高二数学下学期第三次月考卷（范围：数列+导数，高效培优·强化卷）高二数学北师大版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列与导数核心模块，通过梯度化题型设计（如选择压轴零点分析、解答题导数证明与数列综合），考查抽象能力与推理能力，适配高二选择性必修第二册月考提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等差等比运算、导数极值与单调性|第8题以指数函数零点为载体，考查分类讨论思维| |填空题|3题/15分|数列前n项和、切线方程|第13题切线条数问题，渗透数形结合思想| |解答题|5题/77分|数列通项与求和、导数证明与应用|第18题导数证明不等式及零点定位，体现逻辑推理与模型意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版选择性必修第二册第一章-第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 2．等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 3．已知数列满足.若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处取得极大值，则（ ） A．3或1 B．3 C．2 D．1 5．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 6．已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 7．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设为自然底数，，若有4个零点，则正数取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则下列正确的是（   ） A． B．数列有最小项 C．数列为递增数列 D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．时，是函数的极小值点 B．若，则函数的图像关于点对称 C．当或时，函数有且仅有3个零点 D．若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 11．已知函数，，则（  ） A．函数在上无极值点 B．函数在上存在极值点 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值 D．若，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设数列的前项和为，且，则______． 13．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 14．已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 16．（15分）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 17．（15分）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数，已知，求的最小值． 18．（17分）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 提升卷·考试版 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章~第二章。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.己知函数f(x)=alnx+ax2的图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x-y-5=0平行，则a=() A.-1 B. C.1 D.- 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,4S15=15a11-45,则a7=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2an0≤an< 3.已知数列{an}满足a+1= (2an-1,≤an<1若1=月，则2026=() A.青 B.月 c. D. 4.已知函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极大值，则a=() A.3或1 B.3 C.2 D.1 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an十Sn=1,则完+高+高+…+毫的值为(） A.63 B.126 C.128 D.254 6.已知数列{an}满足a1=2,H1-2=an十2n,则完+毫+··十磊=() A.号 B.品 C. D.贵 7.设a∈(0,1)，若函数f(x)=a+(2a+1)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(0,5号]B.(0,] c.[學， D.[,1) 8.设e为自然底数，f(x)=ln+x,若f(x)有4个零点，则正数a取值范围为() A.(ln3,+o)B.(0,2e) c.(3,2e) D.(In3,e) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6a3十1，a2=2,则下列正确的是() A.q=方 B.数列{an}有最小项 C.数列{an}为递增数列 D.an+Sn=8 10.已知函数f8)=青x3-专ax2+b,则下列说法正确的是() A.a>0时，x=0是函数fx的极小值点 B.若a=6,b=18,则函数f(x)的图像关于点P3,0)对称 C.当0<b<言a3或言a3<b<0时，函数f(x)有且仅有3个零点 D.若函数g(8)=f(8)-x-xnx-b有3个零点，则实数a的取值范围为号-2In2,-) 11.已知函数f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)lnx,则() A.函数f(x)在R上无极值点 B.函数g(x)在(0，+∞)上存在极值点 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若对任意x>0,不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立，则实数a的最小值 Int D.若f(x1)=g(X2)=t(t>0),则x8的最大值为片 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 l2.设数列{an}的前n项和为Sa,且Sn=21-3n-3(n∈N),则an= 13.过点M(m,0)的曲线y=(1-xe的切线有2条，则m的取值范围为 14.已知a∈R,若不等式(1nx-1)(1nx-ax)>0的解集中有且仅有两个整数，则a的最小值为· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)数列{an}的前三项均为1，{bm}是公比为3的等比数列，且 bn=an+anti+ant2(nE N') 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()求{log3(b+1-bn)}的前n项和Sa: (2)求a100 16.(15分)已知函数f(x)=a(lnx+b)+cx(a>0,b,c∈R)在x=1处的切线方程为y=x (I)求a+b十c的值； 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)分析函数f(x)的单调性. 17.(15分)己知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2. (I)求数列{an}的通项公式： 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若bn=2”an'求数列{bn}的前n项和Ta 3)若对任意n∈心，不等式马≤+u恒成立，且，u为常数，已知=2，求u的最小值， 18.(17分)己知函数f(x)=(x+1)ex-a. (I)当a=0时，若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，求点P的坐标； 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求证：对于任意的xx,∈(0，+四），且x<X,都有>： (3)当a>e时，求证：f(x)有且只有一个零点xo,且x<-1+lna. 19.(17分)已知函数f(x)=专ax2+cosx-1. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若Vx∈[0，π]，f(x)≥0，求a的取值范围： 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)证明：寸n∈N, s跏庆>+1-1 8/8 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B B C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【详解】（1）因为是公比为3的等比数列，且， 又因为，则， 可得，则， 可得， 所以. （6分） （2）因为，即，则， 可得， 则 ， 所以. （7分） 16．（15分）【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （6分） （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. （9分） 17.（15分）【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以. （4分） （2）由（1）知， 则， ， 得， ， 所以． （6分） （3）把代入，已知， 所以等价于， 即，对任意恒成立， 所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以的最小值． （5分） 18．（17分）【详解】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． （4分） （2）要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，， 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证． （6分） （3），求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证. （7分） 19．（17分）【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程. （4分） （2）因为，则，则且， 则，， 令，其中，则， 易知函数在上单调递增， ①当时，即当时，对任意的，， 函数在上单调递增，则对任意的，， 此时函数在上单调递增，故对任意的，，符合题意； ②当时，即当时，对任意的，， 所以在上单调递减，则对任意的，， 此时函数在上单调递减，故对任意的，，不符合题意； ③当时，因为函数在上单调递增， 且，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 故当时，，即函数在上单调递减， 所以，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （7分） （3）先证明对任意的恒成立， 构造函数，其中，则， 易知函数在上单调递减， 所以， 所以函数在上单调递增，所以， 故对任意的，，令，则， 故， 所以， 故原不等式得证. （6分） 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 2．等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为，. 由等差数列性质：，故. 已知，代入得：，化简得. ，化简得. 又，故. 3．已知数列满足.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐项计算找到数列的周期即可. 【详解】由题意，，，，， 故数列周期为4，则. 4．已知函数在处取得极大值，则（ ） A．3或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 5．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 【答案】B 【分析】根据和的关系得到，则，，再根据等比数列前项和公式计算即可． 【详解】解：，当时，，故； 当时，，，相减得到， 数列是首项为，公比为的等比数列， 故，验证时成立，故，， ． 6．已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 7．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D 8．设为自然底数，，若有4个零点，则正数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的范围，令，则，则有4个零点等价于有两个不同解，解得，构造函数，利用偶函数的定义求出为偶函数，则有两个不同解，则对应共4个零点；为解，则对应，只有1个零点，故在上有2个不同的解，求的单调性，利用单调性和，，的值得到正数的取值范围. 【详解】因为，所以，，故函数的定义域为， 因为， 所以，所以函数为偶函数， 令，则， 若，则对应，若，则对应， 所以有个零点等价于在上有两个不同解， 在上有两个不同解， 设， 故在上有2个不同的解， 因为， 由，可得，又，解得， 故在上单调递增； 由，可得，又，解得， 故在上单调递减； 因为，所以，， ， 要使在上有2个不同的解， 则正数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则下列正确的是（   ） A． B．数列有最小项 C．数列为递增数列 D． 【答案】AD 【详解】设正项等比数列的公比为 由，得，即， 又，所以，，即，， 所以，解得，（舍去） 对于A，，A正确； 对于B，，无最小项，B错误； 对于C，，，为递减数列，C错误； 对于D，因为，， 所以，D正确． 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．时，是函数的极小值点 B．若，则函数的图像关于点对称 C．当或时，函数有且仅有3个零点 D．若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【分析】先对函数求导，根据导数性质分析函数单调性，极值点，零点情况，再通过构造新函数研究方程零点问题. 【详解】由题意可得：， 令，解得：或， 当时，，函数在R上单调递增， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 对于A选项，当时，由函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，可得是函数的极大值点，故A选项错误， 对于B选项，若，，有， 有， 可得函数的图象关于点对称，故B选项正确， 对于C选项，当时，有， 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 又由，，可得函数有3个零点， 当时，有，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 又由，，可得函数有3个零点，故C选项正确， 对于D 选项，， 令，有，令，有， 令，解得：，， 可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，，当时，， 又由，，可得若函数有3个零点， 有，可得，故D选项正确. 11．已知函数，，则（  ） A．函数在上无极值点 B．函数在上存在极值点 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对求导后，根据导函数正负可确定的单调性，由极值点定义可知AB正误；由单调性可得，分离变量后，可知，利用导数可求得，知C正确；采用同构法可确定，可将化为，令，，利用导数可求得最大值，知D正确. 【详解】对于A，定义域为，， 令，则， 当时，；当时，； ，即在上单调递减，在上单调递增， ，在上单调递增，无极值点，A正确； 对于B，定义域为，， 令，则， 当时，；当时，； ，即在上单调递减，在上单调递增， ，在上单调递增，无极值点，B错误； 对于C，由A知：在上单调递增， 由得：， 则当时，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，即的最小值为，C正确； 对于D，若，则， ，，， 由AB知：均为定义域上的增函数，，， 由得：，， ； 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【详解】当时，； 当时，； 又不适合上式， 所以. 13．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 14．已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列通项公式可得，，结合等差数列求和公式运算求解； （2）整理可得，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为是公比为3的等比数列，且， 又因为，则， 可得，则， 可得， 所以. （2）因为，即，则， 可得， 则 ， 所以. 16．（15分）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 17．（15分）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数，已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式; （2）利用错位相减法求前项和； （3）化简不等式左边表达式，再将不等式变形为，通过求该表达式的最大值得到的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以. （2）由（1）知， 则， ， 得， ， 所以． （3）把代入，已知， 所以等价于， 即，对任意恒成立， 所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以的最小值． 18．（17分）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数几何意义，切线平行于轴即斜率为零，通过解导数为零的方程并结合函数表达式确定点坐标； （2）将分式不等式转化为函数单调性问题，构造函数并利用导数判断其单调性，从而证明原不等式成立； （3）先通过导数分析函数单调性与极值，结合极限与零点存在定理说明唯一零点；再借助函数单调性，将自变量范围比较转化为函数值大小比较，代入后利用已知参数范围证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． （2）要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，， 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证． （3），求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证. 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求导得，分析可知，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，即可得出实数的取值范围； （3）利用导数证明出不等式对任意的恒成立，令，结合放缩法得出，再利用累加法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程. （2）因为，则，则且， 则，， 令，其中，则， 易知函数在上单调递增， ①当时，即当时，对任意的，， 函数在上单调递增，则对任意的，， 此时函数在上单调递增，故对任意的，，符合题意； ②当时，即当时，对任意的，， 所以在上单调递减，则对任意的，， 此时函数在上单调递减，故对任意的，，不符合题意； ③当时，因为函数在上单调递增， 且，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 故当时，，即函数在上单调递减， 所以，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）先证明对任意的恒成立， 构造函数，其中，则， 易知函数在上单调递减， 所以， 所以函数在上单调递增，所以， 故对任意的，，令，则， 故， 所以， 故原不等式得证. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $