渗透转化与 形等性质，推导证明全等所需的边、角 建模思想； 条件； 3.常与平行线、等腰三角形、特殊四边形等知识综 3.全等三角形的判定与性质综合应 合考查； 用，证明线段相等、角相等、线段平行 4.命题难度梯度明显，基础题直接套用判定定理， 或垂直； 中档题需通过倒角、作辅助线构造全等关系。 4.含公共边、公共角、对项角的全等 三角形模型识别与证明；5.实际情境 中，构造全等三角形解决测量、证明问 题。 特殊平行 1.利用定义或判定定理，证明四边形 1.中考中档高频考点，以解答题为主，分值6~10分， 四边形证 为平行四边形、矩形、菱形、正方形； 是几何证明的核心题型； 明 2.结合平行四边形的性质，证明其为 2.侧重考查“边、角、对角线”三个维度的判定条 1/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 特殊平行四边形（如对角线相等的平行 件，渗透分类讨论与逻辑推理思想； 四边形是矩形)； 3.常与全等三角形、相似三角形、圆等知识结合， 3.特殊平行四边形的判定与性质综 形成综合证明题； 合，证明线段相等、亚直、平分，或角 4.命题形式多样，既有直接判定型，也有动态背景 相等、互补； 下的存在性证明。 4.结合三角形中位线、直角三角形斜 边中线等性质，推导特殊平行四边形； 5.含折叠、平移、旋转背景的特殊平 行四边形证明。 相似三角 1.利用AA、SAS、SSS判定定理，证 1.中考中档/偏难核心考点，选择、填空、解答题 形证明 明两个三角形相似； 均有涉及，分值4~12分，是几何综合题的基础； 2.结合平行线、射影定理、公共角/对 2.侧重考查相似模型的识别与判定，渗透数形结合、 项角，推导相似三角形的对应边成比例、 转化与方程思想； 对应角相等； 3.常与平行线、特殊平行四边形、圆、三角函数等 3.相似三角形的判定与性质综合，证 知识综合考查； 明线段成比例、线段乘积式、角相等； 4.命题难度跨度大，基础题直接套用判定定理，难 4.含A型、X型、母子型等相似模型 题需通过构造相似三角形解决。 的识别与证明； 5.实际情境中，利用相似三角形解决 测量高度、距离的证明与计算问题。 圆切线证 1.利用切线的判定定理（经过半径外 1.中考中档高频考点，以解答题为主，分值610分， 明 端且垂直于半径的直线是圆的切线)证 是圆模块的核心题型； 明直线与圆相切； 2.侧重考查“连半径，证垂直”或“作垂直，证半 2.利用切线的性质定理（切线垂直于 径”两种核心证明思路，渗透几何建模与逻辑推理 过切，点的半径)，结合其他几何条件证 思想； 明垂直关系； 3.常与全等三角形、相似三角形、三角函数等知识 3.结合等腰三角形、直角三角形、相 结合，形成圆综合题； 似三角形等性质，推导切线证明所需的 4.命题形式固定，难度适中，重点考查辅助线的作 垂直条件；4.证明切线后，利用切线 法与垂直关系的推导。 长定理、弦切角定理等解决后续证明或 计算问题； 5.含直径、圆周角、孤中，点等背景的 切线证明。 根基夯实 们和积整合 2/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定义：能够完全主合的两个三角形叫做全等三角形 基础定义 性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线，相等 0SS5:三边对应相等的两个三角形全等 已SAS:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 适合所有三角形 目ASA:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 判定定理 QAAS:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 0全等三角形证明 0HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等} 只适合直角三角形 平移型：一组对应边共线或平行 翻折型：有公共边或公共角，沿对称祉折香百合 常见枝型 转型：绕公共顶点旋转后主合（如*手拉手“诗型 一线三等角型：一条直线上有三个相等的角，构造全等 倍长中线法： 构造全等三角形，转移线段 辘助线作法 载长补短法：证明线段和莲关系 明线段平行 垂 ⑦证期生段和莲、倍分关系 作平行线： 构造内错角相等，形成全等条件 ①两组对边分到平行/相等 0一组对边平行目行等 平行四边形 ③两组对角分到相等 0对角线互相平分 0三个角是直角的四边形 炬形 基础定义 ②对角线相等的平行四边形 ①四条边相等的四边形 蒸形 入 日对角线互相垂直的平行四边形 0既是矩形又是蕊形 正方形 入 ②对角线相等且互相垂百平分的四边形 几何中的基础证 Q特殊四边形证明 边：平行、相等：菱形四边相等 核心性质 角：对角相等、邻角互补；矩形正方形四角为直角 对角线：互相平分：短形对角线相等：菱形对角线垂直目平分对角：正 方形米具所有性质 炬形折叁枝型：利用轴对称找边、角把等 常见模型 兹形旋转棋型：利用邻边相特构造全等 中点四边形：任意四边形中点连线为平行四边形，待殊四边形中点连线 为特殊平行四边形 定义：对应角料德、对遮边威比的两个三角形叫物限三角用 萃出定义 ①对应角相等、对立边成比例 性质 ②对应线妥（高.中线、角平分线）比等于相场 ③积比等于相拟平方 AA:两角分别相等两个三角形抢眼 SAS:两达对应成t比例归夹詹作两个三美料似 日相似三角形证明 SSs:三边对应比的两个三角形但 一平行是：平行行三角形一边的豆线他两边，所得三角形与原三角形相似 特殊 气村定：点角三角形核斜上的临分的两个口角三角形与期三角相似 A型（平行线是）：DEIBC一ADE-ABC X型（对型：：ABICD一+AOB-DOC 常型 母子型：当角三角形地上高，形传三个相以三角形 一线三等编型：一条声战上三个相诗的角，构心相以三角形 线：与回方车一公共点的直线密夏的切线.公共点叫位切点 转性质：显的切线垂有于女切点半径 定义法：直线与回行性一公共点 ④圆切线的证明 判足方法 黄量关系法：周心店的能商等于半径《d=) 川定定理：过半径外常祖垂业于这繁半径的点线足口切线 直径+圆同色：直径所对的回西角是直角.可构始更互关系 高知时是模型 抛三角形一日：利件务桔三角形三线合一证明半性与直线春直 m平分线·平行：天用角平分线和平行的性质。证明更线西直于半径 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频考点 妙法指津 考点一全等三角形相关证明 《解题指南》 一、核心知识点梳理 1.全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等。 2.五大判定定理（中考必考） 1.SSS(边边边)：三边对应相等→全等 2.SAS(边角边)：两边及其夹角对应相等一全等 3.ASA(角边角)：两角及其夹边对应相等→全等 4.AAS(角角边)：两角及其中一角对边对应相等一全等 5.HL(斜边直角边)：仅用于直角三角形，斜边+一条直角边相等一全等易错禁忌： 注意：SSA(边边)、AAA(角角)不能判定全等 3.全等三角形性质（证明结论常用） ①对应边相等、对应角相等；②对应中线、高线、角平分线相等；③周长相等、面积相等 二、隐含条件秒杀（做题第一步：找隐藏相等） 中考大部分题目不会直接给全条件，优先找这4类隐藏条件 1.公共边：两个三角形共用一条边一边相等 2.公共角：两个三角形共用一个角→角相等 3.对顶角：相交直线形成对顶角→角相等 4.等角/等边推导 ①同角的余角相等、同角的补角相等 ②线段中点→平分线段→两条线段相等 ③角平分线→平分角→两个小角相等 ④平行线→内错角相等、同位角相等 区命题点01全等三角形中基础证明 【典例1】(2026浙江绍兴.一模)对于题目“如图1，已知ACBD相交于0，OA=0B,OC=OD,证 明：△ABC兰△BAD,”小明的解答过程如图2.请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确 4/37 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 证明过程. 在△AOD和△BOC中 OA=OB(己知) 因为∠1=∠2（对顶角） !-步骤① 2 OD=OC(已知) 所以△AOD≌△BOC(SAS) F================================3 因为△BAD由△AOD和△AOB组成 △ABC由△BOC和△AOB组成 -…步骤② 所以△ABC≌△BAD 图1 图2 【变式01】(2026湖南永州一模)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD,点O是AC的中点，过点 O的直线EF分别交AB,CD的延长线于点E,F. 4 (1)求证：△A0E≌△C0F; (2)若CD=DF=3,AD=5,求0E的长. 【变式02】(2026江苏无锡二模)如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E,使得AE=AB,连接 DE· A B C (1)求证：△ABC兰△EAD; (2)若DE=8,求0C的长. 【变式O3】(2026陕西西安一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E为AC边上一点，连接BE交 AD于点F,且BF=AC,DF=DC.求证：AD=BD: 5/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F B 区命题点02全等三角形与尺规作图综合 【典例2】(2026湖北荆州模拟预测)在Rt△ABC中，∠C=90°，作∠ABC的平分线BD交AC于点D, 再作AB的垂直平分线MN,垂足为点G. B (1)请用尺规作图方法，将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点D在AB的垂直平分线上，求证：AG=BC. 【变式01】(2026广东一模)在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三 角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形. 图1 图2 (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形ABC全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形ABC的一条边重合，且面积与△ABC相 等 【变式02】(2026广西钦州一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE 6/37 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E (I)尺规作图：作∠DCF=∠BAE,CF交线段AD于点F(要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母)： (2)求证：△ABE兰△CDF 【变式03】(2026江西赣州一模)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC中，A,B两点为格点，C为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图. B B 图1 图2 (1)在图1中，作出△ABC的重心P; (2)在图2中，取BC的中点M,连接AM,作△CNM≌△BAM. 区命题点03利用全等三角形的证明进行求解 【典例O3】(2025浙江杭州·三模)如图，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D, BE,CD相交于点P. A E (I)证明：△AEB兰△ADC. (2)若∠EBC=35°，求∠ABE的度数. 【变式O1】（2025湖南长沙模拟预测)如图，点B在线段AC上，∠A=∠E,DA=BE,AB=EC. 7137 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABD兰△ECB; (2)若∠D=20°，∠C=115°，求∠DBE的度数. 【变式O2】(2026浙江杭州.一模)在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E在BC上， AB=EC.BE=DC. (1)求证：AE=ED: (2)已知AB=2,CD=3,求△AED的面积. 【变式03】(2023·江苏苏州模拟预测)如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,∠CAB=90°， 点D在线段BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转90度得线段AD,连接CD. (1)求证：∠BCD=90· (2)若∠BAD=15°，求BD的长. 中考预测题 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D,P分别为AC,BC的中点，连接BD,E为BD的中点，过点D作 DM⊥BC,垂足为点M,交EP的延长线于点N,连接AE,AN. B (1)若AB=8,求EP的长； 8/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：CD=PN; 巴的值， (3)当AE⊥EN时，求a 2.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点 F,且AF=BD,连接BF; (I)求证：BD=CD; (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于竞S△4Bc, 3.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE=CF.连接BE、BF,延长BF交AD的 延长线于点G. ED G (I)求证：△ABE≌△CBF; (2)若AB=4,AE=3,求DG的长. 考点二特殊四边形的相关证明 《解题指南》 一中考通用证明思路（万能步骤） 思路1：逐级升级（最稳妥，不易扣分） 1先证：是平行四边形 2.再加条件： ①有直角/对角线相等→证矩形 ②邻边相等/对角线垂直→证菱形 ③矩形+邻边相等或菱形+直角→证正方形 思路2：直接判定（条件充足时快速用 9/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 无平行四边形条件，直接用「四边相等、三角为直角」等直接判定 二、高频隐藏条件&等量推导 1.平行线→内错角相等、同旁内角互补 2.角平分线+平行→等腰三角形（边相等） 3.中点、中线→线段相等、对角线平分 4垂直、高一直角，用来证矩形 5全等三角形→转移边、转移角（四边形大题必考结合全等） 区命题点01证明四边是平行四边形 【典例05】(2026北京通州一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E,点F分别是BC,AC的 中点，延长BA到点D,使AD=AB,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O. (1)求证：四边形AEFD是平行四边形： (2)若AB=6,BC=10,求DE的长. 【变式O1】(2026贵州遵义一模)如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE‖BC交边AC于点 E,∠B=∠EFC D B (I)求证：四边形DEFB是平行四边形： (2)当四边形DEFB是菱形时，AB=10,BC=8,求菱形的边长. 【变式O2】(2026江苏苏州模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90·,点E在BC 上，AEII DC,EF⊥AB,垂足为F. 10/37 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=号，求BF和AD的长. 【变式03】(2025四川绵阳·中考真题)如图，在中心为0的正六边形ABCDEF中，点G,H分别在边AF ,CD上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG B G (1)证明：四边形BGEH为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点0为圆心，OB为半径的扇形B0F与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部 分的面积. 区命题点02证明四边形是矩形 【典例O6】(2026江苏扬州一模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD的中点， 连接E0,过点E,O作AB的垂线，垂足分别为F,G D (I)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若己知∠ADC=120°，AD=12,求四边形0EFG的面积. 【变式01】(2026湖南长沙模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别为BC,AB中点，连 接DE并延长至点F,使EF=DE,连接AF,BF. 11/37 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形ADBF为矩形： (2②)过点E作ME⊥DF交AD于点M,若AF=V10,tan∠CAB=,求ME的长 【变式O2】(2026江苏无锡一模)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E, BF⊥AC于点F,且AE=BF. E B (1)求证：0A=0B; (2)求证：四边形ABCD是矩形， 【变式O3】(2026云南玉溪一模)如图，在☐ABCD中，∠ABC的平分线BE和∠BCD的平分线CE交于 点E,点E在AD边上，以BE,CE为邻边作□BECF. (I)求证：四边形BECF是矩形； (2)若AD=6,∠A=120°，求四边形BECF的面积. 区命题点03证明四边形是菱形 【典例O7】(2026上海崇明二模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点， BE>ED,AE=EC. 12/37 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G,若BG·BE=AB·BF,求证：AB2=BE·DG 【变式01】(2026云南文山一模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC,AD于 点E,F,垂足为O,OE=OF.连接AECF (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)已知AB=4,延长BC到点G,使CG=0C,连接0G,∠G=15°，若点E是BC的中点，求△E0G的 面积. 【变式O2】(2026云南大理一模)如图，平行四边形ABCD中，点E在对角线DB的延长线上，AF⊥BD 于点F,过点E作EG‖BC交AF的延长线于点G,且EG=AD,连接DG. D G (1)求证：四边形AEGD是菱形； (2)若∠BAF=45°，∠FGE=60°，AB=4V2,求线段BE的长. 【变式O3】(2026江苏扬州一模)如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EFLBD,分别交 BC、AD于点E、F. (I)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若AD=2AB=8,求DF的长. 13/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 区命题点04证明四边形是正方形 【典例O8】(2026江苏盐城一模)如图，在□ABCD中，AB=BC,点E是边CD的延长线上的一点.连 接AE,过点C作CF⊥AE于点F,交AD于点G,且∠E=∠CGD. (I)求证：四边形ABCD是正方形： (2)当点F是AE的中点，且CE=4V2时，求四边形ABCD的面积. 【变式01】(2026辽宁抚顺一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是 AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,连接EF. D (1)求证：四边形EDFC为正方形. (2)若AC=6,求EF的长度， 【变式02】(2026陕西咸阳·一模)如图，在☐ABCD中，连接BD并延长至点E,连接CE, ∠CDE=135°，点F在线段BD上，连接CF,DB平分∠ADC,∠FCD=∠E (I)求证：四边形ABCD是正方形； (2)若AB=4,DE=BD,求DF的长. 【变式03】(2025甘肃武威模拟预测)如图，正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA上的动点，且AE=BF=CG=DH· 14/37 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H D G E B F (1)求证：四边形EFGH是正方形： (2)填空：四边形EFGH面积的最小值为 区命题点5特殊四边形中综合证明 【典例09】(2025新疆乌鲁木齐·二模)如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD,CB=CD,那么四边形ABCD是垂美四边形吗？ 请说明理由 性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜 想，并给出证明. 问题解决：如图②，已知△ABC,AB=1,BC=2,∠ABC=150°，求垂美四边形ABCD的面积. D D C B ① ② 【变式O1】(2026青海西宁.一模)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， 过点A作AF‖BC交BE的延长线于点F. E (1)求证：AF=BD: (2)判断四边形ADCF的形状，并说明理由， 【变式02】(2026上海虹口二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90·，AB=AC,AD=AE,连接BD、CE,∠ADB=90°，延长BD交CE于点F 15/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,交AC于点G. B (1)求证：四边形ADFE为正方形： (2)如果∠FBC=∠ACF,求证：2AD2=FG·FB. 【变式03】(2026浙江衢州一模)如图1，在☐ABCD中，BC=5,对角线AC=7,∠BAC=45°.作 DE⊥AC,垂足为点E,且DE<AE D D F B 图1 图2 (1)求DE的长. (2)如图2，连结BE,求△ABE的中线AF的长. 弘中考预测题 1.如图，在平行四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点，四边形EFGH是菱形. A H D E G B (1)求证：平行四边形ABCD为矩形； (2)若平行四边形ABCD的周长是12，面积是8，求菱形EFGH的边长. 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90·,对角线AC平分∠BAD,过点B作BE⊥CD交 DC的延长线于点E,过点B作BF‖ED,交AC于点G,交AD于点F. 16/37 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G F ) (I)求证：四边形BEDF是矩形： (2)若点F是AD的中点，DE=9,求AB的长. 3.如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接DO并延长至 点E,使得EO=DO,连接BD、BE、CE. D (I)求证：四边形DBEC是菱形； (2)若△ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积. 考点三相似三角形的相关证明 《解题指南》 相似证明「条件快速寻找清单」 1.找等角（优先AA,性价比最高） ①公共角、对顶角；②平行线：同位角、内错角相等；③同角的余角/补角相等；④等角+公共角组合； 特殊角：直角、等边三角形内角。 2.找成比例线段(SAS/SS用) 中点、等分线段： 己知线段比值； 四边形边长、矩形菱形边长关系； 由全等、平行推导线段相等/比例。 区命题点01利用两角证明两个三角形相似 【变典例10】(2026浙江湖州模拟预测)某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物 体AB⊥BC,幕布EC⊥BC,光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处。 17/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：△DE0M△AB0. (2)已知EC=1.6m,DC=1m,A0=2D0,求物体AB的高度（即线段AB的长）· 【变式O1】(2026四川成都一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过D作 DE⊥AB于点E,交AC于点F. (1)求证：△ODF∽△OAD; (2)若AF=3,0B=4,求0F及AE的长. 【变式O2】(2026上海普陀一模)如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的中点，点E位于AC边上，且 ∠ADE=∠B-∠A: B D (I)求证：△ABC∽△CED (②)若AD=2V6,AE=2,求CE的长. 区命题点02利用三边对应成比例证明相似 【典例11】(2025·广东·二模)如图，己知在Rt△ABC中∠BAC=90°. B 18/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)实践与操作：用尺规作图法在边BC上找一点P,连接AP,使得△APC~△BAC;(保留作图痕迹， 不写作法，不用证明) (2)应用与求解：若AD为BC边上的中线，且AB=6,AC=7,△ABD的周长为16，求△ACD的周长。 【变式01】(25-26九年级上广西桂林期中)如图，某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路，己知 AB=14km,AD =28km,BD=21km,BC=42km,DC=31.5km, 28 31.5 14 B 42 (I)如图△ABD与△BDC相似吗？若相似，请写出证明过程. (2)公路AB与CD平行吗？说出你的理由 【变式02】(25-26九年级上江西抚州期中)在4×10的方格中，小正方形的边长为1，△ABC, △DEF和△MNK都是格点三角形. B M (I)判断△ABC与△DEF相似吗？若相似，求出∠ACB的度数，并说出理由： (2)判断△ABC与△MNK相似吗？若相似，求△ABC与△MNK的周长比. 【变式O3】(2025·上海模拟预测)四边形ABCD与四边形BCEF均为平行四边形.连接AF,DE,AF和 BC交于点G. D G (I)求证：△ABF兰△DCE; (2)若点F在DC延长线上，且AB·CF=GF.DE,求证：∠AGB=∠DCE. 区命题点03利用两边对应成比例及其夹角相等证明相似 19/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例11】(25-26九年级上安徽合肥期末)如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD, 作DA⊥AB,使得铝=噩，连接DE交AC于点F,若AC=6,AB=8. 求证： (1)△ABD△ACE (2)若BD=4,求tan∠EDC的值. 【变式01】(25-26九年级下·广东广州月考)如图，己知点D,E分别在△ABC的边AC,AB上， AE=2,AD=3,AC=4,AB=6.求证：△ADE∽△ABC. D B C 【变式02】(24-25九年级上·安徽合肥期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上， AB=2AD,AC=2AE. B (1)求证：△ADE△ABC; ②若AD=6,AB=4,连接DB,求的值。 【变式O3】(25-26九年级上江苏扬州期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且 是=是，连接DB、BD, E B (1)求证：△ADE△ABC: 20/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点E为AB的中点，AD:AE=4:3,若AB=12,求CD的长度. 区命题点04相似三角形综合判定 【典例12】(25-26九年级上·江苏泰州期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是AD的中点，点F在 CD上，且CF=3FD. B (I)求证：△ABE∽△DEF; (2)试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由. 【变式01】(2026江苏宿迁.一模)在△ABC中，AC=kAB(0<k<1)· 0 B 图1 图2 ()如图1，点D在AB边上，若∠ACD=∠B,则器=·（用含k的代数式表示） (2)如图2，用无刻度直尺和圆规，在边BC上找一点E,使得CE=kBC,(不写作法，保留作图痕迹) 【变式O2】(2026上海宝山二模)如图，已知梯形ABCD中，AB‖CD,AD=BC,对角线AC与BD交 于点E,将△ABD沿着直线AB翻折得到△ABF(点D对应点F)· (I)求证：四边形AFBC是平行四边形： (2)如果四边形AFBC是矩形，且器=，求证：AB=2CD. 【变式O3】(2026·上海闵行·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.点D在边BC上， 点E在CB的延长线上，连结AD、AE,过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F,且 21/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE-EF. M B (I)求证：BD=BE; (2)求证：鼍=體. 【变式04】(2026北京平谷一模)如图，平行四边形ABCD,E是BC延长线上一点，BD=DE,且 ∠ABC=2∠DEB. D B (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)连接AE交BD于F,若∠DEB=30°，AD=4,求BE和AF的长. 【变式O5】(2026四川绵阳二模)如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，DE⊥AF, 垂足为H,AC与BD相交于O,DE与AC交于M,AF与BD交于N. D M H (I)求证：AE=BF; (2)若正方形边长为6，AM=2W2,求DM的长度. 中考预测题 1.如图，在四边形ABCD中，O为AC中点，BO延长线交AD于点E,E为AD中点，连接CE ∠EBA=∠EAC+∠ECA,BE=CD+DE. 22/37 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)求证：△DCE∽△EAB; (2)若0E=1,求0B的长； (3)如图2，当∠D=90°，求tan∠DAC. 2.如图1，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC中点，E为AD上任一点，CE交AB于点F,FG⊥BE交 BC于点G,连接EG. E D B 图1 图2 (I)求证：△AEF△BGF: (2)如图2，当F为AB中点时，求证：EGAB; (3)当点E在AD上移动时，猜想DE和BG的数量关系并证明. 3.如图，△ABC中，分别以AB,AC向外作Rt△ADB和Rt△AEC,其中∠ADB=∠AEC=90°， ∠ABD=∠ACE=,F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点，连接DF,DG,EF,EH. D (1)求证：△ADG△AEH; (2)求证：DF=EF; (3)∠DFE的度数为 (用含x的代数式表示)· 考点四圆中相关证明 23/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《解题指南》 三大核心证明题型（中考必考） 题型1：证明切线（最高频）两种方法，二选一 1.有交点，连半径，证垂直 己知直线与圆有公共点，连接圆心和交点，证明夹角=90°。 2.无交点，作垂直，证半径 不确定交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度=半径。 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 题型2：证明线段相等/弧相等解题依据： 1.等角对等弧、等弧对等弦； 2.垂径定理推弦相等； 3圆周角相等→弧相等→弦相等； 4.结合全等、等腰三角形证边长相等。 题型3：证明角度相等、垂直关系 常用倒角工具： ①同弧圆周角相等；②切线+半径互余倒角；③直径出直角；④圆内接四边形外角性质；⑤互余、对项角、 公共角转化。 区命题点01圆中切线的证明 【典例13】(2026浙江丽水一模)如图，已知AB是半圆0的直径，点C,D在半圆上，且AD平分∠BAC ,DE⊥AC交AC的延长线于点E, E B (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若ED=4,AB=10,求cos∠BAC的值. 【变式O1】(2026江苏宿迁一模)如图，以△ABC的BC边上的一点O为圆心的圆，经过A,B两点， 且与BC边交于点E,D为BE所对的下半圆中点，连接AD交BC于F,AC=FC. 24/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ()求证：AC是⊙0的切线： (2)已知⊙0的半径为10，BF=12,求0C的长. 【变式02】(2026湖南张家界一模)如图，AB是⊙0的直径，AC,BC是⊙0的弦，过圆心O作BC的 平行线OD与过点C的切线交于点D,与AC交于点E. B (1)求证：AD是⊙0的切线； (2)如果∠B=2∠CD0,OD=3,求CD的长； (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. 【变式03】(2026浙江宁波一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90·,CD平分∠ACB交AB于点D ,点E在边AC上，以CE为直径的⊙O恰好过点D: B D E (1)求证：AB与⊙O相切. (2)当AE=E0=2时，求CD的长， 【变式04】(2026北京通州一模)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC, 过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接EC 25/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：EC为圆O的切线： (2)连接BD并延长交AE于F,若半圆O的直径为10，tan∠CAB=,求AF的长. 区命题点2圆中证明线段相等 【典例14】(2026山西晋中.一模)如图，⊙0与AB相切于点COA0B分别交⊙0于点D,E,CD=CE (1)求证：0A=0B; (2)已知AB=4y3,0A=4,求阴影部分的面积. 【变式01】(2026安徽阜阳·二模)如图，等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径作⊙O,分别交AB ,BC于点M,N,CD是⊙O的切线，BD⊥CD于点D M (I)求证：BD=BM; (2)若BM=3,CN=V13,求⊙0的半径. 【变式O2】(2026浙江·一模)如图，AB切圆O于点C,过直径DG上一点E作AE⊥DB,AE交CD于点F ,AC交DG的延长线于点B, 26/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A (1)求证：AF=AC: (2)若E为0D中点，AB=72,tanB=1,求弧CG的长度， 【变式03】(2026陕西西安模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙O上，连接AC,BC,过点 A作⊙O的切线AM,点D在AM上，连接CD交⊙O于点E,连接AB,BE,若∠ADC=∠ABC M (I)求证：AC=DC: (2)若AB=10,tan∠ACE=,求CE的长. 区命题点03圆中证明角平分线 【典例15】(2026广东东莞一模)如图，在⊙0中，点A、B、C、D为圆周的四等分点，AE为切线， 连接ED,并延长交⊙O于点F,连接BF交AC于点G. (I)求证：AD平分∠CAE; (2)求证：△ADE兰△ABG: 【变式01】(2026山东德州一模)如图，AB为⊙0的直径，射线AC交⊙0于点C,过⊙0上点D作直 线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.直线DE是⊙O切线，连接BD并延长交AC于点M. 27/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AD平分∠CAB: (2)若∠F=30°，请判断DM和ME的数量关系.并证明结论； (3)在(2)的条件下，若⊙0半径为1，求图中阴影部分面积 【变式02】(2026贵州遵义一模)如图，AB是⊙O的直径，直线MN与⊙0相切于点C,AD⊥MN于 点D,延长AB交MN于点P,连接AC,BC. MD (I)求证：AC平分∠DAB; (2)若∠P=∠CAP,求∠ACD的度数； (3)若tan∠ABC=V2,求cosP的值. 【变式O3】(2026安徽芜湖一模)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分 别交BD于点M、N,连接CN、EN,且CN=EN. D (I)求证：AN=EN,AN⊥EN; (2)求证：AF平分∠DFE: (3)求证：EF=V2MN. 命题点04圆中证明角度相等 28/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例16】(2026辽宁沈阳一模)如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B,连接 OAOB,OP,取OP的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD, B O (1)求证：∠ADB=∠A0P; (2)若AP=5,tan∠AOP=克，求AD的长. 【变式01】(2026浙江衢州一模)如图1，己知△ABC内接于⊙O,AB=AC.弦CD⊥AB于点E, 连结OB,交CD于点F. E D 图1 图2 备用图 (1)求证：∠BCD=∠ABO (2)如图2，连结BD.若sinCAB=寻，求器的值. (3)当CD=11,BF=2W5时，求⊙0的半径 【变式02】(2026安微蚌埠·二模)如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D,点C为AB上方 ⊙O上一点，连接AC,CD,CD与AB交于点E,过点C作⊙O的切线CF交AB的延长线于点F, O B (I)求证：∠ECF=∠OED: (2)若CF=8,BF=4,求⊙0的半径， 【变式03】(2026辽宁模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90·,O为AC边上一点，以点O为 圆心，OC长为半径作⊙O,与AB相切于点D,与AC交于点E,连接CD. 29/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：∠ABC=2∠ACD: (2)若AC=16,⊙0的半径为6，求BC的长. 区命题点05圆中综合证明 【典例16】(2026江苏无锡二模)如图，AB是⊙0的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧BC的中点，过 点D作⊙O的切线交射线AC于点E,连接AD、BD. 0 ⊙ (1)求证：AE⊥DE: (2)若AE=6.4,AB=10,求AC的长. 【变式01】(2026辽宁铁岭二模)如图，AB为⊙0的直径，C,D是⊙0上的点，连接BC,CD, ∠DCB=135°. (1)求证：AD=BD; (2)若CE是⊙O的切线，交AB的延长线于点E.若BC=5,AB=13,求CE的长， 【变式02】(2026内蒙古包头一模)如图，AB是⊙0的切线，E为切点，以0为顶点作∠C0D,交 ⊙O于点C,交AB于点D,连接CE,交OD于点F. 30/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E D B (I)∠OCF与∠CED有什么数量关系，请说明理由； (②若⊙0的半径为2，∠C0D=90°，cosC=25,求0D的长. 【变式O3】(2026四川绵阳·二模)如图，AB,CD是⊙O的弦，AB1CD,垂足为F,CE为⊙O的直 径，AB=CD=3AF=3,CE与AB、BD分别交于M、G. E C 图1 图2 (1)证明：AF=CF; (2)求cos∠DBE的值； (3)求MF的长度， 【变式04】(2026湖南·模拟预测)在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点P是对角线AC上一动点，连接 BP,作BP⊥PE交CD于点E,以BP,EP为边作矩形BPEF,连接线段CF,线段EF与对角线AC交于 点Q. (1)求证CF⊥AC: (2)求tan∠BCF; (3)当PQ=FQ时，求AP的长度. 中考预测题 1.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,过点A,B,C作⊙O交CD边于点E,连接AE,且AD=AE 31/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：四边形ABCD是平行四边形. (2)AB=AC.AB=317.AE=6. ①求四边形ABCD的面积. ②延长BC至点G,连结DG,使tan∠DGB=,在线段CG上取点F,过点F作FH⊥AF交DG于点H,求GH的 最大值。 2.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线CD,连接AC,AD,AC交⊙O于点E,点G是BE的 中点，连接OG并延长交BC于点F,∠D=∠AE0. B (1)求证：OF‖AC; (2)若tan∠0FB=号，BC=6,求BD的长. 3.如图，△ABC内接于⊙O,过A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D,交BC于点E. D 备用图 (1)求证：AB·AC=AE·AD; (2)若AE=3DE=3k时， ①求薨的值. ②作∠ACB的角平分线，交AD于点F,在圆上有一点G,若F和G恰好关于BA的中点对称，请用含k的 32/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 代数式表示△ABC的面积，并说明理由. 好数速递 分层周关 ®好题速递 1.(2026陕西商洛一模)如图，点P为正方形ABCD内一点，连接PB、PC、PD,若PB=PD,求证： ∠ABP=∠ADP· 2.(2026广东中山一模)在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在 BC边上且BE=BD,连接AE、DE、DC.己知∠CAE=30°，求∠BDC的度数. E 3.(2026辽宁沈阳一模)如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处， BE交AD于点F,作FO⊥BD,延长FO交线段BC于点G. (1)判断四边形BFDG的形状，并说明理由； (2)若AB=6,AD=8,求四边形BFDG的面积. 4.(2026山东淄博.一模)如图，点O,I分别是△ABC(AC<BC)的外心和内心，其中AB是△ABC 33/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 外接圆的直径.连接CI并延长交外接圆于点D,连接AD,BD, D 0 (1)测量并找出图中所有与DI相等的线段，并加以证明； (2)若图中C1=V2,DI=号V2,求△ABC的周长. 5.(2026湖北襄阳一模)如图，已知平行四边形0ABC的三个顶点A,B,C在以0为圆心的半圆上，过 点C作CD⊥AB,分别交AB,AO的延长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF. D (1)判断直线DE与半圆0的位置关系，并说明理由. (2)若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积 6.(2026江苏无锡一模)如图，AB为⊙0直径，C,D为⊙0上的两点，且CE是⊙0的切线， CE⊥DB交DB的延长线于点E. B (1)若∠A=25°，求∠ACD的度数； (2)若AB=6,BE=1,求CD的长. 7.(2026江西吉安一模)如图1所示的是正六边形组合的玻璃笔筒，其俯视图是如图2所示的图形，每 个正六边形的边长均为4cm,点A,B,C,D,E,F均为正六边形的顶点，O为AB的中点. 34/37 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AO B 图1 图2 (I)∠ABC的度数为 ,线段AB与CD的位置关系是 (2)连接0F,求0F的长。 墨中考闯关 1.如图，在平行四边形ADBC中. (I)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN,使得点M在AC上，点N在BD上.（不写作法，保留 作图痕迹，标明字母) (2)在(1)条件下若AD=3,BD=5,CN平分∠BCD,求BN的长 2.如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F,连接AF交CD于点E,若器=青. D B (I)若BC=3,求线段CF的长； (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形ABCD的面积. 3.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，圆O是△ABC的外接圆，D是弧BC上一点，CE是 圆O的切线，交BD的延长线于点E,CE‖AD,连接OC交AD于点G. 35/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：∠EBC=∠ABC; (2)若AC=2V3,GF=1,求AF的长. 4.如图，△ACD内接于⊙O,直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,使得∠ADF=∠ACD,延长 DC交过点B的切线于点E,连接BC G (1)求证：DF是⊙0的切线： (2)若CD=号CG,BE=3CE=3. ①求DE的长： ②求⊙0的半径. 5.如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD,∠BCD=∠A,过 点B作BE⊥AD,交CD于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若点B是AD的中点，且BE=4,求⊙O的半径. 36/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 37/37 高频考点08 几何中基础证明专练 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（4大命题点+12道中考预测题，中考必考·（3-12）分） 考点一 全等三角形相关证明 考点二 特殊四边形相关证明 命题1 全等三角形中基础证明 命题2 全等三角形与尺规作图综合 命题3 利用全等三角形的证明进行求解 命题1 证明四边是平行四边形 命题2 证明四边形是矩形 命题3 证明四边形是菱形 命题4 证明四边形是正方形 命题5 特殊四边形中综合证明 考点三 相似三角形相关证明 考点四 圆中相关证明 命题1 利用两角证明两个三角形相似 命题2 利用三边对应成比例证明相似 命题3 利用两边对应成比例及其夹角相等证明 命题4 相似三角形综合判定 命题1 圆中切线的证明 命题2 圆中证明线段相等 命题3 圆中切线的证明 命题4 圆中证明线段相等 每个考点中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选7道最新名校模拟试题+5道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 全等三角形证明 1. 已知条件，利用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 证明两个三角形全等； 2. 结合平行线、角平分线、等腰三角形等性质，推导证明全等所需的边、角条件； 3. 全等三角形的判定与性质综合应用，证明线段相等、角相等、线段平行或垂直； 4. 含公共边、公共角、对顶角的全等三角形模型识别与证明；5. 实际情境中，构造全等三角形解决测量、证明问题。 1. 中考基础/中档必考点，选择、填空、解答题均有涉及，分值3~8分，属必拿分基础题； 2. 侧重考查全等判定定理的灵活应用，渗透转化与建模思想； 3. 常与平行线、等腰三角形、特殊四边形等知识综合考查； 4. 命题难度梯度明显，基础题直接套用判定定理，中档题需通过倒角、作辅助线构造全等关系。 特殊平行四边形证明 1. 利用定义或判定定理，证明四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形；2. 结合平行四边形的性质，证明其为特殊平行四边形（如对角线相等的平行四边形是矩形）； 3. 特殊平行四边形的判定与性质综合，证明线段相等、垂直、平分，或角相等、互补； 4. 结合三角形中位线、直角三角形斜边中线等性质，推导特殊平行四边形；5. 含折叠、平移、旋转背景的特殊平行四边形证明。 1. 中考中档高频考点，以解答题为主，分值6~10分，是几何证明的核心题型； 2. 侧重考查“边、角、对角线”三个维度的判定条件，渗透分类讨论与逻辑推理思想； 3. 常与全等三角形、相似三角形、圆等知识结合，形成综合证明题； 4. 命题形式多样，既有直接判定型，也有动态背景下的存在性证明。 相似三角形证明 1. 利用 AA、SAS、SSS 判定定理，证明两个三角形相似； 2. 结合平行线、射影定理、公共角/对顶角，推导相似三角形的对应边成比例、对应角相等； 3. 相似三角形的判定与性质综合，证明线段成比例、线段乘积式、角相等；4. 含A型、X 型、母子型等相似模型的识别与证明； 5. 实际情境中，利用相似三角形解决测量高度、距离的证明与计算问题。 1. 中考中档 / 偏难核心考点，选择、填空、解答题均有涉及，分值4~12分，是几何综合题的基础； 2. 侧重考查相似模型的识别与判定，渗透数形结合、转化与方程思想； 3. 常与平行线、特殊平行四边形、圆、三角函数等知识综合考查； 4. 命题难度跨度大，基础题直接套用判定定理，难题需通过构造相似三角形解决。 圆切线证明 1. 利用切线的判定定理（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）证明直线与圆相切； 2. 利用切线的性质定理（切线垂直于过切点的半径），结合其他几何条件证明垂直关系； 3. 结合等腰三角形、直角三角形、相似三角形等性质，推导切线证明所需的垂直条件；4. 证明切线后，利用切线长定理、弦切角定理等解决后续证明或计算问题； 5. 含直径、圆周角、弧中点等背景的切线证明。 1. 中考中档高频考点，以解答题为主，分值6~10分，是圆模块的核心题型； 2. 侧重考查“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 两种核心证明思路，渗透几何建模与逻辑推理思想； 3. 常与全等三角形、相似三角形、三角函数等知识结合，形成圆综合题； 4. 命题形式固定，难度适中，重点考查辅助线的作法与垂直关系的推导。 考点一 全等三角形相关证明 《解题指南》 一、核心知识点梳理 1.全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等。 2.五大判定定理(中考必考) 1.SSS(边边边)：三边对应相等→全等 2.SAS(边角边)：两边及其夹角对应相等→全等 3.ASA(角边角)：两角及其夹边对应相等→全等 4.AAS(角角边)：两角及其中一角对边对应相等→全等 5.HL(斜边直角边)：仅用于直角三角形，斜边+一条直角边相等→全等易错禁忌： 注意：SSA(边边角)、AAA(角角角)不能判定全等 3.全等三角形性质(证明结论常用) ①对应边相等、对应角相等；②对应中线、高线、角平分线相等；③周长相等、面积相等 二、隐含条件秒杀(做题第一步：找隐藏相等) 中考大部分题目不会直接给全条件，优先找这4类隐藏条件 1.公共边：两个三角形共用一条边→边相等 2.公共角：两个三角形共用一个角→角相等 3.对顶角：相交直线形成对顶角→角相等 4.等角/等边推导 ①同角的余角相等、同角的补角相等 ②线段中点→平分线段→两条线段相等 ③角平分线→平分角→两个小角相等 ④平行线→内错角相等、同位角相等 命题点01 全等三角形中基础证明 【典例1】（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【分析】利用“边边边”证明，即可． 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 【变式01】（2026·湖南永州·一模）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由中点的定义得，由对顶角相等得，即可由证明； （2）由勾股定理求出，由中点的定义得，再由勾股定理求出，由（1）中，得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知， ∴． 【变式02】（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，， 即可得， 结合，根据“”即可证明； （2）根据平行四边形的性质得， 根据全等得， 即可解答 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中： ， ∴； （2）解：∵、交于， 四边形是平行四边形， ∴， 由（1）中全等三角形对应边相等，得， ∵， ∴， ∴． 【变式03】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 命题点02 全等三角形与尺规作图综合 【典例2】（2026·湖北荆州·模拟预测）在中，，作的平分线交于点，再作的垂直平分线，垂足为点． (1)请用尺规作图方法，将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点在的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线和线段的垂直平分线的作法作图即可； （2）由是的垂直平分线得到证明，得出，得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：垂直平分， ，， ，平分，， ， 在和中，， ， ， ． 【变式01】（2026·广东·一模）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形的一条边重合，且面积与相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，作关于大正方形对称轴的轴对称图形，即可求解； （2）先计算的面积，根据题意，取格点，连接，即可求解． 【详解】（1）解：答案不唯一，如图所示，即为所求 （2）解：如图所示即为所求 ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是直角三角形， ∴ ∴的面积与的面积相等，即为所求 【变式02】（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形中，点E在边上，连接． (1)尺规作图：作，交线段于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）首先由正方形的性质得到，，然后根据证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴． 【变式03】（2026·江西赣州·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，易知四边形为矩形，根据“矩形的对角线相互平分”可得；取格点，使得，过点的格线交于，易得，则有，即；连接，则点即为的重心； （2）取格点，使得，过点的格线交于，易得，则，所以，即点为的中点；连接并延长，交格线于点，在中，易知，且，则，即，结合，可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求； 命题点03 利用全等三角形的证明进行求解 【典例03】（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，于点E，于点D，，相交于点P． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，确定全等条件是解题的关键． （1）先证明，再证即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据等边对等角求得，即可根据即可求解． 【详解】（1）证明：于点E，于点D， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的度数是． 【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点B在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）解：， ． ∵点B在线段上， ． 【变式02】（2026·浙江杭州·一模）在四边形中，，点在上，． (1)求证：． (2)已知，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得证； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式03】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，，点D在线段上，将线段绕点A逆时针旋转90度得线段，连接． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，线段绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质得到，，得到，，得到； （2）由勾股定理求出，过点作于点，则，求出，根据可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 由题意得：绕点A逆时针旋转90度得线段，则：，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在等腰直角三角形中，， 过点作于点，则， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 中考预测题 1．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解： 为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解： 为的中点， ， 为的中点， ， ． 2．如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换即可； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ 3．如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可； （2）先证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 考点二 特殊四边形的相关证明 《解题指南》 一.中考通用证明思路(万能步骤) 思路1：逐级升级(最稳妥，不易扣分) 1.先证：是平行四边形 2.再加条件： ①有直角/对角线相等→证矩形 ②邻边相等/对角线垂直→证菱形 ③矩形+邻边相等或菱形+直角→证正方形 思路2：直接判定(条件充足时快速用) 无平行四边形条件，直接用「四边相等、三角为直角」等直接判定 二、高频隐藏条件&等量推导 1.平行线→内错角相等、同旁内角互补 2.角平分线+平行→等腰三角形(边相等) 3.中点、中线→线段相等、对角线平分 4.垂直、高→直角，用来证矩形 5.全等三角形→转移边、转移角(四边形大题必考结合全等) 命题点01 证明四边是平行四边形 【典例05】（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式01】（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由得出，再结合已知条件，利用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为，表示出的长度，再由证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 【变式02】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，3 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式03】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 命题点02 证明四边形是矩形 【典例06】（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可； （2）根据菱形的性质及直角三角形的斜边中线的性质求出，再在中，解直角三角形求得，最后根据矩形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在中，， ∴． 【变式01】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形的性质推出，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形推出为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质推出，即可得出结论； （2）过点作于，由，设，则，则，再由勾股定理得，证明得，即可求解． 【详解】（1）证明： 在中，点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 在中，，点为的中点， ， ， 平行四边形为矩形． （2）解：如图，过点作于， ，点为的中点， ， 四边形为矩形， ∴， ， ． ， 设，则，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质结合（1）中结论即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ， ，， ， ； （2）证明：由（1）知， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形． 【变式03】（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 命题点03 证明四边形是菱形 【典例07】（2026·上海崇明·二模）如图，已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是边上一点，与相交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，利用等腰三角形的性质证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形； （2）证明：， ， 由（1）知，四边形是菱形； ，， ， ， ， ． 【变式01】（2026·云南文山·一模）如图，在四边形中，对角线的垂直平分线分别交于点，垂足为，．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，延长到点，使，连接，，若点是的中点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用是的垂直平分线，得到且，结合先证四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，完成证明； （）先根据菱形性质和中位线定理求出的长度，再通过角度推导得到相关角的度数，作后用含的直角三角形性质与勾股定理求出各线段长，最后结合的长度，用三角形面积公式算出． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在菱形中，是的中点，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 如图，过点作于， ∴， 则， ∴， 同理，在中，，， 则， ∴， ∴． 【变式02】（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2）解：∵， ， ∵，， 在中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在中，， ， ． 【变式03】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：设， ∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 命题点04 证明四边形是正方形 【典例08】（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 【变式01】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 【变式02】（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，连接并延长至点E，连接，，点F在线段上，连接，平分，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查特殊四边形，涉及平行四边形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理的应用和相似三角形的判定和性质等知识点， （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，则，再求出，即可证明． （2）根据正方形得和，进一步求得和，证明，即有，求得即可． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 又， 则， ∴ ∴四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则，即， ∴． 【变式03】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，正方形的边长为，E，F，G，H分别是上的动点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)填空：四边形面积的最小值为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了正方形性质和判定，根据已知条件可证4个三角形全等，由全等三角形性质得到四边形是正方形；本题还考查了用二次函数来解决面积的最值问题． （1） 由正方形的性质得出，，证出，证明，得出，，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论； （2）设四边形面积为S，，则 ，由勾股定理得出 ，S是x的二次函数，即可得出四边形面积的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）设， 则， ， ∴当时，四边形面积取最小值，最小值为． 命题点05 特殊四边形中综合证明 【典例09】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 【变式01】（2026·青海西宁·一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得，最后再由菱形的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【变式02】（2026·上海虹口·二模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先利用已知的两个直角，通过减去公共角，推导出；再结合，用证明，得到；接着结合，判定四边形是矩形，最后根据邻边，得出四边形为正方形； （）连接，先由（）中正方形的性质，结合勾股定理得到；再利用等腰直角的角度关系和外角定理，推导出；随后通过两角对应相等证明，得到比例式，交叉相乘后结合，证得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【变式03】（2026·浙江衢州·一模）如图1，在中，，对角线，．作，垂足为点E，且． (1)求的长． (2)如图2，连结，求的中线的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得，设，则，，在中根据勾股定理得，求出的适当的值即可； （2）延长到点，使，连接，证明得，，过点作交的延长线于点，求得，，运用勾股定理得，可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴都是直角三角形， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：延长到点，使，连接， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴, 又， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 过点作交的延长线于点，则， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 中考预测题 1．如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据中位线的性质可得，得出，即可得证； （2）依题意得出，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得，根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴ ∵在平行四边形中，，，，分别是各边的中点， ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵矩形的周长是，面积是， ∴ ∴ ∴ ∴，即菱形的边长为 2．如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）证明，得到，进而利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵点F是的中点， ， ∵平分， ， ，， ， ， 在中，， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ． 3．如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 考点三 相似三角形的相关证明 《解题指南》 相似证明「条件快速寻找清单」 1.找等角（优先AA，性价比最高） ①公共角、对顶角；②平行线：同位角、内错角相等；③同角的余角/补角相等；④等角+公共角组合； 特殊角：直角、等边三角形内角。 2.找成比例线段（SAS/SS用） 中点、等分线段； 已知线段比值； 四边形边长、矩形菱形边长关系； 由全等、平行推导线段相等/比例。 命题点01 利用两角证明两个三角形相似 【变典例10】（2026·浙江湖州·模拟预测）某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处． (1)求证：． (2)已知，求物体的高度（即线段的长）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，结合图形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴． 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 【变式02】（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． 命题点02 利用三边对应成比例证明相似 【典例11】（2025·广东·二模）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作角、三角形中线的定义以及三角形周长的计算．解题的关键在于理解相似三角形判定中角的关系用于尺规作图；利用三角形中线定义得到线段相等关系，进而通过已知三角形周长求出相关线段和，从而得出所求三角形的周长． （1）本题要求用尺规作图找出使的点．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有是和的公共角，所以只需作出 ，就能满足相似条件，点即为所求，且尺规作图方法不唯一． （2）已知是边上的中线，根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，将的值求出，最后加上的长度，就能得出的周长． 【详解】（1）解：如图，作，则点即为所求．（作法不唯一） （2）解：为边上的中线， ． 的周长为16，， ， ∴， ，即的周长为17． 【变式01】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 【详解】（1）证明：， ， ， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式02】（25-26九年级上·江西抚州·期中）在的方格中，小正方形的边长为1，，和都是格点三角形． (1)判断与相似吗？若相似，求出的度数，并说出理由； (2)判断与相似吗？若相似，求与的周长比． 【答案】(1)相似，，理由见解析 (2)相似，周长比为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的周长比，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练使用勾股定理将三边解出． （1）根据三边成比例即可判定相似，再由的度数可得的度数； （2）根据三边成比例即可判定相似，再由周长比为边长比求解即可． 【详解】（1）解：与相似，，理由如下， 在中，，，， 在中，，，， ∵， ∴与相似， ∴； （2）解：与相似，周长比为． 在中，，，， 在中，，，， ∵， ∴与相似， ∴与的周长比为的长度与的长度， 即周长比为． 【变式03】（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质： （1）证明四边形是平行四边形，得到，利用易证全等； （2）由可得，由可得，从而可得，据此可证，从而得到，再由四边形是平行四边形和即可得到角的关系，从而得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在和中 ∴； （2）证明：∵ ∴ 又∵ 又 在和中， ∵是公共角 ∵四边形是平行四边形 ． 命题点03 利用两边对应成比例及其夹角相等证明相似 【典例11】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 【变式01】（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】先得，然后结合即可求证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式02】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 【变式03】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键． （1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证； （2）由，得出，再利用相似三角形的对应边成比例得出，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 命题点04 相似三角形综合判定 【典例12】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)是直角三角形，理由见详解． 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定定理、勾股定理及其逆定理的综合应用． （1）先利用正方形性质得到，再结合已知条件求出相关线段的长度，计算对应边的比例，最后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明； （2）通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【变式01】（2026·江苏宿迁·一模）在中，（）． (1)如图1，点D在边上，若，则______．（用含k的代数式表示） (2)如图2，用无刻度直尺和圆规，在边上找一点E，使得，（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质以及已知条件即可解答； （2）如图：过C作，分别在上取点M、F，使得，连接与的交点E即为所求． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：点E即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式02】（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果四边形是矩形，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先得到梯形是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据比例线段证明，然后结合翻折，矩形的性质证明，即可求证． 【详解】（1）证明：由翻折可得，， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，设， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式03】（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点． （1）根据为等腰直角三角形，为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到，根据等角的余角相等得到，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论． （2）通过证明，，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论． 【详解】（1）证明；∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2）证明：由（1）知，，，是等腰三角形， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴代入上式得． 【变式04】（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ． 【变式05】（2026·四川绵阳·二模）如图，正方形中，、分别是边上的点，，垂足为，与相交于，与交于，与交于． (1)求证：； (2)若正方形边长为6，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，根据证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，得出，可得，证明，求出，由勾股定理求出，根据相似三角形的性质可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ 中考预测题 1．如图，在四边形中，为中点，延长线交于点，为中点，连接， ． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，当，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由三角形外角的性质以及等量代换可得，再说明是的中位线，即可得，再根据两种对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）先说明是的中位线，即．设，则，由（1）可知，利用相似三角形的性质可得，即，最后根据求解即可； （3）设，则．由（1）可知，利用相似三角形的性质可得，再根据正切的定义可得进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵分别为中点，， ∴是的中位线，即． 设，则， 由（1）可知，， ∴，即，解得∶（负值舍去）， ∴， ∴． （3）解：设，则． 由（1）可知，， ∴，即，整理得：，解得：（已舍去负值）， ∴． 2．如图1，等腰直角三角形中，为斜边中点，为上任一点，交于点F，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当为中点时，求证：； (3)当点在上移动时，猜想和的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，结合为斜边中点可得，，，从而可证明，则．由等角的余角相等可得，结合可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论容易证明，则，从而得到，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，命题得证； （3）过点作的平行线，交的延长线于点，由（1）可知，，则，由平行可判定，则，因此，同理可得，则，结合，可得． 【详解】（1）证明：如图，设与的交点为， ∵在等腰直角三角形中，为斜边， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵为中点， ∴， 由（1）可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点作的平行线，交的延长线于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 3．如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得，即可证得结论； （2）连接、，根据三角形中位线的性质可证得，，，即可根据证得，最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论； （3）根据全等三角形的性质和平行线的性质可得，，结合三角形外角的定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即， 又∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、， ∵，，分别是边，，的中点， ∴，，，， ∴， ∴ 由（1）可知，，，，且 ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴ ． 考点四 圆中相关证明 《解题指南》 三大核心证明题型(中考必考) 题型1：证明切线(最高频)两种方法，二选一 1.有交点，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点，连接圆心和交点，证明夹角=90°。 2.无交点，作垂直，证半径 不确定交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度=半径。 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 题型2：证明线段相等/弧相等解题依据： 1.等角对等弧、等弧对等弦； 2.垂径定理推弦相等； 3.圆周角相等→弧相等→弦相等； 4.结合全等、等腰三角形证边长相等。 题型3：证明角度相等、垂直关系 常用倒角工具： ①同弧圆周角相等；②切线+半径互余倒角；③直径出直角；④圆内接四边形外角性质；⑤互余、对顶角、公共角转化。 命题点01 圆中切线的证明 【典例13】（2026·浙江丽水·一模）如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，结合已知条件，证明即可得证； （2）要求，尝试把放到直角三角形中，连接，显然，进而可知，由垂径定理及可得的长，问题得解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ． ． ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：连接交于F， 是的直径， ， ， ， ，四边形为矩形， ， ． 在中，，由勾股定理，得 ． ． 【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理以及三角函数，掌握证明切线的常见方法“连半径证垂直”、求三角函数值时要尝试构造直角三角形等方法是解题的关键． 【变式01】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由题意可得，即，从而可得，由等边对等角并结合对顶角相等得出，即，即可得证； （2）由题意可得，则，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图：连接，， ∵D为所对的下半圆中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为10， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴． 【变式02】（2026·湖南张家界·一模）如图，是的直径，，是的弦，过圆心O作的平行线与过点C的切线交于点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证得，从而，进一步得出结果； （2）可推出，结合得出，进而得出结果； （3）可结合（1）（2）得出，，，从而求得和扇形的面积，进而得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ， ， ，， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， 点在上， 是的切线； （2）解：如图， 由（1）知：， ， ， ， ， ； （3）解：如图，设交于， 由（1）（2）知，，，， ，， ． 【变式03】（2026·浙江宁波·一模）如图，在中，，平分交于点，点在边上，以为直径的恰好过点． (1)求证：与相切． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）利用解直角三角形求解即可； 【详解】（1）解：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解：， ， ， ，，． ， ， ． 【变式04】（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，垂径定理得出，垂直平分线的性质得，则，根据，得，根据是半圆O的切线，得出，则，即，即可证明为圆O的切线； （2）作于M，如图2，根据垂径定理和，求出，，根据，得出，则，则，求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线． （2）解：作于M，如图2， ∵半圆O的直径为10，为半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴设， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 命题点02 圆中证明线段相等 【典例14】（2026·山西晋中·一模）如图，与相切于点分别交于点 ． (1)求证：； (2)已知，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，由于，所以，证明，根据全等三角形对应边相等，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得，，然后解直角三角形得，从可求出扇形的面积以及的面积，根据即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 与相切于点C， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴在中，， ， ， ， ． 【变式01】（2026·安徽阜阳·二模）如图，等腰中，，以为直径作，分别交，于点，，是的切线，于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，根据平行线和等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明，从而得出结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而得到，从而求出长，利用求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， 、， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， ， 即的半径为． 【变式02】（2026·浙江·一模）如图，切圆于点，过直径上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若为中点，，，求弧的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由得，由等腰三角形的性质可得，则，结合对顶角相等可得，因此； （2）设圆的半径为，由可得，则，利用三角函数计算出，．根据题意可得，解得，最后利用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与圆相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设圆的半径为， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴，解得， ∴弧的长度为． 【变式03】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，连接，，过点A作的切线，点D在上，连接交于点E，连接，，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线的性质和圆周角定理结合等角的余角相等求得，可得到，即可证得； （2）先求得，作于点，求得，，，利用勾股定理求得，证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∴， 同理，，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 命题点03 圆中证明角平分线 【典例15】（2026·广东东莞·一模）如图，在中，点、、、为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点，连接交于点． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由点、、、为圆周的四等分点，得出，根据切线的性质，得，即可证出平分； （2）由点、、、为圆周的四等分点，得出，根据圆内接四边形得，即可通过证明． 【详解】（1）解：∵点、、、为圆周的四等分点， ∴所对的弧长为圆周长的， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵平分； ∴， ∵点、、、为圆周的四等分点， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴． 【变式01】（2026·山东德州·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， 证明：直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 【变式02】（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接 ，利用切线性质得 ，结合 证 ，再通过等腰三角形导角证 平分 ； （2）设 ，利用 平分 得 ，在 和 中分别用三角函数表示边，再由 列方程求 ； （3）在 中由 设 ，，求 ，再在 中求 ，结合 求 ． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 直线 与圆 相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ，即 平分 ； （2）解：设 ， ， ， 由（1）知 平分 ， ， ， ， ， 在 中，， 即 ，解得 ， ， 在 中，； （3）解：如图，过点 作 于点 ， ，， ， ， 又 ，，且 ， ， 在 中，， 设 ，则 ， ，， ， 在 中，，设 ， ， ， 由 得 ， ，即 ， ， 在 中，， ， 【变式03】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且． (1)求证：，； (2)求证：平分； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用正方形对称性，由、、，证，得；结合得，再由四边形内角和得，故； （2）由，得、、、四点共圆，故；结合得，进而即可得到，则可证明； （3）由、，证；结合、得，故，进而即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，，， 又∵， ． ，． 又， ，， ∵， ∴， ． ． ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴， 、N、E、C四点共圆， ， 四边形是正方形， ∴， ， ，即平分； （3）证明：∵，且， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ． 由（2）得，． ， ． ，即． 【点睛】本题以正方形为载体，综合全等三角形、四点共圆、相似三角形等核心知识，通过角度转化与相似比例证明线段与角的关系，体现了转化化归与几何建模的数学思想． 命题点04 圆中证明角度相等 【典例16】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，先解，然后证明，即可求解． 【详解】（1）证明： ，分别切于点A，点B， 平分， ， 又 ， ， ． （2）解：延长交于点F，连接，由是直径得， ，分别切于点A，点B， C为的中点， ， ， 又 ，， ， ∴， ∴，， ， ， 又， ∴ ， ． 【变式01】（2026·浙江衢州·一模）如图1，已知内接于，．弦于点E，连结，交于点F． (1)求证：． (2)如图2，连结．若，求的值． (3)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，连结，可得，，再根据，得到，推出，即可证明结论； （2）设，求出，，，，易证，可得，即，求出，由（1）知，由，即求出，即可求解； （3）延长交于点，连结，过点作于点，先证明，设，求出，证明，推出，，在中，，得到则，求出，，进而得到，，，，再证明，推出，则，根据垂径定理得到，再证明，推出即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，连结， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点，连结，过点作于点， 由（1）知，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， 则， 得，整理得， 由得， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，解得， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即的半径为． 【变式02】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，是的直径，交于点，点为上方上一点，连接与交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是6 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，切线的性质，等角的余角相等，得到． （2）根据勾股定理，在直角三角形中，建立关于的方程，解方程后得到的长度，继而得到的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 是的切线， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：在中，，， 设，则， 由勾股定理，得 ， 解得，即的半径是6． 【变式03】（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，则，由得到，得出，再根据圆周角定理得到，即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点D， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 命题点05 圆中综合证明 【典例16】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接， 根据是的切线，得出，根据是劣弧的中点，得出，证明， 结合，即可证； （2）连接，交于点， 证明四边形是矩形，得出，证明， 求出，在中，勾股定理求出 ，则，根据垂径定理，得出，最后在中，根据勾股定理求解即可 ； 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， 是劣弧的中点， ， ∴， 又， ， ， ， ∵， ∴； （2）解：连接，交于点， 是的直径， ，即， 又，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ， 即， ∴， 在中： ， ∴， ∵，， ∴， ∴根据垂径定理，是中点， ， 在中： ． 【变式01】（2026·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，C，D是上的点，连接，，． (1)求证：； (2)若是的切线，交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）连接，过点C作于点G，利用勾股定理，三角形面积，正切函数求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ; （2）解：连接，过点C作于点G， 为的直径， ， ，， ， ， 故， ， ， ， 是的切线， ， ， 解得． 【变式02】（2026·内蒙古包头·一模）如图，是的切线，为切点，以为顶点作，交于点，交于点，连接，交于点． (1)与有什么数量关系，请说明理由； (2)若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由得到，根据切线的性质得到，即可求解； （2）由题意可推出，，，得到，根据勾股定理求出，证明得到，设，则，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ， ， 是的切线，为切点， ，即， ； （2）解： ，， ，，即， ， ， ，，， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ． 【变式03】（2026·四川绵阳·二模）如图，，是的弦，，垂足为，为的直径，，与、分别交于、． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点O作于点H，于点K，求出，证明四边形是矩形，可得，再求出即可； （2）连接，得到，求出，得，求出，故可求出； （3）由勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：过点O作于点H，于点K，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，, ∴； （3）解：在中，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式04】（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明点在矩形的外接圆上，利用圆周角定理即可证明； （2）利用等角的余角相等求得，再利用正切函数的定义求解即可； （3）证明点为的中点，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接和，交点为， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴点在矩形的外接圆上，且是直径， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴． 中考预测题 1．如图，在四边形中, ,过点A,B,C作交边于点E,连接,且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若,,． ①求四边形的面积． ②延长至点G,连结,使,在线段上取点F,过点F作交于点H,求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①72；②． 【分析】（1）通过证明，结合即可证明； （2）①连结并延长交于点I，利用垂径定理结合勾股定理得到，再根据平行四边形的面积公式求解； ②方法1：分别过点A,D,H作的垂线于点I,M,N, 则四边形为矩形，解三角形得到，再证，得到，令，进而得到，再利用根的判别式得到即可求解；方法2：同方法1得，再利用配方法得，再解不等式即可；方法3：同方法1得，再换元令，结合配方法求最值即可． 【详解】（1）解：如图, ∵, ∴． ∵, ∴, ∴． ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形． （2）①如图,连结并延长交于点I． ∵四边形是平行四边形, , ∴． ∵, ∴． ∵, ∴, ∴四边形的面积． ②方法1： 如图,分别过点A,D,H作的垂线于点I,M,N,则四边形为矩形, ∴． ∴, ∴, ∴． 设,则,． ∵, ∴, ∴, 令,则, ∴, ∴, ∴． ∵,即, ∴由二次函数的图象得（舍去）, ∴当时,GH的最大值为,此时符合题意． 方法2： 同上可得, 要使最大,只需最大,只需最小． ∵, ∴当取最大值时,,即, 解得, ∴的最大值为． 方法3： 由比例式可得, ∴, 令,则． ∵, ∴, ∴当时, 的最大值为． 2．如图，是的直径，过点作的切线，连接，，交于点，点是的中点，连接并延长交于点，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得，由直径所对圆周角等于可得，由此即可得出结论； （2）由已知可得，由是的切线得出，结合等角的余角相等和平行线性质证明，最后结合正切求边长即可. 【详解】（1）证明：连接，交于， ∵，点是的中点， ∴， 又∵是直径， ∴，即， ∴ （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的切线，是直径， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 3．如图，内接于，过A作的角平分线，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若时， ①求的值． ②作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于的中点对称，请用含k的代数式表示的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）连接，根据是的角平分线，得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，证明即可得到结论； （2）①由题意得到，证明，求出，则，求出，即可得到答案； ②为平分线与的交点，即为的内心， F和G恰好关于的中点对称，且在圆上，为等边三角形，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； （2）解：①连接， ， ， 是的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ，则， ， ，即， ， ， ， ； ②由题意得：为平分线与的交点，即为的内心， F和G恰好关于的中点对称，且在圆上， 为等边三角形， ， ， ， ， ． 好题速递 1．（2026·陕西商洛·一模）如图，点为正方形内一点，连接、、，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据正方形的性质得，证，得到，再根据等角的余角相等，即可求证． 【详解】证明：四边形为正方形， ， 又， ， ， ， ． 2．（2026·广东中山·一模）在中，，D为延长线上一点，点 E在边上且， 连接．已知，求的度数． 【答案】 【分析】可证明得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，然后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点，作，延长交线段于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2)四边形的面积为 【分析】（1）由平行线的性质和翻折的性质，得出，结合，可得，同理可证，易得和互相垂直平分，即可证出四边形为菱形； （2）令，则，由，得，解出的值后，通过即可得出结果． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和互相垂直平分， ∴四边形为菱形． （2）解：令，则， ∴， 由，得， 解得， ∴． 4．（2026·山东淄博·一模）如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，． (1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明； (2)若图中，，求的周长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形的内心性质得到，，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）连接，过点作于点，于点，于点，根据内切圆的性质和角平分线性质得到，利用圆周角定理，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求出，进而即可求的周长． 熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 连接， I是的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，过点作于点，于点，于点， I是的内心， ，，，圆I是的内切圆， ∴， 是外接圆的直径， ， ，， ，， ， 的周长为． 5．（2026·湖北襄阳·一模）如图，已知平行四边形的三个顶点，，在以为圆心的半圆上，过点作，分别交的延长线于点交半圆于点，连接． (1)判断直线与半圆的位置关系，并说明理由． (2)若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是半圆的切线，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及证明即可； （2）证明是等边三角形，求出，阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：结论：是半圆的切线． 理由：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵是半圆的半径， ∴是半圆的切线； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴四边形是菱形， ， ∴都是等边三角形， ， ， 在中，半圆O的半径为12，， ∴， ， ． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答； （2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理、勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 7．（2026·江西吉安·一模）如图1所示的是正六边形组合的玻璃笔筒，其俯视图是如图2所示的图形，每个正六边形的边长均为，点，，，，，均为正六边形的顶点，为的中点． (1)的度数为______，线段与的位置关系是______． (2)连接，求的长． 【答案】(1)；平行 (2) 【分析】（1）根据正多边形内角度数为，将边数代入即可求解； （2）连接并延长交的延长线于点，作于点，先求出， ，过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，，可得，，再根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）解：∵多边形为正六边形， ∴，且每个内角都为， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接并延长交的延长线于点，作于点， 笔筒是边长均为的三个正六边形， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 在中，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴的长为． 中考闯关 1．如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于点，交于点，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据菱形的性质证明，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：菱形即为所求作； （2）解：平行四边形中， ， 菱形， ， ， 平分， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ． 2．如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质得到，据此计算线段的长； （2）过作于，交于，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，过作于，交于， 由（1）可知， ， 的面积为， ， ， 平行四边形的面积为：． 3．如图，为直角三角形，，圆O是的外接圆，D是弧上一点，是圆O的切线，交的延长线于点E，，连接交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可利用切线的性质得到与圆周角的关系．因为，所以可利用平行线的判定得到，结合圆的性质进而推导与的关系． （2）结合与的位置关系，可利用垂径定理相关性质．设的长度为未知数，结合已知、的长度，再证明，可利用相似三角形的性质建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵圆O是的外接圆，， ∴是圆O的直径， ． 是圆O的切线， ． ， ， ， ． ， ． （2）， ． 设，则，． ，， 又∵ ， ∴， ，即， ， 解得或（舍去）， ． 4．如图，内接于，直径交于点G，过点D作射线，使得，延长交过点B的切线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①9② 【分析】（1）连接，证明，即可得出是的切线； （2）①连接，证明，得出的长； ②通过勾股定理得出的长，再利用，得出的长，从而得出直径的长度，由此得出的半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∵， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 5．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，根据为的直径，得到，证明即可得到结论； （2）设的半径为，则，求出，证明，根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 故是的切线； （2）解：设的半径为，则， 点B是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的半径为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $